Transducteurs d arbres et (peut-être un peu) apprentissage

(1)

Introduction Taxonomie Apprentissage Conclusion Biblio

Transducteurs d’arbres et (peut-ˆetre un peu) apprentissage

A. Lemay

2006

(2)

Taxonomie des transducteurs d’arbres

Syntax Directed translation (Irons 60)

Attributed Tree Transducers (Knuth 68, F¨ulop 81)

Rational Tree Transductions ”`a TATA” (Tatcher Wright 70) Relabeling Tree Transducers (Engelfriet 75)

Macro Tree Transducers (Engelfriet 80, ...) Tree Walking Transducers (Aho/Ullman 80)

Pebble Tree Transducers (Milo, Suciu, Vianu 2000)

MSO Tree Transducers (Engelfriet 91, Courcelle 92)

+ variantes diverses (Pebble Macro Tree Transducer, . . .)

(3)

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(4)

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(5)

SD Transducers

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(6)

SD Transducers

SD Transducers : d´efinition

D´efinition (informelle)

bas´ee sur une grammaire context-free

( ' Deux grammaires Context-Free en parall`ele) R`egles de la forme : X → aY ⁽¹⁾ Y ⁽²⁾ cZ { Y ⁽¹⁾ deZY ⁽²⁾ }

tous les non-terminaux se retrouvent dans la production pas de contraintes sur les terminaux

la production se fait en d´eroulant le parse.

Provient des travaux sur les compilateurs (origine ALGOL 60)

(7)

SD Transducers

SD Transducers : exemple

Passage infixe vers Suffixe

S → E {E } T → T × P {TP×}

E → E + T { ET + } T → T /P { TP/ } E → E − T {ET −} T → P {P}

E → T {T } P → i × P {iP×}

(8)

SD Transducers

SD Transducers : Conclusion

Conclusion

Int´erˆet historique (vient des la compilation d’ALGOL 60)

Sous-famille de transductions rationnels

(9)

Attributed Tree Transducer

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(10)

Attributed Grammars : Principes

Exemple : parcours dans l’espace

path → ε | step .path step → N | S | O | E

Idée : associer des attributs (propriétés) aux non terminaux d’une grammaire context-free

Exemple :

quelle est la longueur du chemin en nombre de pas ?

quel est le chemin parcouru sur la coordonn´ee x ou y ?

(11)

Attributed Grammar : Exemple 1

path .Pos x : Coordonn´ee en x d’un chemin step .Dep x : Coordonn´ee en x d’un pas Grammaire

Grammaire R`egle s´emantique path → ε path .Pos x = 0

path → step .path path .Dep _x = step .Dep _x + path .Pos _x step → N | S step .Dep x = 0

step → O step .Dep x = − 1

step → E step .Dep x = 1

(12)

Attributed Grammar : Exemple 1

Chemin O. N. E. : path ₀ step ₋₁

O

path ₁ step ₀

N

path ₁ step ₁

E

path ₀

ε ₀

(13)

Attributed Grammar : Exemple 1

Chemin O. N. E. : path ₀ step ₋ ₁

O

path ₁ step ₀

N

path ₁ step ₁

E

path ₀ ε ₀

+

− 1 +

0 +

1 0

Le calcul des attributs peut se voir comme une transformation

(14)

Parenth`ese

ATT et requˆete

Requˆete ATT : ATT dont l’un des attributs est bool´een

mˆeme expressivit´e que MSO (Bloem Engelfriet 96)

(15)

Attributed Grammars : attributs

Deux types d’attributs :

attributs Synthétisés (Syn ) : valeur dépendante des descendants (ici Pos x et Dep x )

attributs hérités (Inh ) : valeur dépendante des parents ou

des fr`eres (du contexte).

(16)

Attributed Grammar : exemple 2

Grammaire Infixe vers Suffixe Syn = { a _S }

Inh = {a _I }

Grammaire R`egle s´emantique S → T S.a _S = T .a _S

T .a I = ε T → 1 T .a _S = 1(T .a _I ) T → T ₁ + T ₂ T .a _S = T ₁ .a _S

T 1 .a I = T 2 .a _S

T ₂ .a _I = +(T .a _I )

(17)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = B.a _S , B.a _I = C.a _S , C.a _I = +(A.a _I )

(18)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = C.a _S , C.a _I = +()

(19)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A . a S = D . a S , B . a I = C . a S , C . a I = +() B.a _S = D.a _S , D.a _I = E.a _S ,

E .a _I = +(B.a _I )

(20)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A . a S = D . a S , B . a I = C . a S , C . a I = +() B.a _S = D.a _S , D.a _I = E.a _S ,

E .a _I = +(C.a _S )

(21)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A . a S = D . a S , B . a I = C . a S , C . a I = +() B.a _S = D.a _S , D.a _I = E.a _S ,

E .a _I = +(C.a _S )

(22)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = C.a _S , C.a _I = +() B.a _S = D.a _S , D.a I = E.a _S ,

E .a _I = +(C.a _S )

C.a _S = 1(C.a _I )

(23)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = C.a _S , C.a _I = +() B.a _S = D.a _S , D.a I = E.a _S ,

E .a _I = +(C.a _S )

C.a _S = 1(+())

(24)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = D.a _S , D.a I = E.a _S ,

E .a _I = +(C.a _S )

C.a _S = 1(+())

(25)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = D.a _S , D.a I = E.a _S ,

E .a _I = +(C.a _S )

C.a _S = 1(+())

(26)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

_S

= 1(T .a

_I

) T

2

.a

_I

= +(T .a

_I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = D.a _S , D.a I = E.a _S ,

E .a _I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

(27)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

_C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B . a S = D . a S , D . a I = E . a S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(D.a _I )

(28)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

_C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B . a S = D . a S , D . a I = E . a S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(E.a _S )

(29)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

_C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B . a S = D . a S , D . a I = E . a S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(E.a _S )

(30)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

_C

A.a _S = D.a _S , B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B . a S = 1(E . a S ), D . a I = E . a S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(E.a _S )

(31)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

_C

A.a _S = 1(E .a _S ), B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B . a S = 1(E . a S ), D . a I = E . a S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(E.a _S )

(32)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = 1(E .a _S ), B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = 1(E .a _S ), D.a _I = E.a _S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(E.a _S )

E .a S = 1(E.a I )

(33)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = 1(E .a _S ), B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = 1(E .a _S ), D.a _I = E.a _S ,

E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(E.a _S )

E .a S = 1(+(1(+())))

(34)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = 1(E .a _S ), B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = 1(E .a _S ), D.a _I = E.a _S ,

E .a I = +(1(+())) C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(1(+(1(+()))))

E .a S = 1(+(1(+())))

(35)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = 1(E .a _S ), B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = 1(1(+(1(+())))), D.a _I = E.a _S , E .a I = +(1(+()))

C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(1(+(1(+()))))

E .a S = 1(+(1(+())))

(36)

Attributed Grammar : exemple 2

R`egles

S → T S.a

S

= T .a

S

T → T

1

+ T

2

T .a

S

= T

1

.a

S

T .a

I

= ε T

1

.a

I

= T

2

.a

S

T → 1 T .a

S

= 1(T .a

I

) T

2

.a

I

= +(T .a

I

) Exemple : (1 + 1) + 1 en 1 1 + 1 +

+

_A

+

_B

1

_D

1

_E

1

C

A.a _S = 1(1(+(1(+())))), B.a _I = 1(+()), C.a _I = +() B.a _S = 1(1(+(1(+())))), D.a _I = E.a _S ,

E .a I = +(1(+())) C.a _S = 1(+())

D.a _S = 1(1(+(1(+()))))

E .a S = 1(+(1(+())))

(37)

ATT (1)

M = h Syn , Inh , Σ, ∆, a 0 , ], Ri

Syn : attributs synthétisées (par le bas) Inh : attributs hérités (par le haut) a 0 : attribut initial (∈ Syn )

] : symbole initial R : r`egles

Id´ee :

les transformations sont des attributs des noeuds

l’arbre de sortie est un attribut de la racine

Syn permet une transformation ascendante

Inh permet une transformation descendante

Note : pas d’´etats

(38)

ATT (2)

D´efinition

M = h Syn , Inh , Σ, ∆, a ₀ , ], R i R`egles de la forme :

a(π) −→

^σ

ν pour a ∈ Syn , σ ∈ Σ ∪ { ] } , ν ∈ RHS ∪ {⊥}

b(π

i

) −→

^σ

ν pour b ∈ Inh , σ ∈ Σ ∪ { ] } , ν ∈ RHS ∪ {⊥}

RHS (Right Hand Side) d´efini sur

∆ ∪ Syn ∪ Inh ∪ { π, π ₁ , . . . , π _k } :

a ∈ Syn : a(π

i

) ∈ RHS (l’attribut a du i -`eme fils)

b ∈ Inh : b(π) ∈ RHS (l’attribut b du p`ere)

σ ∈ ∆ : σ(ν

1

, . . . , ν

k

) ∈ RHS avec ν

i

∈ RHS

(39)

ATT : exemple

Passage notation infixe vers suffixe Syn = a _S , Inh = a _I

Grammaire ATT

S → T S.a S = T .a S a S (π) −→ ^] a S (π ₁ ) T .a _I = ε a _I (π 1 ) −→ ^] end T → 1 T .a _S = 1(T .a _I ) a _S (π) −→ ¹ 1(a _I (π)) T → T 1 + T 2 T . a S = T 1 . a S a S (π) −→ ⁺ a S (π ₁ )

T 1 .a I = T 2 .a _S a I (π 1 ) −→ ⁺ a _S (π 2 )

T 2 .a _I = +, T .a _I a _I (π 2 ) −→ ⁺ +(a _I (π))

(40)

ATT : Conclusion

Attributed Tree Transducer

basé sur les attributed grammars : grammaires CFG avec propriété sur les non-terminaux.

l’arbre de sortie est un attribut particulier (parmi d’autres).

Note

ATT top-down : sans attributs h´erit´es.

ATT top-down ( ATT

n-ATT ( (n+1)-ATT

Apprentissage : improbable

(41)

MSO Tree transducers

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(42)

MSO dans les arbres

formules atomiques : label σ (x ) edge(x , y ) x ∈ X leaf (x) root (x )

MSO1

formules MSO avec une variable libre définit des propriétés sur les noeuds utile pour les requêtes unaires

Exemple : Φ(x ) = { lab _f (x ) ∧ ∃ x , edge(y , x ), leaf (x) } Les noeuds ´etiquet´es f dont l’un des fils est une feuille.

MSO2

Deux variables libres Φ(x , y ) : d´efinit des relations entre deux

noeuds

(43)

MSO Graph Transducers

D´efinit une fonction partielle τ _M : g = (E, V ) → h = (E ⁰ , V ⁰ ) Definition (Courcelle 94)

M = h Copy , Φ, Ψ ⁿ , Ψ ^a i avec : Copy : l’ensemble de copie

Φ : formule MSO1 sur Σ (le domaine)

Ψ ⁿ _c,σ : formule MSO1 (formule des noeuds) d´ependante de c ∈ Copy et σ ∈ ∆

Ψ ^a _c,c

₀

: formule MSO2 (formule des arcs) d´ependante de

c, c ⁰ ∈ Copy

(44)

MSO Graph Transducers

D´efinit une fonction partielle τ _M : g = (E, V ) → h = (E ⁰ , V ⁰ ) d´efini si g ∈ Φ

E ⁰ = {(c, u) | c ∈ Copy , u ∈ V ⁰ , ψ _c,σ ⁿ (u)}

V ⁰ = { ((c , u), (c ⁰ , u ⁰ )) | c , c ⁰ ∈ Copy , u ∈ V ⁰ , ψ _c,c ^a

₀

(u , u ⁰ ) }

Id´ees

Φ est le domaine de la fonction

Copy d´etermine le ”type” des noeuds de h

ψ _c,σ ⁿ définit quels sont les noeuds de g copiés de type c et relabellés par σ

ψ _c,c ^a

₀

d´efinit quels sont les relations entre noeuds de h

nécessaires pour créer une arête dans h

(45)

MSO Tree Transducers

MSO Tree Transducer

MSO Tree Transducer = MSO Graph Transducer sur les

arbres (en entr´ees/sortie)

(46)

MSO-Tree Transducer : Exemple

HTML BODY TABLE

TR TR

TD TEXTE

TR

RACINE ID

...

ID

TEXTE TEXTE

Id ...

Copy = { racine, id, nom, prenom }

(47)

MSO-Tree Transducer : Exemple

HTML BODY TABLE

TR TR

TD TEXTE

TR

RACINE ID

...

ID

TEXTE TEXTE

Id ...

Ψ ⁿ racine,RACINE (x ) = (root(x)) Ψ ⁿ _id _,ID (x) = label _TR (x )

Ψ ⁿ _nom,TEXTE (x ) =

(fils d’un TD premier fils d’un TR)

Ψ ⁿ prenom,TEXTE (x ) =

(fils d’un TD second fils d’un TR)

(48)

MSO-Tree Transducer : Exemple

HTML BODY TABLE

TR TR

TD TEXTE

TR

RACINE ID

...

ID

TEXTE TEXTE

Id ...

Ψ ^a _racine,id (x , y ) = (true) Ψ ^a _id _,nom (x, y ) =

x est le petit-fils de y

Ψ ^a _id _,prenom (x , y ) =

x est le petit-fils de y

(49)

Transductions rationnelles

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(50)

Automate d’Arbres : Notations

M = hQ, Σ, F , δ i

Q : ensemble fini d’´etats

Σ : alphabet ”ranked” (d’entr´ee)

F : ensemble des ´etats finaux (ou initiaux) δ : r`egles de la forme

a → q(a)

f (q

1

(x

1

), . . . , q

n

(x

n

)) → q(f (x

1

, . . . , x

n

)) (pour un ascendant)

Pour les transductions : ∆ est l’alphabet de sortie

(51)

Relabeling Tree Transducers

Transducteurs qui changent l’´etiquetage de l’arbre de Σ vers ∆.

´Equivalent aux transducteurs shape-preserving

[Fulop & Gazdag 03 / Gazdag 04]

Formes des r`egles a → q(b)

f (q 1 (x 1 ), . . . , q n (x n )) → q(g(x 1 , . . . , x k )) (souvent not´e (f (q 1 , . . . , q n )) → q(g))

Node Selecting Tree Transducers : Relabeling fonctionnels avec Bool comme alphabet de sortie.

Permettent de représenter les requêtes monadiques régulières

(MSO, etc...)

(52)

Relabeling : Exemple

a → q ₁ (1) a → q ₂ (0)

f (q 1 , q 1 ) → q 2 (0) f (q 2 , q 2 ) → q 1 (0) Final = { q ₂ }

f a f

a f a a

= ⇒ 0 1 0

0 0

1 1

(53)

Relabeling : Conclusion

Avantages

Permettent de représenter les requêtes monadiques régulières (via les NSTT)

Apprenables [ICGI’04]

Limitations

Aucun changement de structure !

(54)

Transducteurs d’arbres ”`a TATA”

Formes des r`egles a → q(u)

f (q ₁ (x ₁ ), . . . , q n (x n )) → q(u) (not´e (f (q ₁ , . . . , q n )) → q(u)) avec u ∈ T ∆ ∪ X

Peuvent ˆetre d´eterministes top-down ou bottom-up (en fonction

de l’automate d’arbres support)

(55)

Tree Transducers : Exemple

D(+(x

1

, x

2

)) → +(D(x

1

), D(x

2

)) D( × (x

1

, x

2

)) → +( × (D(x

1

), I(x

2

)),

× (I(x

1

), D(x

2

))) I ( × (x

1

, x

2

)) → × (I(x

1

), I(x

2

)) D(sin(x

1

)) → × (cos(I(x

1

)), D(x

1

))

I (a) → a

I (y ) → y

D(a) → 0

D(y ) → 1

. . .

D sin

×

a y

Calcul de la d´eriv´ee d’une fonction Alphabet : 0, 1, a, y , +, ×, sin, cos

États : D (dérive), I (identité)

(56)

Tree Transducers : Exemple

D(+(x

1

, x

2

)) → +(D(x

1

), D(x

2

)) D( × (x

1

, x

2

)) → +( × (D(x

1

), I(x

2

)),

× (I(x

1

), D(x

2

))) I ( × (x

1

, x

2

)) → × (I(x

1

), I(x

2

)) D(sin(x

1

)) → × (cos(I(x

1

)), D(x

1

))

I (a) → a

I (y ) → y

D(a) → 0

D(y ) → 1

. . .

× cos

I

×

a y

D

×

a y

Calcul de la d´eriv´ee d’une fonction Alphabet : 0, 1, a, y , +, ×, sin, cos

États : D (dérive), I (identité)

(57)

Tree Transducers : Exemple

D(+(x

1

, x

2

)) → +(D(x

1

), D(x

2

)) D( × (x

1

, x

2

)) → +( × (D(x

1

), I(x

2

)),

× (I(x

1

), D(x

2

))) I ( × (x

1

, x

2

)) → × (I(x

1

), I(x

2

)) D(sin(x

1

)) → × (cos(I(x

1

)), D(x

1

))

I (a) → a

I (y ) → y

D(a) → 0

D(y ) → 1

. . .

× cos

×

a y

+

× D a

I y

× I a

D y

Calcul de la d´eriv´ee d’une fonction Alphabet : 0, 1, a, y , +, ×, sin, cos

États : D (dérive), I (identité)

(58)

Tree Transducers : Exemple

D(+(x

1

, x

2

)) → +(D(x

1

), D(x

2

)) D( × (x

1

, x

2

)) → +( × (D(x

1

), I(x

2

)),

× (I(x

1

), D(x

2

))) I ( × (x

1

, x

2

)) → × (I(x

1

), I(x

2

)) D(sin(x

1

)) → × (cos(I(x

1

)), D(x

1

))

I (a) → a

I (y ) → y

D(a) → 0

D(y ) → 1

. . .

× cos

×

a y

+

×

0 y

×

a 1

Calcul de la d´eriv´ee d’une fonction Alphabet : 0, 1, a, y , +, ×, sin, cos

États : D (dérive), I (identité)

(59)

Tree Transducers : Conclusion

avantages

changements de structure possible

non-linearit´e (copie), effacement de branches, permutation, ...

Inconv´enients

reste limit´e : difficile de remonter des branches

(60)

Variante : avec look-ahead

Composition avec un automate d’arbre

1

L’arbre est lu par un automate d’arbre ascendant

2

les noeuds sont étiquetés par les états du run

3

le nouvel arbre est transform´e par un transducteur descendant

Le processus peut alors ˆetre d´eterministe

(61)

Variante : avec alg`ebre de substitution

l’alg`ebre YIELD (ou SUBST) n symboles sp´eciaux α _i

Un symbole de substitution SUBST

les α _i sont substitu´ees par les arguments de SUBST SUBST

f

a α ₂ α ₁

b c ^YIELD →

f

a c b

Transduction vers les trees avec SUBST puis YIELD :

possibilit´e de d´eplacer des branches

(62)

Macro Tree Transducers

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(63)

Macro Tree Transducers : Principes

Même idée général qu’un transducteur d’arbres mais, utilisation de paramètres (”accumulateurs”) : bouts d’arbres collectés lors du run

dans une r`egle :

possibilit´e de ”stocker” un bout d’arbre (passer en param`etre)

possibilit´e d’utiliser les arbres stock´es dans les arbres de sortie

Grosso-Modo la mˆeme chose qu’un transducteur avec

alg`ebre de YIELD

(64)

Macro Tree Transducers : Definition

M = h Q, Σ, ∆, I, δ i Formes des r`egles

q(a, y 1 , . . . , y m ) → ξ

q(f(x 1 , . . . , x k ), y 1 , . . . , y m ) → ξ ξ : arbres tel que

σ(t

1

, . . . , t

_l

) ∈ ξ, pour tout σ ∈ ∆, t

_j

∈ ξ

arbre sur l’alphabet de sortie

q(x

i

, t

1

, . . . , t

l

), pour q ∈ Q, x

i

∈ X , t

j

∈ ξ

copie de sous arbre d’entr ´ee, + accumulation

y

i

∈ ξ, pour tout y

i

∈ Y

copie de param`etre

Attention : vision top-down

Note : MTT sans param`etre = transducteur d’arbre top-down

(65)

Macro Tree Transducers : Exemple

Exemple : retirer les multiplications q

0

(+(x

1

, x

2

)) → +(q

0

(x

1

), q

0

(x

2

)) q

0

(1) → 1

q

0

( × (x

1

, x

2

)) → q(x

1

, q

0

(x

2

))

q(+(x

1

, x

2

), y

1

) → +(q(x

1

, y

1

), q(x

2

, y

1

)) q(1, y

1

) → y

1

q

0

( × (x

1

, x

2

), y

1

) → q(x

1

, q(x

2

, y

1

))

q₀

× + +

1 1

1 +

1 1

(66)

Macro Tree Transducers : Exemple

Exemple : retirer les multiplications q

0

(+(x

1

, x

2

)) → +(q

0

(x

1

), q

0

(x

2

)) q

0

(1) → 1

q

0

( × (x

1

, x

2

)) → q(x

1

, q

0

(x

2

))

q(+(x

1

, x

2

), y

1

) → +(q(x

1

, y

1

), q(x

2

, y

1

)) q(1, y

1

) → y

1

q

0

( × (x

1

, x

2

), y

1

) → q(x

1

, q(x

2

, y

1

))

q + +

1 1

1

+ q0

1 q0

1

(67)

Macro Tree Transducers : Exemple

Exemple : retirer les multiplications q

0

(+(x

1

, x

2

)) → +(q

0

(x

1

), q

0

(x

2

)) q

0

(1) → 1

q

0

( × (x

1

, x

2

)) → q(x

1

, q

0

(x

2

))

q(+(x

1

, x

2

), y

1

) → +(q(x

1

, y

1

), q(x

2

, y

1

)) q(1, y

1

) → y

1

q

0

( × (x

1

, x

2

), y

1

) → q(x

1

, q(x

2

, y

1

))

+ q +

1 1

+

1 1

q

1 +

1 1

(68)

Macro Tree Transducers : Exemple

Exemple : retirer les multiplications q

0

(+(x

1

, x

2

)) → +(q

0

(x

1

), q

0

(x

2

)) q

0

(1) → 1

q

0

( × (x

1

, x

2

)) → q(x

1

, q

0

(x

2

))

q(+(x

1

, x

2

), y

1

) → +(q(x

1

, y

1

), q(x

2

, y

1

)) q(1, y

1

) → y

1

q

0

( × (x

1

, x

2

), y

1

) → q(x

1

, q(x

2

, y

1

))

+ + +

1 1

+

1 1

+

1 1

(69)

MTT with regular look-ahead MTT ^R

M = h Q, P, Σ, ∆, I, δ,h i

hQ, Σ, ∆, I, δ, i est un MTT particulier

h P, Σ, h i est un automate d’arbre (l’automate ”look-ahead”

de M) Fonctionnement

On fait un run avec le look-ahead automaton (les noeuds sont étiquetés par les états de P)

Les règles du MTT dépendent des états des fils de l’états courants. Règles de la forme :

hq, σ(p 1 (x 1 ), . . . , p n (x n )) → ξ

Note : MTT ^R = MTT (Engelfriet Vogler, 85)

(70)

Tree Walking et Pebble Tr. Tr.

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(71)

Tree Walking Transducer (1)

Principes :

Bas´e sur la notion de Tree Walking Automaton

les r`egles impliquent un mouvement dans l’arbre d’entr´ee (up / down / stay ) (idem Tree Walking Automata)

les r`egles produisent des bouts d’arbres dans lesquelles il

peut y avoir des branchements multiples (branching)

(72)

Tree Walking Transducer (2)

M = hQ, Σ, ∆, I, Ri R`egles de la forme h q, f i → ξ avec ξ :

hq ⁰ , stay i

hq ⁰ , up i (sauf si racine) h q ⁰ , down _i i (i : num´ero du fils)

σ( h q ₁ , stay i , . . . , h q _k , stay i ) (relabeling + branching)

(73)

TWT : exemple

Exemple : explosion en largeur

M = hQ = {q} , Σ = {a 1 , e 0 } , ∆ = { σ ₂ , e 0 } , I = {q} , R} avec R : h q, a i → σ( h q, down ₁ i , h q, down ₁ i )

h q, e i → e a

a a e

σ

· ·

(74)

TWT : exemple

Exemple : explosion en largeur

M = hQ = {q} , Σ = {a 1 , e 0 } , ∆ = { σ ₂ , e 0 } , I = {q} , R} avec R : h q, a i → σ( h q, down ₁ i , h q, down ₁ i )

h q, e i → e a

a

a e

σ σ

· ·

σ

· ·

(75)

TWT : exemple

Exemple : explosion en largeur

M = hQ = {q} , Σ = {a 1 , e 0 } , ∆ = { σ ₂ , e 0 } , I = {q} , R} avec R : h q, a i → σ( h q, down ₁ i , h q, down ₁ i )

h q, e i → e a

a a e

σ σ

σ

σ a

(76)

TWT : exemple

Exemple : explosion en largeur

M = hQ = {q} , Σ = {a 1 , e 0 } , ∆ = { σ ₂ , e 0 } , I = {q} , R} avec R : h q, a i → σ( h q, down ₁ i , h q, down ₁ i )

h q, e i → e a

a a e

a σ

σ e e

σ

σ e e

σ

e e

(77)

Pebble Tree Transducer (1)

Pebble = caillou

Pebble Tree Transducer `a n cailloux : n − ptt Principe :

on a n cailloux différents qui peuvent être déposés sur les noeuds (un de chaque type par noeud au max.)

un vecteur de bool´een sur chaque noeud

les règles peuvent dépendre de la présence de cailloux les règles impliquent un mouvement dans l’arbre d’entrée (up / down / stay ) (idem Tree Walking Automata)

les r`egles peuvent d´eposer (drop ) ou retirer (lift ) des

cailloux

(78)

Pebble Tree Transducer (2)

M = hQ, Σ, ∆, I, Ri R`egles de la forme

h q, f , b i → ξ avec b vecteur de cailloux (b ∈ { 0, 1 } ⁿ ) et ξ : σ( h q ₁ , stay i , . . . , h q _k , stay i ) (relabeling + branching) hq ⁰ , stay i

hq ⁰ , up i (sauf si racine) hq ⁰ , down _i i (i : num´ero du fils) h q ⁰ , lift _l i (l : type de caillou)

h q ⁰ , drop _l i (l : type de caillou, si pr´esent)

(79)

Pebble Tree Transducer (3)

M = h Q, Σ, ∆, I, R i

Forme généralisée (Engelfriet & Maneth) hq, f , bi → ξ avec

b vecteur de cailloux (b ∈ {0, 1} ⁿ ),

ξ ∈ T ∆ (Q × { stay , up , down _i , lift , drop } )

(80)

Introduction Taxonomie Apprentissage Conclusion Biblio Tree Walking et Pebble Tr. Tr.

PTT : exemple

(81)

Pebble Tree Transducer

Notes

0-PTT : appel´es Tree Walking Transducers n-PTT ( (n + 1)-PTT

n-PTT = composition de n + 1 0-PTT n-DPTT (deterministe) ( n-PTT (non-circulaires) 0-DPTT = ATT Inconv´enients

Apprentissage : Improbable (lien entre arbre d’entr´ee et

de sortie peu clair)

(82)

R´ecapitulatif

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

(83)

R´ecapitulatif

R´ecapitulatif

Compilation SD Transducers

Transducteurs d’arbres attribu´es Automates d’arbres Relabeling

Transductions rationnelles Macro Tree Transducers Tree Walking Tree Walking Transducers

Pebble Tree Transducers

MSO MSO Tree Transducers

(84)

R´ecapitulatif

R´ecapitulatif : Expressivit´e

Expressivité des différents modèles

RTT SDT

TT MTT

_sur^R

MSO − TT ATT

_sur^R

MTT = MTT

^R

0 − PTT = TWT ATT MTT

ⁿ⁺¹

n − PTT = TWT

ⁿ⁺¹

MTT

^∗

PTT

^∗

ATT: Attributed Tree Transducer RTT: Relabeling Tree Transducer SDT: Syntax Directed Transducer PTT: Pebble tree transducer TWT: Tree Walking Tree Transducer MTT: Macro tree Transducers MSO-TT: Monadic Second Order Tree Transducer

Transducteurs d arbres et (peut-être un peu) apprentissage

Transducteurs d’arbres et (peut-ˆetre un peu) apprentissage

A. Lemay

2006

Taxonomie des transducteurs d’arbres

Syntax Directed translation (Irons 60)

Attributed Tree Transducers (Knuth 68, F¨ulop 81)

Rational Tree Transductions ”`a TATA” (Tatcher Wright 70) Relabeling Tree Transducers (Engelfriet 75)

Macro Tree Transducers (Engelfriet 80, ...) Tree Walking Transducers (Aho/Ullman 80)

Pebble Tree Transducers (Milo, Suciu, Vianu 2000)

MSO Tree Transducers (Engelfriet 91, Courcelle 92)

+ variantes diverses (Pebble Macro Tree Transducer, . . .)

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

SD Transducers : d´efinition

D´efinition (informelle)

bas´ee sur une grammaire context-free

( ' Deux grammaires Context-Free en parall`ele) R`egles de la forme : X → aY (1) Y (2) cZ { Y (1) deZY (2) }

tous les non-terminaux se retrouvent dans la production pas de contraintes sur les terminaux

la production se fait en d´eroulant le parse.

Provient des travaux sur les compilateurs (origine ALGOL 60)

SD Transducers : exemple

Passage infixe vers Suffixe

S → E {E } T → T × P {TP×}

E → E + T { ET + } T → T /P { TP/ } E → E − T {ET −} T → P {P}

E → T {T } P → i × P {iP×}

SD Transducers : Conclusion

Conclusion

Int´erˆet historique (vient des la compilation d’ALGOL 60)

Sous-famille de transductions rationnels

Plan

1 Taxonomie des transducteurs d’arbres Syntax Directed Transducers Attributed Tree Transducer MSO Tree transducers Transductions rationnelles Macro Tree Transducers

Tree Walking/Pebble Tree Transducers R´ecapitulatif

2 Apprentissage de transducteurs

Principes G´en´eraux

Attributed Grammars : Principes

Exemple : parcours dans l’espace

path → ε | step .path step → N | S | O | E

Idée : associer des attributs (propriétés) aux non terminaux d’une grammaire context-free

Exemple :

quelle est la longueur du chemin en nombre de pas ?

quel est le chemin parcouru sur la coordonn´ee x ou y ?

Attributed Grammar : Exemple 1

path .Pos x : Coordonn´ee en x d’un chemin step .Dep x : Coordonn´ee en x d’un pas Grammaire

Grammaire R`egle s´emantique path → ε path .Pos x = 0

path → step .path path .Dep x = step .Dep x + path .Pos x step → N | S step .Dep x = 0

step → O step .Dep x = − 1

step → E step .Dep x = 1

Attributed Grammar : Exemple 1

Chemin O. N. E. : path 0 step −1

O

path 1 step 0

N

path 1 step 1

E

path 0

ε 0

Attributed Grammar : Exemple 1

Chemin O. N. E. : path 0 step − 1

O

path 1 step 0

N

path 1 step 1

E

path 0 ε 0

+

− 1 +

0 +

( ' Deux grammaires Context-Free en parall`ele) R`egles de la forme : X → aY ⁽¹⁾ Y ⁽²⁾ cZ { Y ⁽¹⁾ deZY ⁽²⁾ }

path → step .path path .Dep _x = step .Dep _x + path .Pos _x step → N | S step .Dep x = 0

Chemin O. N. E. : path ₀ step ₋₁

path ₁ step ₀

path ₁ step ₁

path ₀

ε ₀

Chemin O. N. E. : path ₀ step ₋ ₁

path ₁ step ₀

path ₁ step ₁

path ₀ ε ₀

Grammaire Infixe vers Suffixe Syn = { a _S }

Inh = {a _I }

Grammaire R`egle s´emantique S → T S.a _S = T .a _S

T .a I = ε T → 1 T .a _S = 1(T .a _I ) T → T ₁ + T ₂ T .a _S = T ₁ .a _S

T 1 .a I = T 2 .a _S

T ₂ .a _I = +(T .a _I )

A.a _S = B.a _S , B.a _I = C.a _S , C.a _I = +(A.a _I )

A.a _S = D.a _S , B.a _I = C.a _S , C.a _I = +()