A2834. Une limite singuli` ere
Lesanetbnsont li´es par les relations : a0=b0= 1
an−1bn= 2n anbn= 2n+ 1 d’o`u :
an= 3×5×7· · ·(2n+ 1)
2×4×6· · ·(2n) bn= 2×4×6· · ·(2n) 3×5×7· · ·(2n−1) et
bn
an =
2×4×6· · ·(2n)2
3×5×7· · ·(2n−1)2
×(2n+ 1)
Apr`es un r´e-arrangement des termes, on obtient la
formule de Wallis
:bn
an = 2×2
1×3× 4×4
3×5 × · · · (2n)2 (2n)2−1
qui tend vers
π 2
Question subsidiaire :
Est-ce que la somme des angles
B\1A0B0+A\0B1A1+B\2A1B1+A\1B2A2+· · ·+Bn+1\AnBn+AnB\n+1An+1
croˆıt ind´efiniment ?
R´eponse : au 1er degr´e, les angles sont proportionnels `a bn−bn−1 an
ou `a an−an−1
bn , donc `a kb
2n−1 ou `a ka
2n. Donc la somme croˆıt logarithmique- ment
1
