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Rupture dynamique ou rupture quasi-statique : quelques
éléments de comparaison
Pierre-Emmanuel Dumouchel, Jean-Jacques Marigo
To cite this version:
Pierre-Emmanuel Dumouchel, Jean-Jacques Marigo. Rupture dynamique ou rupture quasi-statique : quelques éléments de comparaison. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01504126�
quasi-statique :
quelques éléments de comparaison
Pierre-Emmanuel Dumouchel*,**
—Jean-Jacques Marigo**
* LaMSID EDF R&D UMR CNRS-EDF 2832 1 av du Général de Gaulle 92141 CLAMART, France pierre-emmanuel.dumouchel@edf.fr ** LMM (UMR 7607 ) Université Paris VI
4 Place Jussieu 75005 Paris marigo@lmm.jussieu.fr
RÉSUMÉ.Cet article vise à présenter un cas de fissuration dynamique selon une approche
théo-rique (décollement d’un film mince) et numéthéo-rique (propagation d’une fissure à travers une DCB). Nous comparerons en particulier la solution dynamique des différents problèmes avec la solution dynamique asymptotique (lorsque le chargement devient quasi-statique). Nous présen-terons une façon d’obtenir cette solution asymptotique par le biais d’une considération énergé-tique.
ABSTRACT.This study is devoted to a theoretical (the debonding of a thin film) and a numerical
(propagation of a crack through a DCB) analysis of a problem of dynamic fracture. We will compare in particular the dynamic solution of the various problems with the asymptotic dy-namic solution (when the loading becomes quasi-static). We will present a way to obtain this asymptotic solution by the means of energetical consideration.
MOTS-CLÉS : fissuration dynamique, poutre DCB, film mince, approche énergétique, débouton-nage dynamique, Code_Aster
KEYWORDS:dynamic fracture, double cantiveler beam, thin film, energetical approach, dynamic unbuttonning, Code_Aster
2 8émecolloque National en Calcul des Strcutures
1. Introduction
La cadre générale de notre étude se limite aux fissures pouvant se propager de façon dynamique sous chargement quasi-statique. Cette configuration correspond à des exigences de la part de l’industriel EDF par rapport à ses outils de production d’électricité. Les travaux que nous présentons dans cet article essaient de répondre plus d’une façon qualitative que quantitative à la problèmatique initiale.
Dans cet article nous présenterons tout d’abord un calcul théorique sur le décolle-ment d’un film mince. Il nous permettra de comprendre le comportedécolle-ment de l’énergie au cours de la propagation brutale lorsque le chargement est quasi-statique. Nous re-marquerons que le comportement particulier de l’énergie permet de retrouver le saut de la fissure (approche énergétique). Ensuite nous présenterons la solution dynamique d’une poutre DCB (Double Cantiveler Beam) dans la même configuration que le film pour obtenir des longueurs de saut de fissure. Et pour finir nous essaierons d’appli-quer cette approche énergétique sur la DCB et nous comparerons les résultats avec les calculs directs.
2. Modèle de décollement d’un film mince
Nous utilisons un modèle de décollement de film mince le long d’une interface ayant une discontinuité de ténacité. La figure 1(a) représente le modèle considéré où
G1
c et G2c sont respectivement les ténacités à gauche et à droite de la discontinuité et
qui sont telles queG1
c > G2c. Le film considéré est inextensible et une tension N et
un déplacement verticalV0t sont imposés à son extrémité gauche. L’objectif de cette
première étude est de considérer un chargement quasi-statique (V0 → 0) et d’observer
la propagation du film à la traversée de la discontinuité de ténacité. Comme elle a été
choisie de telle façon que la ténacité de droiteG2c soit la plus faible, on peut s’attendre
à ce que la propagation du décollement du film soit brutale à la traversée de cette dernière.
La résolution du problème passe par l’écriture du modèle sous la forme d’un La-grangien, où nous considèrons une énergie de surface, le travail des forces extérieurs et l’énergie cinétique. De ce fait en utilisant une formulation variationnelle construite à partir de l’intégrale en temps du Lagragien, on peut construire les équations régissant notre modèle. Ensuite nous recherchons une solution linéaire en temps et en espace vérifiant les équations précédemment développées ainsi que les conditions aux limites du problème. La solution transitoire (figure 1(b)) obtenue met en évidence une onde de choc qui est générée au passage de la discontinuité de ténacité et qui se propage à travers le film décollé en se réfléchissant sur les conditions aux limites et sur la pointe de la fissure. Ainsi la vitesse de décollement du film est modifié à chaque aller retour de l’onde de choc. Au niveau cinématique, on observe que lorsque le chargement est
quasi-statique (V0 → 0), le décollement du film devient brutal puis s’arrête un
cer-tain temps, jusqu’à ce qu’il regagne la solution statique. De plus on observe que cette solution dynamique "saute" beaucoup plus loin que la solution statique.
Si on trace les énergies qui correspondent à cette solution transitoire, on observe que l’énergie totale du système reste constante au cours de la propagation brutale. L’énergie cinétique s’annule avant et après la propagation brutale de la fissure en pas-sant par un maximum. Ainsi son rôle est de rendre "constante" l’énergie totale au cours de cette propagation. Si maitenant on part de l’hypothèse que l’énergie totale est constante durant la propagation brutale on retrouve exactement la longeur pro-pagagée et ce uniquement en considérant des énergies qui peuvent être calculée de façon statique (si on considère que l’énergie cinétique est nulle avant et après cette propagation).
(a) Modèle de film mince (b) Solution dynamique dans le plan (t,x)
Figure 1. Présentation du modèle et de la solution dynamique dans le plan
temps-espace
3. Présentation du modèle numérique de DCB
3.1. Introduction de la méthode de déboutonnage en dynamique
Nous nous proposons maintenant d’étudier le comportement d’une poutre DCB en
acier (figure 2) en présence d’une discontinuité de ténacité enx = 0 de même type
que celle du film mince. Ainsi à la traversée de celle ci la propagation du front de fis-sure devient instable. Au niveau numérique on utilise les conditions de symétrie pour ne travailler que sur une moitié de DCB. On impose une condition en déplacement
u = v0t sur la partie gauche de la DCB selon la direction y, qui lorsqu’elle évolue
propage la fissure ((t)) sur un trajet de fissuration prédeterminé ∂Ωf. L’évolution de
la frontière ∂Ωf s’effectue par l’intermédiaire d’une technique de déboutonnage de
noeud. De plus on impose sur cette frontière un bloquage des degrès de liberté selony
(pour rendre compte de la symétrie du problème). Sur la frontière∂Ωe on impose un
4 8émecolloque National en Calcul des Strcutures U = V0t Discontinuité de ténacité y x 0 zone de ténacitéG1c Trajet de fissuration∂Ωf zone de ténacitéG2c Déplacement imposé (t) frontière∂Ωe
Figure 2. Présentation du modèle DCB utilisé
L’ojectif de ce calcul est d’obtenir l’évolution du front de fissure lorsque la propa-gation devient instable. Pour cela on considère notre modèle de rupture de type Griffith et on utilise le critère du même nom pour propager la fissure :
si G < Gc ⇒ ˙ = 0
si G = Gc ⇒ ˙ ≥ 0 [1]
oùGc représente la ténacité du matériau (valant dans notre cas soitG1
c ou soit G2c),G
le taux de restitution d’énergie et ˙ la vitesse de propagation de la fissure. La
résolu-tion de ce problème de dynamique discrétisé s’effectue avec Code_Aster en utilisant un algorythme dynamique non linéaire selon un shéma d’intégration en temps de type
implicite. Pour obtenir la vitesse de fissuration ( ˙) en fonction du temps, on recherche
par dichotomie la valeur de ( ˙) telle que le critère de Griffith [1] soit vérifié à chaque
avancée du front de fissure (longueur d’un élément finis). Ainsi on peut tracer pour différentes tailles de maillage l’évolution de la vitesse de fissuration en fonction de (t) (figure 3). On observe que le saut de la fissure varie de façon aléatoire lorsque le maillage devient plus fin, et que des oscilations apparaissent dont la période dépend de la taille du maillage. Ce phénomène laisse à penser que l’énergie "restituée" à la structure lors du déboutonnage se fait d’une façon trop brutale et sélectionne (en fonc-tion de la taille de l’élément déboutonné) les modes sur lesquels l’énergie se répartit. Cependant on obtient une bonne corrélation par rapport à l’étude asymptotique sur le film au niveau de l’énergie totale, à savoir qu’elle tend à être constante lorsque la taille des mailles diminue. Par contre on obtient en fin de propagation brutale un résidu
10 12 14 16 18 20 0 1000 2000 3000 4000
Vitesse du front de fissure
1 élément dans la largueur
2 éléments dans la largueur
5 éléments dans la largueur
10 éléments dans la largueur
Position du front de fissure Discontinuité de ténacité
Figure 3. Evolution des vitesses de fissuration en fontion de (t) pour différents
maillages
4. Construction d’une solution limite numérique et comparaison
On se propose maintenant de trouver le saut de fissure en supposant que l’énergie totale se conserve durant la propagation brutale (remarque obtenue à partir du film mince). Il suffit dans ce cas de fixer les conditions aux limites telles que la pointe
de la fissure soit sur la discontinuité de ténacité 0, puis d’imaginer une famille de
position du front de fissure (parmi la frontière ∂Ωf) et de calculer pour chacune de
ces positions l’énergie potentielle qui lui est associée. Nous considérons que l’énergie potentielle est la somme entre l’énergie élastique et l’énergie de fissuration comme on peut l’observer sur la figure (4).
Ainsi on observe que l’énergie potentielle diminue tout d’abord pour passer par un minimum qui est la position d’équilibre de la DCB en statique, puis remonte jusqu’à passer par le niveau d’énergie initiale. De plus en rapport avec les travaux effectués sur le film mince nous supposons que l’énergie cinétique est la quantité se trouvant entre la courbe décrite précédemment et une droite constante horizontale passant par
l’énergie potentielle initiale (lorsque (t) = 0). De ce fait on recherche le saut de
fissure tel que l’énergie potentielle reste constante ce qui revient au même que de considérer l’énergie totale car on suppose que l’énergie cinétique est nulle avant et après la propagation brutale. Si on compare cette longueur obtenue par rapport à celle obtenue précédemment au cours du calcul dynamique direct, on trouve que l’approche statique énergétique surestime le calcul dynamique. Cela semble être en accord avec le fait que l’approche énergétique "consomme" la totalité de l’énergie cinétique alors que le calcul dynamique présente un résidu. Cette observation semble rester vraie pour différents types de maillage et d’épaisseur de DCB.
6 8émecolloque National en Calcul des Strcutures 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 Energie Energie cinétique Energie de fissuration Energie elastique
position du front de fissure
Discontinité de ténacité Arret du front de fissure Energie potentielle
Figure 4. Evolution des différentes énergies en fonction d’une position virtuelle du
front de fissure
5. Conclusion
Le calcul théorique sur le film mince avec une discontinuité de ténacité lorsque le chargement est quasi-statique, permet de mettre en évidence le fait que l’énergie totale du système se conserve lors de la propagation brutale. Cet aspect nous permet de retrouver le saut de la fissure de façon exacte. D’autre part nous avons présenté une technique numérique pour la propagation d’une fissure en dynamique et nous avons mis en évidence quelques défauts de la méthode : dépendance du saut de la fissure au maillage. Cependant l’approche énergétique a permis de construire une borne supé-rieure sur le saut de la fissure. Ce résultat est intéressant dans la mesure où il présente une méthode rapide et peu couteuse en temps de calcul pour approcher un phénomène dynamique complexe. Une des ouvertures possibles serait de "lisser" cette phase de déboutonnage brutal par une modèlisation de la fissure avec des zones cohésives.
