E513 Les treize points [** à la main]
Jean Moreau de Saint Martin, Daniel Collignon, Pierre Jullien, Paul Voyer et Pierre-Henri Palmade ont trouvé la solution : il est impossible de tracer la ligne droite qui traverse les 13 segments (et d’une manière générale 2k+1 segments joignant 2k+1 points). A l’inverse, on peut disposer 2k points pour que cela devienne possible.
Jean Moreau de Saint Martin
Il peut se faire que P3 et P4 soient placés de façon telle qu'aucune droite coupant les segments P1P2 et P5P6 ne coupe P3P4 ; à supposer que cette difficulté ne se présente pas, si la ligne (droite, mais il en serait de même pour toute courbe fermée simple) ne peut traverser un segment qu'en un point intérieur au segment, on peut satisfaire la condition pour les 12 premiers segments, mais P1 et P13 seront du même côté de la ligne, celle-ci séparant les points d'indice impair et d'indice pair.
Daniel Collignon :
Nous supposons que les points sont distincts et que la droite traverse strictement les segments.
Considérons le cas avec n impair.
S’il existait une ligne droite traversant les n segments, alors elle créerait deux demi-plans dont l’un contiendrait les Pi, i impairs, et l’autre les Pp, p pairs.
Mais alors il est impossible que cette même ligne droite traverse le segment PnP1, étant donné que n est impair.
Avec n pair, le résultat dépend de la position des points.
Ainsi avec n=4, c’est possible si les points forment par exemple un quadrilatère croisé.
En revanche avec un carré, cela n’est pas possible et d’une manière générale, avec un polygone régulier cela ne semble pas possible
Pierre Jullien
C’est impossible pour n impair et parfois possible pour n pair.
En effet, la droite tracée (si elle existe) sépare le plan en deux régions telles que Pi et Pi+1 ne soient pas dans la même. Autrement dit, si P1 est dans une région alors Pi sera dans la même ou dans l’autre selon que i est impair ou pair. Pour satisfaire la condition énoncée, il est nécessaire que n soit pair. Ce n’est pas suffisant car une droite ne peut couper le périmètre d’un polygone convexe qu’en deux points au maximum.
Paul Voyer
La ligne droite, si elle existait, partagerait le plan en deux régions, l'une contenant x points et l'autre (13-x) points.
La ligne brisée fermée traverserait la ligne droite un nombre pair de fois, puisqu'elle est fermée. Donc pas 13 fois.
Généralisation : il n'existe pas de solution quelque soit le nombre impair de points.
Pierre-Henri Palmade :
Il suffit de colorer (en bleu et rouge par exemple) les deux régions séparées par une droite et d'observer qu'un segment traversé par la droite doit relier des points de couleurs différentes (connexité); si la droite traverse les 2k premiers segments (1,2)...(2k,2k+1) les points 1 et 2k+1 sont de la même couleur...
