Corrigé des exercices sur la fonction inverse et les fonctions homographiques
Exercice 1
1. La solution est1 5. 2. La solution est−2
5.
3. L’ensemble solution estS =]− ∞; 0[∪]1 3;+∞[.
4. L’ensemble solution estS =]− ∞;−1
2[∪]0;+∞[.
5. L’ensemble solution estS =]− ∞;−1 5[∪[1
6;+∞[.
Exercice 2
1. Pour toutx6=0,1
x <8⇐⇒1−8x
x <0. Considérons le tableau de signes suivant :
x −∞ 0 1/8 +∞
1−8x + + 0 −
x − 0 + +
1−8x
x − ¯
¯
¯
¯ + 0 −
L’ensemble solution est doncS1=]− ∞; 0[∪]1 8;+∞[.
2. Pour toutx6=0,1
x ≥3⇐⇒1+3x
x ≥0. Considérons le tableau de signes suivant :
x −∞ −1/3 0 +∞
1+3x − 0 + +
x − − 0 +
1+3x
x + 0 − ¯
¯
¯
¯ +
L’ensemble solution est doncS1=]− ∞;−1
3]∪]0;+∞[.
3. Cette inéquation est réalisée si et seulement si les deux inéquations précédentes sont réalisées simultanément, donc l’en- semble solution estS1∩S2=]− ∞;−1
3]∪]1 8;+∞[.
Exercice 3
1. Il faut quex−56=0, c’est-à-dire quex6=5 doncDf =]− ∞; 5[∪]5;+∞[.
2. Pourx6=5,f(x)=0⇐⇒3x−1=0⇐⇒x=1 3. 3. Voici le tableau de signe de f(x) :
x −∞ 1/3 5 +∞
3x−1 − 0 + +
x−5 − − 0 +
f(x) + 0 − ¯
¯
¯
¯ +
. 4. Pour toutx∈Df, 3+ 14
x−5=3×(x−5)+14
x−5 =3x−1 x−5 =f(x).
5. f(x)=3⇐⇒ 14
x−5=0, ce qui est impossible. 3 n’admet donc pas d’antécédent parf.
6. On ax−→x−5−→ 1
x−5−→ 14
x−5−→3+ 14
x−5=f(x) en appliquant successivement les opérations suivantes : on retranche 5, on passe à l’inverse, on multiplie par 14 puis on ajoute 3.
7. Sur l’intervalle ]5 ;+∞[ : pour tous réelsaetbtels que 5<a<balors 0<a−5<b−5, on a donc 1 a−5> 1
b−5car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[, On en en déduit alors que 14
a−5> 14
b−5donc que3+ 14
a−5>3+ 14
b−5, c’est à diref(a)>f(b), ce qui signifie que f est strictement décroissante sur ]5;+∞[
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