[PDF] Cours langage Prolog comment ça marche | Formation informatique

(1)

Programmation logique Pascal Schreck Introduction Logique Prolog Contraintes

Introduction `

a la programmation logique et

par contraintes

Pascal Schreck

Universit´e de Strasbourg - LSIIT, UMR CNRS 7005

(2)

Contraintes

(3)

Un peu d’histoire

Roots

Calcul, preuves et automatisme

I calculs

I automates

(4)

Contraintes

O x y x+y

(cc). SolsticedHiver (source Wikip´edia)

I automates

(5)

Un peu d’histoire

Roots

I calculs

(cc) Roger McLassus (source Wikip´edia)

(cc). SolsticedHiver (source Wikip´edia)

I automates

(6)

Contraintes

I automates

(7)

Un peu d’histoire

Roots

I calculs

I automates

célébrée le 13 octobre

(8)

Contraintes

I automates

I preuves

(9)

Un peu d’histoire

Apr`es la crise des fondements

Deux questions

I que sait-on prouver ?

(10)

Contraintes

I en restant à l’intérieur d’un système formel : pas tout ce qui est “vrai” !

(11)

Un peu d’histoire

Deux questions

I en restant à l’intérieur d’un système formel : pas tout ce qui est “vrai” !

I théorème d’incomplétude de Gödel

G¨odel, Esher et Bach Les brins d’une guirlande ´

eternelle

Douglas Hofstadter

(12)

Un peu d’histoire

Deux questions

I que sait-on calculer ?

(13)

Un peu d’histoire

Deux questions

I pas tout !

I machines de Turing, probl`eme de l’arrˆet : version “automate” de la notion de calcul

I fonctions µ-r´ecursives (Herbrand, Kleene, Church) : version “fonctionnelle” de la notion de calcul

(14)

Un peu d’histoire

Deux questions

I pas tout !

(15)

Un peu d’histoire

Deux questions

I pas tout !

(16)

Contraintes

I du calculateur `a l’ordinateur

I repr´esentation “logique” des donn´ees

I codage d’un enchaˆınement d’op´erations “en dur”

I codage d’un enchaˆınement d’opérations en mémoire avec des 0 et de 1 ... dur à écrire, à lire, à débuger I langages de “haut niveau” et paradigmes de

programmation

I imp´eratif/proc´edural et objets (⇐ Turing)

I fonctionnel (⇐ Church)

(17)

Un peu d’histoire

I imp´eratif/proc´edural et objets

I Fortran (1954), Cobol (1959) Algol, Simula

I Pascal, Ada, C

I Smalltalk, C++, Java, C# I fonctionnel

I Lisp (1958), Scheme, Common Lisp

I ML, Ocaml, F# I Erlang, Scala, I logique I Absys (1969) I Prolog (1972), λProlog I CLIPS, CLP(),

(18)

Contraintes

I travaux sur des prouveurs automatiques en logique du 1er ordre

I travaux sur les langues naturelles (TAL) Colmerauer, Roussel

I Prolog I développé à Marseille (72), large diffusion

I Warren : notion de machine virtuelle → Prolog d’Edimbourg.

I Langages de 5ème génération, etc. (avatars actuels : langages à contraintes, ontologies ...)

I Prolog IV, Sictus : programmations par contraintes

I SWI-Prolog : dialecte d’Edimbour + beaucoup de biblioth`eques

(19)

Logique et automatisation

des preuves

(20)

Contraintes

I ou : a ∨ b, (a + b en logique combinatoire, graph. )

I non : ¬a, (a en logique combinatoire graph. )

I implique : a ⇒ b

I ´equivalent : a ⇔ b

I formule et valeur de vérité : une variable prop. peut prendre la valeur vrai ou faux (1 ou 0), on peut ainsi interpréter une formule (notions de satisfaisable, valide) a ∨ ¬a est valide (tautologie), a ⇒ b est satisfaisable. ¬a ∨ b et a ⇒ b sont équivalentes.

I preuve d’une formule logique ?

I table de vérité (“preuve” sémantique et validité )

(21)

Un petit exercice

a Si Marie est à la bibliothèque (M) alors soit Jean est allé au cinéma (J), soit Pierre est rentré chez lui (P)

b Soit Marie est à la bibliothèque, soit Pierre est rentré chez lui (ou les deux)

c si Jean est allé au cinéma, alors Marie n’est pas à la bibliothèque

d Pierre est rentr´e chez lui Montrer que si a et b et c alors d .

(22)

Contraintes

(23)

Un petit exercice

a M ⇒ J ∨ P b M ∨ P

(24)

Contraintes

(25)

Un petit exercice

a M ⇒ J ∨ P b M ∨ P c J ⇒ ¬M d P

(26)

Contraintes

d P

Montrer que si a et b et c alors d . (b) supposons que (*) M, alors (a) J ou P,

supposons que (**) J, alors (c) ¬M, contradiction,

reprise (**) supposons que P alors fini, reprise (*) supposons que P alors fini

(27)

Un petit exercice

a M ⇒ J ∨ P b M ∨ P c J ⇒ ¬M d P

Montrer que si a et b et c alors d . (b) supposons que (*) M, alors (a) J ou P,

supposons que (**) J, alors (c) ¬M, contradiction,

reprise (**) supposons que P alors fini, reprise (*) supposons que P alors fini R`egles :

I raisonnement par cas (´elimination de ∨)

I modus ponens (´elim/intro de ⇒)

(28)

Contraintes

d P

Montrer que si a et b et c alors d . R`egles :

I

Hyp, A ` R Hyp, B ` R Hyp, A ∨ B ` R

I modus ponens (´elim/intro de ⇒)

(29)

Un petit exercice

a M ⇒ J ∨ P b M ∨ P c J ⇒ ¬M d P

Montrer que si a et b et c alors d . R`egles : I Hyp, A ` R Hyp, B ` R Hyp, A ∨ B ` R I Hyp ` A Hyp ` A ⇒ R Hyp ` R Hyp, A ` R Hyp ` A ⇒ R

(30)

Contraintes

d P

Montrer que si a et b et c alors d . R`egles : I Hyp, A ` R Hyp, B ` R Hyp, A ∨ B ` R I Hyp ` A Hyp ` A ⇒ R Hyp ` R Hyp, A ` R Hyp ` A ⇒ R I

Hyp ` A Hyp ` ¬A Hyp ` faux

Hyp ` faux Hyp ` R

(31)

Un petit exercice (suite)

a M ⇒ J ∨ P

b M ∨ P

c J ⇒ ¬M

d P

(32)

Contraintes

d P

(33)

Un petit exercice (suite)

a M ⇒ J ∨ P ou ¬M ∨ J ∨ P (1)

b M ∨ P ou M ∨ P (2)

c J ⇒ ¬M

d P

(34)

Contraintes

d P

(35)

Un petit exercice (suite)

a M ⇒ J ∨ P ou ¬M ∨ J ∨ P (1)

b M ∨ P ou M ∨ P (2)

c J ⇒ ¬M ou ¬J ∨ ¬M (3)

d P r´efutation ¬P (4)

(36)

Contraintes

Montrer que si a et b et c alors d .

Preuve par réfutation : on montre que {a, b, c, ¬d } mène à une contradiction.

(37)

Un petit exercice (suite)

a M ⇒ J ∨ P ou ¬M ∨ J ∨ P (1)

b M ∨ P ou M ∨ P (2)

c J ⇒ ¬M ou ¬J ∨ ¬M (3)

Preuve par réfutation : on montre que {a, b, c, ¬d } mène à une contradiction. Règle : C1∨ l ∨ C2 C 0 1∨ ¬l ∨ C20 C1∨ C2∨ C10 ∨ c20 (résolution)

(38)

Un petit exercice (suite)

a M ⇒ J ∨ P ou ¬M ∨ J ∨ P (1)

b M ∨ P ou M ∨ P (2)

c J ⇒ ¬M ou ¬J ∨ ¬M (3)

Preuve par réfutation : on montre que {a, b, c, ¬d } mène à une contradiction. Règle : C1∨ l ∨ C2 C 0 1∨ ¬l ∨ C20 C1∨ C2∨ C10 ∨ c20 (résolution) (5) M (par 2 et 4)

(39)

Un petit exercice (suite)

a M ⇒ J ∨ P ou ¬M ∨ J ∨ P (1)

b M ∨ P ou M ∨ P (2)

c J ⇒ ¬M ou ¬J ∨ ¬M (3)

Preuve par réfutation : on montre que {a, b, c, ¬d } mène à une contradiction. Règle : C1∨ l ∨ C2 C 0 1∨ ¬l ∨ C20 C1∨ C2∨ C10 ∨ c20 (résolution) (5) M (par 2 et 4) (6) ¬J (par 5 et 3) (7) J ∨ P (par 5 et 1) (8) P (par 7 et 6) (9) (par 8 et 4)

(40)

Contraintes

Preuve par réfutation : on montre que {a, b, c, ¬d } mène à une contradiction. Règle : C1∨ l ∨ C2 C 0 1∨ ¬l ∨ C20 C1∨ C2∨ C10 ∨ c20 (résolution) (5) M (par 2 et 4) (6) ¬J (par 5 et 3) (7) J ∨ P (par 5 et 1) (8) P (par 7 et 6) (9) (par 8 et 4)

(41)

Vocabulaire

I proposition, variable propositionnelle

I connecteur logique ∧, ∨, ¬, ⇒

I litt´eral : une variable propositionnelle ou sa n´egation

I litt´eral positif : p (p est une proposition.

I litt´eral n´egatif : ¬p

I clause : une disjonction de litt´eraux a ∨ ¬b ∨ ¬c ∨ l

I résolution : on “efface” un littéral d’une clause avec son opposé dans une autre clause en le rempla¸cant par les autres littéraux de cette dernière.

(42)

Logique des pr´

edicats

La logique des propositions n’est pas tr`es descriptive

“Tout homme finit par trouver son maˆıtre” “le successeur d’un entier n est plus grand que n”

(43)

Logique des pr´

edicats

I variables et termes pr´edicatifs/relationnels x un homme, y un autre homme : maitre(y , x )

I fonctions et termes fonctionnels

n est un entier s(n) d´esigne son successeur.

I quantifications

(44)

Logique des pr´

edicats

(45)

Logique des pr´

edicats

I quantifications

(46)

Contraintes

I quantifications

∀x∃y . maitre(y , x), ∀n. n < s(n)

Une hi´erarchie

I logique des propositions : logique d’ordre 0

I logique des pr´edicats : logique d’ordre 1

I avec des variables pour les fonctions : logiques d’ordre sup´erieur

(47)

Logique des pr´

edicats

I Plus question de faire des tables de vérité pour voir si quelque chose est “vrai” (la notion de “vrai” est aussi plus difficile à définir)

I Il y a des règles d’inférence pour faire des preuves (plusieurs systèmes possibles)

I Remarque : impossibilité d’avoir des prouveurs généraux automatiques ⇒ assistants de preuve.

I La méthode par résolution marche encore (en ajoutant une règle)

I elle est complète pour la réfutation, mais donne un procédé de semi décision pour savoir si une formule est un thm.

(48)

Contraintes

h2 ∀x∃y . p(x, y )

(49)

Un exemple simple

´ Enonc´e h1 ∀x, y , z. p(x, y ) ∧ p(y , z) ⇒ g (x, z) h2 ∀x∃y . p(x, y ) g on veut montrer ∀x ∃z. g (x , z)

Mise en forme des formules

h1 ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z)

h2 p(x , f (x )) f fonction de Skolem

(50)

Un exemple simple

(51)

Un exemple simple

h1 ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z)

(52)

Contraintes

h2 ∀x∃y . p(x, y )

g on veut montrer ∀x ∃z. g (x , z)

h1 ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z)

(53)

Un exemple simple

h1 ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z)

¬g ¬g (a, Z ) constante de Skolem

Remarque : toutes les variables sont quantifi´ees universellement.

(54)

Un exemple simple (preuve)

(1) ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z) (h1)

(2) p(x , f (x )) (h2)

(55)

Un exemple simple (preuve)

(1) ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z) (h1) (2) p(x , f (x )) (h2) (3) ¬g (a, Z ) (¬g ) (4) ¬p(a, y ) ∨ ¬p(y , Z ) (3, 1, x = a, z = Z ) (5) ¬p(f (a), Z ) (4, 2, ) (6) (5, 2, x = a, Z = f (f (a)))

(56)

Un exemple simple (preuve)

(1) ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z) (h1)

(2) p(x , f (x )) (h2)

(3) ¬g (a, Z ) (¬g )

(4) ¬p(a, y ) ∨ ¬p(y , Z ) (3, 1, x = a, z = Z ) g (x , z) = g (a, Z ) `a r´esoudre (unification)

(57)

Un exemple simple (preuve)

(1) ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z) (h1) (2) p(x , f (x )) (h2) (3) ¬g (a, Z ) (¬g ) (4) ¬p(a, y ) ∨ ¬p(y , Z ) (3, 1, x = a, z = Z ) (5) ¬p(f (a), Z ) (4, 2, ) p(x , f (x )) = p(a, y ) `a r´esoudre (6) (5, 2, x = a, Z = f (f (a)))

(58)

Un exemple simple (preuve)

(1) ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z) (h1) (2) p(x , f (x )) (h2) (3) ¬g (a, Z ) (¬g ) (4) ¬p(a, y ) ∨ ¬p(y , Z ) (3, 1, x = a, z = Z ) (5) ¬p(f (a), Z ) (4, 2,x = a, f (x ) = y ) p(x , f (x )) = p(a, y ) `a r´esoudre

(59)

Un exemple simple (preuve)

(1) ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z) (h1) (2) p(x , f (x )) (h2) (3) ¬g (a, Z ) (¬g ) (4) ¬p(a, y ) ∨ ¬p(y , Z ) (3, 1, x = a, z = Z ) (5) ¬p(f (a), Z ) (4, 2, x = a, f (x ) = y ) (6) (5, 2, x = a, Z = f (f (a)))

(60)

D´

efinitions

I terme fonctionnel : quelque chose de la forme f (t1, ...tm) qui repr´esente un objet (f est un symbole

fonctionnel).

I une clause est une disjonction de litt´eraux. Une clause de Horn est une clause qui contient au plus 1 litt´eral positif :

I la règle de résolution fonctionne de la même manière qu’en logique des propositions en considérant des littéraux opposés et unifiables (l’unificateur le plus général est appliqué aux clauses unifiées).

(61)

D´

efinitions

fonctionnel).

I terme pr´edicatif : quelque chose de la forme

r (t1, t2, ..., tk) qui repr´esente une relation entre objets

(r est un symbole pr´edicatif).

I un littéral est un terme prédicatif (littéral positif) ou la négation d’un terme prédicatif (littéral négatif).

(62)

D´

efinitions

fonctionnel).

littéraux opposés et unifiables (l’unificateur le plus général est appliqué aux clauses unifiées).

(63)

D´

efinitions

fonctionnel).

(64)

D´

efinitions

fonctionnel).

I l (clause réduite à un littéral positif) = fait

littéraux opposés et unifiables (l’unificateur le plus général est appliqué aux clauses unifiées).

(65)

D´

efinitions

fonctionnel).

I t ∨ ¬h1∨ ¬h2... ∨ ¬hk est une r`egle

(souvenez-vous, c’est ´equivalent `a : h1∧ ... ∧ hk ⇒ t)

I une clause avec que des litt´eraux n´egatifs est une “liste” de buts

(66)

D´

efinitions

fonctionnel).

I t ∨ ¬h1∨ ¬h2... ∨ ¬hk est une r`egle

(souvenez-vous, c’est ´equivalent `a : h1∧ ... ∧ hk ⇒ t)

I une clause avec que des litt´eraux n´egatifs est une “liste” de buts

(67)

D´

efinitions

fonctionnel).

(68)

Contraintes

(69)

Prolog

(70)

Contraintes parent(tom,bob). parent(tom, liz). parent(bob,ann). parent(bob,pat). parent(pat,jim). Questions ?- parent(tom, liz). ?- parent(pat,ben). ?- parent(X,bob). ?- parent(X,Y),parent(Y,ann). bob liz ann jim pat

(71)

Premier exemple compl´

et´

e

Programme

grand_parent(X,Y) :- parent(X,Z), parent(Z,Y). fos(X,Y) :- parent(X,Z), parent(Y,Z).

ancetre(X,Y) :- parent(X,Y).

ancetre(X,Y) :- parent(X,Z), ancetre(Z,Y).

Questions

?- grand_parent(X,ann). ?- fos(ann, pat).

(72)

Contraintes

I fait

I r`egle

I but

(73)

Remarque - exercice

Wissembourg Hagenau Strasbourg Sarre−Union Schirmeck Molsheim Colmar Sélestat Saverne Monswiller

(74)

Contraintes

h2 ∀x∃y . p(x, y )

(75)

Retour sur le deuxi`

eme exemple

Formules mises en forme

h1 ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z)

(76)

Contraintes

Programme

g(X,Z) :- p(X,Y), p(Y,Z). p(X,f(X)).

Question

(77)

Retour sur le deuxi`

eme exemple

Formules mises en forme

h1 ¬p(x, y ) ∨ ¬p(y , z) ∨ g (x, z)

Programme g(X,Z) :- p(X,Y), p(Y,Z). p(X,f(X)). Question ?- g(a,Z). Question : statut de f ?

f ne d´esigne pas une fonction, c’est un symbole fonctionnel, appel´e foncteur en Prolog

(78)

Contraintes ?- X = 3. ?- X. ?- 3 = X, X = Y. ? X = 4 + 1. ? X = 3 + Y, Y = 2. ? X = truc(4, bidule). ? X = "toto".

(79)

Exemple 3 : le singe et les bananes

le régime de bananes au centre au plafond le singe à la porte et la caisse à le fenêtre

(80)

Contraintes grimper, etat(P, surlaboite,P,H)). move(etat(P1, surlesol, P1, H), pousser(P1,P2), etat(P2, surlesol, P2, H)). move(etat(P1, surlesol, B, H), marcher(P1, P2), etat(P2, surlesol, B, H)). peutprendre(etat(_,_,_,possede)).

peutprendre(E1) :- move(Etat1, Act, E2),peutprendre(E2).

(81)

Exemple 4 : circuits

ev_and(1,1,1). ev_and(X, Y, 0) :- X = 0; Y=0. ev_or(0, 0, 0). ev_or(X,Y,1) :- X=1 ; Y=1. ev_xor(X,Y,0) :- X=Y. ev_xor(X,Y,1) :- X\=Y.

ev_neg(1,0). ev_neg(0,1).

add(A, B, C, xor(A,xor(B,C))). eval(0,0). eval(1,1).

eval(and(X,Y),R) :- eval(X,R1), eval(Y,R2), ev_and(R1,R2,R). eval(or(X,Y), R) :- eval(X,R1), eval(Y,R2), ev_or(R1,R2,R). eval(neg(X), R) :- eval(X,R1), ev_neg(R1,R).

eval(xor(X,Y), R) :- eval(X,R1), eval(Y,R2), ev_xor(R1,R2,R). bin(0). bin(1).

---?- add(1,0,0, Addi), eval(Addi,R).

(82)

Contraintes

I liste premier ´el´ement + liste des suivants : [prem | liste_suivants]

I sucre syntaxique : [7, 42, toto, f(a)] [ 7 | [ 42 | [ toto | [ f(a) | []]]]]

Premiers pr´edicats sur les listes

estvide([]). premier([P|_],P). suivants[_|L], L).

appartient(X, [X|_]).

(83)

Listes et op´

erateurs

:- op(550, xfx, in). X in [X|_]. X in [_|L] :- X in L. :- op(550, xfx, estdans). :- op(500, xfx, reste). X estdans [X|L] reste L.

X estdans [Y|L] reste [Y|L1] :- X estdans L reste L1.

:-op(550, xfx, [estinclus, >=<]). [] estinclus _.

[X|L] estinclus L1 :- X estdans L1 reste L2, L estinclus L2.

[] >=< [].

[X|L] >=< L1 :- X estdans L1 reste L2, L >=< L2.

(84)

Contraintes

?- 1+4 = 2+3.

Programmes

somme(A,B,S) :- S is A+B. % somme(1,X,5) ?

facto(0,1).

facto(N,F) :- N1 is N-1,

facto(N1,F1), F is N*F1.

(85)

Exemple : Crypto-arithm´

etique

TEN TEN TEN TEN FORTY ---SIXTY

(86)

Contraintes FORTY ---SIXTY ttf(T,E,N,F,O,R,Y,S,I,X) :-[T,E,N,F,O,R,Y,S,I,X] >=< [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9], 4*(T*100+E*10+N) + F*10000+O*1000+R*100+T*10+Y =:= S*10000+I*1000+X*100+T*10+Y.

(87)

Exemple : Crypto-arithm´

etique

ttf2 :-[T,E,N,F,O,R,Y,S,I,X] >=< [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9], T1 is (T*100+E*10+N), T2 is F*10000+O*1000+R*100+T*10+Y , T3 is S*10000+I*1000+X*100+T*10+Y, 4*T1+T2 =:= T3,

put(’ ’), put(’ ’),writeln(T1), put(’ ’), put(’ ’),writeln(T1), put(’ ’), put(’ ’),writeln(T1), put(’ ’), put(’ ’),writeln(T1), writeln(T2),

writeln(’---’), writeln(T3).

(88)

Comparaison avec des langages classiques

(89)

Comparaison avec des langages classiques

I th`ese de Church-Turing

I programmation ? : oui

I efficacit´e en espace

I efficacit´e en temps

(90)

Comparaison avec des langages classiques

(91)

Comparaison avec des langages classiques

(92)

Comparaison avec des langages classiques

(93)

Comparaison avec des langages classiques

(94)

Contraintes

Programmation par

(95)

Programmation par contraintes

paradigme et exemples de langages

D´ecrire une situation avec des contraintes et employer un solveur pour trouver toutes les instances possibles

I CHIP, ILOG, python-constraint

I Verilog

I ECLIPSe, CLP(R), SWI-Prolog, SICSTus ...

Contraintes et logiques

I l’unification est un cas particulier de r´esolution de contraintes

I la paradigme d´eclaratif est celui de Prolog

I les premi`eres int´egrations des contraintes dans un langage viennent de techniques Prolog

(96)

Contraintes ?- use_module(library(clpfd)). ?- 5 = 3 + X. ?- 5 #= 3 + X ----somme(A,B,S) :- S #= A + B.

Techniques efficaces de r´esolution de contraintes dans des domaines particuliers (par exemple, consistance d’arc et r´eduction d’intervalles).

(97)

Carr´

e magique

:- use_module(library(clpfd)). carre(Vars)

:-Vars = [A1, A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3], Vars ins 0..9, all_different(Vars), A1+A2+A3 #= B1+B2+B3, A1+A2+A3 #= C1+C2+C3, A1+A2+A3 #= A1+B1+C1, A1+A2+A3 #= A2+B2+C2, A1+A2+A3 #= A3+B3+C3, A1+A2+A3 #= A1+B2+C3, A1+A2+A3 #= A3+B2+C1. % label(Vars).

(98)

Contraintes puzzle([S,E,N,D,M,O,R,Y]) :-Vars = [S,E,N,D,M,O,R,Y], Vars ins 0..9, all_different(Vars), S*1000 + E*100 + N*10 + D + M*1000 + O*100 + R*10 + E #= M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y, M #> 0, S #> 0. % label(Vars).

(99)

Sudoku

sudoku(Grid, Vars) :- Vars = [ A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9, B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8,B9, C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9, D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7,D8,D9, E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7,E8,E9, F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9, G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9, H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9, I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7,I8,I9 ], Vars ins 1..9 , all_different([A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9]), % lignes ... all_different([A1,B1,C1,D1,E1,F1,G1,H1,I1]),% colonnes ...

all_different([A1,B1,C1,A2, B2, C2, A3, B3, C3]), % carres ...