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Remerciements
Je tiens à remercier tout particulièrement Rachel BELLENGER ainsi que Nicolas SUPIOT, mes tuteurs en entreprise, pour leur investissement et leur disponibilité tout au long de la réalisation de ce mémoire ainsi que pour leurs conseils qui m’ont aidé dans mon travail.
Je remercie aussi Hugo DIJOUD et Chloé PARFAIT pour leurs conseils avisés ainsi que de m’avoir fait bénéficier de leur expérience.
J’adresse également mes remerciements à l’ensemble des collaborateurs d’Optimind, et plus particulièrement le service Actuarial & Financial Services, pour leur soutien et leur bonne humeur au quotidien.
Pour finir, je remercie les professeurs et intervenants du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg et mon tuteur académique Jean MODRY pour ses précieux conseils ainsi que son soutien.
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Résumé
Mots-clés : modèle vectoriel à correction d’erreurs, arrêt de travail, incapacité, séries temporelles, stationnaire, cointégration.
Les conséquences économiques de la pandémie de Covid-19 sont nombreuses. Elle a entraîné une augmentation des arrêts de travail, un effondrement des marchés boursiers, des pertes d’exploitation commerciale ou encore un ralentissement de l’économie. De nombreux experts s’accordent à dire que la Covid-19 engendrera l’une des plus importantes crises économiques que le monde ait connue.
Le lien entre l’arrêt de travail et la santé économique d’un pays a déjà été pointée dans divers travaux. C’est la raison pour laquelle une forte sinistralité arrêt de travail est à prévoir à la fin de la pandémie, engendrée par la dégradation de la situation économique de la France.
Ce mémoire présente un modèle macroéconomique, réalisé à partir d’un modèle vectoriel à correction d’erreur, dont le but est d’estimer la dégradation du risque arrêt de travail suite à la crise économique engendrée par la pandémie. L’intérêt du modèle vectoriel à correction d’erreur est de pouvoir travailler avec des séries temporelles non stationnaires et en présence de cointégration. Les montants versés par un assureur au titre de l’incapacité sont ensuite estimés à l’aide de ce modèle.
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Abstract
Key words : vector error correction model, work stoppages, disability, time series, stationarity, cointegration.
The economic consequences of the Covid-19 pandemic are numerous. It has resulted in increased work stoppages, a stock market crashes, business operating losses and
economic downturn. Many experts agree that Covid-19 will create one of the largest economic crises the world has ever seen.
The link between work stoppage and the economic health of a country has already been pointed out in various works. This is why a high rate of work stoppages is to be expected at the end of the pandemic, caused by the deterioration of France's economic situation.
This paper presents a macroeconomic model, based on a vector error correction model, whose aim is to estimate the deterioration of the risk of work stoppage following the economic crisis caused by the pandemic. The interest of the vector error correction model is to be able to work with non-stationary time series and in the presence of cointegration. The amounts paid by an insurer for disability are then estimated using this model.
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Synthèse
L’incapacité se définit comme l’interruption momentanée des activités professionnelles pour cause de blessure ou de maladie, entraînant alors une baisse de revenus pour l’individu concerné. Ce risque, de par sa nature, se retrouve fortement impacté lors de la propagation d’une pandémie, qui désigne la propagation d’une maladie sur une large zone géographique et touchant une partie importante de la population. Les conséquences d’une pandémie sont nombreuses et peuvent être très importantes : l’augmentation de la mortalité, de la morbidité, des frais de santé ou encore des arrêts de travail, et dans un même temps un ralentissement de l’économie et des pertes d’exploitation commerciale. De nombreux experts s’accordent d’ailleurs à dire que la Covid-19 engendrera l’une des plus importantes crise économique que le monde ait connue.
C’est la raison pour laquelle il est important pour les assureurs de s’intéresser à ce risque pandémique, afin que sa survenance ne remette pas en question leur stabilité financière. Ce risque, encore trop peu considéré jusqu’à présent, est maintenant au cœur de l’attention suite à la propagation de la Covid-19. A court terme, l’impact sur la sinistralité sera important pour les assureurs, tout comme sur l’économie française et mondiale. Le ralentissement de l’économie, principalement dû aux différentes mesures de confinement ou de restriction, a mis en difficulté de nombreuses entreprises. C’est la raison pour laquelle le nombre de défaillances d’entreprises devrait grandement augmenter en 2021.
Le lien entre l’arrêt de travail et la santé économique d’un pays a déjà été mis en exergue. Une hausse de la sinistralité de l’arrêt de travail due à la dégradation de la situation économique de la France est donc à prévoir même une fois la pandémie terminée. L’objectif de ce mémoire n’est donc pas de chercher à estimer les arrêts engendrés directement par la Covid-19, mais plutôt d’estimer la dégradation du risque arrêt de travail lors de la crise économique engendrée par la pandémie.
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Pour mener à bien cette étude, une approche économétrique a été utilisée. Ce mémoire présente un modèle macroéconomique, réalisé à partir d’un modèle vectoriel à correction d’erreur. Cette méthode permet l’obtention, dans notre cas, d’une équation de la forme
∆𝑥𝑖,𝑡 = 𝑐 + 𝛾𝜇𝑡−1+ ∑ 𝛽1,𝑖,𝑘
𝑝
𝑘=1
∆𝑥1,𝑡−𝑘+ ∑ 𝛽2,𝑖,𝑘
𝑝
𝑘=1
∆𝑥2,𝑡−𝑘+ ⋯ + ∑ 𝛽𝑁,𝑖,𝑘
𝑝
𝑘=1
∆𝑥𝑁,𝑡−𝑘+ 𝜀𝑡
où 𝜇𝑡 = 𝛼0+ 𝛼1𝑥1,𝑡+ 𝛼2𝑥2,𝑡+ ⋯ + 𝛼𝑁𝑥𝑁,𝑡.
𝜀𝑡 est un bruit blanc et les paramètres 𝛽𝑛,𝑖,𝑘, 𝛼𝑖, 𝑝, 𝑐 et 𝛾 sont à déterminer.
∆𝑥𝑖,𝑡 est donc notre variable à expliquer. Dans cette étude, elle représente les prestations d’un assureur au titre de l’incapacité. Néanmoins, l’historique disponible n’est pas suffisamment conséquent pour ajuster et tester un modèle. Le modèle est donc dans un premier temps ajusté sur les prestations de la Sécurité sociale pour l’incapacité, extraites de la base de données Open Damir. Dans un second temps, l’hypothèse que l’évolution de la sinistralité du portefeuille d’assurés suit celle de la Sécurité sociale est faite, ce qui permet d’utiliser le modèle obtenu sur les prestations de l’assureur.
Les variables explicatives utilisées par le modèle sont des variables économiques et financières principalement issues de données de l’INSEE, de la Banque de France ou d’Eurostat. Elles sont sélectionnées selon leur pertinence grâce au Critère d’Information d’Akaike (AIC).
La mise en place d’un modèle vectoriel à correction d’erreur se fait en plusieurs étapes.
Tout d’abord, il faut vérifier que toutes les variables utilisées par le modèle sont de même ordre d’intégration. Un processus est dit intégré d’ordre 𝑑 si ce même processus différencié 𝑑 fois est stationnaire. Cette vérification se fait à l’aide de la stratégie du test de racine unitaire. Ensuite, le retard optimal 𝑝 est déterminé au moyen de l’AIC. Le test de cointégration de Johansen permet quant à lui de définir le nombre de vecteurs de cointégration à intégrer dans le modèle.
Au cours de la création du modèle ainsi que des tests réalisés, un certain nombre d’hypothèses est effectué sur les résidus du modèle : l’homoscédasticité (égalité des variances) des erreurs, l’absence de corrélation entre les erreurs et la normalité des résidus.
Ces hypothèses doivent être vérifiées pour valider le modèle obtenu. Un back-testing, réalisé sur les données de la Sécurité sociale, est ensuite nécessaire pour vérifier les performances du modèle.
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Une fois le modèle validé, les variables explicatives sont projetées afin de pouvoir effectuer des prédictions sur les prestations futures de l’assureur :
Le graphique ci-dessus présente l’évolution des montants réels versés à l’assureur au titre de l’incapacité en euros ainsi que les montants projetés et prédits par le modèle vectoriel à correction d’erreur. Les montants estimés de l’année 2020 sont difficilement interprétables et assez éloignés de la hausse à laquelle il est possible de s’attendre en cas de pandémie. Cela s’explique par le fait que le modèle ne prend pas en compte les arrêts directement causés par la maladie. En revanche, les prédictions de l’année 2021 sont plus stables et cohérentes, sous condition d’un ralentissement de la propagation du virus. Le modèle obtenu semble donc être en mesure d’estimer la dégradation de la sinistralité à long terme suite à la pandémie. Le modèle prévoit une augmentation de 20 % des prestations entre les années 2019 et 2021.
Les caractères incertains de l’évolution de la pandémie actuelle et de la santé économique future du pays contraignent à l’application de chocs sur les variables du modèle.
Il en ressort que les prédictions sont sensibles à l’évolution économique et financière du pays.
Dans le scénario le plus pessimiste pris en compte par les chocs, les prestations estimées augmentent de 8,4 % sur 2021.
Néanmoins les résultats doivent être pris avec prudence. Le modèle ne prenant pas en compte les arrêts directement liés à la maladie, mais seulement les arrêts liés à la dégradation de l’environnement économique et financier de la France, l’adéquation des prédictions aux
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000
Prestations versées au titre de l'incapacité en euros
Prédictions Montants projetés Valeurs réelles
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valeurs réelles futures dépend fortement de l’évolution de la propagation du virus. La prise en compte des arrêts liés à la propagation du virus pourrait être réalisée à l’aide d’un modèle épidémiologique.
L’hypothèse d’une évolution des prestations de l’assureur suivant celle de la Sécurité sociale étant une hypothèse restrictive, ne s’adaptant pas à tous les portefeuilles, il serait préférable d’ajuster un modèle directement sur l’historique de prestations de l’assureur, si la profondeur de ce dernier le permet.
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Summary
Disability is the temporary interruption of work activities due to injury or illness, resulting in a reduction in income for the individual concerned. This risk, by its nature, is strongly impacted during the spread of a pandemic, which refers to the spread of a disease over a large geographical area and affecting a significant portion of the population. However, the consequences of a pandemic are numerous and can be very significant. It can lead to increased mortality, morbidity, health costs, work stoppages, economic downturns and business interruption. Many experts agree that Covid-19 will create one of the largest economic crises in the world.
This is why it is important for insurers to take an interest in this risk, so that the occurrence of a pandemic does not jeopardize their financial stability. The pandemic risk, which seemed to be little considered, is now the focus of attention following the spread of Covid-19. In the short term, the impact on the loss ratio is important for insurers. But the French and world economy is also strongly impacted. The slowdown of the economy, mainly due to various containment or restriction measures, has put many companies in difficulty. For this reason, the number of company failures is expected to rise sharply in 2021.
The link between work stoppages and a country's economic health has already been highlighted. An increase in the number of lost-time accidents is therefore to be expected even after the pandemic is over, due to the deterioration of France's economic situation. The objective of this paper is therefore not to attempt to estimate the stoppages caused directly by the Covid-19, but rather to estimate the deterioration of the risk of work stoppages during the economic crisis caused by the pandemic.
To carry out this study, an econometric approach is used. This paper presents a macroeconomic model, based on a vector error correction model. This method allows us to obtain, in our case, an equation of the form
∆𝑥𝑖,𝑡 = 𝑐 + 𝛾𝜇𝑡−1+ ∑ 𝛽1,𝑖,𝑘
𝑝
𝑘=1
∆𝑥1,𝑡−𝑘+ ∑ 𝛽2,𝑖,𝑘
𝑝
𝑘=1
∆𝑥2,𝑡−𝑘+ ⋯ + ∑ 𝛽𝑁,𝑖,𝑘
𝑝
𝑘=1
∆𝑥𝑁,𝑡−𝑘+ 𝜀𝑡
where 𝜇𝑡= 𝛼0+ 𝛼1𝑥1,𝑡+ 𝛼2𝑥2,𝑡+ ⋯ + 𝛼𝑁𝑥𝑁,𝑡.
𝜀𝑡 is a white noise and the parameters 𝛽𝑛,𝑖,𝑘, 𝛼𝑖, 𝑝, 𝑐 and 𝛾 are to be determined.
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∆𝑥𝑖,𝑡 is therefore our variable to explain. In this study, it represents an insurer's disability services. Nevertheless, the available history is not large enough to fit and test a model. The model is therefore initially adjusted on Social Security disability services extracted from the Open Damir database. In a second step, the assumption is made that the evolution of the claims experience of the insurance portfolio follows that of the Social Security, which allows to use the model obtained on the insurer's services.
The explanatory variables used by the model are economic and financial variables mainly derived from INSEE, Banque de France or Eurostat data. They are selected according to their relevance, using the Akaike Information Criteria as a criterion.
The implementation of a vector error correction model is done in several steps. First of all, it is necessary to check that all the variables used by the model are of the same order of integration. A process is said to be integrated of order 𝑑 if this same process differentiated 𝑑 times is stationary. This verification is done using the unit root test strategy. Then, the optimal delay 𝑝 is determined using the AIC and the Johansen cointegration test is used to define the number of cointegration vectors to be integrated into the model.
During the creation of the model as well as the tests carried out, a certain number of hypotheses are made about the model residuals : the homoscedasticity (equality of variances) of the errors, the absence of correlation between the errors and the normality of the residuals.
These hypotheses must be verified in order to validate the model obtained. Back-testing, carried out on Social Security data, is then necessary to verify the model's performance.
Once the model is validated, the explanatory variables are projected in order to make predictions of the insurer's future services :
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The graph above shows the evolution of the actual amounts paid by the insurer for disability in euros as well as the amounts projected and predicted by the vector error correction model. The estimated amounts for the year 2020 are difficult to interpret and quite far from the increase that can be expected in the event of a pandemic, which can be explained by the fact that the model does not take into account the disabilities directly caused by the illness. On the other hand, the predictions for the year 2021 are more stable and consistent, provided that the spread of the virus slows down. The model obtained therefore seems to be able to estimate the long-term degradation of the claims rate following the pandemic. The model predicts a 20 % increase in services between the years 2019 and 2021.
The uncertain nature of the evolution of the current pandemic as well as the future economic health of the country makes it necessary to apply shocks to the model's variables.
This shows that the predictions are sensitive to the economic and financial evolution of the country. In the most pessimistic scenario taken into account by the shocks, the estimated services increase by 8.4% over 2021.
Nevertheless, the results should be taken with caution. As the model does not take into account the stoppages directly linked to the illness, but only those linked to the deterioration of the economic and financial environment in France, the adequacy of the predictions to future real values depends strongly on the evolution of the spread of the virus.
An epidemiological model could be used to take into account stoppages related to the spread of the virus.
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000
Disability services paid in euros
Predictions Projected amounts Real values
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Since the assumption that the insurer's services will evolve in line with Social Security services is a restrictive assumption that does not fit all portfolios, it would be preferable to adjust a model directly on the insurer's services history, if the depth of the data allows it.
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Sommaire
Synthèse ... 5
Summary ... 9
Liste des abréviations ... 16
Introduction ... 17
Partie 1 : Le cadre et contexte du mémoire ... 19
1. Le fonctionnement de l’arrêt de travail en France ... 20
1.1. Généralités sur la prise en charge de l’arrêt de travail en France ... 20
1.2. Les prestations d’incapacité... 21
1.2.1. Prestations d’incapacité de la Sécurité sociale ... 21
1.2.2. Prestations d’incapacité complémentaires ... 22
1.3. Les prestations d’invalidité ... 23
1.3.1. Prestations d’invalidité de la Sécurité sociale ... 23
1.3.2. Prestations d’invalidité complémentaires ... 25
2. Impact d’une pandémie sur l’économie ... 26
1.1. Définition d’une pandémie ... 26
1.2. Quelques exemples ... 26
1.2.1. La peste noire ... 27
1.2.2. La variole ... 27
1.2.3. La grippe espagnole ... 27
1.2.4. La grippe asiatique et la grippe de Hong-Kong... 28
1.2.5. La grippe A ... 29
1.3. Impacts de la pandémie Covid-19 et des mesures de confinement sur l’économie française ... 29
1.4. L’influence de l’environnement économique sur la sinistralité en arrêt de travail ... 30
Partie 2 : Présentation des modèles vectoriels à correction d’erreur ... 31
1. Stationnarité et cointégration ... 31
1.1. Stationnarité ... 31
1.2. Non stationnarité ... 32
1.2.1. Non stationnarité déterministe ... 32
1.2.2. Non stationnarité stochastique ... 32
14
1.3. Cointégration ... 33
2. La procédure de test de Dickey-Fuller augmenté ... 33
3. Modèles vectoriels à correction d’erreur ... 38
1.1. Définition d’un VAR ... 38
1.2. Le lag length criteria ... 38
1.3. Modèle à correction d’erreur ... 39
1.4. Modèle vectoriel à correction d’erreur ... 40
1.5. Test de cointégration de Johansen ... 41
Partie 3 : Création du modèle ... 43
1. Variables utilisées par le modèle ... 43
1.1. Le PIB (INSEE) ... 43
1.2. L’inflation (INSEE) ... 44
1.3. La dette des ménages (Banque de France) ... 44
1.4. La dette publique (INSEE) ... 45
1.5. Le chômage (INSEE) ... 46
1.6. Le taux d’emploi des 55-64 ans (INSEE) ... 46
1.7. Le cours du CAC 40 (Yahoo finance) ... 47
1.8. Le nombre de défaillances d’entreprises (INSEE) ... 47
1.9. Le nombre moyen d’heures travaillées par an (INSEE) ... 48
1.10. L’emploi à temps partiel (INSEE) ... 48
1.11. Le taux de change euro dollar (Eurostat)... 49
1.12. Le taux de natalité ... 49
1.13. Le taux de mortalité ... 50
1.14. Les montants versés par la Sécurité sociale en prestations incapacité ... 50
2. Mise en place du modèle ... 52
2.1. Ordre d’intégration des variables étudiées ... 52
2.2. Détermination du retard optimal ... 58
2.3. Test de cointégration de Johansen ... 58
2.4. Sélection des variables ... 60
Partie 4 : Application et résultats ... 61
1. Présentation du modèle ... 61
2. Vérification des hypothèses ... 63
2.1. Homoscédasticité des erreurs ... 63
15
2.2. Non autocorrélation des erreurs ... 64
2.3. Normalité des erreurs ... 65
3. Prédictions du modèle ... 66
4. Application à une base de données de sinistres d’un assureur ... 68
3.1. Présentation de la base de données ... 68
3.2. Projection des données assurantielles jusqu’en 2019 ... 69
3.3. Prédictions du modèle appliqué à la base de données assurantielle ... 70
3.3.1. Projection des variables explicatives et des prestations ... 70
3.3.2. Sensibilité des prédictions aux variations des variables explicatives ... 72
Conclusion : ... 74
Table des figures... 76
Table des tableaux ... 77
Bibliographie ... 78
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Liste des abréviations
CSG Contribution Sociale Généralisée TS Trend Stationnary
DREES Direction de la Recherche, des Etudes, de l’Evaluation et des Statistiques
AT Arrêt de Travail
MP Maladie Professionnelle AVQ Actes de la Vie Quotidienne OMS Organisation Mondiale de la Santé PIB Produit Intérieur Brut
IPC Indice des Prix à la Consommation AIC Critère d’Information d’Akaike
VECM Modèle vectoriel à correction d’erreur
VAR Vecteur AutoRégressif
SMIC Salaire Minimum de Croissance CPAM Caisse Primaire d’Assurance Maladie
PGE Prêt Garanti par l’Etat
BPS Points de base
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Introduction
Selon l’OMS, le terme pandémie désigne une maladie touchant une partie importante de la population, sur une large zone géographique. Cette définition est assez large et peut différer selon les différentes organisations de santé. Néanmoins, la déclaration officielle d’une pandémie se fait toujours par l’OMS.
De nombreux exemples historiques montrent que la menace de ce risque est considérable. Il est ainsi possible de citer la grippe espagnole, ayant sévi de 1918 à 1919, le VIH, découvert en 1981 et encore largement répandu, ou encore très récemment la Covid-19, qui a commencé à se répandre en novembre 2019. Les conséquences d’une pandémie sont nombreuses et peuvent être très importantes. Elle peut entrainer une augmentation de la mortalité, de la morbidité, des frais de santé, des arrêts de travail ou encore un ralentissement de l’économie et des pertes d’exploitation commerciale. De nombreux experts s’accordent d’ailleurs à dire que la Covid-19 engendrera l’une des plus importantes crises économiques que le monde ait connue.
C’est la raison pour laquelle il est important pour les assureurs de s’intéresser à ce risque, afin que la survenance d’une pandémie ne remette pas en question leur stabilité financière. Le risque pandémique, qui semblait être peu considéré, est maintenant au cœur de l’attention suite à la propagation de la Covid-19. A court terme, l’impact sur la sinistralité devrait être important pour les assureurs. Les risques opérationnels ont déjà largement dû impacter leur organisation. De même, les risques collatéraux des marchés financiers (risque de crédit, risque de liquidité, etc.) ne doivent pas être négligés. Selon une étude réalisée par le cabinet Addactis, les assureurs vie ont ainsi perdu 20 à 40 points de solvabilité au premier trimestre 2020. Les finances de l’Etat français ont également été impactées. La dette publique passera de 100 % du PIB français en 2019 à plus de 120% du PIB français en 2020 d’après le budget rectificatif de la Cour des comptes.
L’existence d’un lien entre l’arrêt de travail et la santé économique d’un pays a déjà été pointée dans divers travaux. Outre les arrêts de travail des personnes affectées par la Covid-19 ou des personnes fragiles, une hausse de la sinistralité arrêt de travail est à prévoir dans les années à venir à cause de la dégradation de la situation économique de la France, et plus généralement du monde. Mais les assureurs sont-ils suffisamment préparés pour faire face à ce nouveau risque ? Quel sera l’impact de la Covid-19 sur la sinistralité du risque arrêt de travail à long terme ? L’objectif de ce mémoire n’est donc pas de chercher à estimer les
18
arrêts engendrés directement par la Covid-19, mais plutôt d’estimer la dégradation du risque arrêt de travail suite à la crise économique engendrée par la pandémie.
C’est la question à laquelle ce mémoire a pour ambition de répondre. La première partie tâchera de présenter le cadre du mémoire, en définissant le risque arrêt de travail, la notion de pandémie, le cas de la Covid-19 et en introduisant l’influence de l’environnement économique sur la sinistralité arrêt de travail. Dans un deuxième temps, le modèle mis en place ainsi que les notions qui en découlent seront présentés sous un aspect théorique. Le modèle décrit ici est un modèle vectoriel à correction d’erreur, concept très utilisé pour les séries chronologiques dans le domaine de l’économétrie. Les données utilisées, leurs principales caractéristiques ainsi que les retraitements réalisés seront ensuite présentés. Pour finir, la quatrième partie s’attachera à présenter les prévisions réalisées par le modèle.
19
Partie 1 : Le cadre et contexte du mémoire
Depuis plusieurs années en France, les dépenses de la Sécurité sociale sont en hausse.
Les dépenses d’indemnités journalières liées aux arrêts de travail n’y font pas exception, comme le montre le graphique suivant :
Les dépenses de prestation de protection sociale ont augmenté de 7,5 % entre 2014 et 2018.
Les prestations au titre de l’arrêt de travail se sont également accélérées durant cette période, passant de 44,5 milliards d’euros en 2014 à 48 milliards d’euros en 2018, soit une augmentation de près de 8 %. Cette augmentation des arrêts de travail est due à la croissance des arrêts de longue durée. Ce phénomène s’explique principalement par le recul de l’âge de départ à la retraite et par le vieillissement global de la population des travailleurs. C’est dans ce contexte que plusieurs études ont déjà pu mettre en évidence l’impact du contexte économique de la France sur le risque arrêt de travail. En effet, depuis la crise de la Covid-19 et le confinement, l’économie française et mondiale en général inquiètent. C’est pour cette raison qu’une hausse significative de l’incidence en arrêt de travail est à prévoir à long terme, et ce même si la pandémie venait à disparaître. L’objectif de ce mémoire est ainsi d’étudier l’impact de la Covid-19 sur les arrêts de travail à long terme.
Cette première partie donne une vision générale de l’arrêt de travail, puis en décrira les prestations versées.
580 600 620 640 660 680 700 720 740 760
2014 2015 2016 2017 2018
Dépenses annuelles de la Sécurité sociale en milliards
Autre AT/MP Invalidité
Figure 1 : Prestations de protection sociale en milliards d'euros
20
1. Le fonctionnement de l’arrêt de travail en France
1.1. Généralités sur la prise en charge de l’arrêt de travail en France
D’après l’Organisation Internationale du Travail, 55 % de la population mondiale ne bénéficiait d’aucune prestation de protection sociale en 2017. La France possède l’un des systèmes de protection sociale, la Sécurité sociale, les plus importants du monde. Ainsi, d’après la DREES, les dépenses de prestations de protection sociale en France représentaient 31,7 % du PIB en 2017. Elle se place en première position du classement de l’Union Européenne en matière de dépenses de prestations sociales en part du PIB, devant le Danemark avec 30,8 % du PIB. La moyenne des 28 pays membres de l’Union Européenne était alors de 27,6 % du PIB.
Le terme de Sécurité sociale recouvre l’ensemble des régimes légaux obligatoires. Ils assurent la protection des français contre un grand nombre de risques sociaux : maladie, maternité/paternité, invalidité, incapacité, décès, chômage, accident de travail et maladie professionnelle. Le paiement de cotisations sociales est obligatoire et donne droit à une couverture de base. Les cotisations sont calculées en pourcentage du salaire brut et financées, pour la majorité d’entre elles, par l’employeur et par le salarié.
Cependant, cette couverture de base n’est généralement pas suffisante pour combler la totalité de la perte de revenus ou de la hausse des dépenses. D’où la nécessité de l’intervention de régimes complémentaires de prévoyance.
La prévoyance est une assurance de la personne qui permet de se prémunir contre les risques de l’existence. En contrepartie de cotisations, ils assurent des prestations qui viennent compléter celles de la Sécurité sociale. Les couvertures de prévoyance permettent un remboursement complémentaire des dépenses de santé, d’assurer le maintien total ou partiel du salaire en cas d’arrêt de travail, de garantir un complément financier en cas de dépendance ou encore de garantir un capital et des rentes au conjoint et aux enfants en cas de décès de l’assuré.
L’assurance prévoyance peut être souscrite à titre collectif, en adhérant à un contrat collectif par l’intermédiaire de son employeur, ou à titre individuel afin de compléter le régime de base de la Sécurité sociale et/ou du régime d’entreprise.
21
L’invalidité et l’incapacité forment le risque arrêt de travail. La relation qui les relie peut être illustrée de la manière suivante :
Les flèches représentent les changements d’états possibles. La seule amélioration de l’état possible est le passage d’incapable à valide. Il est également important de remarquer que :
• L’invalidité est considérée comme un état irréversible.
• Une personne en incapacité depuis 36 mois passera automatiquement en invalidité.
• Dans ce schéma, l’invalidité continue jusqu’au décès et ne s’arrête pas lors du départ à la retraite.
1.2. Les prestations d’incapacité
L’incapacité correspond à une interruption momentanée des activités professionnelles pour cause de blessure ou de maladie, entraînant alors une baisse de revenus pour l’individu concerné.
1.2.1. Prestations d’incapacité de la Sécurité sociale
En cas d’incapacité temporaire de travail, la Sécurité sociale prévoit le versement d’indemnités journalières. Cette prestation peut être vue comme un salaire de remplacement dont le montant dépend du salaire de la personne en arrêt, de sa situation familiale et de la
Figure 2 : Schéma des différents états pour l'arrêt de travail
22
durée de l’arrêt. Les indemnités sont versées après une franchise de trois jours et pendant au maximum trois ans. Après ce délai, l’individu est alors considéré comme invalide et devient indemnisé à ce titre, selon une classification de la Sécurité sociale.
Le montant de l’indemnité journalière est égal à 50 % du salaire journalier de base.
Celui-ci est calculé sur la moyenne des trois derniers salaires bruts perçus avant l’arrêt. Le salaire pris en compte pour le calcul est plafonné à 1,8 fois le montant du SMIC (Salaire Minimum de Croissance) en vigueur (2770,95 € par mois en 2020).
Deux cas particuliers d’incapacité sont cependant à distinguer :
• Les maladies professionnelles ou les accidents du travail. Il n’y a alors pas de délai de carence et la valeur de l’indemnité journalière sera de 60 % du salaire journalier jusqu’au 28ème jour et de 80 % du salaire journalier à partir du 29ème jour, avec un plafond appliqué.
• La maternité. Il n’y a aucun délai de carence, le montant de l’indemnisation est plafonné et est calculé sur la moyenne des trois salaires précédents.
1.2.2. Prestations d’incapacité complémentaires
Les prestations de la Sécurité sociale étant insuffisantes pour maintenir le niveau de vie du salarié pendant l’arrêt, le Code du travail prévoit une prestation complémentaire de l’employeur. L’entreprise assure aux salariés disposant d’au moins un an d’ancienneté un maintien de salaire en cas d’arrêt de travail. Le montant et la durée varient selon l’ancienneté au sein de l’entreprise. Les versements viennent ainsi compléter ceux de la Sécurité sociale afin que les revenus de la personne en arrêt atteignent (sauf application d’une convention collective plus favorable) :
• 90% du salaire brut durant 30 jours à partir du 8ème jour en cas de maladie ou d’accident ;
• 66,66% du salaire brut durant les 30 jours suivants.
Les durées augmentent de 10 jours par tranche de 5 ans d’ancienneté, jusqu’à une durée maximale de versement des indemnités de 180 jours au total (90 jours à 90% et 90 jours à 66,66%).
Les garanties de prévoyance complètent les prestations servies par la Sécurité sociale ainsi que les obligations de l’employeur. La mise en place d’un régime de prévoyance dans
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l’entreprise résulte d’une convention collective, d’un accord de branche, d’un accord au niveau de l’entreprise ou du groupe, d’un référendum organisé par l’employeur ou d’une décision unilatérale de l’employeur.
Les assureurs proposent également de nombreux types de contrats de prévoyance aux particuliers pour répondre à leurs besoins. L’offre individuelle permet d’apporter une réponse aux personnes qui ne sont pas couvertes contre certains risques par l’entreprise, qui estiment que leur couverture n’est pas suffisante ou aux anciens salariés après leur départ à la retraite.
Un assuré peut donc posséder plusieurs contrats de prévoyance ou être ayant droit de plusieurs contrats, néanmoins le cumul des prestations est limité. Le remboursement ne peut en effet pas dépasser les dépenses réellement engagées, ou, dans le cas des arrêts de travail, la perte de revenu.
1.3. Les prestations d’invalidité
L’invalidité correspond à une diminution du potentiel physique ou psychique d’une personne une fois son état stabilisé.
1.3.1. Prestations d’invalidité de la Sécurité sociale
D’après l’article L341-1 du Code de la Sécurité sociale, l’invalidité correspond à « une invalidité réduisant dans des proportions déterminées, sa capacité de travail ou de gain, c’est- à-dire le mettant hors d’état de se procurer, dans une profession quelconque, un salaire supérieur à une fraction de la rémunération normale perçue dans la même région par des travailleurs de la même catégorie, dans la profession qu’il exerçait avant la date de l’interruption de travail suivie d’invalidité ou de la date de constatation médicale de l’invalidité si celle-ci résulte de l’usure prématurée de l’organisme ». Cette définition concerne uniquement l’invalidité due à une maladie ou un accident non professionnel. Afin de déterminer les prestations auxquelles un assuré a le droit, la Sécurité sociale doit procéder à une évaluation de l’invalidité. Un médecin de la Sécurité sociale attribue un taux d’invalidité, qu’il détermine en combinant un taux d’invalidité fonctionnelle, lié à la capacité d’exercer des gestes de la vie quotidienne, et un taux d’invalidité professionnelle, lié à la possibilité pour l’assuré d’exercer ou non son métier. Le barème d’évaluation du taux d’invalidité est le suivant :
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Taux d'invalidité fonctionnelle
Taux d'invalidité professionnelle
20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
10% 29% 33% 37% 40% 43% 46%
20% 32% 37% 42% 46% 50% 55% 58%
30% 30% 36% 42% 48% 53% 58% 62% 67%
40% 25% 33% 40% 46% 52% 58% 64% 69% 74%
50% 27% 36% 43% 50% 56% 63% 68% 74% 79%
60% 29% 38% 46% 53% 60% 66% 73% 79% 84%
70% 30% 40% 48% 56% 63% 70% 77% 83% 89%
80% 32% 42% 50% 58% 66% 73% 80% 87% 93%
90% 33% 43% 52% 61% 69% 76% 83% 90% 97%
100% 34% 45% 54% 63% 71% 79% 86% 93% 100%
Tableau 1 : Barème d'évaluation du taux d'invalidité
La Sécurité sociale distingue ainsi trois catégories d’invalidité :
• 1ère catégorie : invalide capable d’exercer une activité rémunérée.
Un assuré dont le taux d’invalidité se situe entre 33 % et 66 % appartient à cette première catégorie.
• 2ème catégorie : invalide absolument incapable d’exercer une profession quelconque.
Un assuré dont le taux d’invalidité est supérieur à 66 % appartient à la deuxième catégorie d’invalidité.
• 3ème catégorie : invalide absolument incapable d’exercer une profession et dans l’obligation d’avoir recours à l’aide d’une tierce personne pour effectuer les actes ordinaires de la vie.
Cette catégorie réunie les invalides dont le taux d’invalidité est supérieur à 66% et ayant besoin d’aide pour réaliser les Actes de la Vie Quotidienne (AVQ), à savoir se déplacer, se lever/se coucher, s’alimenter, s’habiller, se laver et aller aux toilettes.
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D’après la DREES, la répartition des bénéficiaires de pensions d’invalidité du régime général était la suivante en 2017 :
Dans le cas où l’invalidité fait suite à une maladie professionnelle ou un accident de travail, l’individu est considéré comme en incapacité permanente. Un taux d’incapacité permanente, dépendant de la nature de l’infirmité, de l’âge, de l’état général, des facultés physiques et mentales et des aptitudes et qualifications professionnelles de l’individu, est alors déterminé par un médecin conseil de la Caisse Primaire d’Assurance Maladie (CPAM). La prestation versée à l’assuré dépend de ce taux.
1.3.2. Prestations d’invalidité complémentaires
La pension d’invalidité prend la forme d’une rente exprimée en % du salaire brut. Le régime complémentaire intervient en complément des prestations de la Sécurité sociale, la rente d’invalidité est donc versée sous déduction de la rente du régime de base. Son montant peut aller jusqu’à 100% du salaire brut, mais le salarié ne peut jamais percevoir de prestation dont le montant dépasse le salaire antérieur d’activité. La rente est revalorisée et servie jusqu’à l’âge de la retraite.
24%
74%
2%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Pourcentage des bénéficiaires de pension d'invalidité
Catégorie 1 Catégorie 2 Catégorie 3
Figure 3 : Répartition des bénéficiaires de pensions d’invalidité du régime général en 2017
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2. Impact d’une pandémie sur l’économie
1.1. Définition d’une pandémie
Avant de définir le terme « pandémie », il est important de bien le différencier des termes « endémie » et « épidémie ». Ces trois termes étaient initialement dédiés aux maladies infectieuses, c’est-à-dire de maladies provoquées et transmises par un micro- organisme ou un agent infectieux (virus, bactérie, parasite, champignon, etc.). Leur utilisation s’est ensuite étendue à toutes les maladies.
L’endémie désigne la présence habituelle et prolongée d’une maladie dans une région précise. Le paludisme est par exemple endémique dans la plupart des pays d’Afrique ainsi que dans de nombreux pays d’Asie et d’Amérique. On peut également citer l’hépatite A, endémique en Thaïlande, ainsi que la bilharziose, une maladie parasitaire endémique dans de nombreuses zones tropicales.
L’épidémie se définit ensuite par la propagation rapide d’une maladie dans une région donnée et à un instant donné. Le terme épidémie est généralement utilisé pour désigner le développement de maladies infectieuses, mais il a récemment été utilisé pour d’autres types de maladies telles que l’obésité.
Enfin, la pandémie désigne la propagation d’une maladie sur une large zone géographique et touchant une partie importante de la population. Elle peut ainsi être vue comme une épidémie de grande envergure présente sur plusieurs continents. La peste noire, la variole, la grippe espagnole ou plus récemment le VIH et la Covid-19 sont des exemples de pandémies.
L’autorité directrice et coordinatrice dans le domaine de la santé, l’OMS, est chargée de diriger l’action sanitaire mondiale en cas de pandémie. C’est donc cette entité qui, en collaboration avec ses Etats membres, a pour mission de définir la phase dans laquelle l’épidémie se trouve, ainsi que les actions devant être menées afin d’assister les populations, traiter la maladie ou encore produire un vaccin.
1.2. Quelques exemples
Au cours de l’histoire de l’être humain, plusieurs pandémies ont été recensées. Le manque de données ne permet pas de donner les impacts précis de ces dernières, néanmoins
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cette partie tâchera de présenter les exemples les plus connus, soit par leur impact sur la société, soit pour leur proximité temporelle avec notre époque.
1.2.1. La peste noire
La peste noire, ou Grande Peste, est le nom donné à une pandémie de peste ayant sévi entre 1347 et 1351 en Europe, Asie et Afrique. Cette maladie, causée par une bactérie présente chez certains rongeurs, serait venue d’Extrême Orient et transmise à l’Homme par les puces.
La bactérie aurait transité par navire avant d’arriver dans les ports méditerranéens, lui permettant de se répandre rapidement. Ainsi, en l’espace de 4 ans, la peste noire emporta entre un tiers et la moitié de la population européenne selon les estimations. Les conséquences sur l’économie sont très importantes. La baisse brutale de la population entraîne un manque de main d’œuvre, et donc une hausse du prix du travail, mais également une chute du prix des logements.
1.2.2. La variole
La variole est une maladie d’origine virale apparue il y a plusieurs milliers d’année. La plus grande pandémie de variole a eu lieu entre les années 1500 et 1800 environ, faisant entre 56 millions et 60 millions de morts selon les estimations. Les expéditions des colons européens et l’accélération du commerce a permis à la maladie de se propager dans le monde entier.
La maladie continuera ensuite de sévir dans le monde entier, faisant plusieurs millions de victimes tous les ans dans le monde, avant d’être déclarée éradiquée en 1980 par l’OMS à la suite d’une campagne mondiale de vaccination.
1.2.3. La grippe espagnole
La grippe espagnole est une pandémie grippale ayant frappé le monde en 1918 et 1919. Elle serait apparue aux Etats-Unis en 1918 dans un camp militaire, avant d’être exportée en Europe par l’armée américaine. La maladie s’est ensuite rapidement propagée dans le monde entier, infectant un tiers de la population mondiale et faisant entre 20 et 100 millions de victimes.
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Cette pandémie a eu un lourd impact économique et social. Certains pays ont préconisé la mise en place de gestes barrières : lavage des mains, port de masques, quarantaine, interdiction des rassemblements ou encore désinfection des transports. Les lieux publics sont également fermés et de nombreuses personnes refusent de travailler en raison du nombre élevé de personnes infectées. La fréquentation des commerces diminue et certaines entreprises suspendent leurs activités.
Une autre conséquence de la maladie a aussi été l’affaiblissement du système immunitaire des personnes guéries. De nombreuses complications au niveau de l’organisme, pouvant mener jusqu’au décès, ont pu être observées les années suivantes.
1.2.4. La grippe asiatique et la grippe de Hong-Kong
D’après l’OMS, la grippe asiatique et la grippe de Hong-Kong ont chacune fait entre 1 et 4 millions de victime. La grippe asiatique est apparue en Chine en 1956, puis est devenue pandémique entre 1957 et 1958. Le virus aurait ainsi contaminé entre 250 millions et 1 milliard de personnes. Il a ensuite continué de circuler pendant 10 ans avant subir une recombinaison virale, c’est-à-dire un mélange du programme génétique de deux virus. Le nouveau virus engendre une nouvelle pandémie : la grippe de Hong-Kong. Elle apparaît en 1968 et se répandra dans le monde jusqu’en 1969.
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1.2.5. La grippe A
La grippe A est le nom donné à la pandémie de grippe ayant eu lieu de 2009 à 2010. Le virus à l’origine de la pandémie est composé de gènes d’origine aviaire, porcine et humaine.
La maladie serait apparue au Mexique avant de se répandre dans le monde entier, avec au moins 125 pays touchés selon l’OMS. Ainsi, la maladie a contaminé entre 700 millions et 1,9 milliard de personnes et fait entre 151 000 et 575 000 victimes.
Cette pandémie n’a eu que peu de conséquences économiques et sociales, car son taux de complications sévères était proche de celui des grippes saisonnières.
1.3. Impacts de la pandémie Covid-19 et des mesures de confinement sur l’économie française
La Covid-19 est une maladie apparue en novembre 2019 en Chine. Le virus responsable de la maladie, le SARS-CoV-2, s’est ensuite rapidement répandu dans le monde entier. L’OMS déclare l’état de pandémie le mars 11 mars 2020 et recommande des mesures de distanciation sociale ainsi qu’une hygiène préventive renforcée. De nombreux pays, dont la France, mettent en place des mesures de confinement afin de freiner la propagation du virus, entraînant un ralentissement de l’économie mondiale.
Les conséquences de la propagation du virus et du confinement se font rapidement ressentir dans le monde entier. Les marchés boursiers se sont effondrés et ont connu leur plus forte baisse depuis la crise financière de 2008. A titre d’exemple, le CAC 40 a perdu près de 40% de sa valeur entre le 19 février et le 18 mars 2020. En France, les deux mois de confinement ont entraîné une baisse de 5,9 % du PIB au premier trimestre 2020 et de 13,8 % au second trimestre. Les conséquences de cette baisse d’activité ne sont pas encore pleinement mesurées. L’Etat a mis en place un PGE (Prêt Garanti par l’Etat) qui consiste à garantir les prêts accordés par les banques aux entreprises. Ce prêt est attribué aux entreprises afin qu’elles puissent faire face à leurs besoins de trésorerie, et est limité à 25 % de leur chiffre d’affaires hors taxes 2019. Le PGE permet donc de maintenir en vie de nombreuses sociétés en augmentant considérablement leurs dettes auxquelles certaines ne pourront pas faire face. D’après une étude réalisée par Coface, le nombre de défaillance d’entreprises augmentera de 21 % en 2021 par rapport à 2019. Une hausse du chômage est donc également à prévoir.
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Les mesures de chômage partiel ainsi que les nombreux plans de soutien nécessaires pour les secteurs d’activité les plus en difficultés ont également eu un impact sur les finances de l’Etat. La dette publique passera de 100 % du PIB français en 2019 à plus de 120% du PIB français en 2020 d’après le budget rectificatif de la Cour des comptes. Selon l’évolution de la propagation du virus et les mesures prises par le gouvernement, la dette pourrait encore être amenée à augmenter d’ici la fin de l’année.
En plus des conséquences économiques et financières, les conséquences sociales et sanitaires sont importantes. D’après l’OMS, près de 25 millions de personnes ont été contaminées dans le monde au 31 août 2020 et le virus a fait plus de 830 000 victimes à cette même date.
1.4. L’influence de l’environnement économique sur la sinistralité en arrêt de travail
Plusieurs travaux réalisés par le passé ont montré l’existence d’un lien entre certains indicateurs économiques, sociaux ou financiers, et la sinistralité arrêt de travail. Le contexte socio-économique d’un pays aurait donc un impact direct sur la sinistralité de certains produits d’assurance.
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Partie 2 : Présentation des modèles vectoriels à correction d’erreur
L’analyse de la cointégration, présentée par Engle & Granger (1987) est considérée par de nombreux économistes comme un des concepts récents constituant un des plus grands progrès dans le domaine de l’analyse des séries temporelles et de l’économétrie. Elle permet de mettre en évidence une relation stable à long terme entre des variables non stationnaires, même si l’évolution peut être divergente à court terme. La notion de stationnarité ainsi que les problématiques qui s’ensuivent seront détaillées, puis le concept de cointégration, les tests de cointégration ainsi que les modèles vectoriels à correction d’erreur seront présentés.
1. Stationnarité et cointégration
1.1. Stationnarité
Lors de l’étude de séries temporelles, il est souvent essentiel de savoir si ces séries suivent un processus dont la structure évolue avec le temps afin de pouvoir mettre en place un modèle adapté. C’est ce qui nous amène à définir la notion de stationnarité.
Soit (𝑥𝑡, 𝑡 ∈ ℕ) un processus. Il est dit stationnaire au sens faible si :
• Ɐt ∈ ℕ, 𝐸(𝑥𝑡) = 𝑚 un réel indépendant de t
• Ɐt ∈ ℕ, 𝑉(𝑥𝑡) = 𝜎2 < ∞
• Ɐt ∈ ℕ, Ɐk ∈ ℕ, 𝐶𝑜𝑣(𝑥𝑡, 𝑥𝑡−𝑘) = 𝑓(𝑘)
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1.2. Non stationnarité
Par opposition, un processus est dit non stationnaire s’il ne satisfait pas l’une des conditions précédentes. Il est alors possible de distinguer deux types de non stationnarité selon que ce soit la condition sur le moment d’ordre un qui ne soit pas satisfaite ou les conditions sur le moment d’ordre deux. Dans le premier cas, on parle de non stationnarité déterministe (ou Trend Stationnary) et dans le second cas, de non stationnarité stochastique (ou Differency Stationnary).
1.2.1. Non stationnarité déterministe
Un processus (𝑥𝑡, 𝑡 ∈ ℕ) est caractérisé par une non stationnarité déterministe s’il peut s’écrire sous la forme :
𝑥𝑡 = α + βt + 𝜀𝑡
Où 𝜀𝑡 est un bruit blanc faible représentant l’erreur du modèle au temps 𝑡 et α, β sont deux réels.
Un tel processus est appelé processus TS (Trend Stationnary). Il n’est pas stationnaire car 𝐸(𝑥𝑡) = α + βt dépend du temps 𝑡.
Il est possible de stationnariser 𝑥𝑡 en lui retranchant sa tendance déterministe.
1.2.2. Non stationnarité stochastique
Un processus (𝑥𝑡, 𝑡 ∈ ℕ) est caractérisé par une non stationnarité stochastique si le processus différencié une fois (1 − 𝐿)𝑥𝑡 est stationnaire. Le processus est ainsi dit intégré d’ordre 1 et noté 𝑥𝑡~𝐼(1) :
(1 − 𝐿)𝑥𝑡 = 𝑧𝑡 stationnaire ⇒ 𝑥𝑡− 𝑥𝑡−1= 𝑧𝑡 Avec 𝐿 une opération de retard telle que (1 − 𝐿)𝑥𝑡= 𝑥𝑡− 𝑥𝑡−1.
De manière générale, un processus (𝑥𝑡, 𝑡 ∈ ℕ) est intégré d’ordre 𝑑, avec 𝑑 le degré d’intégration, si le processus différencié 𝑑 fois (1 − 𝐿)𝑑𝑥𝑡 est stationnaire. Il est noté 𝑥𝑡~𝐼(𝑑).
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1.3. Cointégration
La cointégration est une notion essentielle lors de l’étude de variables non stationnaires. Elle permet de mettre en évidence des relations de long terme entre les variables, bien que l’évolution de ces variables puisse être divergente à court terme.
Soit 𝑥𝑡 et 𝑦𝑡 deux processus non stationnaires tels que x~𝐼(𝑑) et 𝑦𝑡~𝐼(𝑑) (avec 𝑑 un entier naturel). 𝑥𝑡 et 𝑦𝑡 sont dits cointégrés si :
𝑥𝑡− 𝑎𝑦𝑡− 𝑏 = 𝜀𝑡~𝐼(𝑑 − 𝑏) avec 𝑏 > 0 On note alors : 𝑥𝑡, 𝑦𝑡~𝐶𝐼(𝑑, 𝑑)
Une condition nécessaire de la cointégration est que les variables doivent être intégrées de même ordre, d’où l’importance de déterminer l’ordre d’intégration de tous les processus. Le test de Dickey-Fuller augmenté est largement utilisé et répandu afin de vérifier la non stationnarité des processus, puis de vérifier si les processus sont caractérisés par une non stationnarité déterministe ou stochastique, ce qui permet de déterminer leur ordre d’intégration.
2. La procédure de test de Dickey-Fuller augmenté
Dickey & Fuller (1976) sont les premiers à fournir une procédure de test permettant de détecter la présence d’une racine unitaire, et donc la non stationnarité, dans un processus autorégressif de premier ordre. Ils étendent ensuite cette procédure à des processus autorégressifs d’ordre 𝑝 quelconque. Le test est ainsi réalisé pour les régressions suivantes :
∆𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝛼 + 𝛽𝑡 + ∑𝑝𝑖=1φ𝑖∆𝑦𝑡−𝑖+ 𝜀𝑡 (1)
∆𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝛼 + ∑𝑝𝑖=1φ𝑖∆𝑦𝑡−𝑖+ 𝜀𝑡 (2)
∆𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + ∑𝑝𝑖=1φ𝑖∆𝑦𝑡−𝑖+ 𝜀𝑡 (3)
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Avec (𝑦𝑡, 𝑡 ∈ ℕ) un processus, 𝑝 le nombre de retards et 𝜀𝑡 un bruit blanc (0, 𝜎2).
Le test consiste à tester les hypothèses suivantes : 𝐻0 ∶ 𝜌 = 0 Contre
𝐻1 ∶ |𝜌| < 0 Dans chacun des trois modèles.
La stratégie du test de racine unitaire peut être résumée par le schéma suivant :
