HAL Id: tel-00011856
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couplé au champ électromagnétique
Jean Dalibard
To cite this version:
Jean Dalibard. Le rôle des fluctuations dans la dynamique d’un atome couplé au champ
électromag-nétique. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1986.
Français. �tel-00011856�
LABORATOIRE DE
PHYSIQUE
DE
L’ÉCOLE
NORMALE
SUPÉRIEURE
THESE
DEDOCTORAT
D’ETAT
ès Sciences
Physiques
présentée
àl’Université
Pierre etMarie Curie
(Paris VI)
par
Jean
DALIBARD
pour
obtenir
le
grade
de DOCTEUR - ES - SCIENCES
Sujet
de la thèse : "LE ROLE DES
FLUCTUATIONS
DANS LA
DYNAMIQUE
D’UN
ATOME COUPLE AU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE"
Soutenue le 26 Novembre 1986 devant le
Jury :
MM.
C.COHEN-TANNOUDJI )
Président
R.BALIAN
)
J.L. BOBIN
)
C.
BORDE
)
J.DUPONT-ROC
)
Examinateurs
S.HAROCHE
)
H.METCALF
)
S.
STENHOLM
)
ès Sciences
Physiques
présentée
à l’Université
Pierre et Marie Curie- Paris VI
-par Monsieur Jean DALIBARD
pour obtenir le
grade
de DOCTEURès
SCIENCESSujet
de la thèse :LE ROLE DES FLUCTUATIONS DANS LA
DYNAMIQUE
D’UN ATOMECOUPLE AU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
soutenue le 26 Novembre 1986
devant le
Jury
composé
de :MM. C.
COHEN-TANNOUDJI )
Président
R. BALIAN)
J.L. BOBIN)
C. BORDE)
J. DUPONT-ROC)
Examinateurs S. HAROCHE)
H. METCALF)
S. STENHOLM)
Ce travail a été effectué au Laboratoire de
Spectroscopie
Hertzienne de l’Ecole Normale
Supérieure
pendant
lapériode
1982-1986. Je remercie Monsieur le Professeur Jean BROSSEL et
Monsieur
Jacques
DUPONT-ROC dem’y
avoiraccueilli,
et fait bénéficier de conditions de rechercheexceptionnelles.
Claude COHEN-TANNOUDJI a
dirigé
cette thèse avec unedisponibilité
permanente.
Je veux luiexprimer
ici maprofonde
reconnaissance pour la richesse de
l’enseignement
et des conseilsqu’il
m’aprodigués
depuis
mon entrée dans la recherche.Qu’il
sache combien son enthousiasme aussi bien que sarigueur
scientifique
ont été essentiels pour moi tout aulong
de cesannées.
Je dois
également beaucoup
à Alain ASPECT et Serge REYNAUDqui
ont été pour moi desguides quotidiens depuis
le début de cettethèse. Serge REYNAUD n’a
ménagé
ni son temps, ni sapeine,
pourm’aider à résoudre les
problèmes
théoriques
quej’ai
purencontrer ; Alain ASPECT,
qui
m’avait initié auxjoies
de laphysique
expérimentale
à l’Institutd’Optique,
a manifesté unintérêt constant pour ce travail et il a eu un rôle essentiel lors
de la réalisation de
l’expérience
décrite dans ce mémoire.Cette
expérience
m’aégalement
donné la chance detravailler avec Antoine HEIDMANN et
Christophe
SALOMON. Je veuxqu’ils
sachent combien collaborer avec eux m’a étéprofitable
etagréable.
Je tiens aussi à remercier Harold METCALF de
Stony
Brook,et William D. PHILLIPS du N.B.S.
Washington,
dontl’hospitalité
aucours des deux
séjours
quej’ai
faits dans leur laboratoire resterapour moi un souvenir inoubliable.
Bien d’autres personnes m’ont aidé tout au
long
de cetravail de leurs observations et de leurs conseils.
Qu’ils
trouventProfesseurs
BOBIN,
HAROCHE et STENHOLM et à Messieurs BALIAN et BORDE pour l’intérêtqu’ils
ont bien vouluporter
à ce travail enacceptant
de fairepartie
dujury
de soutenance.La
partie expérimentale
de ce travail n’aurait pas pu êtremenée à bien sans l’aide efficace des différents ateliers de
mécanique
etd’électronique
du Laboratoire dePhysique
de l’E.N.S.et du Laboratoire de
Spectroscopie
Hertzienne. Je tiens à enremercier ici tous les membres, et tout
particulièrement
G. TRENECqui
a assuré laconception
et le dessin dujet atomique
et A.CLOUQUEUR
qui
s’estchargé
de laconception
del’électronique.
Je voudrais
également
dire à J. LAGADEC combien son aide lors dumontage
initial del’expérience
nous a étéprécieuse.
Je ne saurais terminer sans remercier très chaleureusement
Mademoiselle GUILLAUME
qui
a assuré lafrappe
de ce mémoire avec unegrande
patience
et unegrande
gentillesse,
ainsi que Madame AUDOIN et Monsieur R. MANCEAUqui
en ont assuré letirage
et laLE ROLE DES FLUCTUATIONS DANS LA
DYNAMIQUE
D’UN ATOME COUPLE AU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
* * * * *
INTRODUCTION
PARTIE A - LA
DYNAMIQUE
ATOMIQUE
INTERNE : FLUCTUATIONS DU VIDE ET REACTION DE RAYONNEMENTAU - La
dynamique
d’un électron atomique :fluctuations du vide et réaction de
rayonnement... p. 9
A1 - "Vacuum fluctuations and radiation reaction : identification of their
respective
contri-butions". J.
Physique 43
(1982) 1617... p. 13 A2 -"Dynamics
of a smallsystem coupled
to areservoir : reservoir fluctuations and self
reaction". J.
Physique
45 (1984) 637... p. 35PARTIE B - LE MOUVEMENT D’UNE PARTICULE ATOMIQUE DANS UNE ONDE LUMINEUSE
B0 - Le
problème
du mouvementatomique
dans uneonde lumineuse... p. 57
le rayon du corps noir... p. 81 B3 - Mouvement d’un atome dans un
champ
incohérent... p. 103 B4 - Mouvement d’un atome dans un
champ
cohérentArticle : "Atomic motion in laser
light :
connection between semi classical and
quantum
descriptions".
J.Phys.
B 18(1985)
1661... p. 129PARTIE C - LES FORCES RADIATIVES ET LEUR APPLICATION AU REFROIDISSEMENT RADIATIF
C0 - Les forces radiatives résonnantes... p. 159
C1 - La force radiative
agissant
sur un atomeinitialement au repos... p. 161 C2 - Fluctuations des forces radiatives... p. 181 C3 - Le refroidissement radiatif
Article :
"Cooling
atoms with stimulatedemission".
Phy.
Rev. Lett. (1986)... p. 193Appendice
1 : "Potentialities of a new03C3
+
-03C3
-laser
configuration
for radiativecooling
andtrapping".
J. Phys.B 17 (1984) 4577... p. 221
Appendice
2 : "Dressed atomapproach
to atomicmotion inlaser
light :
thedipole
force revisited". J.O.S.A. B 2
D0 - Le
piégeage
radiatif d’atomes neutres... p. 261D1 - Le
piégeage
parpression
de radiation... p. 263 D2 - Lepiégeage
par forcesdipolaires...
p. 289Appendice
1 :Proposals
for stableoptical
traps
for neutral atoms.Opt.
Commun. 47(1983) 395... p. 309
L’étude des processus d’interaction entre un atome et le
champ
électromagnétique
est unepréoccupation
essentielle enphy-sique atomique.
Le but de ce travail est deprésenter
uneapproche
"dynamique"
de ceproblème,
en cherchant à décrire les différentsprocessus radiatifs en termes de fluctuations des deux
systèmes
eninteraction,
l’atome et lechamp.
L’intérêt d’une telleapproche
réside
principalement
dans la nature desimages physiques
qu’elle
fournit : la
dynamique atomique
dans unchamp
électromagnétique,
aussi bien interne (mouvement des électrons dans le
système
ducentre de masse)
qu’externe
(mouvement de translation du centre demasse),
peut être décrite d’une manière trèsanalogue
à celleuti-lisée pour le mouvement
Brownien,
et des méthodesempruntées
à laphysique
statistique,
comme leséquations
deHeisenberg-Langevin,
l’équation pilote
ou la théorie de laréponse
linéaire,
peuventalors être utilisées.
La recherche de telles
images physiques,
mettant en reliefle rôle des fluctuations et de la
dissipation
dans l’interaction matière rayonnement, a été motivée par toute une classed’expé-riences
récentes,
danslesquelles
ces fluctuationsjouent
préci-sément un rôle
important :
modification des corrections radiativesou de l’émission
spontanée
pour un atomeplacé
dans unecavité,
étude de la fluorescence
atomique
induite par une onde laserin-tense,
problème
du mouvementatomique
dans un faisceau lumineux...Pour ce dernier
problème,
qui
sera étudié en détail au cours de cetravail, le rôle des fluctuations est crucial. Il est en effet ap-paru au cours des dernières années
qu’on
peut utiliser les forces exercées par le faisceau lumineux pour refroidir etpiéger
lesatomes. Or, ce sont les fluctuations de ces forces
qui
déterminentla
température
minimale réalisable par refroidissement radiatif etqui
limitent la durée dupiégeage.
Compte
tenu desgrandes
perspec-tives ouvertes par cestechniques
toutes récentes de refroidis-sement et depiégeage
laser, il est donc essentiel d’avoir unebonne
compréhension
des processus de fluctuations et deNous commencerons ce travail par l’étude des modifications
de la
dynamique
interne de l’atome du fait de soncouplage
avec lechamp
derayonnement,
ceproblème
n’étant en faitqu’un
casparti-culier du
problème plus
général
ducouplage
d’unpetit
système
(l’atome)
avec ungrand
réservoir(le
champ).
Deux classes depro-cessus peuvent a
priori
êtreinvoquées
pour décrire cetteinter-action atome-réservoir. La
première
est la réaction de l’atome surlui-même,
via le réservoir : le mouvement de l’atomepolarise
leréservoir,
et cetteperturbation
réagit
en retour sur l’atome. Dansle cas où le réservoir est le
champ
électromagnétique,
cette "selfreaction" est souvent
appelée
réaction derayonnement.
La seconde classe de processus est liée aux fluctuations propres duréservoir,
qui
peuvent êtred’origine quantique
outhermique.
Si le réservoirest le
champ
électromagnétique
dans son étatfondamental,
cespro-cessus sont ceux liés aux fluctuations du vide. Plusieurs
questions
se posent alors naturellement, une fois identifiés ces deux
types
de processus. Peut-on lesséparer
de manière nonambiguë ?
Si cetteséparation
estpossible,
contribuent-ils au même ordre ? Commentleur effet varie-t-il avec l’état du
réservoir,
satempérature
parexemple
?...Dans la
partie
A, nous montronsqu’il
est effectivementpossible
deséparer
ces deux types de processus, pourvu que lecou-plage
entre l’atome et le réservoirpuisse
être décritperturba-tivement. La
séparation
que nous proposons est fondée sur l’étudedes vitesses de variations des observables
atomiques,
sous l’effetdu
couplage
atome-réservoir, dans lepoint
de vue deHeisenberg.
Elle est ensuite
justifiée
par desarguments
liés àl’approche
"mécanique
statistique"
pour ceproblème :
lesdéplacements
des niveaux et les taux d’émissiond’énergie
par l’atome sontexprimés
à l’aide de deux fonctions
statistiques importantes
définies pourl’atome et pour le réservoir, les fonctions de corrélation
symé-triques
qui
décrivent ladynamique
des fluctuations et lessuscep-tibilités linéaires qui décrivent la
réponse
dechaque
système
auxfluctuations de l’autre. Ces résultats sont alors
appliqués
àl’étude de la
dynamique
atomique
interne dans le vide derayonne-ment, et les contributions des fluctuations du vide et de la
réac-tion de rayonnement sont clairement
identifiées,
la somme de cesdeux contributions redonnant bien sûr les résultats connus de
Nous abordons ensuite dans la
partie
B l’étude de ladyna-mique
externe dans unchamp
électromagnétique.
Leproblème
est dedéterminer
l’équation
du mouvement del’atome,
compte
tenu du reculqui
seproduit
lors dechaque
processusd’absorption
ou d’émissionde
photons.
Ceproblème
est apriori
plus
compliqué
que leprécé-dent
puisqu’il
y a maintenant troistypes
de variablescouplées :
les variables externes
qui
nousintéressent,
les variables internesdont l’état est
changé
lors dechaque
processusd’absorption
oud’émission,
et les variables duchamp.
Notre but dans cettepartie
B est d’éliminer les variables internes et les variables duchamp
pour obtenir uneéquation
fermée,
de typeFokker-Planck-Kramers, pour les variables externes. Cette
équation, qui
décrit l’évolution de la fonction deWigner
atomique,
contient troistermes : la force radiative moyenne
agissant
sur un atome au repos,la force de
friction,
linéaire par rapport à la vitesseatomique,
responsable
du refroidissementradiatif,
et un terme de diffusiondécrivant l’échauffement de l’atome sous l’effet des fluctuations
des forces radiatives. Nous montrons que chacun de ces termes peut être
exprimé
en fonction de valeurs moyennes à un ou deux temps del’opérateur
force radiative agissant sur l’atome, et nous relionsces valeurs moyennes aux fonctions de corrélation et de
suscepti-bilité décrivant les fluctuations et la
réponse
linéaire du systemeatomique.
Ces résultats sont très similaires à ceux obtenus pour le
problème
du mouvement Brownien d’uneparticule
lourdeponctuelle
dans un bain departicules légères.
Cette ressemblance n’est biensûr pas fortuite : le recul aléatoire de l’atome irradié par l’onde
laser du fait des
phénomènes
d’émissionspontanée
provoque un effettrès voisin de celui de la force de
Langevin
décrivant les chocs desparticules légères
sur laparticule
Brownienne. C’estpourquoi
il nous a semblé intéressant de traiter
également
dans cettepartie
B ceproblème
du mouvement Brownien d’uneparticule
sansdegré
de liberté interne. Ceci nouspermet
de "mettre enplace"
sur unexemple simple
les méthodes de résolutionqui
serontreprises
ensuite pour le
problème
du mouvement atomique dans une onde laser.méthodes,
lesproblèmes
de la thermalisation d’un électron libre etd’un atome à deux niveaux dans le
rayonnement
du corps noir.La
partie
C est consacrée à une étude détaillée despro-priétés
des forces radiatives : valeur moyenne,fluctuations,
dépendance
en vitesse. Nous nous intéressons toutparticulièrement
au cas d’un atome à deux niveaux dans une onde
monochromatique
etau cas d’un atome J = 0 ~ J = 1 dans deux ondes
polarisées
respec-tivement 03C3
+
et 03C3
-
.
L’étude simultanée de ces deuxexemples
nouspermet de
dégager
uneinterprétation
physique
des différentescaractéristiques
des forcesradiatives,
en termes de processusd’absorption
etd’émission,
spontanée
oustimulée,
dephotons
parl’atome. Nous
développons
également
l’approche
"atome habillé enmouvement"
qui
nouspermet
de donner unéclairage
nouveau sur lesphénomènes
apparaissant
à haute intensité. Nous montrons comment cetteapproche
permet deprévoir
un refroidissement très efficacedes atomes
lorsqu’ils
sontplacés
dans une onde stationnairein-tense, et nous décrivons une
expérience
que nous avonsréalisée,
encollaboration avec A. Aspect, C.
Cohen-Tannoudji,
A. Heidmann et C.Salomon,
pour mettre en évidence ce refroidissement.La
partie
D enfin est consacrée à une discussionthéorique
concernant
l’application
des forces radiatives aupiégeage
d’atomesneutres. Suivant la nature de la force radiative
utilisée,
pression
de radiation ou force
dipolaire,
lesproblèmes
qui
seposent
pourla réalisation de ce
piégeage
sont de nature différente.La force de
pression
de radiation, liée auxgradients
dephase
de l’onde laser, a une divergence nulle : lapression
deradiation créée par une
configuration
quelconque
de faisceauxlumi-neux ne peut donc pas à
première
vue confiner les atomes de manièrestable. Toutefois, nous proposons dans la
partie
D une méthodenou-velle
permettant
de réaliser unpiège dynamique
stable. Ellecon-siste à superposer à une
configuration
laserqui
piège
parpression
de radiation dans certaines directions etqui
expulse
dans lesdirections
orthogonales,
d’autres faisceaux laserqui
amortissentle temps les directions de
piégeage
et defuite,
onpeut
alorscon-finer les atomes de manière stable.
La force
dipolaire,
liéequant
à elle auxgradients
d’in-tensité de l’ondelaser,
attire les atomes dans larégion
de hauteintensité
lumineuse,
pourvu que le désaccordfréquence
laser-fréquence
atomique
soitnégatif.
Il est doncpossible
de réaliserun
piège
radiatif aupoint
focal d’une telle onde laser. Mais leproblème qui
se pose alors est lechauffage
des atomespiégés
parl’onde
lumineuse,
cechauffage
étant dû aux fluctuationsimpor-tantes des forces
dipolaires.
Nous proposons dans cettepartie
Ddeux solutions nouvelles pour refroidir les atomes
piégés
sansper-turber la fonction de
piégeage.
L’énergie
résiduelle des atomesdans le
puits
radiatif est, dans les deux cas, trèspetite
devant laprofondeur
dupuits,
cequi
assure la stabilité dupiégeage.
Enfin,
nous discutonsquelques
unes desperspectives qui
s’ouvrentactuellement
grâce
audéveloppement
de cestechniques
nouvelles deLA
DYNAMIQUE ATOMIQUE
INTERNE :FLUCTUATIONS DU VIDE ET
LA
DYNAMIQUE
D’UN ELECTRONATOMIQUE :
FLUCTUATIONS DU VIDE ET REACTION DE RAYONNEMENT
Cette
première partie
A est consacrée à l’étude de ladynamique
d’un électronatomique
couplé
auchamp
électromagnétique
quantifié.
Notre but est d’obtenir àpartir
de cetteapproche
dyna-mique
desimages physiques simples
pour divers processus radiatifs comme l’émissionspontanée
ou les corrections radiatives(dépla-cement de Lamb ou anomalie
gyromagnétique
de l’électron g - 2). Lepoint
dedépart
du traitementproposé
ici est très voi-sin de celui des théoriesquantiques
du mouvement Brownien et de laréponse
linéaire : chacun des deuxsystèmes
enprésence
-électronet
champ-
fluctue etpolarise
l’autresystème.
De cette influencemutuelle,
résultent les divers processus radiatifs mentionnés audessus. Ce schéma d’interaction
"fluctuations-polarisation"
peut fonctionner suivant les deux "chemins" suivants :(i)
On peut d’une part considérer que lechamp
électro-magnétique quantique
fluctue -ce sont les fluctuations du vide- etfait vibrer l’électron
atomique qui
moyenne alors lepotentiel
Coulombien créé par le noyau, et
qui
voit ainsi sespropriétés
modifiées. Une telle
image
a étéproposée
avec succès pourexpli-quer le
déplacement
de Lamb. Par contre elle ne permet pas de rendrecompte
dusigne positif
de l’anomaliegyromagnétique
g - 2 : toute vibration duspin électronique
tend à réduire la composantede ce
spin
sur un axe donné et conduit ainsi à une valeurnégative
pour g - 2.(ii)
L’autre "chemin"possible
consiste àpartir
duchamp
rayonné
par l’électron en mouvement et à étudier la réaction de cechamp
sur l’électron : c’est la réaction derayonnement,
qui est à la base des théories "source-field" danslesquelles
on essaie de rendrecompte
des divers processus radiatifs d’une manièresemi-classique,
c’est-à-dire sansprendre
en compte la naturequan-tique
duchamp
électromagnétique
et de ses fluctuations.déter-miner sans
ambiguïté
les contributionsrespectives
de ces deuxmécanismes fluctuations du vide et réaction de
rayonnement.
et nousinterprétons physiquement
chacune des deux contributions. Notre calcul est fait à l’ordre leplus
bas parrapport
à la constante de structure fine et est limité à des électrons non relativistes.Notons bien sûr que nous retrouvons pour la somme des deux contri-butions cherchées les résultats habituels calculés par les méthodes
standard de
l’électrodynamique quantique.
Dans lechapitre
A2,
nousétendons la
séparation précédente
au cas d’unpetit
système
S
-généralisant
l’électron-couplé
à ungrand
réservoir R
-généra-lisant le
champ-.
Ils’agit
alors d’identifier les termes dus auxfluctuations du
réservoir
qui
polarisent
lepetit système
et les termes dus à la self-réaction où lepetit
système interagit
avec lechamp qu’il
a lui-même"rayonné"
dans le réservoir. Nous verronsque la
généralité
d’un telproblème
permet
d’exprimer
les résultatssous une forme très
simple :
tous lesdéplacements
d’énergie
-i.e.corrections radiatives- et les taux d’amortissement -i.e. taux
d’émission
spontanée-
s’expriment
à l’aide de deux types degran-deurs
caractéristiques
définies chacunepour S et R :
fonctions decorrélation
C
R
etC
s
,
décrivant les fluctuations deR
et deS,
etfonctions de
susceptibilité
x
R
etx
s
décrivant la"polarisabilité"
de R
et deS.
Les termes "fluctuations du réservoir" ont alors lastructure suivante :
termes dus aux fluctuations du réservoir ~
f
tion
(C
R
,X
s
)
Conformément à ce
qu’on
pouvait
attendre intuitivement, ils fontintervenir la
fonction,
C
R décrivant les fluctuations de
R,
et la
fonction
x
s
,
caractérisant laréponse
de S
à ces fluctuations.Inversement, on trouve pour les termes de self-réaction
termes dus à la self-réaction ~
f
tion
(X
R
,C
s
)
ce
qui
correspond
bien à àl’image
dupetit
système S
fluctuant(C
s
)
etpolarisant
le réservoir(x
R
).
Laséparation proposée
auchapitre
A1 etjustifiée
de cette manière par desarguments
statis-tiques
est enfinappliquée
à deux casparticuliers importants :
le cas d’unsystème
quasi-classique couplé
à unréservoir,
et lepro-blème de l’émission
spontanée
d’ungrand
momentcinétique,
modèlede Dicke pour la
superradiance.
De nombreuses références aux divers travaux
publiés
sur lesproblèmes
envisagés
dans cettepartie
A sont donnés dans les deuxJ
Physique 43 (1982)
1617-1638Vacuum fluctuations and
radiation
reaction :
identification
of
their
respective
contributions
J.
Dalibard,
J.Dupont-Roc
and C.Cohen-Tannoudji
Laboratoire de
Spectroscopie
Hertzienne de l’Ecole NormaleSupérieure,
et Collège de France24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France
(Reçu le 8 juin 1982, accepté le 5 juillet 1982)
Résumé. 2014 Il semble généralement admis qu’il existe, en théorie quantique du rayonnement, une indétermination
dans la
séparation
des effetsrespectifs
des fluctuations du vide et de la réaction de rayonnement. Nous montrons ici que cette indétermination est levée si l’on impose aux vitesses de variation correspondantes d’être hermitiques(condition nécessaire pour qu’elles soient
interprétables physiquement)
Cetteprocédure
est généralisée au casd’un petit système S interagissant avec un grand reservoir R, et permet de separer deux types de processus physiques, ceux où R fluctue et
polarise
S (effets des fluctuations du réservoir), ceux où c’est S qui polarise R (effets de laréac-tion de R sur S). Nous appliquons cette
procédure
au cas d’un electron atomique interagissant avec le champ de rayonnement et identifions ainsi les contributions des fluctuations du vide et de la réaction de rayonnementaux corrections radiatives et à l’émission spontanée L’analyse des résultats obtenus nous permet de
préciser
les imagesphysiques
qui doivent être associées aux divers processus radiatifs.Abstract 2014
It is generally considered that there exists in quantum radiation theory an indetermination m the
separation of the
respective
effects of vacuum fluctuations and radiation reaction We show m this paper that suchan indetermination can be removed
by imposing
to thecorresponding
rates of variation to be Hermitian (thisis necessary if we want them to have a
physical meaning).
Such a procedure is generalized to the case of a small system S interacting with alarge
reservoir R and allows the separation of two types of physical processes, those where R fluctuates andpolarizes
S (effects of reservoir fluctuations), those where it is S whichpolarizes R
(effectsof self reaction). We
apply
thisprocedure
to an atomic electron interacting with the radiation field and we thenidentify the contribution of vacuum fluctuations and self reaction to radiative corrections and spontaneous
emis-sion of radiation. The analysis of the results obtained in this way allows us to
specify
the physical pictures whichmust be associated with the vanous radiative processes
1. Introduction. 2014
Understanding
thephysical
mechanismsresponsible
for spontaneous emission of radiationby
an excited atom, or for radiative corrections such as radiative lineshifts,
electron’sself energy or
magnetic
moment.. is a verystimulating
problem
which has received a lot of attention[1,
2].
The quantitative results for these corrections are
of course well established. The
physical
interpreta-tions remam however more controversial. Two extreme
points of view have been
investigated.
In the firstone, the interaction of the electron with the quantum
fluctuations of the vacuum
field,
the so-called « va-cuum fluctuations », is considered asplaying
thecentral role. One tries to
interpret
spontaneous
emis-sion as an emission «
triggered » by
vacuum fluctua-tions. The most famousexample
of such anapproach
is the
interpretation
of the Lamb shift asbeing
due tothe averagmg of the Coulomb
potential
of the nucleusby
the electronvibrating
in vacuum fluctuations[3].
One must not
forget
however that such apicture
leads to the wrong
sign
for the electron’s spinanomaly
g - 2 · the vibration of the electron’s spin in vacuumfluctuations does not increase the effective
magnetic
moment but reduces it
[3,
4].
In the secondpoint
ofview,
the basicphysical
mechanism is identified as theinteraction of the electron with its own
field,
the socalled « radiation reaction »
although
it would beproper to call it the
electromagnetic
self interactionsince it includes the interaction of the electron with its Coulomb field as well as with its radiation field
[5-8].
We will use in thefollowing
the shorterdenomina-tion « self reaction » for this process. In such an
appro-ach,
one tries tointerpret
Q.E.D.
radiative correctionsthe radiative shift of an
oscillating
classicaldipole
moment. We should note however that the vacuum
field cannot be
completely forgotten
in theinterpre-tation of finer details of spontaneous
emission,
suchas fluorescence spectrum or intensity
correlations,
which are related to
higher
order correlation func-tions[9, 10].
Actually,
it is nowgenerally accepted
that vacuumfluctuations and self reaction are « two sides of the
same quantum mechanical coin
» [11],
and that theirrespective
contributions to eachphysical
process cannot beunambiguously
determined[11-14].
Suchan
opinion
is based on thefollowing analysis,
carriedout in the
Heisenberg
picture
whichprovides
a veryconvenient theoretical framework since it
leads,
for the relevantdynamical
variables,
toequations
ofmotion very similar to the
corresponding
classicalones: The calculations
[11-14]
can be summarizedby
thegeneral
scheme offigure
1.Heisenberg’s equations
of motion for field and atomic variables are derived from the Hamiltonianof the combined atom + field system. The
equation
for the field looks like the
equation
of motion of anharmomc oscillator driven
by
an atomic source term and isreadily
integrated.
This leads to anexpression
for the total field E which is a sum of two terms :
The « free field
» E
f
corresponds
to the solution of thehomogeneous
fieldequation (without
atomic sourceterm),
and coincides with the « vacuum field » when nophotons
areinitially
present. The « source field »E
s
is the fieldgenerated
by
the atomic source(solution
of the
inhomogeneous
fieldequation).
Consider nowthe atomic
equation.
The rate ofvariation,
dG(t)/dt,
of agiven
atomic observableG(t)
appears to beproportional
to theproduct
of atomic and fieldoperators,
N(t)
andE(t),
taken at the same time .The final step of the calculation consists in
inserting
m(1.2)
the solution(1.1)
obtained forE(t),
whichFig. 1. 2014
Principle
of the derivation of the atomicdynami-cal equation
leads to a
dynamical
equation for the atomic system(Fig.
1).
The contributions ofE
f
and E
s
todG/dt
can be
interpreted
as rates of variation :respectively
due to vacuum fluctuations and selfreaction. This
interpretation directly
follows fromthe
physical origin
ofE
f
andE
s
.
Theambiguity
men-tioned above for this
separation
comes from the factthat the two atomic and field operators
N(t)
andE(t)
appearing in(1.2)
commute[they
commute at the initial time t = t0, whenthey
act in different spaces, and the Hamiltonian evolution between t0 and t preserves thiscommutation]. They
can therefore be taken in anyorder, N(t) E(t)
as in(1 2),
orE(t)
N(t).
However,
E
f
(t)
andE
s
(t)
do not commuteseparately
withN(t),
as their sum does.Consequently, N(t) E
f
(t)
and
E
f
(t)
N(t)
generally
differ The two rates ofvaria-tion
(1.3a)
and(1
3b)
thereforedepend
on the initialorder between the two commuting operators
N(t)
and
E(t),
the total rate(1 2)
being
of courseindepen-dent of this order. In
particular,
if the normal order has been chosen in(1 2)
[with
all field annihilationoperators at
right,
all field creation operators atleft],
the contribution of vacuum fluctuations vanishes when the average is taken over the vacuum state ofthe
field,
and all radiative corrections appear to comefrom self reaction Different orders taken m
(1 2)
would lead to different conclusions
Thus,
it seemsthat the relative contributions of vacuum fluctuations
and self reaction cannot be
unambiguously
identified. MOTIVATIONS OF THIS PAPER. 2014 Inthis paper, we
would like to present some arguments supporting
the choice of a
particular
order in (12)
leading,
in our opinion, to aphysically
well defined separationbetween the contributions of vacuum fluctuations
and self reaction. We don’t question of course the mathematical
equivalence
of allpossible
initial ordersin
(1.2).
Our argument rather concerns thephysical
interpretation
of the two rates of variation appearingwhen (1 1)
is inserted in(1 2).
If G is an atomic obser-vable(Hermitian
operator),
the two rates of variationcontributing
tod dt
G(t),
which is alsoHermitian,
must beseparately
Hermitian, if we want them to havea
physical
meaning.Furthermore,
the field and ato-mic operatorsappearing
in the different rates ofvariation must also be Hermitian if we want to be able to
analyse
these rates in terms of well definedphysical quantities.
We show in this paper that thesehermiticity
requirements restrict thepossible
initialorders in
(1. 2)
toonly
one, thecompletely
symmetrical
A second motivation of this paper is to
point
outthat,
with such asymmetrical
order,
a clearconnec-tion can be made with a statistical mechanics
point
of view which appears to be in
complete
agreement with the usualphysical pictures
associated withvacuum fluctuations and self reaction. For
example,
the radiative corrections can be
expressed
aspro-ducts of correlation functions
by
linearsusceptibilities.
For the vacuum fluctuations part of thesecorrec-tions,
one gets the correlation function of the fieldmultiplied by
the linearsusceptibility
of the atom, whichsupports
thepicture
of afluctuating
vacuumfield
polarizing
the atomic system andinteracting
with this inducedpolarization,
whereas for the selfreaction
part,
the reverse result is obtained :product
of the correlation function of the atomic system
by
the linear «susceptibility
» of the field whichcorres-ponds
to thepicture
of afluctuating
dipole
moment«
polarizing
» thefield,
i.e.producing
afield,
andinteracting
with this field.ORGANIZATION OF THE PAPER 2014 In
section 2 we
introduce our notations and the basic concepts
(vacuum
field,
source field, radiationreaction...)
by applying
thegeneral
theoretical scheme offigure
1to the derivation of the quantum
generalization
ofthe Abraham-Lorentz equation
[17]
describing
thedynamics
of an atomic electroninteracting
with astatic
potential
and with thequantized
radiation field. We discuss thephysical
content of thisequa-tion and the difficulties associated with the quantum nature of field variables. We
explain
alsowhy
it isnecessary to extend the calculations of section 2
(deal-ing with the position r and the momentum p of the
electron)
to moregeneral
atomic observables G.The calculation of
dG/dt,
which ispresented
insection
3,
raises theproblem
of the order betweencommuting observables. mentioned above in
connec-tion with equation
(1
2) (such
adifficulty
does not appear for r andp)
We show how it ispossible, by
the
physical
considerations mentioned above, tosingle
out thecompletely symmetrical
order in(1
2).
We then extend in section 4 the discussion to the
more
general
case of a « smallsystem » S
(playing
therole of the atomic system) interacting with a «
large
reservoir » R(playing
the role of theelectromagnetic
field with its infinite number of
degrees
offreedom).
Theadvantage
of such ageneralization
is toprovide
a
deeper insight
in theproblem
We point out inparticular
that the expressions giving<
(dG dt)
vf
>
and
(
(dG dt)
sr
>,
averaged
in the vacuumstate
of the field and calculated to the first order in the fine struc-ture constant 03B1, can beexpressed
in terms ofsimple
statistical functions of the twointeracting
systems
(correlation
functions and linearsusceptibilities).
We discuss the mathematical structure of theseexpressions and their
physical
content.Finally,
thegeneral
results of sections 3 and 4 areapplied
in section 5 to thephysical
discussion of the relative contributions of vacuum fluctuations andself reaction to the
dynamics
of an atomic electron.Two types of effects are considered : the shift of atomic energy
levels,
describedby
the Hamiltonianpart
of<(dG dt)
vf
>
and<(dG dt)
sr
>,
and thedissipative
effects associated with the
exchange
of energybet-ween the electron and the radiation field.
2. The quantum form of the Abraham-Lorentz
equation.
2014 A fewbasic concepts are introduced in
this
section,
by considering
a verysimple
systemform-ed
by
an electron bound near theorigm
by
an externalpotential
andinteracting
with theelectromagnetic
field.
We first introduce the Hamiltonian of the combin-ed system « bound electron +
electromagnetic
field »(§ 2.1). We
thenestablish,
in theHeisenberg
repre-sentation,
the quantumdynamical
equation
for theelectron
(§
22).
Thisequation
appears to be very similar to thecorresponding
classical one, knownas the Abraham-Lorentz
equation
This closeanalogy
is however
misleading
and we will try toexplain
the
diffculties hidden in the quantum equation
(§
23).
2.1 BASIC HAMILTONIAN IN COULOMB GAUGE 2014
2.1.1 Field variables. 2014 The electric field
is divided
into two parts : the
longitudinal
fieldE
~
and thetransverse field
E
~
.
Thelongitudinal
field at point Ris the instantaneous Coulomb field created
by
the elec-tron at this point. It isexpressed
as a function of theelectron position operator r.
The transverse field
E
~
(R),
the vectorpotential
A(R)
and the magnetic field
B(R)
areexpanded
in a set of transverseplane
waves, normalized in a cube ofvolume
L
3
a
k03B5and
a
+
k03B5
are the annihilation and creation operatorsfor a
photon
with wave vector k andpolarization
03B5.The summation concerns all the wave vectors k with
components
multiple
of 203C0/L and,
for agiven
k,
two transverse
orthogonal polarizations
03B51 and 03B52. In classicaltheory,
expansions
similar to(2.2)
can be
written,
the operators ak03B5 anda
+
k03B5
being replaced
by
c-numbers03B1
k03B5
(t)
and03B1*
k03B5
(t)
which areactually
« normal » variables for the field.In order to calculate the energy of the Coulomb field of the
particle,
it is also convenient to take the Fourier transform of thelongitudinal
field(2.
1)
(for
agiven
value ofr) :
2.1.2 Electron variables. 2014 The electron motion
is described
by
theposition
operator
r and theconju-gate momentum p :
The
velocity
operator, v, is givenby :
where m is the electron mass. Note that v is not an
electronic
operator
since it includes field variablesthrough A(r).
The electron is bound near the originby
an external staticpotential
V
0
(R). If
spin
is taken into account, the electron variables aresupplemented
by
thespin
operator SMagnetic
and spin effects will bebriefly
discussed in§
5.2.5.They
areneglected
elsewhere.
2.1.3 The Hamiltonian. 2014 In the
non relativistic
approximation,
the Hamiltonian is the sum of five terms : the rest mass energy of theelectron,
its kinetic energy, itspotential
energy mV
0
(R),
the energy of thelongitudinal
field and the energy of the transversefields :
The energy of the
longitudinal
field appears to be aconstant,
representing
the energy of the electrostaticfield associated with the
charge
This constant canbe written as
03B4m
1
can be considered as a correction to the mecha-nical rest mass m of the electron. The same correction appears in classicaltheory.
2.1.4 Introduction
of
a cut-off.
2014 Itis well known that
divergences
appear in thecomputation
of variousphysical
quantités
(such
as energy,momen-tum...)
associated with acharged point particle
interacting with the
electromagnetic
field. Thesedivergences
are due to the contribution of the modes withlarge
wave vectors. In order to deal with finiteexpressions, we will consider
only
thecoupling
ofthe electron with modes k such that
This cut-off
k
M
is chosen not toolarge
so that the non relativisticapproximation
is correct for all the modes which are taken into account(03C9
M
~mc
2
with 03C9M =
ck
M
).
On the otherhand,
03C9
M must be
large
compared
to the characteristic resonancefre-quencies 03C90 of the bound electron. This
gives
twobounds for
k
M
:
It is well known that theories using such a cut-off are no
longer
relativistic invariant[15].
The modesselected
by
condition(2.10)
are not the same in two different referenceframes,
because of theDoppler
effect. It ispossible
to restore relativisticinvariance,
by
using some moresophisticated
cut-offproce-dures
[16]
However,
we are not concerned here with the relativistic aspects of radiativeproblems
and we will ignore these difficulties. Tosummarize,
all the sums over k
appearing
here after must be understood as limitedby
condition(2.10).
The same restriction alsoapplies
to the expansion(2.5)
of thelongitudinal
field. The energy of thelongitu-dinal field is then finite and
equal
towhich can be written
as 03B1 03C003C9
M
,
where 03B1 is the finestructure constant
2 1 5 Electric
dipole
approximation.
2014We also
suppose in this paper that the
binding potential
localizes the electron in a volume centred on the
origin, with a linear dimension a much smaller than
the
wave-length
of the modes interacting with theparticle. (The
cut-offk
M
introduced above issupposed
tosatisfy k
M
a ~
1.)
Such an assumption which isjustified
for an atomicelectron,
allows us toneglect
thespatial
variation of the fields interacting with the electron We will thenreplace
the fields at the electron positionE(r), A(r)
by
the fields at theorigin
E(0), A(0).
The electric
dipole approximation
is not essential for the derivation of the resultspresented
in thispaper But the calculations are much
simpler
and thephysical
conclusions remainunchanged
(
1
).
(
1
)
Corrections to the electricdipole approximation
areof higher order m 1/c. They have to be considered when relativistic corrections are included in the Hamiltonian
To summarize the
previous
discussion,
we will use hereafter thefollowing
Hamiltonian :with
2.2 DYNAMICS OF THE ELECTRON INTERACTING WITH THE ELECTROMAGNETIC FIELD. 2014 2.2.1
Principle of
the calculation. 2014 The
rate of variation of
electron
and field variables can be determined from the Hamiltonian
(2.13).
Thecorresponding
two sets ofequations
are of coursecoupled ;
the field evolutiondepends
on thecharge
motionand,
conversely,
the electron experiences a force due to the field.The derivation of a
dynamical
equation for theelectron from these two sets of
coupled
equations is well known[8,
13,
14]
and follows thegeneral
schemeof
figure
1. One firstintegrates
the fieldequations
in presence of the
particle.
The solution obtained for the field is then inserted in the electronequation.
This leads to a quantum
dynamical equation
des-cribing
the motion of the electroninteracting
with the free field as well as with its own field.2 2 2 The
electromagnetic field
in presenceof
theparticle.
2014 Smce all fieldoperators are
expressed
interms of ak03B5 and
a
+
k03B5
,
we start with theHeisenberg
equation fora
k03B5
(t).
where
Equation
(2 15) is thenformally
integrated
and givesThe evolution of
a
k03B5
(t)
appears to be thesuperposition
of a free evolution[first
term of(2
17)]
and a « forced » evolution drivenby
the motion of thecharge
[second
termof (2
17)].
Wefinally
insert(2
17)
in the expansions(2
2)
of the transverse field The contributions of the two terms of(2.17) correspond
respectively
to the free fields(A
f
,
E
~f
)
and to the source fields,
s
(A
E
~s
)
Actually,
we needonly
for thefollowing
to know the fieldsfor R = 0
(because
of the electricdipole approximation)
From(2 2)
and(2 17),
oneeasily
derives(see
appen-dix A for the details of the
calculation)
with
