Épreuve de mathématiques CRPE 2017 groupe 3.
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I Première partie (13 points).
Partie A : étude d'une crue de la Vienne.
1. La hauteur maximale de la Vienne à Chinon est de5 m. 2. Le niveau a été supérieur à5,7 mpendant48 h.
3. (a) 18 h se sont écoulées entre le pic dans les deux villes.
(b) Le pic étant à Nouâtre avant d'atteindre Chinon, nous pouvons armer que Nouâtre est plus en amont que Chinon.
Partie B : précipitations et récupérateur d'eau.
1. (a) Calculons le volume V1 d'eau tombée sur le toit.
Le toit étant rectangulaire sa surface est de
S1= 4×6,2
= 24,8
Puisque la hauteur de précipitations est de 0,0317 m, le volume d'eau tombée sur le toit est donc
V1= 0,0317×S1
= 0,78616
AinsiV1= 0,78616 m3. Et puisque1 m3= 1 000 L,V1= 786,16 L. Finalement
Le volume tombé sur la toiture est approximativement de 790 L.
(b) Calculons le volume d'eau, V2, réellement recueilli.
V2= 90 100×V1
= 90
100×786,16
= 707,544
Le volume d'eau réellement recueilli est707,544 L.
(c) Déterminons le volume V3 de la citerne.
La citerne est formée de demi-sphère et d'un cylindre donc : V3= 2×1
2 4
3πR3
+ (πR2h)
= 2×1 2
"
4 3π
1,24 2
3# +
"
π 1,24
2 2
1,66
#
≈3,0029688 Donc
le volume de la citerne en litres est approximativement de 3 003 L.
708
3003 ≈0,2358<0,25 =14
Moins d'un quart de la citerne a été rempli.
2. (a) Déterminons le pourcentage d'augmentation.
t= VA−VD VD
×100
= 121,1−46,6 46,6 ×100
≈159,87
Les précipitations ont augmentées de159,87 %.
(b)
oct.2015 nov.
2015 déc
2015 janv.
2016 fév
2016 mars 2016 avr.
2016 mai 2016 Cumul Pré-
cipitations en mm
26,0 43,9 18,8 77,9 84,3 85,4 33,9 121,1 E.C.C. 26,0 69,9 88,7 166,6 250,9 336,3 370,2 491,3
Partie C : péniche et pont.
1. DéterminonsOA.
Puisque(CO)est l'axe de symétrie de la gure,AIO est rectangle enI. Donc, d'après le théorème de Pythagore :AO2=OI2+IA2.
Ce qui équivaut successivement à :
OA2= (OA−IC)2+ AB
2 2
OA2= (OA−5)2+ 24
2 2
OA2=OA2−2×OA×5 + 52+ 122 OA2=OA2−10·OA+ 169
OA2=OA2−2×OA×5 + 52+ 122 OA2−OA2=OA2−10·OA+ 169−OA2
0 =−10·OA+ 169 010·OA=−10·OA+ 16910·OA
10·OA= 169 10·OA
10 =169 10 OA= 16,9
OA= 16,9 m
2. NotonsM le point appartenant à[AI]tel queM I= 6,N le point de l'arche du pont situé à la verticale deM et P le point de[N M)tel queON P soit un triangle rectangle enP.
×O
×I A×
×B
×C
M×× N
P×
DéterminonsM N.
N OP est un triangle rectangle enP donc, d'après le théorème de Pythagore, N P2+P O2=ON2
Donc :
N P2=OA2−62
= 16,92−62 N P étant une longueur donc positive :
N P =p
16,92−62
=p 249,61 Nous en déduisons la hauteur
M N =N P−P M
=N P−OI
=p
249,61−(OA−CI)
=p
249,61−(16,9−5)
=p
249,61−11,9
≈3,899
La péniche ne pourra pas passer sous l'arche sans dommage.
II Deuxième partie (13 points).
Exercice 1.
1. Pour déterminer le nombre de fois que la série de 6 perles a été répétée procédons à une division euclidienne.
147 = 6×24 + 3
= 6×24 + 1 + 2 Par conséquent la147ème perle est rouge
L'armation est vraie.
2. 30 %du prix initial représente48e. Par conséquent le prix initial de l'article est 4830×100.
Et puisque le prix après réduction représente100−30 = 70 %du prix initial, le prix nal est
48
30×100× 70 100 = 112 L'armation est vraie.
3. La durée de la marche, en heures, est 126 +124 = 5. Par conséquent la vitesse moyenne est, en kilomètres par heure, 245 = 4,8.
L'armation est fausse.
4. Tous les losanges, et pas uniquement les carrés, correspondent à cette des- cription.
L'armation est fausse.
Exercice 2.
1. (a) Calculons la probabilité d'obtenir 3avec le dé à6 faces.
Dans le cas du dé à6faces l'univers estΩ1={1; 2; 3; 4; 5; 6}et la loi de probabilité, P1, est l'équiprobabilité (probabilité uniforme discrète) puisque le dé est parfaitement équilibré.
Il y a équiprobabilité,{3}est un événement réalisé par une issue, l'uni- vers comporte6 issues, donc
P1({3}) = 1 6.
Calculons la probabilité d'obtenir 3avec le dé à4 faces.
Dans le cas du dé à 4 faces l'univers est Ω2 ={ 1; 2; 3; 4 } et la loi de probabilité, P2, est l'équiprobabilité (probabilité uniforme discrète) puisque le dé est parfaitement équilibré.
Il y a équiprobabilité,{3}est un événement réalisé par une issue, l'uni- vers comporte4 issues, donc
P2({3}) = 1 4.
C'est avec le dé tétraédrique que la probabilité d'obtenir3 est la plus grande.
(b) Notons A: obtenir un multiple de3. Calculons P1(A).
A={3; 6}.
Il y a équiprobabilité, A est réalisé par 2 issues, l'univers comporte 6 issues, donc
P1(A) = 2 6 = 1
3. Calculons P2(A).
A={3}, donc, d'après la question précédenteP2(A) =14. La probabilité d'obtenir un multiple de3 est plus grande
avec le dé à6faces.
(c) Pour modéliser cette nouvelle situation, considérons Ω3={(1; 1); (1; 2); . . .; (4; 6)}
l'univers formé des couples composés du nombre obtenu avec le dé à 4 faces puis du nombre obtenu avec le dé à 6faces.
Nous pouvons représenter cet univers sous forme d'un tableau double entrée :
1 2 3 4 5 6
1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4)
3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3)
Les lancers de dés étant indépendants et les dés étant parfaitement équi- librés nous choisissons l'équiprobabilité, P3, pour modéliser cette situa- tion.
Notons B : obtenir avec le dé à 4 faces un nombre supérieur à celui obtenu avec le dé à 6faces .Je choisis de comprendre le terme supé- rieur dans son acception usuelle, i.e. au sens de strictement supérieur à .
Calculons P3(B).
B ={ (2; 1); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3); }.
Il y a équiprobabilité, B est réalisé par 6 issues et l'univers comporte 4×6 = 24issues donc
P3(B) = 6 24. Ainsi
P3(B) =14.
2. (a) Conservons la modélisation de la question précédente. Notons C : la somme est paire .
Les sommes possibles sont indiquées dans le tableau ci-dessous.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
Calculons P3(C).
C={(1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 2); (2; 4); (2; 6); (3; 1); (3; 3); (3; 5); (4; 2);
(4; 4); (4; 6); }.
Il y a équiprobabilité, C est réalisé par12 issues et l'univers comporte 24issues donc
P3(C) = 12 24. Ainsi
P3(C) = 12.
(b) Conservons la modélisation de la question précédente. Notons D : la somme est strictement supérieure à 3.
Calculons P3(D).
D={ (1; 1); (1; 2); (2; 1)}.
Il y a équiprobabilité,Dest réalisé par3issues et l'univers comporte24 issues donc
P3(D) = 3 24 =1
8. Or P3(D) = 1−P3(D) = 1−18, donc
P3(D) = 78.
Exercice 3.
1. 3×5 + 7 = 22. Puisque226= 40
le message aché sera Et non. . . encore ! .
2. Déterminons le nombre mystère.
Notonsxle nombre mystère. D'après le programmexvérie
3x+ 7 = 40 Or cette équation équivaut successivement à
3x+ 7−7= 40−7 3x= 33 3x
3 =33 3 x= 11 Il n' y a donc qu'une seule possibilité :
le nombre mystère est11.
Exercice 4.
1. Déterminons le débit.
D= V 3T
= 1,5·103 3×24
= 125 6
= 20,8333. . .
La perfusion doit être réglée à21gouttes par minute.
2. Déterminons le volume de liquide perfusé.
D= V 3T ce qui équivaut successivement à
6 = V
3× 1 + 14 6 = V
15 4
6×15 4 = V
15 4
×15 4 22,5 =V
Le volume transféré sera de 22,5millilitres.
3. Déterminons la durée de la perfusion.
D= V 3T
équivaut successivement à
8 = 250 3T 8×T = 250
3T ×T, carT 6= 0 8T = 250
3 8T
8 =
250 3
8 T = 125
12 T = 10 + 5
12 T = 10 + 5×5
12×5 T = 10 +25
60
La perfusion durera10heures et25minutes.
