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Suite de Fibonacci & nombre d or

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Suite de Fibonacci & nombre d’or

1. La suite de Fibonacci.

2. Le nombre d’or, rectangles et spirales.

3. Formule de Moivre et applications.

4. Interprétations combinatoires.

5. Propriétés arithmétiques.

6. Propriétés algébriques.

7. Série génératrice.

8. Suites associées.

9. Polynômes ou q-nombres de Fibonacci.

10. Propriétés optimales.

11. L’anneau Z[ϕϕϕϕ] des entiers de Dirichlet.

12. Numération fibonaccienne de Zeckendorf.

13. Suite de Fibonacci universelle.

14. Le nombre d’or en géométrie.

15. Le nombre d’or en analyse.

… Poèmes fibonacciens et autres friandises…

A Jean-Marc Lapierre, dit Billy Pierre-Jean Hormière

__________

« Puiser une eau nouvelle dans les puits anciens… » Frédéric II de Hohenstaufen

Introduction

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , …

Cette suite d’entiers naturels, appelée « suite de Fibonacci », est l’une des plus célèbres suites d’entiers naturels. Elle porte le nom du mathématicien italien Leonardo Bonacci, dit Bigollo, dit Fibonacci (1175 - ca 1250), qui l’a introduite en 1202 dans son Liber Abaci, mais elle avait été considérée bien plus tôt, par le mathématicien indien Pingala (environ 200 av J.-C.). Elle a pour premiers termes 0 et 1, ensuite chacun de ses termes est la somme des deux précédents. Comme l’observe très justement Edouard Lucas, qui l’a longuement étudiée, la suite de Fibonacci est le premier exemple connu de suite récurrente : ses termes ne sont pas définis par une formule, mais par un processus, un algorithme. C’est pourquoi elle a joué un rôle fondateur dans l’histoire des mathématiques. Elle est répertoriée sous le numéro A000045 dans l’Encyclopedia On line of Integer Sequences (en abrégé OEIS), encyclopédie des suites d’entiers mise en ligne en 1995 par le mathématicien Neil Sloane.

Une autre suite d’entiers :

2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , 123 , 199 , 322 , 521 , 843 , …

dite « suite de Lucas », possède la même propriété : chaque terme est la somme des deux précédents, mais, à la différence de la suite de Fibonacci, elle a pour premiers termes 2 et 1. Elle est répertoriée sous le numéro A000032 dans l’OEIS.

Ces deux suites sont liées au nombre d’or ϕ = 2

5

1+ et à son conjugué ϕ = ϕ’ = 2

5 1− ,

(2)

qui sont les deux solutions, l’une positive, l’autre négative, de l’équation x2 − x − 1 = 0.

ϕ et ϕ’ vérifient les relations : ϕ + ϕ’ = 1 , ϕ.ϕ’ = − 1 , ϕ − ϕ’ = 5.

ϕ et ϕ sont les raisons des deux suites géométriques (λn) possédant elles aussi la propriété de Fibonacci : λn+2 = λn+1 + λn .

De plus, Albert Girard a affirmé en 1633 que les quotients de deux nombres de Fibonacci consécutifs tendent vers le nombre d’or ϕ (en anglais : golden ratio).

Ces suites et ces nombres ont été maintes fois étudiés depuis le 13ème siècle. On les rencontre en effet dans de nombreux problèmes arithmétiques, combinatoires, géométriques, et même dans la nature, Johan Kepler ayant remarqué dès 1611 leur intervention en phyllotaxie (mode de croissance de certains végétaux). Dans ce chapitre, nous allons étudier quelques-uns de ces problèmes. Par extension, les mathématiciens ont donné le nom de Fibonacci à des objets liés à la suite éponyme : des suites de polynômes, de matrices, de mots, ainsi que des figures géométriques, rectangles et spirales... Sujet rebattu, mais d’une grande richesse : c’est à une promenade mathématique à travers l’algèbre, l’analyse et la géométrie que le lecteur est convié.

Chaque paragraphe a sa cohérence interne (cela entraîne quelques redites), mais certains sont plus difficiles, abstraits ou savants que d’autres. Puisse chacun y trouver son compte. Chacun ? Voire…

Cette étude s’adresse à des lecteurs candides, naïfs adeptes des mathématiques dites « pures ».

Qu’ils ne s’attendent pas à trouver ici des considérations sur « comment trader avec les niveaux de Fibonacci », « retracement de Fibonacci en trading », etc. Je suppose que, lorsqu’ils ont appris qu’il y avait un « nombre d’or », les spéculateurs de tout poil ont pris le mot au pied de la lettre et se sont dit : « Y’a du pognon à s’faire ! ». Le « golden boy » compte sur le « golden ratio » pour se faire des

« golden balls ». Comme a dit un grand ponte toulousain bardé de certitudes et de décorations, après s’être targué de ne maîtriser que la règle de trois : « L’économie est une science exacte ! ». Exacte au service de qui, that is the question, mais laissons-là ces polichinelles et rejoignons les héros de cette saga : Pythagore, Euclide, Pingala, Fibonacci, Dürer, Kepler, Girard (un parpaillot !), Cassini, de Moivre (itou !), Dirichlet, Lamé, Dzierzon, Lucas, Wythoff, Beatty, Zeckendorf, Wall, Julia Robinson (juste ciel, une femme !), Jones, …

Fils de Guglielmo Bonacci, marchand et notaire de la république maritime de Pise, Leonardo est né vers 1175, au moment de l’érection de la fameuse tour1. C’est au retour de ses voyages à Bougie, en Afrique du Nord, et tout autour de la Méditerranée, qu’il publie, en 1202, son premier livre, un Traité de calcul, ou Liber abaci, dans lequel il introduit en Occident les chiffres indo-arabes, les jugeant plus pratiques que les chiffres romains. Ce livre commence par ce récit :

1 La construction de la tour débuta le 9 août 1173. En 1178, les trois premiers étages sont construits, mais la construction est interrompue car la tour penche déjà. La construction des étages supérieurs, au dessin corrigé, s’échelonnera entre 1272 et 1372.

(3)

« Nommé scribe public et établi par sa patrie à la direction de la douane de Bougie pour défendre les intérêts des marchands pisans qui y affluaient, mon père, ayant compris l’usage et la commodité que j’en tirerais plus tard, me fit venir, encore enfant, auprès de lui, et pendant quelques jours me fit demeurer là à apprendre l’abaque. Lorsque, par un enseignement admirable, je fus introduit dans l’art [du calcul] par les neuf chiffres indiens…

Les neuf chiffres indiens sont les suivants : 9 8 7 6 5 4 3 2 1

C’est pourquoi, avec ces neuf chiffres, et avec ce signe 0, qui s’appelle zephirum en arabe, on écrit tous les nombres qu’on veut. »

Un mathématicien capable d’inscrire son travail dans l’espace et le temps ne peut être qu’un grand esprit ! Ah, que j’aurais aimé assister à l’entrevue de Fibonacci et de Frédéric II, à Pise, en juillet 1226 ! 2

1. La suite de Fibonacci.

1.1. Définition.

Théorème et définition : Il existe une unique suite (Fn)nN d’entiers naturels satisfaisant aux conditions : F0 = 0 , F1= 1 , ∀n ∈ N Fn+2= Fn+1+ Fn .

On la nomme suite de Fibonacci. Les entiers figurant dans cette suite sont appelés nombres de Fibonacci 3.

Cette suite est croissante, et même strictement croissante pour n ≥ 2.

Il en résulte que Fn n – 1 pour n ≥ 2. Mais cette minoration est grossière, car l’écart entre deux nombres de Fibonacci consécutifs tend lui aussi vers l’infini, en vertu de Fn+1 Fn = Fn−1. Nous reviendrons sur ce sujet au § 3.

Introduisons dès maintenant une suite voisine de la suite de Fibonacci, la suite de Lucas.

Théorème et définition : Il existe une unique suite (Ln)n∈N d’entiers naturels satisfaisant aux conditions : L0 = 2 , L1= 1 , n N Ln+2= Ln+1+ Ln .

On la nomme suite de Lucas.

1.2. Programmation.

La suite (Fn) est préprogrammée par Maple, dans le package « combinat », mais on peut la programmer « à la main ». Il faut faire appel à l’option « remember » si l’on veut éviter de recalculer plusieurs fois le même nombre.

> with(combinat);

> fibonacci(6);

8

> [seq(fibonacci(n),n=0..25)];

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

10946 17711 28657 46368 75025, , , , ]

> f:=proc(n)

> option remember;

> if n=0 then 0

> elif n=1 then 1

> else f(n-2)+f(n-1);fi;end;

2 Cette rencontre est évoquée par Ernst Kantorowicz, bien sûr, mais anssi par l’excellent Pierre Boulle, qui en fait un récit vivant et vibrant dans son petit livre L’étrange croisade de l’empereur Frédéric II.

3 Terminologie due à Edouard Lucas (1842-1891).

(4)

> f(6);

8

> [seq(f(n),n=0..25)];

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

10946 17711 28657 46368 75025, , , , ]

Nous verrons dans la suite d’autres algorithmes de programmation.

1.3. Prolongement à Z.

Si on l’applique aux entiers négatifs, la formule Fn+2= Fn+1+ Fn, qui s’écrit aussiFn= Fn+2 − Fn+1 permet de calculer rétroactivement de proche en proche les Fn pour n < 0 :

… , − 55 , 34 , − 21 , 13 , − 8 , 5 , − 3 , 2 , − 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , … Théorème et définition : Il existe une unique suite (Fn)nZ d’entiers relatifs satisfaisant aux conditions : F0 = 0 , F1= 1 , n Z Fn+2= Fn+1+ Fn .

On la nomme Z-suite de Fibonacci. Elle vérifie n Z Fn= (−1)n+1.Fn . Preuve : Le prolongement à Z se montre par récurrence descendante.

F1= F1 − F0 = 1, et, si l’on connaîtFn+2et Fn+1, on connaît Fn = Fn+2 − Fn+1 . Démontrons que ∀n N Fn= (−1)n+1.Fn par récurrence double.

C’est vrai pour n = 0 et 1. Si c’est vrai aux rangs n et n + 1, alors

F(n+2)= Fn − Fn1= (−1)n+1.Fn − (−1)n+2.Fn+1 = (−1)n+3.( Fn + Fn+1 ) = (−1)n+3.Fn+2 .

Théorème et définition : Il existe une unique suite (Ln)n∈Z d’entiers relatifs satisfaisant aux conditions : L0 = 2 , L1= 1 , n Z Ln+2= Ln+1+ Ln .

On la nomme Z-suite de Lucas. Elle vérifie n Z L−n= (−1)n.Ln . 1.4. Interprétation matricielle.

Matriciellement, la suite de Fibonacci vérifie

[

0 1

F

F

]

=

[

10

]

et

[

1 2 + + n n

F

F

]

= 1101

[

n n

F F+1

]

.

Notons A = 

 0 1

1

1 ∈ M

2(Z), matrice inversible, d’inverse A1 = 



−1 1

1

0 .

Proposition 1 : ∀n ∈ Z

[

n n

F

F+1

]

= 1101n

[

0 1

F

F

]

= 1101n

[

01

]

.

Preuve : par récurrence sur n.

Corollaire 1 : n Z



 0 1

1 1 n =





+

1 1 n n n n

F F

F

F .

Preuve : La proposition précédente fournit la première colonne de An. La deuxième colonne est An.

[

10

]

= An.A−1.

[

10

]

= An−1.

[

01

]

=

[

1 n

n

FF

]

.

Corollaire 2 : ( formules de J.-D. Cassini, 1680 )

∀n ∈ Z Fn+1.Fn1 – Fn2 = (−1)n ∀n ∈ Z Fn+1

2 − Fn+1.Fn – Fn2 = (−1)n Preuve : La deuxième formule se déduit aussitôt de la première.

Une récurrence est possible, mais mieux vaut passer au déterminant dans le corollaire précédent.

(5)

Corollaire 3 : n N Fn+1 =

2

) 1 ( 4

5 n2 n

n F

F + + −

et 5Fn2+4(−1)n N.

Preuve : Reprenons la formule de Cassini ∀n ∈ N Fn+1

2 − Fn+1.Fn – Fn2 − (−1)n = 0.

Il suffit de résoudre cette équation du second degré d’inconnue Fn+1. De plus 5Fn2+4(−1)n = 2 Fn+1 – Fn est bien un naturel.

Remarque : cette formule a pour seul intérêt de donner une relation de récurrence à un terme de (Fn), relation non linéaire, compliquée et peu commode.

Proposition 2 : (m, n) Z×Z Fm+n = Fm+1.Fn + Fm.Fn−1.

Preuve : On peut fixer m et faire une récurrence sur n., mais le plus simple est d’écrire que Am+n = Am.An.





+ +

+ + +

1 1

n n m m

n n m m

F F

F

F = 



+

1 1 m m m m

F F

F

F 



+

1 1 n n n n

F F

F F

Il suffit alors d’identifier le terme situé sur la 1ère ligne 2ème colonne.

Exercice 1 : Démontrer que pour tout n ≥ 0, F2n =

= n

k k k n F C

0

. et F2n+1 =

= +

n

k k k n F C

0

. 1. Exercice 2 : Calculer les déterminants tridiagonaux d’ordre n suivants :

1 1 0 ...

0

1 ...

...

...

...

0 ...

. 1 1 0

...

...

1 1 1

0 ...

0 1 1

− −

,

1 1 0 ...

0

1 ...

...

...

...

0 ...

. 1 1 0

...

...

1 1 1

0 ...

0 1 2

− −

.

1.5. Interprétation géométrique de la formule de Cassini.

Arrêtons-nous un instant sur la formule de Cassini : ∀n N Fn+12 − Fn+1.Fn – Fn2 = (−1)n Elle signifie que les couples (x, y) = (Fn+1, Fn) satisfont l’équation diophantienne de Fermat : x2 − x.y – y2 = (−1)n .

Nous reviendrons sur cette équation au § 11.

Géométriquement, la formule signifie que les points Mn = (Fn+1, Fn) se trouvent alternativement sur l’une ou l’autre des coniques de centre O, x2 − x.y – y2 = 1 et x2 − x.y – y2 = − 1 .

Ces coniques sont des hyperboles, car elles ont pour équations

( x −ϕ.y )( x −ϕ’.y ) = 1 et ( x −ϕ.y )( x −ϕ’.y ) = – 1, et mêmes asymptotes y = x / ϕ et y = x / ϕ’.

Les points Mn s’éloignent à l’infini sur une ou l’autre branche de ces deux hyperboles, de telle sorte que la droite OMn tende vers l’asymptote y = x / ϕ. On voit donc géométriquement que la suite (Fn+1/ Fn) tend en spirale vers le nombre d’or ϕ, pente de cette asymptote.

> with(combinat):with(plots):

> phi:=(1+sqrt(5))/2:phi1:=(1-sqrt(5))/2:

> a:=plot([x/phi,x/phi1],x=-3..10,y=-5..5,color=black):

h1:=implicitplot(x^2-x*y-y^2=1,x=-3..10,y=-5..10,color=green, thickness=2,numpoints=2000):

h2:=implicitplot(x^2-x*y-y^2=-1,x=-3..10,y=-5..10,color=blue, thickness=2,numpoints=2000):

r:=n->display({plot([x,fibonacci(n),x=0..fibonacci(n+1)]),

(6)

plot([fibonacci(n+1),y,y=0..fibonacci(n)])}):

R:=display([seq(r(n),n=1..5)]):

display({a,h1,h2,R},axes=normal);

Théorème : La suite (

n n

F

F+1) tend vers le nombre d’or ϕ, les deux suites (

n n

F F

2 1 2 + ) et (

1 2

2

n

n

F

F ) étant adjacentes.

Nous allons donner deux preuves de cet important résultat ; nous en verrons d’autres par la suite.

Première preuve : Notons qn =

n n

F

F+1. Il découle de la formule de Cassini que qn2 − qn− 1 = ( 12)

n n

F

− .

Donc qn2 − qn− 1 → 0. On en déduit ( qn− 2 1)2

4

5. Comme q

n≥ 1 , qn− 2 1

2

5. cqfd.

Plus précisément, si l’on note εn = ( 12)

n n

F

− , il vient qn = 2

4 5

1+ +

ε

n , qui tend vers 2

5

1+ en spirale.

Les suites (q2n) et (q2n+1) sont adjacentes.

Deuxième preuve, sans recours à la formule de Cassini : Notons que q1 = 1 , qn+1 = 1 +

qn

1 = f(q

n), où f(x) = 1 + x

1. Suite récurrente classique ! Comme f(]0, ϕ[) = ]ϕ, +∞[ et f(]ϕ, +∞[) = ]1, ϕ[, on a ∀m ≥ 0 1 ≤ q2m+1 < ϕ < q2m . Comme ( f o f )(x) – x =

1 1

²−+ +

xx x , ( f o f )(x) – x est du signe de ϕ − x sur R+. Donc on a 1 ≤ q2m+1 < q2m+3 < ϕ < q2m+2 < q2m .

La suite (q2m+1), croissante majorée par ϕ, tend vers un réel α, point fixe > 0 de f o f : c’est ϕ.

La suite (q2m), décroissante minorée par ϕ, tend vers un réel β, point fixe > 0 de f o f : c’est ϕ.

Ainsi les deux suites (q2m+1) et (q2m) sont adjacentes de limite ϕ. Plus élémentairement encore, soustrayons qn+1 = 1 +

qn

1 et ϕ = 1 +

ϕ

1 .

(7)

Il vient qn+1−ϕ = qn

1

ϕ

1 = qnn q ϕ.

ϕ− . Cela implique | qn+1−ϕ | =

n n

q q ϕ.−ϕ

qn

ϕ

ϕ

. D’où | qn−ϕ | ≤ 11

n

q

ϕ ϕ

. De plus qn+1−ϕ et qn−ϕ sont de signes opposés.

> with(plots):

> f:=x->1+1/x;p:=plot(f(x),x=0..4,0..4,thickness=2,color=red):

q:=plot([1,x],x=0..4,color=black):v:=plot([1,y,y=0..2],color=blue):

> a:=1:b:=0:L:=[]:for n from 0 to 6 do

L:=[op(L),[a,f(a)],[f(a),f(a)]];a:=f(a):od:

G:=listplot(L,color=blue):display({p,q,v,G},axes=normal);

Comme | f’(x) |

94 sur [q

3, +∞[ , f est contractante sur cette demi-droite et la convergence est géométrique.

Si j’en crois E. Lucas 4, c’est Albert Girard qui a le premier trouvé la limite du quotient Fn+1 / Fn , dans la dernière annotation des livres V et VI de l’Arithmétique de Diophante 5. Selon d’autres sources, ce résultat serait dû à Johan Kepler.

1.6. Etude de la matrice A.

4 Théorie des nombres, p. 3 et 4.

Albert GIRARD (Saint-Mihiel 1595 – Leyde 1632) est né dans le duché de Lorraine. Membre de l’église réformée, il s’exile aux Pays-Bas, s’inscrit à l’Université de Leyde à 22 ans, où il étudie les mathématiques.

Excellent musicien, il joue du luth de manière professionnelle. Ingénieur militaire dans l’armée du prince d’Orange Frédéric-Henri de Nassau, il étudie les fortifications, et traduit plusieurs ouvrages sur ce sujet, du français en flamand, et vice-versa. À sa mort, on rendra hommage davantage à l’ingénieur qu’au mathématicien.

Pourtant, Girard a aussi fait d’importants travaux en algèbre, trigonométrie et arithmétique. En 1626 il a publié un traité de trigonométrie où sont utilisées pour la première fois les abréviations sin, cos, tan. Il y donne aussi une belle formule sur l’aire des triangles sphériques. En algèbre, il a traduit les œuvres de Stevin en 1625. Il fut aussi le premier à donner la définition récurrente de la suite de Fibonacci : Fn+2 = Fn+1 + Fn. Il a trouvé les relations coefficients-racines d’un polynôme, et fut l’un des premiers à pressentir le théorème fondamental de l’algèbre : C est algébriquement clos.

5 L’Athénienne montra sa gêne à Diophante…

(8)

Nous avons vu que la suite (Fn) est liée aux puissances de la matrice A = 

 0 1

1 1 . Etudions cette matrice avec les méthodes du cours d’algébre linéaire.

Cette matrice A a pour polynôme caractéristique det(A – X.I ) = X2 – X – 1 = ( X – ϕ )( X −ϕ’ ).

Elle a deux valeurs propres réelles distinctes, donc elle est diagonalisable dans M2(R).

Les vecteurs propres associés à ϕ et ϕ’ sont (ϕ, 1) et (ϕ’, 1) resp.

Ils sont orthogonaux ; cela n’est pas suprenant, car A est symétrique réelle.

Si P = 

 1 1

ϕ

'

ϕ

, P1.A.P =



 ' 0

ϕ

0

ϕ

.

Par conséquent, P−1.An.P =





n n

' 0

ϕ0

ϕ et An = P.





n n

' 0

ϕ0 ϕ .P−1

. De cela on déduit au passage la formule de Moivre Fn =

5 'n

n ϕ

ϕ −

, sur laquelle nous reviendrons.

Si l’on se place dans le repère propre uOv, le système dynamique discret linéaire Xn+1 = A.Xn devient Un+1 = 

 ' 0

ϕ0 ϕ .U

n , i.e. un = ϕn.u0 , vn = ϕ’n.v0.

Notons au passage que un.vn = (−1)n u0.v0 , autrement dit on saute alternativement de l’hyperbole u.v= u0.v0 à l’hyperbole u.v= − u0.v0.

L’axe v = 0 est appelé « variété instable », car lorsque v0 = 0, un = ϕn.u0 , vn = 0. Le point Un s’éloigne à l’infini.

L’axe u = 0 est appelé « variété stable », car lorsque u0 = 0, un = 0, vn = ϕ’n.v0 . Le point Un tend en colimaçon vers (0, 0).

Si U0 n’est sur aucun des axes, Un s’éloigne à l’infini, et tend vers l’asymptote v = 0.

Remarque : La matrice A est dilatante dans une direction propre, contractante dans une autre. On dit que c’est une matrice « hyperbolique ».

> with(plots);

> phi:=(1+sqrt(5))/2:phi1:=(1-sqrt(5))/2:

> r:=(u,v)->listplot([seq([phi^k*u,phi1^k*v],k=-3..4)],color=maroon);

h:=k->plot(k/u,u=-3..3,v=-3..3,thickness=2):

> display({r(1/2,0),r(1/2,1/2),h(1/4),r(1/2,-1/2),h(-1/4),r(-1/2,-1/2),r(- 1/2,1/2)});

(9)

Itérations dans le repère propre de la matrice A 1.7. Une loi de groupe sur les couples (Fn, Fn+1).

L’exercice suivant établit que les couples (Fn, Fn+1), où n décrit Z, forment un groupe monogène engendré par le couple (F0, F1) pour une certaine loi.

Exercice : En considérant l’application (a, b) a.I + b.A = 

 + a b

b b

a , démontrer que R2, muni de la loi (a, b) * (c, d) = (ac + bd, ad + bc + bd), est un monoïde commutatif, et que la forme quadratique : q : (a, b) a2 + ab – b2 est un morphisme de monoïde de (R2, *) dans (R, ×).

Quelles sont les puissances de (F0, F1) pour la loi * ? En déduire que (Fp1, Fp) * (Fq1, Fq) = (Fp+q1, Fp+q).

Démontrer que les éléments inversibles du monoïde (R2, *) sont les couples (a, b) tels que q(a, b) ≠ 0. Quelles sont les puissances positives et négatives de (F0, F1) pour la loi * ?

Remarque : On aurait aussi pu considérer l’application (a, b) a + b.ϕ de Z2 dans Z[ϕ]. Tout ceci s’éclairera quand on étudiera le groupe des unités (i.e. des inversibles) de l’anneau Z[ϕ] au § 11.

1.8. Formules sommatoires.

(1) ∀n ≥ 0 F0 + F1 + … + Fn = Fn+2 – 1 (2) ∀n ≥ 1 F1 + F3 + … + F2n1 = F2n (3) ∀n ≥ 1 F2 + F4 + … + F2n = F2n+1− 1

(4) ∀n ≥ 1 F1 – F2 + F3 – F4 + … + F2n−1 – F2n = 1 – F2n−1 (5) ∀n ≥ 1 F1 – F2 + F3 – F4 + … + F2n−1 – F2n + F2n+1 = 1 + F2n (6) ∀n ≥ 1 F1 – F2 + F3 – F4 + … + (−1)n−1.Fn = 1 + (−1)n−1.Fn1 (7) ∀n ≥ 1 ∀x C − { ϕ, ϕ’}

= n

k k kx F

0

= 1 ²

2 1 1

x x

x F x F

x n n n

n

− −

+ + +

(8) ∀n ≥ 1 F12 + F22 + … + Fn2 = Fn.Fn+1

(10)

Preuve : Evitons les récurrences et privilégions les preuves par télescopage :

F1 + F2 + … + Fn = ( F3 – F2 ) + ( F4 – F3 ) + … + ( Fn+2 – Fn+1 ) = Fn+2 – F2 = Fn+2 – 1.

F1 + F3 + … + F2n1 = ( F2 – F0 ) + ( F4 – F2 ) + … + ( F2n – F2n2 ) = F2n – F0 = F2n (3) se déduit de (1) et (2). (4) et (5) se déduisent de (2) et (3). (6) unifie (4) et (5).

(7) découle de : ( 1 – x – x2 ).(

= n

k k xk

F

0

. ) =

= n

k k xk

F

0

. −

= + n

k k xk

F

0

. 1

= + n

k k xk

F

0

. 2 =

= n

k k xk

F

0

. −

+

=

1

1 1.

n

k k xk

F

+

=

2

2 2.

n

k

k xk

F = F0 + F1.x – F0.x2 +

=

n

k

k k k

k F F x

F

2

2

1 ).

( – ( Fn + Fn−1 ) xn+1 – Fn.xn+2 = x – Fn+1.xn+1 – Fn.xn+2.

Notons que (1) et (6) découlent de (7) en faisant x = 1, puis x = − 1.

(8) se montre par récurrence : F12 = F1.F2 et, si F12 + F22 + … + Fn2 = Fn.Fn+1 alors F12 + … + Fn2 + Fn+12 = Fn.Fn+1 + Fn+12 = Fn+1.( Fn + Fn+1 ) = Fn+1.Fn+2 . mais on peut aussi l’établir par télescopage :

F12 + F22 + … + Fn2 = F1 ( F2 – F0 ) + F2 ( F3 – F1 ) … + Fn ( Fn+1 − Fn−1 ) = Fn.Fn+1 − F1.F0

Preuve visuelle de la formule F12 + F22 + … + Fn2 = Fn.Fn+1

Cette preuve consiste à empiler des carrés Cn de côté Fn selon principe E-N (Est-Nord)de façon que C1 = [0, 1]×[0, 1] R1 = [0, 1]×[0, 1]

C2 = [1, 2]×[0, 1] R2 = R1∪ C2 = [0, 2]×[0, 1]

C3 = [0, 2]×[1, 3] R3 = R2 ∪ C3 = [0, 2]×[0, 3]

C4 = [2, 5]×[0, 3] R4 = R3∪ C4 = [0, 5]×[0, 3]

C2k = [F2k−1, F2k+1]×[0, F2k] R2k = R2k−1 ∪ C2k = [0, F2k+1]×[0, F2k] C2k+1 = [0, F2k+1]×[F2k, F2k+2] R2k+1 = R2k∪ C2k+1 = [0, F2k+1]×[0, F2k+2].

L’aire du rectangle Rn est Fn+1×Fn. Elle est la somme des aires de C1, C2 , …, Cn . La même figure montre géométriquement que Fn+1 et Fn sont premiers entre eux.

(11)

2. Le nombre d’or, rectangles et spirales.

Les chiffres dansent quand le nombre dort ( Homogène, 3,1416 avant J.-C. ) Jacques Prévert

2.1. Le nombre d’or est irrationnel…

Le nombre d’or ϕ = 2

5

1+ et son conjugué ϕ = ϕ’ = 2

1− 5 , dénommés en hommage à l’architecte grec Phidias, sont les deux solutions, l’une positive, l’autre négative, de l’équation x2 x − 1 = 0.

Elles vérifient les relations : ϕ + ϕ’ = 1 , ϕ.ϕ’ = − 1 , ϕ − ϕ’ = 5. L’irrationalité de ϕ et ϕ’ peut se démontrer arithmétiquement ainsi :

Supposons x2 x 1 = 0 avec x = b

a, b N*, a Z, a ∧∧∧∧ b = 1. Alors a2 ab b2 = 0.

De a2 = ( a + b ) b , on déduit b | a2 ; comme b ∧∧∧∧ a2 = 1, b = 1.

De b2 = ( a b ) a , on déduit a | b2 ; comme a ∧∧∧∧ b2 = 1, a = ±1.

Donc x = ±1, ce qui est impossible.

Mais on peut aussi démontrer cette irrationalité au moyen d’un algorithme présenté par Euclide et remontant sans doute à une époque intermédiaire entre Pythagore et Platon : l’anthyphérèse.

Définition : Les nombres réels a et b > 0 sont dit commensurables si a/b ∈ Q, incommensurables si a/b Q.

Considérons deux nombres réels a et b > 0.

Soit G = Z[a, b] = { x = ma + nb ; m Z, n Z } le sous-groupe additif de R engendré par a et b.

Posons a0 = max(a, b) , b0 = min(a, b) , c0 = a0 – b0 . a1 = max(b0, c0) , b1 = min(b0, c0) , c1 = a1 – b1 . a2 = max(b1, c1) , b2 = min(b1, c1) , c2 = a2 – b2 . Théorème d’Euclide : On a l’alternative suivante :

i) L’algorithme s’arrête au bout d’un nombre fini d’itérations si et seulement si a et b sont commensurables. Le groupe additif G est alors monogène, et engendré par α.

ii) L’algorithme se poursuit indéfiniment si et seulement si a et b sont incommensurables. La suite (ak) tend alors en décroissant vers 0, et le groupe G est dense dans R.

Appliquons ce théorème au couple (a0, a1) = (Fn+1, Fn) (n > 1).

a0 = Fn+1 , a1 = Fn , a2 = Fn+1− Fn = Fn1 , a3 = Fn− Fn1 = Fn2 , … , ak = Fnk+1 , …,

an = F1 = 1, an+1 = F0 = 0. L’algorithme s’achève et α = 1. Donc Fn+1 / Fn ∈ Q (ce n’est pas une surprise !) et Z[Fn+1 , Fn] = Z, donc Fn+1 etFn sont premiers entre eux.

Appliquons ce théorème au couple (a0, a1) = (ϕ, 1).

a0 = ϕ, a1 = 1, a2 = ϕ− 1 =

ϕ

1 , a3 = 1

ϕ

1 =

ϕ

12 , a4 =

ϕ

1

ϕ

12 =

ϕ

13 , …, ak =

ϕ

1k1, …

L’algorithme se poursuit indéfiniment, donc ϕ est irrationnel.

2.2. … mais constructible à la règle et au compas.

Construire à la régle et au compas 5 = 1²+2², ϕ, ϕ’ et toutes leurs puissances est bien facile.

(12)

Construction à la règle et au compas de ϕϕϕϕ et 1/ϕϕϕϕ

Construction à la règle et au compas de ϕϕϕϕ et ϕϕϕϕ 2.3. Courbes cerclées.

Dans le plan euclidien, nous appellerons « courbe cerclée » une courbe plane formée d’une réunion finie ou infinie d’arcs de cercle et de segments, d’un seul tenant (i.e. connexe par arcs).

Exemples : Un triangle, un polygone, sont des courbes cerclées.

L’image d’une courbe cerclée par une similitude est une courbe cerclée.

L’image d’une courbe cerclée C par une inversion de pôle A ∉ C est une courbe cerclée.

(13)

Exemples de courbes cerclées

Le dessin de gauche est dédié aux touristes qui ont besoin d’avions pour s’envoyer en l’air : à chacun son bilan carbone 6. A droite, une roue de Reuleaux ; dans mon chapitre sur les Roues on trouvera d’autres exemples de roues cerclées. Le chapitre sur la Rectification montre que toute courbe régulière peut être approchée localement (et sans doute globalement) par une courbe cerclée.

2.4. Spirale de Fibonacci.

Nous allons décrire un pavage du plan, en forme de spirale, obtenu en juxtaposant des carrés de côtés Fn, et une spirale obtenue en mettant bout à bout des quarts de cercles inscrits dans ces carrés.

On part du carré C1 = [0, 1]×[1, 2] de côté F1 = 1, et l’on construit d’abord une « spirale de carrés » selon le principe S-E-N-O (Sud-Est-Nord-Ouest). On construit successivement :

♣ le carré C2 = [0, 1]×[0, 1] de côté F2 = 1 au Sud de C1.

et le quart de cercle de centre (1, 1) de rayon F2 = 1 inscrit dans ce carré.

♦le carré C3 = [1, 3]×[0, 2] de côté F3 = 2 à l’Est de R2 = C1∪ C2 = [0, 1]×[0, 2]

et le quart de cercle de centre (1, 2) de rayon F3 = 1 inscrit dans ce carré.

♥ le carré C4 = [0, 3]×[ 2, 5] de côté F4 = 3 au Nord de R3 = R2 ∪ C3 = [0, 3]×[0, 2]

et le quart de cercle de centre (0, 2) de rayon F4 = 3 inscrit dans ce carré.

♠ le carré C5 = [−5, 0]×[0, 5] de côté F5 = 5 à l’Ouest de R4 = R3∪ C4 = [0, 3]×[0, 5]

et le quart de cercle de centre (0, 0) de rayon F5 = 5 inscrit dans ce carré.

♣ le carré C6 = [−5, 3]×[−8, 0] de côté F6 = 8 au Sud de R5 = R4∪ C5 = [−5, 3]×[0, 5]

et le quart de cercle de centre (3, 0) de rayon F6 = 8 inscrit dans ce carré.

♦le carré C7 = [3, 16]×[−8, 5] de côté F7 = 13 à l’Est de R6 = R5 ∪ C6 = [–5, 3]×[−8, 5]

et le quart de cercle de centre (3, 5) de rayon F7 = 13 inscrit dans ce carré.

♥ le carré C8 = [–5, 16]×[5, 26] de côté F8 = 21 au Nord de R7 = R6∪ C7 = [–5, 16]×[−8, 5]

et le quart de cercle de centre (–5 , 5) de rayon F8 = 21 inscrit dans ce carré.

♠ le carré C9 = [−39, –5]×[−8, 26] de côté F9 = 34 à l’Ouest de R8 = R7∪ C8 = [–5, 16]×[−8, 26]

et le quart de cercle de centre (–5, –8) de rayon F9 = 34 inscrit dans ce carré.

6 Réflexion de l’un d’eux, à son retour de Birnanie, en pleine pandémie, en février 2020 : « La Birmanie, c’est beau. On a bien mangé ! ». Cette réflexion hautement métaphysique aurait pu faire un excellent sujet de philo pour le bac 2020. Car il faut le savoir : le Touriste aime le Beau, le Bon et le Bien. Il aime le Beau ? Il préfère les pagodes birmanes aux cohortes de rohingas misérables. Il aime le Bon ? Il préfère le tournedos Rossini cuit à point au pangolin mal cuit. Le Bien ? Il ne doute pas que son argent financera les démocrates birmans… à condition toutefois qu’il n’y ait pas de manifs pendant son séjour, car les manifs ça fait désordre ! Toute ressemblance avec les conversations consternantes des repas de famille est fortuitement… fortuite.

(14)

2.5. Spirales d’or.

Rapportons le plan euclidien à des axes orthonormés Oxy, et introduisons le « rectangle d’or » de longueur ϕ et de largeur 1, de sommets ABCD, où A(1/ϕ,0), B(1/ϕ, 1), C(−1, 1) et D(−1, 0).

Si F(0, 1/ϕ), les rectangles ABCD et BFOA sont semblables.

Les droites (AC) et (OB) se coupent à angle droit en un point Ω appelé « œil de Dieu » (que les monothéistes ne crient pas au sacrilège, il s’agit du Dieu des mathématiques, Apollon pytha- goricien).

Considérons la similitude S de centre Ω, de rapport ϕ et d’angle π/2.

Je dis que T = S1 envoie le rectangle ABCD sur le rectangle OABF, et le segment [AC] sur le segment [OB].

Si l’on veut obtenir présenter plus commodément les choses, mieux vaut changer de repère, prendre pour origine l’œil de Dieu O = Ω et placer le rectangle d’or R0 en biais.

La similitude S = Sim(O, ϕ, π/2) est alors donnée :

en complexes par : Z = S(z) = iϕ.z , et en cartésiennes par :

[

YX

]

= 

ϕ

0 0

ϕ



[

xy

].

Notons T = S1 = Sim(O, 1/ϕ, −π/2) la similitude inverse, qui est 1/ϕ-contractante.

Notons A0(1, 0), Ak = Sk(A0), k ∈ Z, la suite de ses itérés par S.

Les points Ak se situent à l’intersection des axes xOy et de la spirale logarithmique d’équation polaire r = emθ , où m = 2lnπϕ , qui est globalement invariante par S.

Le rectangle R0 a pour sommets :

A−1(0, ϕ’ = −1/ϕ) , A0(1, 0) , A1(0, ϕ) , B0(−1, 1) . où B0 est l’orthoprojection de A1 sur la droite (A1A2). Il a pour aire 2ϕ − 1. . Pour tout k Z, notons Rk = (Ak1, Ak, Ak+1, Bk) le rectangle image de par Sk.

(15)

Les points Bk se situent tous sur la spirale logarithmique d’équation polaire r = Cemθ , où m = 2lnπϕ et C = 3/2, qui est aussi globalement invariante par S.

Le rectangle C0 a pour sommets :

A2(−1/ϕ2, 0) , B1(1/ϕ, 1/ϕ) , A1(0, ϕ) , B0(−1, 1) . Il a pour aire 3 − ϕ.

Lorsque k tend vers +∞, la suite de rectangles (Rk) et la suite de carrés (Ck) tendent vers {O} pour la distance de Hausdorff. De plus,

+∞

=

0

) (

k

C k

Aire = ( 3 −ϕ ).

+∞

=0 12 k

ϕ

k = … = 2ϕ 1 = Aire(R0).

Exercice : Justifier ce calcul et établir que

U

+∞

=

0 k

Ck = R0 – {O}.

Quant à la spirale d’or, elle est la réunion des quarts de cercles Γk de centres Ak, limités par Bk+1Bk+2. A noter que le point asymptote O est à distance finie de A0, en ce sens que

U

+∞

= Γ 0 k

k a une longueur totale finie égale à

π2( ϕ + 1 ) 3−

ϕ

. Voici une feuille de calculs Maple montrant ces figures :

> with(plots):phi:=(1+sqrt(5))/2;

> a:=k->I^k*phi^k;b:=k->a(k)*(-1+I);

xa:=k->Re(a(k));ya:=k->Im(a(k));

xb:=k->Re(b(k));yb:=Im(b(k));A:=k->[xa(k),ya(k)];B:=k->[xb(k),yb(k)];

> z:=(k,t)->a(k)+exp(I*t)*(b(k+1)-a(k));

x:=(k,t)->Re(z(k,t));y:=(k,t)->Im(z(k,t));

> p:=k->plot([x(k,t),y(k,t),t=0..Pi/2],color=gold,thickness=2):

q:=k->listplot([A(k-2),B(k)],color=blue):

>LA:=listplot([seq(A(k),k=-4..8)],color=black,thickness=2):

> display({LA,seq(p(k),k=-4..5),seq(q(k),k=-4..5)});

> with(plots):phi:=(1+sqrt(5))/2;m:=2*ln(phi)/Pi;

(16)

> a:=k->I^k*phi^k;b:=k->a(k)*(-1+I);

xa:=k->Re(a(k));ya:=k->Im(a(k));xb:=k->Re(b(k));yb:=Im(b(k));

A:=k->[xa(k),ya(k)];B:=k->[xb(k),yb(k)];

> z:=(k,t)->a(k)+exp(I*t)*(b(k+1)-a(k));

x:=(k,t)->Re(z(k,t));y:=(k,t)->Im(z(k,t));

> p:=k->plot([x(k,t),y(k,t),t=0..Pi/2],color=gold,thickness=2):

> sp1:=polarplot(exp(m*t),t=-4..4*Pi,color=blue):

sp2:=polarplot(sqrt(2)*phi^(-3/2)*exp(m*t),t=-4..4*Pi,color=green):

> LA:=listplot([seq(A(k),k=-4..8)],color=red):

LB:=listplot([seq(B(k),k=-4..7)],color=violet):

> display({sp1,sp2,LA,LB,seq(p(k),k=-4..5)});

(17)

3. Formule de Moivre et applications.

3.1. Premiers résultats sur la croissance de la suite (Fn).

Les exercices suivants permettent de préciser la vitesse de croissance de la suite (Fn) : Exercice 1 : Résoudre les équations Fn = n , Fn = n2 .

Solution : Une récurrence facile montre que Fn > n pour n ≥ 6 et Fn > n2 pour n ≥ 13.

Dès lors il n’y a qu’un nombre fini de tests. On trouve :

Fn = n n ∈ {0, 1, 5} Fn = n2 n ∈ {0, 1, 12}

Exercice 2 : Trouver la limite de la suite ( n Fn ) . Solution : On vient de noter que Fn > n2 pour n ≥ 13.

Ou bien noter que n Fn =

n

F F F

Fnn1+...+ 10 et conclure par Cesaro.

Exercice 3 : Trouver les progressions arithmétiques à 3 et à 4 termes dans la suite (Fn)nN Exercice 4 : 1) Démontrer que ∀n ≥ 1 (

23 )n–2 Fn≤ 2n–1.

2) Plus généralement, soient ρ et ρ’ deux réels tels que 0 < ρ < ϕ < ρ’ (où ϕ est le nombre d’or).

Démontrer que ∃λ, µ > 0 ∀n ≥ 1 λ.ρn≤ Fn≤µ.ρ’n .

3) Démontrer, toujours élémentairement, que les suites (Fn) et (ϕn) sont semblables.

Preuve : 1) se montre par récurrence sur n.

Pour n = 1, elle s’écrit : (

23 )–1 = 3 2 F

1 = 1 ≤ 20 = 1.

Pour n = 2, elle s’écrit : (

23 )0 = 1 ≤ F2 = 1 ≤ 21 = 2.

Supposons-la vraie aux rangs n et n + 1, i.e. (

23 )n–2≤ Fn≤ 2n–1 et (

23 )n–1≤ Fn+1≤ 2n. Additionnons ! Il vient : (

23 )n–2 + (

23 )n–1 ≤ Fn+2 ≤ 2n–1 + 2n. Or (

23 )n–2 + (

23 )n–1 = (

23 )n–2 ( 1 + 2 3)= (

23 )n–2 2 5 > (

23 )n–2 4 9 = (

23 )n Et 2n–1 + 2n = 2n–1 ( 1 + 2 ) = 2n–1.3 < 2n–1.4 = 2n+1.

2) Soient ρ et ρ’ deux réels tels que 0 < ρ < ϕ < ρ’ .

Supposons trouvés deux réels λ, µ > 0 tels que λ.ρ ≤ F1 = 1 ≤ µ.ρ’ et λ.ρ2 ≤ F2 = 1 ≤ µ.ρ’2 , et démontrons que ∀n ≥ 1 λ.ρn≤ Fn≤µ.ρ’n .

La relation est vraie pour n = 1 et 2. Supposons-la vraie aux rangs n et n + 1.

Alors par addition : λ.ρn ( 1 +.ρ ) ≤ Fn+2≤µ.ρ’n (1 +.ρ’ ).

On conclut via ρ2 < 1 + ρ et 1 + ρ’ < ρ’2.

Reste à trouver λ et µ… Il suffit de choisir λ = min(

ρ

1 ,

ρ

1² ) et µ = max(

'

ρ

1 ,

ρ

1).

3) Supposons trouvés deux réels λ, µ > 0 tels que λ.ϕ≤ F1 = 1 ≤µ.ϕ et λ.ϕ2≤ F2 = 1 ≤µ.ϕ2 . Une récurrence facile montre que ∀n ≥ 1 λ.ϕn≤ Fn≤µ.ϕn . D’où la conclusion.

Exercice 5 : Montrer que les nombres de Fibonacci forment un ensemble de densité nulle, en ce sens que : lim N+

N1 card { n ; Fn≤ N } = 0.

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