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Complexité algorithmique et graphes
Matˇej Stehlík 21/9/2020
Volumes horaires
Cours magistraux (CM) 15h 1.5h par semaine Travaux dirigés (TD) 15h 1.5h par semaine
Évaluation
Partiel (1.5h, novembre) CC Examen (2h, décembre) ET
Note finale 0.5×CC+ 0.5×ET
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Objectifs
Le cours présente la théorie des graphes sous plusieurs de ses aspects :
• Modélisation
• Raisonnement
• Algorithmes
• Complexité
Objectifs : modélisation
Les graphes sont très utilisés dans :
• les problèmes de routage en réseau,
• les problèmes de trafic en transport,
• l’étude des jeux,
• la recherche d’information (graphe du web)
• codage
• ordonnancement et emploi du temps
• . . .
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Objectifs : raisonnement
Développer une aptitude à raisonner mieux en face de structures discrètes, en particulier :
• rédiger une démonstration,
• justifier proprement un algorithme,
• appliquer la récurrence.
Objectifs : complexité algorithmique
• Conception des algorithmes efficaces pour des problèmes de graphes
• Utilisation des structures de données “union-find” ou “tas binaire”
dans différents algorithmes.
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Objectifs : théorie de la complexité
• Problèmes de décision et la notion de « bonne caractérisation ».
• Classes de complexité des problèmes NP, NP-complet, Co-NP et P.
• Réduction polynomiale d’un problème vers un autre.
Graphes
• Soit X un ensemble.
• On note X2
l’ensemble des parties à deux éléments deX.
• En général, on notera uv la partie{u, v}.
• L’ordre et les répétitions ne sont pas pris en compte : 12 = 21.
Exemple
SiX={1,2,3}, alors X2
={12,13,23}.
Définition
• Un graphe est un couple G= (V, E) formé par un ensemble finiV et un sous-ensemble E de X2
.
• V est l’ensemble des sommets deG(on le note aussi V(G)).
• E est l’ensemble des arêtes deG(on le note aussi E(G)).
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À quoi ça sert ?
• Les sommets modélisent des “objets” (personnes, pages web, molécules, villes. . . )
• Les arêtes modélisent des “relations” entre ces objets (amitiés, hyperliens, liaisons chimiques, vols. . . )
• Les arêtes peuvent être non-orientées ou orientées (dans ce cas on parle de graphes orientés ; on les verra plus tard)
Quelques exemples de graphes
• ({1,2,3,4,5},{12,13,23,24}).
• Le métro de Paris : ({stations},{stations voisines}).
• L’internet :({pages web},(hyper-)liens).
• Facebook : ({utilisateurs},{amitiés}).
• Molécules. V ={atomes},E ={atomes partageant des électrons}.
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Représentation graphique
• On représente chaque sommet par un disque .
• Pour représenter une arête uv, on trace un trait entre les disques correspondants à uet à v.
1 2
3 4
5
Remarques
• La forme des « disques » et des « traits » n’a aucune importance (sauf pour la lisibilité de la figure).
• Ce qui compte, c’est de traduire graphiquement s’il y a une arête entre deux sommets ou non.
Adjacence et incidence
Définition
Soient Gun graphe,u etv deux sommets deGeteune arête deG.
• u etv sont adjacents siuv∈E(G);
• eest incidente àusi u∈e;
• les deux éléments deesont ses extrémités ;
• le voisinage de udansGest l’ensemble, noté NG(u), des sommets deG adjacents à u;
• les voisins de usont les éléments de NG(u);
• l’ensemble des arêtes incidentes àu est notéδG(u).
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Exemple
1
2
3 4
5
• 1 et2sont adjacents
• 4 est voisin de2
• N(2) ={1,3,4}
• N(5) =∅(5 est isolé)
• l’arête 12est incidente à 2
Sous-graphes
Définition
Soient G= (V, E) etH= (W, F) deux graphes.
• H est un sous-graphe de Gsi W ⊆V etF ⊆E.
• H est un sous-graphe couvrant deGsi W =V etF ⊆E.
• H est un sous-graphe induit deGsi W ⊆V etF contient toutes les arêtes uv∈E où u, v∈W. On le note G[W].
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Illustration des différents types de sous-graphe
1 2
3 4
5
G
1 2
3 4
sous-graphe deG 1
2
3 4
5
sous-graphe couvrant de G
1 2
4
sous-graphe induit deG
Isomorphismes
• Souvent, on ne fera pas de distinction entre deux graphes ayant « la même forme », c’est-à-dire : qu’on ne peut les distinguer si l’on oublie les noms de leurs sommets.
Définition
• Soient G,H deux graphes.
• On dit queGest isomorphe à H s’il existe une bijectionf deV(G) sur V(H)telle que pour toute paire xy de sommets de G, on axy ∈E(G) si et seulement si f(x)f(y)∈E(H).
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Illustration
1 3 5 7
2 4 6
8 a d
f g
b c
e h
• La relation d’isomorphisme est une relation d’équivalence.
Remarque
Il n’est pas toujours facile, à partir de représentations graphiques, de décider si deux graphes sont isomorphes.
Graphe complémentaire
Définition
SoitG= (V, E) un graphe. Le graphe complémentaireGest défini comme G= (V, V2
\E).
• C’est-à-dire, les arêtes de Gsont les non-arêtes deG, et vice versa.
1 2
3 4
5
G
1 2
3 4
5
G
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Représentation matricielle et par listes
• Il y a plusieurs façons de représenter un graphe en mémoire de l’ordinateur.
• On va en voir trois : 1. matrice d’adjacence 2. matrice d’incidence 3. liste d’adjacence
• En général, chacune est plus ou moins adaptée au problème considéré et possède des avantages/inconvénients notamment par rapport à la densité (en arêtes) du graphe.
Matrices d’adjacence
Définition
• Soit Gun graphe ànsommets.
• On numérote les sommets V(G) ={v1, . . . , vn}.
• La matrice d’adjacence deG(pour la numérotation choisie) est la matrice M carrée n×nsur{0,1}définie par :
Mij = 1 si et seulement sivivj ∈E(G).
Remarque
• M est symétrique et nulle sur la diagonale.
1 2
3 4
5
M =
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
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Matrices d’incidence
Définition
• Soit Gun graphe ànsommets etmarêtes.
• On numérote les sommets V(G) ={v1, . . . , vn}et les arêtes E(G) ={e1, . . . , em}.
• La matrice d’incidence deG est la matriceN sur{0,1} de taillen×m définie par :
Nij = 1 si et seulement sivi∈ej. Remarque
1 2
3 4
5
N =
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Listes d’adjacence
Définition
• Soit Gun graphe.
• Une représentation en liste d’adjacence de G est la donnée, pour chaque sommetv deG, de la liste des voisins de v.
1 2
3 4
5
1 : [2,3]
2 : [1,3,4]
3 : [1,2]
4 : [2]
5 : []
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Degrés
Définition
• Soient Gun graphe etv un sommet de G.
• Le degré dev dansG, notédG(v), est le nombre d’arêtes deGincidentes àv.
• C’est aussi (par simplicité des graphes définis dans ce cours) le nombre de voisins dev :dG(v) =|NG(v)|.
• SidG(v) = 0 on dit quev est isolé.
• SidG(v) = 1 on dit quev est une feuille.
1 2
3 4
5
• d(1) = 2
• d(2) = 3
• d(3) = 2
• d(4) = 1
• d(5) = 0
La somme des degrés
Théorème
SoitGun graphe. On a P
v∈V(G)dG(v) = 2|E(G)|. Démonstration
• Soit S la somme de tous les éléments de la matrice d’incidence deG.
• La somme de chaque ligne est égale au degré du sommet correspondant, donc S=P
v∈V(G)dG(v).
• La somme de chaque colonne est égale à deux, et on a|E(G)|colonnes, doncS = 2|E(G)|.
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Illustration
1 2
3 4
5
N =
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
S= X
v∈V(G)
d(v) = 2 + 3 + 2 + 1 + 0 = 8 S= 2|E(G)|= 2·4 = 8
Une conséquence
Corollaire
• Soit Gun graphe. La sommeP
v∈V(G)dG(v)est paire.
• Autrement dit, le nombre de sommets de degré impair est pair.
Exemple
Sept personnes participent à une fête. Est-il possible que chacun d’entre eux serre la main de trois autres personnes exactement ?
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Graphes complets
Définition
• Soit n≥1 un entier.
• Le graphe complet à nsommets est le graphe({1, . . . , n}, {1,...,n}2 ).
• Il est notéKn.
K1 K2 K3 K4 K5
Variants des graphes
• Un multigraphe est un graphe auquel on permet d’avoir plus d’une arête entre deux sommets ou une arête dont les deux extrémités sont
identiques (boucles).
• Un graphe orienté est obtenu à partir d’un graphe en ordonnant, pour chaque arête, ses extrémités. Autrement dit, chaque arête est dirigée vers une de ses extrémités.
• Dans un hypergraphe, les (hyper-)arêtes
peuvent être incidentes à un nombre arbitraire de sommets (et pas seulement à deux comme dans le cas des graphes).
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Opérations élémentaires
Définition
Une opération élémentaire est une opération qui s’effectue en temps constant sur tous les calculateurs usuels.
On considérera les opérations suivantes comme élémentaires :
• Affectation ;
• Comparaisons ;
• Opérations arithmétiques et logiques ;
• Accès à une case d’un tableau ;
• Appel d’une sous-routine ;
• . . .
Complexité temporelle
Définition
La complexité temporelle (dans le pire cas) d’un algorithmeA, noté T(n), est le nombre d’opérations élémentaires le plus grand que puisse effectuer Aavant d’arriver à un résultat, étant donné une entrée de taille n.
• T(n) s’exprime en fonction de la taillende l’entrée.
• pour un graphe, on compte la complexité en fonction dunombre de sommetsn, et éventuellement du nombre d’arêtes m
• doncnn’est pas ici exactement la taille de l’entrée ; mais ce n’est pas grave car c’est relié polynomialement)
• pour un tableau à dimensionsn×m, on compte la complexité en fonction denetm.
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Remarques sur la complexité temporelle
• Les études de complexité portent dans la majorité des cas sur le comportement asymptotique, lorsque la taille des entrées tend vers l’infini, et l’on utilise couramment les notations grandO.
• La complexité temporelle est la mesure la plus courante en
algorithmique ; on parle parfois simplement de la complexité d’un algorithme
• Il existe d’autres mesures comme la complexité spatiale.
Exemple
1 Algorithme :Max(A) Entrées :une listeA avec
nentrées.
Sorties :le maximum de A.
2 début
3 max←A[0];
4 pouride1à n−1 faire
5 si A[i]>max alors
6 max← A[i]
7 Retournermax ;
Pour calculerT(n) de l’algorithmeMax:
• La lignemax ←A[i]fait2opérations élémentaires.
• Vérifier la condition A[i]>max fait2 opérations élémentaires.
• Incrémenter ifait une opération élémentaire.
• Donc, la boucle répète n−1fois5 operations élémentaires, soit 5(n−1).
• 2 opérations élémentaires pour l’initialisation demax.
• T(n) = 5(n−1) + 2 = 5n−3 =O(n).
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La notation grand O
Définition
• Soient f(n)etg(n) des fonctions deNversR+.
• On écrit f =O(g) s’il existe une constantec >0telle que f(n)≤c·g(n).
Remarques
• f =O(g)veut dire quef n’augmente pas plus vite que g.
• Dire que f =O(g) est moins fort que dire quef ≤g.
• La différence vient de la constantec, donc par exemple10n=O(n).
• Cette constante nous permet d’ignorer ce qui se passe pour des petites valeurs den.
La notation grand O : exemple
• Supposons que nous devrons choisir entre deux algorithmesA1 etA2
pour une certaine tâche, de complexité T1(n) =n2 etT2(n) = 2n+ 20, respectivement.
• T2 se comporte mieux quand naugmente,A2 est meilleur.
• T2=O(T1), parce que
T2(n)
T1(n) = 2n+ 20 n2 ≤22 pour toutn.
• Par contre,T1 6=O(T2), parce que T1(n)
T2(n) = n2 2n+ 20 tend vers l’infini quand ntend vers l’infini.
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La notation grand O : exemple
• Supposons qu’il y a un autre algorithmeA3 de complexitéT3(n) =n+ 1.
• La différence entre T2 etT3 est minuscule comparé à la différence énorme entreT1 etT2.
• Donc, on considère deux fonctions comme équivalentes si elles ne diffèrent que par une constante multiplicative.
• On remarque queT2=O(T3): T2(n)
T3(n) = 2n+ 20 n+ 1 ≤20.
• On a aussi T3 =O(T2), avecc= 1.
Définition
De la même manière queO(·)est un analogue de ≤, nous pouvons aussi définir des analogues de≥et de=comme suit :
f = Ω(g) veut direg=O(f)
f = Θ(g) veut diref =O(g)etf = Ω(g).
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