• Aucun résultat trouvé

Pour tout entier naturel

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Pour tout entier naturel"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

PCSI Mathématiques - Devoir Surveillé 4 27/11/2021

3 heures 30 min

• Les exercices peuvent être traités dans l’ordre de votre choix, cependant ils doivent appa- raitre sur votre copie en un seul bloc (il est conseillé de commencer chaque exercice sur une nouvelle page). Il est vivement conseillé de commencer par l’exercice 1.

• Les questions sont de difficulté variable. Certaines sont difficiles, les idées que vous aurez seront valorisées même si elles n’aboutissent pas.

• Soignez la rédaction et la présentation de vos réponses, en particulier on veillera à encadrer les résultats . Il est également conseillé de prendre quelques minutes pour se relire et corriger les fautes d’orthographe.

• Les calculatrices ne sont pas autorisées pour ce devoir.

Barème prévisionnel : Exercice 1 : 10 points, Exercice 2 : 10 points, Problème : 20 points.

1 point pour l’aspect de la copie, 1 point pour utiliser∀.

Dans ce devoir, comme dans tous les autres, vous avez le droit d’utiliser le résultat d’une question (même non abordée) pour traiter les questions suivantes.

Exercice no1

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

Question 1 : Résoudre dansRl’équation(x+ 2)

3=π.

Question 2 : Résoudre l’équation différentielle2y0−y= 3e−5tavec la condition initialey(0) = 7.

Question 3 : Faire l’étude complète de la fonctionf(x) =Arctan(√

x+ 1)−ln(√ x+ 2).

Question 4 : Calculer Z π

−π

sin(2x)−2 sin(x)dx.

Question 5 : Résoudre(1−i)z2−2z+ 4 = 0.

Exercice no2

(D’après Concours ATS) On considère l’équation différentielle, définie pourx∈]0; +∞[, de fonction inconnue y:

(E) : xy0(x)−y(x) =Arctan(x) et l’équation homogène associée :

(H) : xy0(x)−y(x) = 0.

1. Résoudre(H).

2. Montrer que trouver une solution particulière de (E)définie sur ]0; +∞[peut se ramener à trouver une primitive dex7→ Arctan(x)

x2 .

3. Supposons que l’on ait une fonctionF(x), définie sur ]0; +∞[, qui soit une primitive dex7→ 1 x(1 +x2). Justifier que F(x)−Arctan(x)

x est une primitive dex7→ Arctan(x)

x2 sur]0; +∞[.

4. Déterminer trois réelsα, β etγ tels que, pour toutx∈]0; +∞[ on ait : 1

x(1 +x2) =α

x+βx+γ 1 +x2 5. En déduire une fonctionF(x)qui convienne.

6. Donner la solution générale de (E).

1

(2)

Problème

L’objectif de ce problème est de calculer l’intégrale de Gauss à l’aide des intégrales de Wallis qu’on présentera dans une première partie.

Partie A : Intégrales de Wallis Définition

Pour tout entier naturel

n

,

Z π2

0

sinnxdx

est appelée intégrale de Wallis d’indice

n

et notée

Wn

.

1. CalculerW0 et W1.

2. Etudier les variations de la suite(Wn)n∈N. 3. Prouver que la suite(Wn)n∈Nconverge.

4. Pour tout entiern∈N, montrer à l’aide d’une intégration par parties, queWn+2= n+ 1 n+ 2Wn.

5. En déduire que, la suite((n+ 1)Wn+1Wn)n∈N est constante, on précisera la valeur de cette constante.

6. Déduire de la question précédente la limite de(Wn)n∈N.

7. En utilisant les questions 2 et 4, montrer que pour tout entiernon a : n+ 1

n+ 2 ≤ Wn+1 Wn

≤1.

8. Déduire de la question précédente lim

n→+∞

Wn+1

Wn puis lim

n→+∞

√n Wn.

9. En faisant le changement de variablex=π2 −t, montrer que∀n∈N, Z π2

0

cosnxdx=Wn.

Partie B : Intégrale de Gauss Définition

Soit, pour tout

n∈N

,

In= Z

n

0

e−x2 dx

.

On appelle intégrale de Gauss la limite de la suite

(In)n∈N

; on notera cette limite

Z +∞

0

e−x2 dx

.

B1 : Existence de l’intégrale de Gauss

1. Justifier que la suite(In)n∈Nest bien définie puis étudier son sens de variation.

2. Prouver que, pour tout x≥1 on a e−x2≤e−x.

3. En utilisant la relation de Chasles, en déduire que(In)n∈Nest majorée, puis conclure.

B2 : Calcul de l’intégrale de Gauss

1. a) Montrer que, pour tout réelx >−1 on aln(1 +x)≤x.

b) En déduire que, pour tout entier naturel non nulnon a Z

n

0

1−x2

n n

dx≤In. c) En faisant le changement de variablex=√

ncosu, prouver que∀n∈N, √

n W2n+1≤In. 2. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on aIn

Z

n

0

1 + x2

n −n

dx.

b) En faisant le changement de variablex=√

ntanu, prouver que

∀n∈N, Z

n

0

1 +x2

n −n

dx=√ n

Z π4

0

cos2n−2udu.

c) En déduire que,∀n∈N, In≤√

n W2n−2. 3. Donner la valeur de

Z +∞

0

e−x2 dx.

2

Références

Documents relatifs

seul Reconnaître les lettres de l’alphabet et connaître les correspondances entre les trois manières de les écrire.. Écrire son prénom en écriture cursive

TS 8 Interrogation 2A 16 septembre 2016 R´epondre aux questions sur la feuille... TS 8 Interrogation 2B 16 septembre 2016 R´epondre aux questions sur

Elle converge donc et sa limite α est positive ou nulle.. On en déduit le

La méthode d’ac- célération employée, dite de Richardson-Romberg, permet d’obtenir dans le cas des rectangles (question 6) une approximation comme pour les trapèzes et dans le

Pendant un intervalle de temps ∆t, chaque moustique non infecté pique b∆t êtres humains.. Une proportion égale à I(t)/N est infectée et donc chaque moustique non infecté

Ce volume est d’autant plus grand que les angles entre les vecteurs considérés sont grands (on prend des angles de droites, donc entre 0 et π/2).. Or ces vecteurs sont des

Comme précédemment les suites extraites (z 2n ) n∈N et (z 2n+1 ) n∈N sont monotones, bornées et donc convergentes.. De plus elles sont de

La seconde équation admet 0 et −3 comme solutions et seul −3 est également solution de la première équation.. Les solutions de la seconde équation sont 0 et 3 et seul 3