COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC N°2 MAI 2014 Épreuve de : MATHÉMATIQUES SÉRIE GÉNÉRALE Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 3

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COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC N°2

MAI 2014

Épreuve de : MATHÉMATIQUES

SÉRIE GÉNÉRALE

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 3

Le candidat répond sur une copie apportée par ses soins.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.

Dès qu'il vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.

L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999), ainsi que les instruments usuels de dessin.

L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé.

Exercice n°1 4 points

Maîtrise de la langue 4 points

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EXERCICE 1 (4 points)

Pour chacune des questions suivantes, écrire (sans justification) le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse.

Questions Réponse A Réponse B Réponse C

➊ 15−9×10⁻³ 5×10²

14,82 29,982×10⁻³ 1,2×10⁻⁵

 Combien de temps faut-il pour parcourir 800 m à la vitesse moyenne de 40 km/h ?

1 min 12 s 1 min 20 s 1 min 2 s

 Si on triple l'arête d'un cube, alors par combien est multiplié le volume du cube ?

3 9 27

 Quelle est l'expression factorisée de 25x²−16 ?

(5x−4)² (5x−8)(5x+8) (5x+4)(5x−4)

Caroline souhaite s'équiper pour faire du roller.

Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87 € et une paire de rollers noirs à 99 €.

Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre trois modèles qui coûtent respectivement 45 €, 22 € et 29 €.

1) Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour que l'ensemble lui coûte moins de 130 € ?

Sur les 6 ensembles possibles, seuls 4 coûtent moins de 130 €. Donc la probabilité demandée est 4 6=2

3 . 2) Elle s'aperçoit qu'en achetant la paire de rollers noirs et le casque à 45 €, elle bénéficie d'une réduction

de 20 % sur l'ensemble.

a) Calculer le prix en euros et centimes de cet ensemble après réduction.

99 + 45 = 144 € ; 144 – 20

100×144 = 115,20 €.

b) Cela modifie-t-il la probabilité obtenue à la question 1 ? Justifier la réponse.

Avec cet ensemble dont le prix réduit de 20 % est inférieur à 130 €, la probabilité obtenue à la question 1) est modifiée et passe à 5

6 .

Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1 045 dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes.

1) Peut-il faire 76 sachets ?

Il ne peut pas faire 76 sachets car 1045 n'est pas divisible par 76.

2) a) Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser ? On calcule le PGCD de 760 et 1045.

1045 = 1 × 760 + 285 760 = 2 × 285 + 190

285 = 1 × 190 + 95 190 = 2 × 95 + 0

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donc le PGCD de 760 et 1045 est 95.

Il pourra réaliser au maximum 95 sachets.

b) Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ? 760 ÷ 95 = 8 et 1045 ÷ 95 = 11

Dans chaque sachet, il y aura 8 dragées au chocolat et 11 aux amandes.

On donne la feuille de calcul ci-contre.

La colonne B donne les valeurs de l'expression 2x²−3x−9 pour quelques valeurs de x de la colonne A.

1) Si on tape le nombre 6 dans la cellule A18, quelle valeur va-t-on obtenir dans la cellule B18 ?

2 × 6² – 3 × 6 – 9 = 2 × 36 – 18 – 9 = 72 – 18 – 9 = 45

Si on tape le nombre 6 dans la cellule A18, on obtiendra la valeur 45 dans la cellule B18.

2) À l'aide du tableur, trouver deux solutions de l'équation 2x²−3x−9 = 0.

D'après le tableur, on trouve 0 dans la colonne B pour deux valeurs de x : x = - 1,5 et x = 3.

3) L'unité de longueur est le centimètre. Donner une valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle ci-dessous est égale à 25 cm². Justifier.

D'après le tableur, on trouve 5 dans la colonne B pour deux valeurs de x :

x = - 5 et x = 3,5. Mais comme on cherche une longueur, on élimine la valeur négative.

Donc, l'aire du rectangle est égale à 25 cm² si x = 5 cm.

Lancé le 26 novembre 2011, le Rover Curiosity de la NASA est chargé d'analyser la planète Mars, appelée aussi Planète rouge.

Il a atterri sur la planète rouge le 6 août 2012, parcourant ainsi une distance d'environ 560 millions de km en 255 jours.

1) Quelle a été la durée en heures du vol ? 255 × 24 = 6 120. Le vol a duré 6 120 heures.

2) Calculer la vitesse moyenne du Rover en km/h. Arrondir à la centaine près.

v=d

t =560×10⁶km

6120h ≈ 91 500 km/h.

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

3) Via le satellite Mars Odyssey, des images prises et envoyées par le Rover ont été retransmises au centre de la NASA.

Les premières images ont été émises de Mars à 7 h 48 min le 6 août 2012.

La distance parcourue par le signal a été de 248 × 10⁶km à une vitesse moyenne de 300 000 km/s environ (vitesse de la lumière).

À quelle heure, ces premières images sont-elles parvenues au centre de la NASA ? (on donnera l'arrondi

2x + 3

x – 3

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à la minute près).

On calcule la durée de transmission des premières images : t=d

v= 248×10⁶km

300 000km/s ≈ 827 s = 13 min 47 s On ajoute cette durée à l'heure de début de transmission : 7 h 48 min + 13 min 47 s = 8 h 01 min 47 s.

Dans cet exercice, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche. Elle sera prise en compte dans l'évaluation.

La ville Bonvivre possède une plaine de jeux bordée d'une piste cyclable.

La piste cyclable a la forme d'un rectangle ABCD dont on a « enlevé trois des coins ».

Le chemin de G à H est un arc de cercle ; les chemins de E à F et de I à J sont des segments.

Les droites (EF) et (AC) sont parallèles.

Quelle est la longueur de la piste cyclable ? Justifier la réponse.

Calcul de EF : Deux possibilités :

1) Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :

AC² = AB² + BC²

Donc BC =

√

³¹²²⁻²⁸⁸²^{=120 m}

puis BF = 120 – 52 – 48 = 20 m

Dans le triangle EBF rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :

EF² = EB² + BF²

donc EF =

√

⁴⁸²⁺²⁰²^{=52 m.}

2) Les droites (AE) et (CF) sont sécantes en B, et (AC) // (EF).

d'après le théorème de Thalès, on a : BE

BA=BF BC=EF

AC soit encore : 48 288=BF

BC=EF 312 . Donc EF=48×312

288 =52 m.

Calcul de GH :

Le chemin de G à H est un quart de cercle de rayon 48 m.

Donc GH = 1

4×2π×48 = 24π ≈ 75,4 m Calcul de IJ :

Dans le triangle IJD rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore : IJ² = ID² + JD²

Donc IJ =

√

⁷²²⁺²⁹²⁼

√

6025 ≈ 77,6 m.

Calcul de AE, HI et JA :

AE = AB – BE = 288 – 48 = 240 m.

HI = CD – ID – CH = 288 – 29 – 48 = 211 m.

JA = AD – JD = 120 – 72 = 48 m.

Calcul de la longueur de la piste cyclable :

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AE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA

= 240 + 52 + 52 + 75,4 + 211 + 77,6 + 48 = 756 m.

La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD tel que : AB = 12 cm ; CD = 9 cm et BC = 5 cm.

1) H est le pied de la hauteur issue de C.

a) Montrer que HB = 3 cm.

Le quadrilatère AHCD possède 3 angles droit, donc c'est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur : AH = CD = 9 cm.

Le point H appartient au segment [AB], donc BH = AB – AH = 12 – 9 = 3 cm.

b) Calculer CH.

Dans le triangle CHB rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : BC² = BH² + CH²

d'où CH =

√

5²−3²=4 cm.

c) Déduire que le périmètre de ABCD est égal à 30 cm.

Le quadrilatère AHCD possède 3 angles droit, donc c'est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur : AD = CH = 4 cm.

Périmètre de ABCD = AB + BC + CD + DA = 12 + 5 + 9 + 4 = 30 cm.

2) Calculer la mesure de l'angle ̂ABC au degré près.

Dans le triangle ACH rectangle en H, on peut écrire : cos ̂ABC = BH CB = 3

5 Donc ̂ABC = arccos(3/5) ≈ 53°

3) Construire la figure aux dimensions réelles.

4) La parallèle à (AC) passant par H coupe la droite (BC) en M. Compléter la figure.

5) Calculer BM.

Les droites (CM) et (AH) sont sécantes en B, et (AC) // (HM). D'après le théorème de Thalès, on a : BH

BA=BM BC=HM

AC soit encore 3 12=BM

5 =HM AC On en déduit : BM=3×5

12 =1,25 cm.

A B

D C

H