Séminaire laboratoire Math info La Réunion 29 03 2018

Références

Problème de Cauchy pour les lois de conservation

hyperboliques scalaires,

approximation numérique par le schéma des

Volumes Finis

Sylvain Dotti

Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques de La Réunion

29 Mars 2018

Lois de conservation scalaires

Les lois de conservation hyperpoboliques scalaires s’écrivent sous la forme d’une équation aux dérivées partielles d’ordre 1 :

∂tu (x , t) + divx(A(x , t, u(x , t))) = G (x , t, u (x , t)) , t ∈ R+, x ∈ Rd. u : Rd_{× R}+_{→ R est l’inconnue, appelée quantité.}

A : Rd_{× R}+_{× R → R}d _{est appelée fonction flux.} G : Rd× R+

× R → R est appelée terme source.

L’équation est à mettre en relation avec la loi de conservation parabolique ∂tu (x , t) + divx(A(x , t, u(x , t)) − ε∇u(x , t)) = G (x , t, u (x , t)) ,

t ∈ R+, x ∈ Rd, ε ∈ R+∗ où un terme de diffusion est ajouté.

Ecrites telles quelles, la quantité u et le terme source G ne dépendent pas du hasard, les lois de conservation sont dites déterministes.

Premier exemple de modèle

L’évolution au cours du temps du nombre de voitures sur un tronçon de route peut se modéliser grâce à l’équation

∂t(u(x , t)) + ∂x u(x , t)v (u(x , t))
= 0, t ∈ R+, x ∈ R où u(x , t) est la densité de véhicules sur le tronçon de route, v (u) = vl(1 −_uu

a) est la vitesse du trafic routier, vl la vitesse limite, ua la densité aù delà de laquelle les voitures sont à l’arrêt.

La forme intégrale de l’équation sur le tronçon de route [a, b] ⊂ R est

Z b a u(x , t2)dx = Z b a u(x , t1)dx − Z t2 t1 u(b, t)v (u(b, t)) dt + Z t2 t1 u(a, t)v (u(a, t)) dt

Deuxième exemple de modèle

L’évolution au cours du temps de la part de pétrole dans roche (pétrole extrait grâce à l’ajout d’eau dans cette roche) se modélise par

∂t(u(x , t)) + ∂x A (u(x , t))
= 0, t ∈ R+, x ∈ R,

où u(x , t) est la saturation (fraction volumique) du pétrole dans la roche, A(u) =_u2_+(1−u)qu2 2 est le flux de pétrole à travers la roche, q > 0.

Avec A(u) = _u−q(1−u)2_+(1−u)22, on obtient l’équation qui modélise l’évolution au cours du temps de la part d’eau présente dans cette roche.

Deux exemples de solution au sens classique



∂tu (x , t) +1₂∂x(u (x , t))2= 0, ∀x ∈ R, t ∈ R+ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ R

avec une condition initiale u0∈ C1(R) croissante, admet pour unique solution u la fonction définie ∀ (x , t) ∈ R × R+ _par

u (x , t) = u0(ξ (x , t)) où ξ est l’unique fonction de classe C1_vérifiant

u0(ξ(x , t)) t + ξ (x , t) − x = 0, ∀x ∈ R, t ∈ R+.



∂tu (x , t) + divx(u (x , t) b) = G (x , t) , ∀x ∈ R, t ∈ R+ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ R

avec G continue, b ∈ Rd _{fixé, une condition initiale u0∈ C}1 (R),

admet pour unique solution u la fonction définie ∀ (x , t) ∈ R × R+ _par

u (x , t) = u0(x − tb) + Z t

0

G (x + (s − t) b, s) ds On pourra consulter [Eva10] et [Di 09] pour les démonstrations.

Solution au sens faible

La notion de solution faible fut introduite par Jean Leray dans son article [Ler33] de 1933. On dira que u ∈ L1

loc R

d_{× R}+
_{est solution faible du} problème de Cauchy  ∂tu (x , t) + divx(A (x , t, u (x , t))) = G (x , t, u (x , t)) , ∀ (x , t) ∈ Rd× R+ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd si ∀ϕ ∈ C_c∞ Rd× R+
, Z Rd×R+ (u (x , t) ∂tϕ (x , t) + A (x , t, u (x , t)) .Oϕ (x , t)) dxdt + Z Rd u0(x ) ϕ (x , 0) dx = − Z Rd×R+ G (x , t, u (x , t)) ϕ (x , t) dx

avec A, G telles que (x , t) 7→ A (x , t, u (x , t)) ∈ L1 loc R

d

× R+

; Rd
et (x , t) 7→ G (x , t, u (x , t)) ∈ L1_loc Rd× R+
.

Solution faible entropique

L’unicité d’une solution faible au problème de Cauchy 

∂tu (x , t) + divx(A (x , t, u (x , t))) = G (x , t, u (x , t)) , ∀ (x , t) ∈ Rd× R+∗ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd

est résolue par Kruzhkov (1970) grâce à l’introduction d’une condition supplémentaire d’entropie. Dans le cas où A(x , t, ξ) = A(ξ), une fonction u ∈ L∞ Rd× R+; R
est dite solution faible entropique si pour toute

fonction convexe η ∈ C1 (R), ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+
Z Rd×R+ η (u(x , t)) ∂tϕ (x , t) + Z u(x ,t) 0 η0(r ) A0_{(r ) dr .Oϕ (x , t)} ! dxdt + Z Rd η (u0(x )) ϕ (x , 0) dx − Z Rd×R+ η0(u (x , t)) G (x , t, u (x , t)) ϕ (x , t) dx ≥ 0.

Théorème de Kruzkhov

L’existence et l’unicité d’une solution faible entropique u ∈ C R+_{; L}1

loc R

d

_{au problème de Cauchy sont démontrées sous les}

hypothèses I u0∈ L1 Rd
∩ L∞ Rd
I A ∈ C2 Rξ; Rd
I G ∈ C1 Rd× R+× Rξ
∩ L∞ Rd× R+× Rξ
I ∂ξG ∈ L∞ Rd× R+× Rξ
. Remarques :

Kruzkov, dans sa formulation se limite aux entropies ηξ(u) = |u − ξ| et

flux d’entropies φξ_{(u) = sgn(u − ξ) (A(u) − A(ξ)) , ∀ξ ∈ R.} La formulation entropique avec condition initiale n’est pas celle de [Kru70], mais est tirée de l’article de Gallouët et Herbin [GH94].

idées de la preuve pour l’unicité de la solution

On aimerait remplacer la constante ξ par v (x , t) solution entropique, pour que l’entropie de Kruzkov s’écrive η(u(x , t)) = |u(x , t) − v (x , t)| et obtenir une estimation L1_{de cette différence.}

ξ étant une constante, on la remplace par v (y , s). On utilise des fonctions test ϕ(x , t, y , s) ∈ C_c∞ Rdx × R

+

t × Rdy × R+s

dans l’inégalité entropique, puis on intègre sur Rdy × R + s . On réitère ce procédé en inversant les rôles de u(x , t) et v (y , s). On somme les deux inégalités en choisisant des fonctions test

ϕn,m(x , t, y , s) = ρn1(x − y )σ m

2(t − s)ϕ3(x , t), avec (ρn

1)n∈N et (σ2m)m∈N deux suites régularisantes bien choisies.

En faisant tendre n, m vers +∞, on obtient le principe de contraction L1_:

∀t ∈ R+_{, ku(t) − v (t)k}

Conséquenses

I principe de comparaison :

Si u0(x ) ≤ v0_{(x ) pour presque tout x ∈ R}d

alors u(x , t) ≤ v (x , t) pour presque tout (x , t) ∈ Rd_{× R}+_. I Lorsque G ≡ 0, kukL∞_(Rd_×R+₎≤ ku0k_L∞_(Rd₎.

I En approchant u0 par des fonctions plus régulières, par exemple

C∞ Rd× R+
, on peut prouver que les solutions entropiques

correspondantes sont C R+t; L1loc(Rd)
, puis qu’elles convergent uniformément en temps vers u solution entropique de condition initiale u0_{, qui devient C R}+t ; L1loc(Rd)
.

On pourra trouver une démonstration de ce dernier résultat dans le cours de Jérôme Droniou [Dro01].

Le maillage espace/temps

I Le maillage Th _{de R}d

de taille h ∈ R+

∗ est constitué de polyèdres K

ouverts disjoints dont la réunion des adhérences est égale à Rd_.

I De plus, ∀K ∈ Th,

1. diam(K ) ≤ h,

2. ∃αd∈ R+∗ telle que αdhd≤ |K | et |∂K | ≤ _αd1hd −1 I Si K , L ∈ Th sont tels que Hd −1 _{K ∩ ¯}¯ _{L
> 0, on note nK ,L le}

vecteur unitaire normal à ¯K ∩ ¯L dirigé de K vers L.

I _{Le maillage ∆t de R}+

de taille k ∈ R+

∗ est constitué d’intervalles [tn, tn+1[ de longueurs ∆tn vérifiant k = sup

n∈N

∆tn≤ 1

I La condition CFL, pour un ε ∈ (0, 1) fixé, est :

∆tn|∂K |_{|K |}LA ≤1−ε₂ , ∀K ∈ Th, ∀n ∈ N

Le schéma numérique des Volumes Finis

Pour obtenir le schéma, on écrit la loi de conservation ∂t(u (x , t)) + divx(A (u (x , t))) = G (x , t, u (x , t))

sous sa forme intégrale pour t ∈ [tn, tn+1), on intègre l’équation sur la cellule K , on approche la solution sur [tn, tn+1) × K par la constante u_Kn :

Z K u(x , tn+1) − u(x , tn)dx + Z tn+1 tn Z K divx(A (u(x , t))) dx = |K | u_Kn+1− un K
+ Z tn+1 tn Z ∂K A (u(x , t)) .nKd Hd −1 ≈ |K | un+1 K − u n K
+ ∆tn X L∈N (K ) AK →L(uKn, u n L) . On obtient donc |K | u_Kn+1− un K
+∆tn X L∈N (K ) AK →L(unK, unL) = Z tn+1 tn Z K G (x , s, unK) dxds

La solution approchée donnée par le schéma

La famille de flux numériquesAK →L, K ∈ Th, L ∈ N (K ) sera

I _{Monotone : (u, v ) ∈ R}2_{7→ AK →L}

(u, v ) ∈ R est croissante en u, décroissante en v

I Lipschitzienne : ∃LA∈ R+

∗ telle que ∀u, v , w , z ∈ R : |AK →L(u, w ) − AK →L(v , z)| ≤  ¯K ∩ ¯L  LAmax (|u − v |, |w − z|) I _{Consistante : ∀v ∈ R, A}K →L(v , v ) = Z ¯ K ∩¯L A(v ).nK ,LHd −1_{(dx )} I _{Conservative : ∀u, v ∈ R, AL→K}(u, v ) = −AK →L(v , u). Avec la donnée initiale u0_K =_{|K |}1

Z

K

u0(x )dx , ∀K ∈ Th, la solution

approchée uh,k _{est définie pour presque tout x ∈ R}d par :

Exemples de flux numériques monotones

Les flux de Godunov AK →L(u, v ) = ¯K ∩ ¯L    min z∈[u,v ]

A(z).nK ,L1u≤v+ max z∈[v ,u]

A(z).nK ,L1v <u 

Les flux d’Engquist-Osher

AK →L(u, v ) =   ¯K ∩ ¯L   2  (A(u) + A(v )) .nK ,L− Z v u   A 0 (z).nK ,L   dz 

Les flux-splitting ou flux de séparation

AK →L(u, v ) = BK →L(u) + CK →L(v ) avec BK →Lcroissante, CK →L décroissante vérifiant :

I  ¯K ∩ ¯L  A(z).nK ,L= BK →L(z) + CK →L(z), ∀z ∈ R I BK →L et CK →L sont |K ∩¯¯ L| 2 LA-Lipschitziennes.

Convergence du schéma Volumes Finis vers la solution

entropique

Soit p ∈ [1, +∞), sous les nombreuses hypothèses précédentes, en prenant h =_m1_{, m ∈ N}∗, il existe une sous-suite de (uh,k)_m∈N∗ qui converge dans Lp_loc(Rd_{× R}+_{). Grâce à l’unicité de la solution entropique,}

cela implique que (uh,k)_m∈N∗ converge vers LA solution entropique.

L’existence d’une solution entropique u est donc prouvée.

Sous l’hypothèse supplémantaire u0∈ BV (Rd_{) (c’est à dire u0∈ L}1 (Rd₎ admet une dérivée faible qui est une mesure signée sur les boréliens de Rd), on a l’estimation d’erreur suivante :

∀E compact ⊂ Rd × R+_, Z E  uh,k(x , t) − u(x , t)  dxdt ≤ Cste h 1 4.

Propriétés discrètes du schéma Volumes Finis permettant

la démonstration de la convergence A)

Les propriétés seront écrites dans le cas particulier où G ≡ 0. Le cas général est démontré dans l’article de Chaisnais-Hillairet et Champier [CC01].

I Les constantes sont solutions du schéma Volumes Finis

I Principe de comparaison discret :

Soient uh,k et vh,k deux solutions du schéma Volumes Finis de

données initiales u0_h, v_h0⊂ L1 (Rd) ∩ L∞_(Rd), alors u_h0≤ v0 h pp en x implique uh,k≤ vh,k pp en (x , t). I Stabilité L∞discrète : kuh,kkL∞_(Rd_×R+₎≤ ku_h0k_L∞_(Rd₎ I Principe de contraction L1_{discret :}

Propriétés discrètes du schéma Volumes Finis permettant

la démonstration de la convergence B)

Soit T ∈ R+

∗ tel qu’il existe tn= T . Appelons NT un tel n ∈ N.

Soit R ∈ R+

∗, nommons Th,R l’ensemble des polyèdres K ∈ Thinclus dans

la boule fermée B(0, R).

Nous avons deux estimations dites des dérivées discrètes en espace et en temps : I NT X n=0 ∆tn X K ∈Th,R X {L∈N (K ):un K>u n L} max un L≤c≤d≤u n K AK →L(d , c) − AK →L(d , d )
+ max un L≤c≤d≤u n K AK →L(d , c) − AK →L(c, c)
! ≤Cste√ h I NT X n=0 X K ∈Th,R |K | u n+1 K − u n K  ≤ Cste √ h

Propriétés discrètes du schéma Volumes Finis permettant

la démonstration de la convergence C)

Pour les entropies de Kruzkov ηξ(u) = |u − ξ|, les flux associés peuvent s’écrire φξ(u) = η0_ξ(u) (A(u) − A(ξ)) = A(max(u, ξ)) − A(min(u, ξ)). De même on choisira les flux d’entropie discrets sous la forme

φξ_{K →L}(u, v ) = AK →L(max(u, ξ), max(v , ξ)) − AK →L(min(u, ξ), min(v , ξ)), pour rendre cette famille monotone, conservative, Lipschitzienne et consistente avec la famille des flux φξ.

On peut maintenant écrire les inégalités discrètes entropiques : ηξ(un+1_K ) − ηξ(un_K) ∆tn + 1 |K | X L∈N (K )  φξ_{K →L}(un_K, un_L)−φξ_{K →L}(un_K, un_K)  ≤ 0, ∀ξ ∈ R, n ∈ N, K ∈ Th On trouvera une démonstration de cette inégalité dans le cours de Julien Vovelle [Vov11].

Inégalité entropique en continu de la solution du schéma

Volumes Finis D)

où µh,k et µh _{sont des mesures boréliennes positives sur R}d× R+

et Rd vérifiant : I ∀R ∈ (h, +∞), T ∈ (k, +∞), µh,k(B(0, R) × [0, T ]) ≤ Cste √ h I ∀R ∈ (h, +∞), lim h→0µh(B(0, R)) = 0.

Préliminaire à la formulation cinétique de la loi de

conservation : la fonction χ

χ : R2_{→ R est définie ∀(ξ, u) ∈ R}2_{par χ (ξ, u) =}    +1 si 0 < ξ < u −1 si u < ξ < 0 0 sinon

On a l’égalité vraie pour presque tout ξ ∈ R : χ(ξ, u) = 1u>ξ− 10>ξ. On passera de l’inconnue cinétique (avec ξ) à l’inconnue entropique u grâce aux formules

I ∀η locallement Lipschitzienne, i.e. telle que η0 ∈ L∞ loc(R), Z R η0(ξ)χ(ξ, u)d ξ = η(u) − η(0) I Z R |χ(ξ, u) − χ(ξ, v )| dξ = |u − v |

On consultera le livre de Benoît Perthame [Per02] pour une étude

Préliminaire à la formulation cinétique de la loi de

conservation : quelques dérivées faibles

Soit u ∈ C1_(Rd× R+_{) alors}

I ∂t(χ (ξ, u(x , t))) = ∂t(u(x , t)) dxdt ⊗ δu(x ,t)(d ξ)

I ∀i ∈ {1, .., d}, ∂xi(χ (ξ, u (x , t))) = ∂xi(u (x , t)) dxdt ⊗ δu(x ,t)(d ξ)

Soit u ∈ L1 loc(R d_{× R}+_{) et A ∈ C}1 (R; Rd₎ I ∂ξ(χ (ξ, u(x , t))) = δ0(d ξ) − δu(x ,t)(d ξ) I ∂ξ |u (x , t) − ξ| − |ξ|
= −2χ(ξ, u(x , t))

I ∂ξ sgn(u(x , t) − ξ) (Ai(u(x , t)) − Ai(ξ)) − sgn(ξ)Ai(ξ)
= −2A0_i(ξ)χ(ξ, u(x , t)), ∀i ∈ {1, .., d}

On pourra consulter le cours de Valadier [Val94] pour une introduction

Formulation cinétique de lois de conservation

hyperboliques scalaires

De la formulation entropique pour G ≡ 0, écrite avec les entropies de Kruzkov et les flux d’entropie associés

− 2m(x , t, ξ) = ∂t |u(x , t) − ξ| − |ξ|

+ divx sgn (u(x , t) − ξ) (A(u(x , t)) − A(ξ)) − sgn(ξ)A(ξ)
≤ 0, On obtient la formulation cinétique en dérivant m(x , t, ξ) par rapport à ξ et en divisant par −2 :

∂ξ(m(x , t, ξ)) = ∂t χ (ξ, u(x , t))
+ A 0

(ξ).∇x χ (ξ, u(x , t))

où m sera une mesure positive bornée sur les boréliens de Rd_{× R}+_{× R}

et s’appelera mesure cinétique de défaut d’entropie.

Le problème de Cauchy lié à la formulation cinétique s’écrit avec une donnée initiale de la forme χ(ξ, u0(x )).

Equivalence entre solution cinétique et solution entropique

La fonction f (x , t, ξ) = χ (ξ, u (x , t)) avec u ∈ L∞ Rd× R+
et u0∈ L1(Rd) ∩ L∞(Rd) est solution cinétique du problème de Cauchy si et seulement si il existe une mesure positive bornée

m ∈ C0 Rξ; w − Mb(Rd× R+)
telle que ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+× Rξ
Z Rd×(0,+∞)×R f (x , t, ξ) ∂tϕ (x , t, ξ) dxdtd ξ + Z Rd×(0,+∞)×R f (x , t, ξ) ∇xϕ (x , t, ξ) .A0(ξ) dxdtd ξ + Z Rd +1 χ (ξ, u0(x )) ϕ (x , 0, ξ) dxd ξ = Z Rd×(0,+∞)×R ∂ξϕ (x , t, ξ) m (dx , dt, d ξ)

Amélioration de la définition de solution cinétique

Perthame prouve dans son livre [Per02] que sous la donnée initiale u0∈ L1(Rd), il existe une unique solution cinétique telle que u ∈ C R+_{; L}1

Bibliographie I

Claire Chainais-Hillairet et Sylvie Champier.« Finite volume schemes for nonhomogeneous scalar conservation laws : error estimate ». In : Numerische Mathematik 88.4 (2001), p. 607–639 (cf. p.16).

Constantine M Dafermos.Hyperbolic conservation laws in continuum physics, volume 325 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].

Springer-Verlag, Berlin, 2010 (cf. p.4).

Laurent Di Menza.Analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Cassini, 2009 (cf. p.5).

Jérôme Droniou.Intégration et Espaces de Sobolev à Valeurs Vectorielles. 2001. url :

http://concur03.univ- mrs.fr/polys/gm3- 02/gm3- 02.pdf(cf. p.10).

Lawrence C Evans.Partial differential equations. American Mathematical Society, 2010 (cf. p.5).

Thierry Gallouët et Raphaele Herbin.« A uniqueness result for measure valued solutions of a nonlinear hyperbolic equations ». In : Differential and Integral Equations 6.6 (1994), p. 1383–1394 (cf. p.8).

Stanislav N Kružkov.« First order quasilinear equations in several independent variables ». In :

Mathematics of the USSR-Sbornik 10.2 (1970), p. 217 (cf. p.8).

Jean Leray.« Etude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l’hydrodynamique ». In : Thèses françaises de l’entre-deux-guerres 142 (1933), p. 1–82 (cf. p.6).

Bibliographie II

Benoît Perthame.Kinetic formulation of conservation laws. T. 21. Oxford University Press, 2002 (cf. p.20,24).

Michel Valdier.A course on Young measures. 1994. url :

http://rendiconti.dmi.units.it/volumi/26s/09.pdf(cf. p.21).

Julien Vovelle.2011. url :http://math.univ- lyon1.fr/~vovelle/coursM2Rennes.html