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Soient V =V(X2−Y3, Y2−Z3)⊂A3k et P = (0,0,0)∈V

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2012/2013

M2 Alg`ebre Appliqu´ee Semestre 1. P´eriode 1

Courbes alg´ebriques - TD 6

Soit kun corps alg´ebriquement clos.

1. Soient V =V(X2−Y3, Y2−Z3)⊂A3k et P = (0,0,0)∈V. Calculer dimk(mP/m2P).

2. Montrer queV(X2−Y, Y2−Z)⊂A3k est une courbe lisse de 4 fa¸cons.

3. Soient C une courbe de A2k etP ∈C. Montrer que : (a) C =V(F) pour un certainF ∈k[X, Y] irr´eductible ;

(b) P est un point r´egulier si et seulement si dimk(mP/m2P) = 1 ; (c) P est un point singulier si et seulement si dimk(mP/m2P) = 2.

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