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Résumés des travaux Claire Debord Février 2018

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Academic year: 2022

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(1)

Résumés des travaux

Claire Debord Février 2018

Publications présentées

[1] Claire Debord,Local integration of Lie algebroids.Lie algebroids and related topics in differential geometry (Warsaw, 2000), Banach Center Publ., 54, Polish Acad. Sci., Warsaw, (2001), 21–33 (9 pages).

[2] Claire Debord, Holonomy groupoids of singular foliations. J. Differential Geom.

58, no. 3, (2001), 467–500 (34 pages).

[3] Claire Debord et Jean-Marie Lescure, K-duality for pseudomanifolds with isolated singularities. J. of Functional Analysis 219, (2005), 109–133 (25 pages).

[4] Claire Debord et Jean-Marie Lescure, K-duality for stratified pseudo- manifolds. Geom. Topol. 13,n 1, (2009), 49–86 (38 pages).

[5] Claire Debord, Jean-Marie Lescure et Victor Nistor, Index theorem for stratified pseudo-manifolds. J. Reine Angew. Math. 628, (2009), 1–35 (35 pages).

[6] Claire Debord et Jean-Marie Lescure, Index theory and groupoids. Cam- bridge University Press,Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory (2010), 86–158 (73 pages).

[7] Claire Debord,Longitudinal smoothness of the holonomy groupoid., C.R.Acad.Sci.

Paris, Série I, t. 351, n 15-16, (2013), 613–616 (4 pages).

[8] Claire Debord et Georges Skandalis,Adiabatic groupoid, crossed product by R+ and Pseudodifferential calculus.Adv. in Math. 257, (2014), 66–91(26 pages).

[9] Claire Debord, Jean-Marie Lescure et Frédéric Rochon, Pseudodifferen- tial operators on manifolds with fibred corners. Ann. Inst. Fourier 65, 4 (2015) 1799–

1880 (82 pages).

[10] Claire Debord et Georges Skandalis,Pseudodifferential extensions and adia- batic deformation of smooth groupoid actions. Bull. Sci. Math. 139 (2015), no. 7, 750–776 (27 pages).

[11] Claire Debord et Georges Skandalis,Stability of Lie groupoidC-algebras.J.

Geom. Phys. 105 (2016), 66–74 (9 pages).

[12] Claire Debord et Georges Skandalis,Lie groupoids, exact sequences, Connes- Thom elments, connecting maps and index maps. Soumis pour publication.

[13] Claire Debord et Georges Skandalis,Blowup constructions for Lie groupoids and a Boutet de Monvel type calculus. Soumis pour publication.

(2)

Résumés des articles

[1] Claire Debord, Local integration of Lie algebroids. Lie algebroids and related topics in differential geometry (Warsaw, 2000), Banach Center Publ. (2001), 9 pages.

Cet article donne une description complète de l’intégration locale des algébroïdes de Lie presque injectifs. En particulier on établit une formule de type Baker-Campbel-Hausdorff dans ce cadre. Enfin, ces résultats sont illustrés par de nombreux exemples.

[2] Claire Debord, Holonomy groupoids of singular foliations. J. Differential Geom.

(2001), 34 pages.

Les feuilletages considérés sont des feuilletages de type Stefan pour lesquels l’union des feuilles de dimension maximale est un ouvert dense de la variété feuilletée. Trouver un groupoïde d’holonomie pour de tels feuilletages, c’est trouver un groupoïde différentiable d’unités la variété feuilletée, dont les orbites sont les feuilles du feuilletage et qui « n’a pas trop » d’isotropie (l’ensemble des unités ayant une isotropie non triviale est maigre).

Contrairement au cas régulier, la partition en feuilles ne suffit pas à définir un feuilletage singulier, il faut considérer une famille convenable de champs de vecteurs dont les orbites donnent la partition en feuilles. La question de définir un groupoïde d’holonomie pour les feuilletages singuliers se trouve alors intimement liée au problème de l’intégration des algébroïdes de Lie. J’obtiens :

Théorème Les algébroïdes de Lie dont l’ancre est injective en restriction à un ouvert dense sont intégrables.

Soit (M,F) est un feuilletage singulier au sens de Stefan pour lesquels l’union O des feuilles de dimension maximale est un ouvert dense de la variété feuilletée. Nous dirons qu’un groupoïde de Lie G ⇒ M est un groupoïde d’holonomie de (M,F) lorsque les orbites de G sont les feuilles de F et la restriction de G à O est le groupoïde d’holonomie du feuilletage régulier obtenu en restreignant F à O.

On a alors :

Théorème Le feuilletage (M,F) admet un groupoïde d’holonomie si et seulement si il peut être défini par un algèbroïde de Lie dont la dimension des fibres est égale à la dimension des feuilles régulières.

[3]Claire Debord et Jean-Marie Lescure,K-duality for pseudomanifolds with isolated singularities. J. Funct. Anal. (2005), 25 pages.

Nous proposons, dans le cas d’une pseudo-variété à singularités coniques isolées, un grou- poïde différentiable, appelé espace S-tangent, qui coïncide avec le fibré tangent ordinaire sur la partie lisse. Nous obtenons une dualité de Poincaré en K-théorie entre l’algèbre des fonctions continues sur la variété singulière X et la C-algèbre de son espace S-tangent TSX [3]. Cette généralisation de la dualité existant entre une variété différentiable et son espace tangent valide l’approche et le choix du groupoïde.

Précisément, soit X une pseudovariété à singularités coniques. L’espace tangent non com- mutatif ou espace S-tangent de X est un groupoïde différentiable TSX d’unités la partie lisse X de X. Il peut être vu comme un champ de groupoïdes au-dessus de X de sorte

(3)

que la fibre au-dessus d’un point x est le groupe abélien TxX si x ∈X et coïncide avec (GtN)o R si x est un point singulier, où on a noté N le link de X et GtN le groupoïde tangent deN. Nous définissons un groupoïde de déformations deTSX sur le groupoïde des couples X×X, ce qui induit une classe de K-homologie ∂XS ∈ KK(C(TSX),C). Nous introduisons un homomorphisme ΨSX : C(TSX)⊗C(X) → C(TSX) et définissons un élément Dirac par : DSX = (ΨSX)(∂XS) ∈ KK(C(TSX)⊗C(X),C). Le résultat principal est alors :

Théorème L’élément DSX induit une dualité de Poincaré entre les C-algèbres C(TSX) et C(X). En particulier, on obtient l’isomorphisme :

DPSX :· ⊗

C(TSX)

DXS :K(C(TSX))−→' K(C(X))

Le théorème est prouvé en construisant explicitement un élémentdual-DiracλSX puis nous vérifions, après calcul des produits de Kasparov correspondants, les égalités :

λSX

C(TSX)

DSX = 1∈KK(C(X), C(X))et λSX

C(X)

DSX = 1∈KK(C(TSX), C(TSX)).

L’application indice analytique pour l’espace singulier X peut maintenant être définie comme dans le cas des variétés C par :

Indana =· ⊗∂XS :K0(C(TSX))−→Z (0.1) et on a encore :

Proposition Notons p:X → {·} l’application constante. On a l’égalité : Indana =p◦(· ⊗

C(TSX)

DXS)

autrement dit, l’indice analytique Indana est l’application Poincaré duale de « l’indice de Fredholm » canonique.

[4] Claire Debord et Jean-Marie Lescure, K-duality for stratified pseudomanifolds.

Geom. Topol. (2009), 38 pages.

Les pseudo-variétés que nous étudions sont du type Thom-Matter. Ces variétés singulières forment une large classe d’exemples d’objets possédant une riche structure géométrique et où certaines des propriétés des variétés différentiables subsistent. Par contre, elles ne sont pas pourvues d’espaces tangents au sens usuel, ni d’une théorie de l’indice au sens d’Atiyah et Singer. Nous généralisons les résultats de [3] au cas des pseudo-variétés quelconques : on définit un groupoïde appelé espace S-tangent de la pseudo-variété et on montre que sa C-algèbre est Poincaré duale à l’algèbre des fonctions continues sur la pseudo-variété.

Cette généralisation repose sur un procédé de récurrence sur la profondeur de la strati- fication (qui mesure sa complexité) et la stabilité algébrique des constructions faites. La difficulté principale réside dans la construction de l’espace S-tangent TSX d’un espace stratifié compact (X,S). Pour cela il est nécessaire de choisir un système de données de contrôle (Ns, πs, ρs)s∈S. Pour toute strate singulière s, notons Os ={x ∈X | ρs < 1} où comme si dessus X désigne la partie régulière on pose :

(4)

TSX =G

s∈S

πs(T s)|Os\∪t<sOt ⇒X

Ici t < s signifiet¯⊂ ¯s et πs(T s) est le tiré en arrière par πs (au sens des groupoïdes) du tangent T s à s. On montre alors :

Théorème Le groupoïdeTSX possède une structure de groupoïde de Lie compatible avec celle de chaque strate. De plus TSX est moyennable.

On construit alors l’élément Dirac DXS de façon analogue à [3] en produisant un groupoïde de déformation de TsX sur le groupoïde des couples X×X et on obtient :

Théorème Soit (X,S) un espace stratifié compact. Les C-algèbres C(TSX) et C(X) sont Poincaré duales et l’élément DXS réalise cette dualité.

Notons, que la preuve ici est différente de celle mise en oeuvre dans [3] car nous ne disposons pas d’un élément dual Dirac. Nous montrons que l’élément Dirac induit un isomorphisme grâce à un procédé géométrique dit de déplissage qui nous permet de faire une récurrence sur la profondeur de la stratification et à l’aide de l’étude minutieuse de diagrammes com- mutatifs.

Cette fois encore, l’indice analytique est l’application Poincaré duale de « l’indice de Fred- holm » canonique.

[5] Claire Debord, Jean-Marie Lescure et Victor Nistor, Groupoids and an index theorem for conical pseudo-manifolds. J. Reine Angew. Math. (2009), 35 pages.

Dans cet article, nous établissons un analogue du théorème d’indice de M.F. Atiyah et I.M.

Singer pour les pseudo-variétés à singularités coniques isolées. Notre démarche consiste à reprendre l’approche originelle de M.F. Atiyah et I.M. Singer en la reformulant à l’aide de groupoïdes puis à utiliser l’espace tangent non commutatif.

Précisément, nous construisons des applications indice analytique et indice topologique définies sur la K-théorie de la C-algèbre de l’espace S-tangent de la pseudo-variété et à valeurs dans les entiers, puis nous démontrons leur égalité. Les applications que nous définissons sont très naturelles : si on applique leur construction au cas d’une variété C compacte, on retrouve la notion usuelle d’espace tangent et les applications indice analy- tique et indice topologique de M.F. Atiyah et I.M.Singer.

L’indice analytique s’obtient à partir d’un groupoïde tangent à l’instar de l’approche d’A.

Connes dans le cas des variétés. Comme dans le cas régulier ce groupoïde tangent résulte de la déformation de l’espace S-tangent en un groupoïde des couples.

Pour construire l’indice topologique, on plonge la variété singulièreX dans une variété sin- gulière contractile cRn (où cRn est le cône sur Rn), ce qui induit une inclusion entre leurs espaces S-tangents. Ce plongement donne lieu à un espace S-normal V qui est lui-même une pseudo-variété à singularités coniques isolées. On construit ensuite un groupoïde de déformation liant TSX et TSV qui donne un isomorphisme entre la K-théorie de ces deux espaces. Précisément, on définit

T =TSV × {0}[

π(TSX)×]0,1]⇒V×[0,1]

oùπ :V →X est la projection canonique. On munitT d’une structure de groupoïde de Lie et on montre :

(5)

Théorème Le groupoïde T définit un élément ∂T ∈KK(C(TSV), C(TSX)) ap- pelé élément de Thom inverse qui est tel que le diagramme suivant soit commutatif :

K0(C(TSV)))

IndVa

))

·⊗∂τ //K0(C(TSX)

IndXa

Z

Dans le cas d’une variété compacte (sans singularités) on retrouve de cette façon l’inverse de l’isomorphisme de Thom. Une excision permet alors d’obtenir l’indice topologique, s’ins- pirant de la démarche d’Atiyah et Singer. On est donc capable de définir intégralement l’indice topologique comme un élément issu de groupoïdes de déformations. Enfin, on ob- tient très simplement l’égalité entre les deux indices, par la construction d’un groupoïde de déformation judicieux. Ce travail apporte un éclairage nouveau sur le théorème d’in- dice originel de M.F. Atiyah et I.M. Singer en liant les deux indices par une déformation géométrique.

[6]Claire Debord et Jean-Marie Lescure, Index theory and groupoids.Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory, Cambridge Univ. Press, (2010), 73 pages.

Cette publication est issue d’un cours intitulé Index theory and Groupoids donné lors de l’école d’été Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory qui s’est tenu à Villa de Leyva en Colombie du 2 au 20 Juillet 2007.

Cet article contient trois parties. Dans la première, nous introduisons brièvement les grou- poïdes et notions associées : homéomorphismes, équivalences de Morita, algébroïdes de Lie de groupoïdes de Lie, systèmes de Haar et C-algèbres associées. Nous donnons diffé- rents exemples de groupoïdes qui interviennent en théorie de l’indice. La seconde partie est centrée sur la K-théorie bivariante de Kasparov. Nous commençons par la description historique de laK-homologie de M.F. Atiyah, puis nous donnons les propriétés principales de la KK-théorie. Nous étudions ensuite les modules de Hilbert et leurs opérateurs en grands détails. Nous donnons la construction des groupes deKK-théorie et du produit de Kasparov. Enfin, nous présentons les notions de KK-équivalence et de dualité ainsi que la preuve de la périodicité de Bott. La dernière partie porte sur les théorèmes d’indice. Nous introduisons les opérateurs pseudo-différentiels (équivariants) sur les groupoïdes. Nous pré- sentons enfin le théorème d’indice à l’aide de groupoïdes de déformations tout d’abord dans le cas classique des variétés compactes sans bord puis nous expliquons comment étendre ces résultats aux variétés à singularités coniques isolées reprenant ainsi les résultats de [5].

[7] Claire Debord, Longitudinal smoothness of the holonomy groupoid. C. R. Math.

Acad. Sci. Paris (2013), 4 pages.

I. Androulidakis et G. Skandalis ont défini un groupoïde d’holonomie pour tout feuilletage singulier généralisant la construction proposée dans [2]. Ce groupoïde, dont la topolo- gie est généralement assez singulière, est le point de départ d’un calcul pseudodifférentiel longitudinal ainsi que d’une théorie de l’indice pour de tels feuilletages. Ces travaux sont grandement simplifiés sous l’hypothèse de différentiabilité longitudinale du groupoïde d’ho- lonomie. Dans cet article, on réinterprète le period bounding lemma pour montrer :

Proposition Le groupoïde d’holonomie de I. Androulidakis et G. Skandalis est toujours longitudinalement lisse.

(6)

Ce résultat offre en outre un nouvel éclairage sur les travaux de M. Crainic et R.L. Fer- nandes ainsi que ceux de K. Mackenzie sur l’obstruction à l’intégrabilité des algébroïdes de Lie transitifs.

[8] Claire Debord et Georges Skandalis, Adiabatic groupoid, crossed product by R+

and pseudodifferential calculus. Adv. Math. (2014), 26 pages.

L’objectif de ce travail est de comprendre le calcul pseudodifférentiel sur un groupoïde de Lie G comme la convolution sur un groupoïde convenable plus gros. On exprime les opérateurs pseudodifférentiels d’ordre zéro surG comme des intégrales de noyaux associés au groupoïde adiabatique Gad de G. Nous utilisons ensuite ce résultat pour construire une équivalence de Morita explicite entre la C-algèbre des opérateurs pseudodifférentiels d’ordre 0 et un idéal de la C-algèbre du groupoïde Gga obtenu comme produit croisé de Gad par l’action naturelle de R+.

Précisément, supposons queGsoit un groupoïde de Lie et notonsAGson algébroïde de Lie etΨ(G)l’algèbre obtenue en complétant l’algèbreP0(G)des opérateurs pseudodifférentiels d’ordre 0 sur G dans l’algèbre des multiplicateurs de C(G). On peut alors considérer la suite exacte des opérateurs pseudodifférentiels :

0→C(G)−→Ψ(G)−→σ0 C(SAG)→0 (1) où σ0 est le prolongement de l’application symbole principal. Parallèlement à cela, consi- dérons le groupoïde adiabatique de G: Gad =G×R∪AG× {0}muni de sa structure de Lie naturelle. Ce groupoïde définit la suite exacte :

0→C0(R+)⊗C(G)−→C(G+ad)−→ev0 C(AG)'C0(AG)→0 (2) oùG+ad =G×R+∪AG× {0}est la restriction deGad surG(0)×R+. SoitJ(G)la pré-image de l’idéalC0(AG\G(0))des fonctions qui s’annulent sur la section nulle G(0) du fibré AG.

La suite exacte (2) donne alors la suite exacte

0→C0(R+)⊗C(G)→J(G)→C0(AG\G(0))→0 (3) Le groupeR+agit naturellement surGaden laissantJ(G)invariant. De plus la suite exacte (3) est équivariante. On obtient donc

0→C(G)⊗ K →J(G)o R+ →C(SAG)⊗ K →0 (4)

On montre le :

Théorème Les suites exactes (1) et(4) sont reliées par une équivalence de Morita.

Pour montrer ce théorème on construit un bimodule E explicite entre les algèbres Ψ(G) et J(G)o R+. Cette construction passe par la construction d’une algèbre de fonctions de type Schwartz Sc(Gad) sur le groupoïde adiabatique et d’un idéal J(G) de Sc(Gad) pour lequel on montre le théorème suivant .

Théorème Si f = (ft)t∈R+ ∈ J(G) et m ∈ N, l’intégrale Z

0

tmftdt

t est un opérateur d’ordre−msurGde symbole principalσoùσ(x, χ) =

Z

0

tmf(x, tχ,ˆ 0)dt t .

(7)

Le bimoduleE est ensuite construit à partir deJ(G)que l’on équipe d’un produit scalaire Ψ(G)-valué et que l’on complète pour la norme correspondante.

[9] Claire Debord, Jean-Marie Lescure et Frédéric Rochon,Pseudodifferential ope- rators on manifolds with fibred corners. Ann. Inst. Fourier (2015), 82 pages.

Nous développons et étudions le calcul pseudodifférentiel associé à une pseudo-variété stra- tifiée.

Notre démarche s’appuie sur les faits suivants :

_ Les espaces stratifiés peuvent être désingularisés en variétés à coins fibrés, et cette désingularisation se fait sans perte d’information : la désingularisation induit une équivalence entre la catégorie des espaces stratifiés et celle des variétés à coins fibrés.

_ Définir un calcul pseudodifférentiel sur l’espace stratifiéXou sur sa désingularisation

FCX en variété à coins fibrés revient au même : dans les deux cas, on obtient des opérateurs qui agissent sur C(X) où X est la partie lisse de X et l’intérieur de FCX. En outre la compactification de X enFCX dicte des conditions aux bords naturelles pour un calcul sur X.

Ainsi, nous utilisons la correspondance existante entre les pseudo-variétés stratifiées et les variétés à coins fibrés pour définir un groupoïde Gπ de Lie. Ce groupoïde nous fournit donc une algèbre d’opérateurs pseudodifférentiels « compactement supportés » :

ΨS,c(X) :=P(Gπ(X))

Cette algèbre n’est pas stable pour l’inversion et doit donc être élargie. Pour cela on procède à des « éclatements fibrés » qui fournissent un compactifié du groupoïde Gπ et offre une notion de décroissance à l’infini et ainsi, une « bonne » algèbre d’opérateurs régularisants Ψ−∞Gπ .

On définit alors l’algèbre des opérateurs pseudodifférentiels du S-calcul : ΨS(X) :=ΨS,c(X) +Ψ−∞G

π

On définit ensuite :

_ Des notions de symbole intérieur σ et de symbole sur chaque hypersurface de bord σi, ce qui nous permet d’obtenir une notion de pleine ellipticité.

_ Des espaces de SobolevHS(X).

On obtient alors les propriétés classiques d’un calcul pseudodifférentiel : Théorème Avec les notations précédentes :

_ ΨS(X) est une algèbre.

_ Tout P ∈ΨpS(X) induit un opérateur borné

P :xlHSm+p(X)→xlHSm(X) pour tout m, l∈R.

_ L’opérateur P ∈ΨpS(X) est pleinement elliptique si et seulement si :

∀m, l∈R P :xlHSm+p(X)→xlHSm(X) est Fredholm

Enfin, le S-calcul surX donne un « bon » calcul pseudodifférentiel sur SX du point de vue de la K-homologie :

(8)

Proposition A tout P ∈Ψ0S(X) pleinement elliptique correspond canoniquement un [P]∈KK(C(SX),C) et tous les éléments deKK(C(SX),C)ont un tel représen- tant.

De plus une notion de symbole non commutatif elliptique sur Ψ0S(X)permet d’interpréter la dualité de Poincaré comme l’inverse de cette application symbole.

[10] Claire Debord et Georges Skandalis,Pseudodifferential extensions and adiabatic deformation of smooth groupoid actions. Bull. Sci. Math. (2015), 27 pages.

Rappelons que le groupoïde adiabatique Gad d’un groupoïde de Lie G est une déforma- tion reliant G et son algébroïde de Lie. Nous identifions dans cet article la C-algèbre de convolution surGad à une extension pseudodifférentielle (au sens de Saad Baaj) du produit croisé de la C-algèbre des opérateurs pseudodifférentiels sur Gpar une action naturelle de R. Au passage, nous construisons l’extension pseudodifférentielle (d’ordre0) correspondant à l’action d’un groupoïde de Lie sur une C-algèbre.

[11] Claire Debord et Georges Skandalis, Stability of Lie groupoid C-algebras. J.

Geom. Phys. (2016), 9 pages.

Dans ce travail, nous étendons un résultat de M. Hilsum et G. Skandalis qui établit que la C-algèbre de tout feuilletage régulier de dimension non nulle est stable (M. Hilsum et G. Skandalis, Stabilité des C-algèbres de feuilletages. Ann. Inst. Fourier (1983)). Nous montrons :

Proposition La C-algèbre d’un groupoïde de Lie dont les orbites ne sont jamais réduites à des points est stable.

Nous étendons aussi ce résultat aux C-algèbres de feuilletages singuliers définis par I.

Androulidakis et G. Skandalis dont aucune des feuilles n’est réduite à un point. Une consé- quence de ce résultat est le

Corolaire Deux groupoïdes équivalents au sens de Morita et dont les orbites ne sont jamais réduites à des points ont des C-algèbres isomorphes.

Ce résultat est la traduction algébrique d’une propriété géométrique locale de tels grou- poïdes : un groupoïde de Lie G dont les orbites ne sont jamais réduites à des points est localement le produit G|V ×I ×I d’une restriction de G à une sous-variété localement fermée des unités par le groupoïde des couples sur un intervalle I deR. Ainsi laC-algèbre de G est « localement » de la forme C(G|V)⊗ K et nous montrons comment donner un sens global à ce résultat.

[12] Claire Debord et Georges Skandalis, Lie groupoids, exact sequences, Connes- Thom elments, connecting maps and index maps. Prépublication.

Soit G⇒M un groupoïde de Lie, F ⊂M une sous-variété fermée et saturée. NotonsW = M\F etAGl’algébroïde de Lie deG. La décompositionG=G|FtG|W donne lieu à deux suites exactes de C-algèbres provenant respectivement des inclusions C(G|W) ⊂ C(G) et C(G|W)⊂Ψ(G) :

0−→C(GW)−→C(G)−→C(GF)−→0 E

(9)

0−→C(GW)−→Ψ(G)−→ΣW(G)−→0 EgInd Dans cet article, nous examinons cette situation sous différents angles.

_ Lorsque GF est moyennable, les suites exactes E et EgInd déterminent respectivement des éléments ∂G,F ∈KK1(C(GF), C(GW))et IndfG,F ∈KK1W(G), C(GW)).

Nous étudions de façon systématique ces éléments de KK-théorie ainsi que leurs liens.

_ Nous répondons à la question de savoir quand est-ce qu’un symbole elliptique σ du groupoïde G, qui détermine une classe σ ∈ K1(C0(SAG)), se relève en un élément de Ψ(G)inversible modulo C(GW).

_ Enfin, nous montrons l’existence d’isomorphismes de Connes-Thom lorsque R+ agit li- brement, proprement et de façon C sur le groupoïde G. Précisément, nous construisons des KK-équivalences : βG ∈KK1(C(G/R+), C(G)) etβΨG ∈KK1(G/R+),Ψ(G)).

Nous montrons que lorsque W est invariant sous l’action de R+, il existe un isomorphisme de Connes-Thom donné par un élément βΣ(G,W) ∈KK1W/R+(G/R+),ΣW(G)).

De plus les éléments ∂G,F et∂G/R+,F /R+ ainsi queIndfG,F seIndfG/R

+,F /R+

se correspondent l’un l’autre sous ces isomorphismes.

[13] Claire Debord et Georges Skandalis,Blowup constructions for Lie groupoids and a Boutet de Monvel type calculus. Prépublication.

Soit M une variété lisse et V une sous-variété fermée de M.

Ladéformation au cône normal DNC(M, V)deV dansM consiste à recollerM×R avec le fibré normal NVM de l’inclusion de V dans M en une variété lisse.

En utilisant la fonctorialité de cette construction classique, nous montrons que si G⇒M est un groupoïde de Lie et Γ ⇒ V un sous-groupoïde (localement) fermé de G alors DNC(G,Γ) hérite naturellement, sans plus d’hypothèses, d’une structure de groupoïde de Lie d’unité DNC(M, V).

On obtient ainsi une construction systématique qui permet de retrouver des groupoïdes impliqués dans la théorie de l’indice comme par exemple le groupoïde tangent de A. Connes ou (après itération) le groupoïde utilisé dans [5] pour démontrer le théorème de l’indice.

Le BlowupdeV dans M consiste à recoller l’espace projectifP(NVM)du fibré normal avec M\V en une variété lisse. Pour cela, on peut considérer l’action naturelle deRsurM×R et l’étendre en une action lisse sur DNC(M, V) = M ×R∪NVM × {0}. Cette action est alors libre et propre en dehors de V ×R. Le quotient de DNC(M, V)\V ×R par cette action est alors Blup(M, V) = M \V ∪P(NVM). Il existe une version sphérique de cette construction que l’on note SBlup(M, V) et qui produit une variété à bord.

Là encore, cette construction est fonctorielle moyennant une restriction à un ouvert (le plus souvent dense). Ainsi, si G ⇒ M est un groupoïde de Lie et Γ ⇒ V un sous-groupoïde (localement) fermé deG alors Blupr,s(G,Γ)hérite naturellement, d’une structure de grou- poïde de Lie d’unité Blup(M, V) où Blupr,s(G,Γ) est un ouvert de Blup(G,Γ).

Le groupoïde du b-calcul de B. Monthubert et F. Pierrot est un cas particulier d’un tel éclatement. Plus généralement, cette construction permet d’appréhender l’étude d’opéra- teurs pseudodifférentiels qui proviendrait du groupoïde Gen dehors de V et pour lesquels V serait un « lieu singulier » modifiant ces opérateurs suivant des règles édictées par Γ.

(10)

La première partie de cet article est consacrée aux définitions et à l’étude des groupoïdes de déformation et d’éclatement.

Dans une deuxième partie, nous utilisons les résultats de [13] appliqués aux découpages induits par la décomposition M = V t O sur le groupoïde de déformation DNC+(G,Γ) (= DNC(G,Γ) \M × R) et le groupoïde d’éclatement SBlupr,s(G,Γ). Ce dernier est construit en considérant l’action naturelle de R+ sur (un ouvert de) DNC+(G,Γ).

Le groupoïde qui représente la situation géométrique que l’on étudie - à savoir une géométrie

« encodée » parGen dehors deV et « perturbée » parΓau-dessus deV - est SBlupr,s(G,Γ).

Les éléments de KK-théorie associés à SBlupr,s(G,Γ) sont donc plus pertinents que ceux associés à DNC+(G,Γ) mais ils se révèlent plus difficiles à calculer. Nous utilisons les résultats obtenus dans [12] pour montrer comment obtenir les éléments de KK-théorie associés à SBlupr,s(G,Γ)à partir de ceux associés à DNC+(G,Γ)dans de nombreux cas.

Dans la dernière partie de ce travail, nous généralisons l’analyse et les constructions géomé- triques de [8] au cas d’un groupoïde Gtransverse à une sous-variété de ses unités V. Nous adaptons à ce contexte le bimodule E qui intervient dans [8] pour obtenir un bimodule qui relie les C-algèbres C(SBlupr,s(G, V))etΨ(G|V). Nous définissons une algèbre d’opéra- teurs pseudodifférentiels de type Boutet de MonvelΨBM(G, V)formée de matrices

Φ P T Q

où Φ ∈ Ψ(SBlupr,s(G, V)), P ∈ E, T ∈ E et Q ∈ Ψ(GVV). Le symbole d’un élément de ΨBM(G, V) admet deux composantes : le symbole classique usuel et sa restriction à V, le tout s’organisant en une suite exacte faisant intervenir une application symbole total.

Le morphisme de bord enK-théorie de cette suite exacte nous fournit un théorème d’indice de type Boutet de Monvel.

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