DS 2 – Durée 4h – Samedi 9 octobre 2021 PC

SESSION 2004

CONCOURS NATIONAL DEUG

Epreuve commune concours Physique et concours Chimie´

MATH´ EMATIQUES

Dur´ee : 2 heures

Les calculatrices sont autoris´ees.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la concision de la r´edaction.

Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a

´et´e amen´e `a prendre.

Les deux exercices sont ind´ependants.

Exercice I – Etude de s´ eries dont le terme g´ en´ eral est le reste d’une s´ erie convergente.

Soitn0 un entier naturel fix´e. Soit P

n>n0

anune s´erie convergente. On d´efinit pournentier naturel sup´erieur ou ´egal `an0 ,rn son reste de rang n:rn=

+P∞ k=n+1

ak. Le but de l’exercice est d’´etudier la convergence de la s´erie P

n>n0

rndans trois exemples diff´erents.

Exemple 1

1. On pose pour n>0, an= 1 2ⁿ. Calculerrn puis montrer que P

n>0

rn converge et calculer sa somme.

Exemple 2

2. On pose pour n>1, an= 1 n².

Nous allons chercher un ´equivalent de (rn).

Soit k un entier sup´erieur ou ´egal `a 1.

a. Montrer que∀t∈[k, k+ 1], 1

(k+ 1)² 6 1 t² 6 1

k².

b. En d´eduire que pour tout entier naturel non nuln et pour tout entierN sup´erieur `a 2 et `an+ 1, on a : P^N

k=n+1

1

(k+ 1)² 6Z _N+1

n+1

dt t² 6

XN k=n+1

1 k². 1

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/ds2.pdf

DS 2 – Durée 4h – Samedi 9 octobre 2021 PC

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois (petits) problèmes indépendants. N’oubliez pas de faire une marge sur vos copies, au minimum 5 cm.

Problème I

c. En d´eduire que pour tout entier naturel non nuln, on a : 1

n+ 16rn6 1

n+ 1+ 1 (n+ 1)².

d. Donner alors un ´equivalent de (rn) lorsquen est au voisinage de +∞. Que peut-on en conclure sur la nature de la s´erie P

n>1

rn? Exemple 3

On pose pour n>1,an= (−1)ⁿ n . 3. Justifier la convergence de P

n>1

an. 4. Expression int´egrale dern.

Soit n un entier naturel non nul. On d´efinit la suite (In) parIn= (−1)ⁿ Z ₁

0

xⁿ 1 +x dx.

a. Montrer que lim

n→+∞In= 0.

b. Montrer queIn= ln 2 + Pⁿ

k=1

(−1)^k

k . On pourra calculerⁿP⁻¹

k=0

(−x)^k. c. En d´eduire la valeur de ⁺P^∞

n=1

(−1)ⁿ

n , puis exprimer rn en fonction de In. 5. Conclusion

a. En utilisant une int´egration par parties, montrer que l’on a : In= (−1)ⁿ

a(n+ 1)+O 1

n^α

o`u a∈Ret α >1 sont `a d´eterminer.

b. En d´eduire la nature de la s´erie P

n>1

rn.

Exercice II – Racines carr´ ees de matrices

On rappelle queM3(R) d´esigne l’ensemble des matrices carr´ees de taille 3 `a coefficients r´eels.

Soit A∈M3(R), on dit qu’une matrice R∈M3(R) est une racine carr´ee de A si R² =A.

Le but de l’exercice est de chercher les racines carr´ees de la matriceA dans les deux exemples suivants qui sontind´ependants.

Exemple 1 Cas o`u A=



11 −5 5

−5 3 −3

5 −3 3



.

6. R´eduction deA

D´eterminer le polynˆome caract´eristique deApuis justifier l’existence d’une matriceP ∈ M3(R) inversible telle que A=P DP⁻¹ o`u D=



0 0 0

0 1 0

0 0 16



.

7. Montrer que Rest une racine carr´ee de A, si et seulement si la matrice S =P⁻¹RP est une racine carr´ee de D.

8. Racines carr´ees de D

Soit S une racine carr´ee de D.

a. Montrer queDS =SD.

b. Montrer que la matriceS est diagonale.

2 6.Programmation PYTHON.

a. Écrire une fonctionS(n)qui réalise le calcul de la somme partielleS_n=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k . b. Établir que :∀n∈N^∗, |ln(2)−Sn| É 1

n+1.

c. Écrire une fonctionln2(epsilon)qui détermine une valeur approchée de ln(2) àεprès en utilisant la fonction précédente.

Problème II

Soit(un)une suite de réels non nuls, on lui associe la suite(pn)définie par :

∀n∈N^{∗, p}n=

n

Y

p=1

up=u1u2· · ·un

On dit que le produit(pn)converge si, et seulement si, la suite(pn)admet une limite finienon nulle.

Sinon on dit que le produit(pn)diverge.

Partie 1

1. En considérant le quotient

p_n+1 pn

montrer que, pour que le produit (pn) converge, il est nécessaire que la suite (un) converge vers 1.

2. Soitp_n=

n

Y

p=1

µ 1+1

p

¶

. Montrer que :∀nÊ1,p_n=n+1. Quelle est la nature du produit (p_n) ?

3. Soient un réeladifférent dekπ(k∈Z^{) etp}n=

n

Y

p=1

cos a 2^p. (a) Pour tout entier naturelnnon nul, calculerpnsin a

2ⁿ.

(b) En déduire que le produit (pn) converge et donner la limite de la suite (pn).

Partie 2

4. Soit (pn) un produit associé à une suite (un) qui converge vers 1.

(a) Montrer qu’il existe un entiern0tel que :∀nÊn0,un>0.

(b) Montrer l’équivalence :

le produit (pn) converge ≺===Â la série X

nÊn0

ln(un) converge

Lorsqu’il y a convergence, donner la limite de la suite (pn) en fonction depn₀et de la somme de la série.

5. Soitpn=

n

Y

p=1

pp

p.

(a) Déterminer la nature de la série X

pÊ1

lnp p . (b) En déduire la nature du produit (pn).

Partie 3 Soit pn=

n

Y

p=1

(1+vp)où(vn)est une suite de réels strictement positifs qui converge vers0.

6. Montrer que :∀x∈R^{+∗, ln(1}+x)<x.

7. Montrer l’équivalence : le produit (p_n) converge≺=Âla sérieP

nÊ1v_nconverge.

Partie 4 Soit p_n=

n

Y

p=1

(1+a^2p)où a∈R^+∗.

8. Que dire de la nature du produit (p_n) lorsqueaÊ1 ? 9. On supposea∈]0, 1[.

(a) Montrer que le produit (pn) converge.

(b) Pour tout entier naturelnnon nul, calculer (1−a²)pnet en déduire la limite de la suite (pn).

Problème III

Dans tout le texte,Nest l’ensemble des entiers naturels,Rl’ensemble des réels, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à1etRn[X]est l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus n.

Pour P∈Rn[X], on notedeg(P)le degré de P et, lorsque P est non nul,cd(P)désigne le coefficient dominant de P , c’est-à-dire le coefficient du monôme X^deg(P).

Pour un ensemble E et f :E→E , on définit l’application f^k :E→E par récurrence sur k∈N^{de la} façon suivante : f⁰=idEet f^k+1=f◦f^k.

On considère l’applicationτdéfinie surRn[X]par la relation :

∀P∈Rn[X],τ(P(X))=P(X+1)

On admet dans la suite queτest un endomorphisme deRn[X], on ne demande pas de démontrer ce point.

1. Pour un polynôme non nulP∈Rn[X], démontrer que deg(τ(P))=deg(P) et cd(τ(P))=cd(P).

2. SoitP∈Rn[X]. Pourk∈N, donner l’expression deτ^k(P) en fonction deP.

3. Pourj∈ ‚0,nƒ, exprimerτ(X^j) comme une combinaison linéaire de certains des polynômesXⁱ aveci∈ ‚0,nƒ.

4. Donner la matriceMdeτdans la base (1,X, . . . ,Xⁿ) deRn[X].

5. L’applicationτest-elle bijective ? Si oui, préciserτ⁻¹. L’expression deτ^jtrouvée à la question 3 pourk∈Nest-elle valable pourk∈Z^?

L’opérateur de différence est l’applicationδdéfinie surRn[X]par la relation :

∀P∈Rn[X],δ(P(X))=P(X+1)−P(X)

6. Démontrer queδest un endomorphisme deRn[X].

7. Pour un polynôme non constantP∈Rn[X], exprimer deg(δ(P)) et cd(δ(P)) à l’aide de deg(P) et cd(P).

8. En déduire le noyau Ker(δ) et l’image Im(δ) de l’endomorphismeδ. On considère la famille de polynômes définie par H0=1et Hk= 1

k!

k−1Y

j=0

(X−j)pour k∈ ‚1,nƒ.

9. Montrer que la famille (H_k)_k∈‚0,nƒest une base deRn[X].

10. Calculerδ(H0) et, pourk∈ ‚1,nƒ, exprimerδ(H_k) à l’aide deH_k−1. 11. Donner la matriceT deτdans la base (H_k)_k∈‚0,nƒ.

Correction DS 2 – CCP L2 2004 et Mines sup MPSI 1996 adaptés

Problème II

Partie 1

1. Il faut établir quesile produit (pn) converge,alorsla suite (un) converge vers 1. On suppose que le produit (pn) converge, on note`sa limite. La suite (un) est à valeurs non nulle, il en est donc de même de la suite (pn) et on a pourn∈N^∗:

un+1=

n+1

Y

p=1

up n

Y

p=1

up

=pn+1

p_n −−−−−→

n→+∞

`

`=1

(ceci est légitime puisque par hypothèse`est une limite finie non nulle). On a démontré que si le produit (pn), alors la suite (un) converge vers 1.

Ïp_n+1/pn=u_n+1 1

ÏRédaction 1 Le quotient des limites doit apparaitre 2. En réduisant au même dénominateur et en simplifiant :

∀n∈N^∗,pn=

n

Y

p=1

p+1

p =n+1

1 =n+1 Commen+1−−−−−→_n

→+∞ +∞, on apn−−−−−→_n

→+∞ +∞. ainsi, la suite (pn) ne converge pas vers une limite finie non nulle. Par conséquent le produit (p_n) diverge.

ÏMontrer quepn=n+1 1 ÏProduit diverge 1

3. (a) Supposons qu’il existep∈N^∗tel que cos a

2^p =0. Il existe alorsk∈Z^{tel que :} a

2^p =π 2+kπ

On aura alorsa=(2^p−1+2^pk)πce qui est en contradiction avec l’énoncé. Ainsi, tous les termes du produit sont bien non nuls. Calculons les premiers termes :

p₁sina

2=cosa 2sina

2 =1 2sina p2sina

4=cosa 2cosa

4sina 4 =1

2cosa 2sina

2 =1 4sina On considère alors pourn∈N^∗l’hypothèse de récurrence :

H(n) :pnsin a 2ⁿ = 1

2ⁿsina

D’après ce qui précède,H(1) est vraie. Soitn∈N^∗et supposons queH(n) est vraie. Alors : p_n+1sin a

2ⁿ⁺¹=

n

Y

p=1

cos a

2^p×cos a

2ⁿ⁺¹sin a 2ⁿ⁺¹=1

2p_nsin a 2ⁿ = 1

2ⁿ⁺¹sina

On en déduit queH(n+1) est vraie. Par récurrence, on a démontré que :

∀n∈N^∗,p_nsin a 2ⁿ = 1

2ⁿsina ÏSuite non nulle 1

ÏRelationpnsin(a/2ⁿ)=sin(a)/2ⁿ 1 ÏJustification rigoureuse 2

(b) Sachant que sin(a/2ⁿ)6=0, on obtient avec l’équivalent usuel de sin en 0 : p_n= 1

sin₂^an

×sina 2ⁿ _n ∼

→+∞

2ⁿ a ×sina

2ⁿ =sina a

Commean’est pas un multiple deπ, sin(a)/a6=0. Ainsi, la suite (pn) tend vers une limite finie non nulle donc le produit (pn) converge. Sa limite est sin(a)/a.

Ïsin(a/2ⁿ)6=0 1

ÏÉquivalent usuel, limite 2 ÏLa limite est non nulle 1 Partie 2

4. (a) La suite (un) converge vers 1. Par définition de la limite :

∀ε>0,∃n0∈N^∗,∀nÊn0, 1−εÉunÉ1+ε Appliquons ceci avecε=1/2, il vient :

∃n0∈N^∗,∀nÊn0, 1

2ÉunÉ3 2 et en particulier, pournÊn0, on auraun>0.

ÏDéfinition de la limite, conclusion 2

(b) On considère, pournÊn₀, une somme partielle de la sérieSn=

n

X

p=n0

ln(up). On a alors :

Sn=ln à _n

Y

p=n0

up

!

=ln µ pn

pn0−1

¶

et pn=pn0−1e^Sn

Supposons que la sériePln(u_p) converge, par définition suite (S_n) converge vers une limiteS et ainsi :

pn=pn0−1e^Sn−−−−−→_n

→+∞ pn0−1e^S6=0

de sorte que le produit (pn) converge. Réciproquement, si le produit (pn) converge alors la suite (pn) possède une limite finie`non nulle et :

Sn=ln µ pn

pn₀−1

¶

−−−−−→

n→+∞ ln µ `

pn₀−1

¶

et la suite (Sn) converge donc la sérieP

nÊn0ln(un) converge. L’équivalence est démontrée. On obtient également, en cas de convergence :

n→+∞lim pn=pn₀−1exp Ã+∞

X

p=n0

ln(up)

!

ÏSupposerPln(up)converge, produit, limite non nulle 3 ÏSupposer(pn)converge, somme partielle, conclusion 3 ÏLimite du produit 1

5. (a) La sérieX1

p est une série de Riemann divergente. De plus, pourpÊ3 : lnp

p Ê 1 p

donc par comparaison de séries à termes positifs, la sériePlnp/pdiverge.

ÏComparaison, référence, comparaison SATP, conclusion 4 (b) Posonsun=pⁿ

npourn∈N^∗. Le produit (pn) est alors associé à la suite (un) et de plus : un=n^1/n=exp

µ1 nlnn

¶

−−−−−→

n→+∞ 1 par croissances comparées

D’après la question précédente, le produit (pn) converge si, et seulement si, la sérieP ln(un) converge. Or pourn∈N^∗:

ln(un)=ln¡ n^1/n¢

= 1 nln(n) On vient d’établir que la sérieXln(n)

n diverge, donc le produit (pn) diverge.

ÏJustifierun−−−−−→_n

→+∞ 1,Pln(un)diverge, question précédente 3 Partie 3

6. On définit la fonction :

f : R⁺ → R

x 7→ x−ln(1+x) Cette fonction est dérivable surR^{+et :}

∀xÊ0, f⁰(x)=1− 1

1+x= x 1+x

On en déduit quef⁰(x)Ê0 pourx∈R^+etf0ne s’annule qu’en 0. Ainsi,f est strictement croissante surR⁺et commef(0)=0 on en déduit que pour toutx>0,f(x)>0. Ceci signifie que pour toutx>0, ln(1+x)<x.

ÏFonction, étude rigoureuse, inégalité stricte 3

7. Posonsun=1+vnpourn∈N^∗de sorte que la produit (pn) est associé à la suite (un). Comme la suite (v_n) converge vers 0, la suite (u_n) converge vers 1 donc d’après la question 4, le produit (p_n) converge si, et seulement si, la sérieP

ln(un) converge. Commevn−−−−−→_n

→+∞ 0, on a avec l’équivalent ln(1+x) ∼

x→0x:

ln(un)=ln(1+vn)_n ∼

→+∞vn

De plus,vn>0 pourn∈N^∗. Ainsi, par comparaison de séries à termes positifs à partir d’un certain rang (d’après l’équivalent) les sériesPln(u_n) etPv_nsont de même nature. Par conséquent : le produit (pn) converge si, et seulement si, la sérieP

vnconverge.

Ïun−−−−−→_n

→+∞ 1, question 4, équivalentln(1+vn), comparaison séries à termes positifs, conclu- sion 5

Partie 4

8. Posons pourn∈N^∗,vn=a²ⁿ etun=1+vn de sorte que le produit (pn) est associé à la suite (u_n). SiaÊ1, alorsv_nÊ1 pour toutn∈N^∗et ainsiu_nÊ2. La suite (u_n) ne converge pas vers 1 donc d’après la question 1, le produit (pn) diverge.

Ïunne converge pas vers1, conclusion 2

9. (a) Commea∈]0, 1[, la suite (vn) est strictement positive et converge vers 0. D’après la question 7, le produit (pn) converge si, et seulement si, la sériePvnconverge. On peut utiliser la régle de d’Alembert :

v_n+1

vn =a²ⁿ⁺¹

a²ⁿ =a^2n+1−2n=a²ⁿ−−−−−→_n

→+∞ 0

car 0<a<1. La limite obtenue est strictement inférieure à 1 donc la sériePv_nconverge et ainsi le produit (pn) converge.

Ïvn−−−−−→

n→+∞ 0,vn>0, question 7 3

ÏRègle de d’Alembert, limite, conclusion 3 ÏProduit converge 1

(b) Calculons les premières valeurs dep_n:

p1=1+a², p2=(1+a²)(1+a⁴), p3=(1+a²)(1+a⁴)(1+a⁸) Alors avec les identités remarquables :

(1−a²)p₁=(1−a²)(1+a²)=1−a⁴

(1−a²)p2=(1−a²)(1+a²)(1+a⁴)=(1−a⁴)(1+a⁴)=1−a⁸

(1−a²)p₃=(1−a²)(1+a²)(1+a⁴)(1+a⁸)=(1−a⁸)(1+a⁸)=1−a¹⁶

On considère pourn∈N^∗l’hypothèse de récurrenceH(n) : (1−a²)pn=1−a²ⁿ⁺¹. D’après les calculs précédents,H(1) est vraie. Soitn∈N^∗et supposonsH(n) vraie, alors :

(1−a²)pn+1=(1−a²)pn(1+a²ⁿ⁺¹)=(1−a²ⁿ⁺¹)(1+a²ⁿ⁺¹)=1−a²ⁿ⁺² doncH(n+1) est vraie. Par récurrence :

∀n∈N^∗, (1−a²)pn=1−a²ⁿ⁺¹ et ainsi (1−a²)pn−−−−−→

n→+∞ 1 puisque 0<a<1 donc : pn−−−−−→

n→+∞

1 1−a²

ÏRécurrence (hypothèse, initialisation, hérédité, conclusion) 5 ÏLimite 1

Problème III

1. On considèreP∈Rn[X] non nul, on noted=degPet on notePsous la forme : P=

d

X

k=0

a_kX^k

aveca0, . . . ,ad∈R^etad6=0 puisque degP=d. On a alors : τ(P)=

d

X

k=0

ak(X+1)^k=ad(X+1)^d+

d−1X

k=0

ak(X+1)^k

=a_d

d

X

k=0

^d_k

X^k+

d−1

X

k=0

a_k(X+1)^k (binôme de Newton)

=adX^d+ad d−1X

k=0

^d_k

_X^k₊^d−1X

k=0

ak(X+1)^k

=adX^d+Q(X) avec Q(X)=ad d−1

X

k=0

^d_k

_X^k₊^dX−1

k=0

ak(X+1)^k

On a alors degQÉd−1 donc le terme de plus haut degré apparaissant dansτ(P) estadX^d avec a_d6=0. On en déduit que degτ(P)=d=degPet cd(τ(P))=a_d=cd(P).Remarque :on peut alléger les notation en écrivant plutôt le polynômePsous la formeP=adX^d+R(X) avecad6=0 et degR<d.

ÏUne écriture dePavec degré et coeff. dominant, calcul, binôme, terme de degréden évidence, conclusion 5

2. SoitP∈Rn[X]. On peut commencer par calculer : τ(P)=P(X+1)

τ²(P)=τ(P(X+1))=P(X+2)

On conjecture queτ^k(P)=P(X+k) pourk∈N. On le démontre par récurrence (c’est la première démonstration par récurrence du sujet, il n’est pas raisonnable de ne pas la rédiger). On considère pourk∈Nl’hypothèse de récurrenceH(k) :τ^k(P)=P(X+k). Par définition,τ⁰=id donc :

τ⁰(P)=id(P)=P(X)=P(X+0) doncH(0) est vraie. Soitk∈Net supposonsH(k) vraie. On a alors :

τ^k+1(P)=τ(τ^k(P))=τ(P(X+k))=P((X+1)+k)=P(X+k+1) doncH(k+1) est vraie. Par récurrence,τ^k(P)=P(X+k) pour toutk∈N.

ÏHypothèse, initialisation, rédaction hérédité, calcul, conclusion 5 1pt pour l’expression correcte 3. On utilise essentiellement le binôme de Newton :

τ(X^j)=(X+1)^j=

j

X

i=0

^j_i

Xⁱ

ÏMéthode, binôme de Newton, conclusion 3

4. Laj-ème colonne de la matriceMest le vecteur des coefficients deτ(X^j−1) dans la base canonique.

D’après la question précédente :

τ(X^j−1)=(X+1)^j−1=

j−1

X

i=0

^j−1

i

_Xⁱ

On aura donc :

M=













































1 1 1 · · · ·

^j−1

0

 _{· · ·} 

ⁿ₀

 1 2

^j−1

1

 

ⁿ₁



1 ^{... ...}

. . . 

^j−1

i−1

 

_i−1ⁿ 



. . . ... ...

. . . 

^j−1_j

−2

 ^...

1 ^...

. . . 

_n−1ⁿ 



(0) 1













































∈Mn+1(R⁾

ÏExpression générale, expression d’une colonne, taille 3 5. Considérons l’applicationτ⁰:P∈Rn[X]7→P(X−1), on a :

∀P∈Rn[X],τ⁰◦τ(P)=τ⁰(τ(P))=τ⁰(P(X+1))=P((X−1)+1)=P(X) τ◦τ⁰(P)=τ(τ⁰(P))=τ(P(X−1))=P((X+1)−1)=P(X)

Par conséquent,τ◦τ⁰=τ⁰◦τ=id. On en déduit queτest bijective etτ⁰est la réciproque deτ,i.e.

τ⁻¹(P)=P(X−1) pour toutP∈Rn[X].

ÏBijectivité,τ⁻¹, justification 3

6. SoitP∈Rn[X], on a degPÉndonc degP(X+1)Énet ainsi : degδ(P)Émax(degP, degP(X+1))Én Par conséquent,δ(P)∈Rn[X]. PourP,Q∈Rn[X] etλ∈R^:

δ(λP+Q)=(λP+Q)(X+1)−(λP+Q)=λP(X+1)−λP+Q(X+1)−Q=λδ(P)+δ(Q) L’applicationδest linéaire, définie surRn[X] et à valeurs dansRn[X] doncδest un endomorphisme deRn[X].Remarque :on peut aussi noter queδ=τ−id_Rn[X], ainsiδest un endomorphisme de Rn[X] comme différence de deux endomorphismes deRn[X].

ÏLinéarité 1, degré 2 3 1pt pour degré somme, tous les points si autre méthode correcte 7. ConsidéronsP∈Rn[X] non constant. On le note :

P=

d

X

k=0

akX^k

avecd=degP,a0, . . . ,ad∈R^etad6=0. Avec le binôme de Newton : δ(P)=

d

X

k=0

a_k(X+1)^k−

d

X

k=0

a_kX^k=

d

X

k=0

a_k³

(X+1)^k−X^k´

=

d

X

k=0

a_k à _k

X

j=0

^k_j

X^j−X^k

!

= Xd k=0

a_k Ãk−1

X

j=0

^k_j

X^j

!

=a_d Ãd−1

X

j=0

^d_j

X^j

!

=Q(X)

+

d−1X

k=0

a_k Ãk−1

X

j=0

^k_j

X^j

!

=R(X)

Commead6=0,Q est un polynôme de degréd−1. De plus, degRÉd−2 carRest une somme de polynômes de degrés inférieurs àd−2. En particulier, degQ6=degRet on sait que dans ce cas :

degδ(P)=deg(Q+R)=max(degQ, degR)=d−1=deg(P)−1

De plus, le coefficient deX^d−1dansδ(P) est le même que celui deX^d−1dansQet c’estad

_d^d

−1

₌ d addonc cd(δ(P))=deg(P)cd(P).

Ïdegré, Newton, reste de la justification, coeff. dominant 4

8. SoitP ∈Rn[X]. D’après la question précédente, siP n’est pas constant alors degP Ê1 donc degδ(P)=deg(P)−1Ê0 donc δ(P) n’est pas le polynôme nul. Ainsi, siP n’est pas constant,P n’appartient pas à Kerδ. SiPest constant, il est clair queδ(P)=P(X+1)−P=0 doncPappartient à Kerδ. Ainsi, Kerδest l’ensemble des polynômes contantsi.e.Kerδ=R0[X]. Toujours avec la question précédente, siPn’est pas constant alors degδ(P)=deg(P)−1Én−1. SiPest constant, alorsδ(P)=0 donc là encore degδ(P)Én−1. On en déduit que l’on a toujours degδ(P)Én−1 doncδ(P)∈Rn−1[X].

Par conséquent, Imδ⊂Rn−1[X]. Avec le théorème du rang :

dim Imδ=dimRn[X]−dim Kerδ=(n+1)−1=n=dimRn−1[X] Par égalité des dimensions on a Imδ=Rn−1[X].

ÏNoyau (deux arguments), inclusion image, dimension 4 Ou autre méthode

9. NotonsB=(H₀, . . . ,Hn). On a degH₀=0 et pourk∈ ‚1,nƒ, degH_k=k(carH_kest un produit dek polynômes de degré 1). La familleBest donc une famille deRn[X] et elle est échelonnée en degrés donc libre. Par ailleurs :

cardB=n+1=dimRn[X] doncB=(H0, . . . ,Hn) est une base deRn[X].

ÏdegHk=k, échelonnée donc libre, cardinal et dimension 3 10. CommeH0est constant, on aδ(H0)=0. Pourk∈ ‚1,nƒ:

δ(Hk)=H_k(X+1)−H_k= 1 k!

Ãk−1

Y

j=0

(X+1−j)−

k−1Y

j=0

(X−j)

!

= 1 k!

Ãk−1

Y

j=0

(X−(j−1))−

k−1Y

j=0

(X−j)

!

On réalise le changement d’indicei=j−1 dans le premier produit : δ(Hk)= 1

k! Ãk−2

Y

i=−1

(X−i)−

k−1Y

j=0

(X−j)

!

= 1 k!

Ãk−2

Y

j=−1

(X−j)−

k−1Y

j=0

(X−j)

!

On met en facteur la partie qui concerne les indices allant dej=0 àj=k−2 qui est commune à chaque produit :

δ(Hk)= 1 k!

k−2Y

j=0

(X−j) ((X+1)−(X−k+1))= k k!

k−2Y

j=0

(X−j)=H_k−1 Ïδ(H0)=0, écritureδ(Hk), indice, factorisation, simplification, résultat 6

11. On a notéB=(H₀, . . . ,H_n). On a d’après la question précédenteδH₀=0 et pour toutk∈ ‚1,nƒ, δ(Hk)=Hk−1. Avecτ=δ+id on obtient :

T=Mat_B(τ)=Mat_B(δ)+In+1=











1 1 (0)

. . . ...

. . . 1

(0) 1











∈Mn+1(R⁾

ÏMatrice correcte, dimension 3

Problème I – CCP L2 2004, exercice 1 – Correction

1. Dans cette question,an =1/2ⁿ. La sérieP

nÊ0an est une série géométrique convergente. Par définition dern:

rn=

+∞X

k=n+1

1 2^k = 1

2ⁿ⁺¹

+∞X

k=0

= 1

2ⁿ⁺¹×2= 1 2ⁿ La sérieP

nÊ0rnest alors une série géométrique convergente puisque 0<1/2<1 et de plus :

+∞X

n=0

rn=

+∞X

n=0

1

2ⁿ = 1 1−1/2=2 Ïrn=1/2ⁿ 1

Ï |1/2| <1 1

ÏSérie géométrique convergente 1 ÏP_+∞

n=0rn=2 1

2.a. SoitkÊ1 et soitt∈[k,k+1]. Alors 0<kÉtÉk+1 et en appliquant la fonctionx7→x⁻²qui est décroissante surR^+∗:

∀t∈[k,k+1], 1

(k+1)² É 1 t² É 1

k² ÏFonction décroissante 1

2.b. On reprend la relation obtenue à la question précédente et on intègre dekàk+1. Par croissance de l’intégrale :

∀kÊ1, 1 (k+1)² É

Z _k+1

k

dt t² É 1

k²

On considèrenÊ1,NÊn+1 et on ajoute les inégalités précédentes pourk∈ ‚n+1,Nƒ:

N

X

k=n+1

1 (k+1)²É

N

X

k=n+1

Z k+1 k

dt t² É

N

X

k=n+1

1 k² En regroupant les intégrales avec la relation de Chasles :

∀nÊ1,∀NÊN+1,

N

X

k=n+1

1 (k+1)²É

Z _N+1

n+1

dt t² É

N

X

k=n+1

1 k² ÏCroissance de l’intégrale 1 Ou intégration des inégalités

ÏAjouter les inégalités 1 ÏRelation de Chasles 1

2.c. On calcule tout d’abord l’intégrale : Z _N+1

n+1

dt t² =

·

−1 t

¸N+1 n+1 = 1

n+1− 1 N+1 On en déduit l’encadrement pournÊ1 etNÊn+1 :

N

X

k=n+1

1

(k+1)² É 1

n+1− 1 N+1É

N

X

k=n+1

1 k²

On fait maintenant tendreN vers+∞et on obtient :

+∞X

k=n+1

1

(k+1)²É 1 n+1É

+∞X

k=n+1

1 k²

La somme de droite est égale àrn. Celle de gauche est égale àrn+1ou encorern−1/(n+1)², donc : rn− 1

(n+1)²É 1 n+1Érn

En réordonnant ces inégalités, on obtient ∀nÊ1, 1

n+1Ér_nÉ 1

n+1+ 1 (n+1)² . ÏCalcul des intégrales 1

ÏN→ +∞ 1

ÏEncadrement der_n 1

2.d. On multiplie les inégalités précédentes parn+1>0 : 1É(n+1)rnÉ1+ 1

n+1−−−−−→

n→+∞ 1 Par encadrement, (n+1)rn−−−−−→_n

→+∞ 1 et ainsi : r_nn ∼

→+∞

1 n+1_n ∼

→+∞

1 n La série de RiemannP

nÊ1n⁻¹est divergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série P

nÊ1rndiverge.

Ïrn∼1/n 1 ÏP

1/ndiverge 1

ÏComparaison de séries à termes positifs 1 ÏPr_ndiverge 1

3. La suite ((−1)ⁿan)nÊ1est de signe constant puisque (−1)ⁿan=1/n= |an|. La suite (|an|)nÊ1= (1/n)_nÊ1est décroissante et converge vers 0. Par application du théorème des séries alternées, la série P

nÊ1(−1)ⁿ/nconverge.

Ï(−1)ⁿande signe constant 1 Ï(|an|)décroissante 1

Ïan−−−−−→

n→+∞ 0 1

ÏThéorème des séries alternées et conclusion 1 4.a. Pourx∈[0, 1] etn∈N^{, on a 0}É xⁿ

1+x Éxⁿde sorte que par croissance de l’intégrale : 0É

Z 1 0

xⁿ 1+xdxÉ

Z 1 0

xⁿdx= 1

n+1−−−−−→

n→+∞ 0 On en déduit par encadrement|In| =

Z 1 0

xⁿ

1+xdx−−−−−→

n→+∞ 0 et ainsiIn−−−−−→

n→+∞ 0.

ÏMajoration de l’intégrale, Théorème d’encadrement 2

4.b. Pourx∈[0, 1],−x6=1 et on reconnait la somme des termes d’une suite géométrique :

n−1

X

k=0

(−x)^k=1−(−x)ⁿ 1−(−x) = 1

1+x−(−1)ⁿ xⁿ 1+x

On intègre de 0 à 1 : Z 1

0

Ãn−1

X

k=0

(−x)^k

! dx=

Z 1 0

1

1+xdx−(−1)ⁿ Z 1

0

xⁿ

1+xdx=[ln(1+x)]¹₀−In=ln 2−In

On utilise la linéarité de l’intégrale puis le changement d’indicep=k+1 : ln 2−In=

n−1X

k=0

(−1)^k Z 1

0

x^kdx=

n−1X

k=0

(−1)^k k+1 =

n

X

p=1

(−1)^p−1 p = −

n

X

p=1

(−1)^p p

Finalement In=ln 2+

n

X

p=1

(−1)^p

p =ln 2+

n

X

k=1

ak. ÏSomme des termes d’une suite géométrique 1 ÏIntégrer 1

ÏConclusion 1

4.c. D’après les deux questions précédentes :

n

X

k=1

ak=In−ln 2−−−−−→

n→+∞ −ln 2

Par définition,

+∞X

n=1

an= −ln 2. De plus, pournÊ1 :

r_n=

+∞X

k=n+1

a_k=

+∞X

k=1

a_k−

n

X

k=1

a_k= −ln 2−(I_n−ln 2)= −I_n Ïn→ +∞ 1

ÏP_+∞

n=1an= −ln 2 1 Ïrn= −In 1

5.a. Les fonctionsx7→xⁿ⁺¹etx7→(1+x)⁻¹sont de classe C¹sur [0, 1], on réalise une intégration par parties :

Z 1 0

xⁿ 1+xdx=

·xⁿ⁺¹ n+1· 1

1+x

¸¹

0− Z 1

0

xⁿ⁺¹ n+1· −1

(1+x)²dx= 1

2(n+1)+ 1 n+1

Z 1 0

xⁿ⁺¹ (1+x)²dx Par ailleurs, sachant que (1+x)²Ê1 pourx∈[0, 1] :

0É Z 1

0

xⁿ⁺¹ (1+x)²dxÉ

Z 1 0

xⁿ⁺¹dx= 1 n+2 On en déduit que :

0É 1 n+1

Z 1 0

xⁿ⁺¹

(1+x)²dxÉ 1

(n+1)(n+2)= O

n→+∞

µ 1 n²

¶

Par conséquent Z 1

0

xⁿ

1+xdx= 1

2(n+1)+ O

n→+∞

µ 1 n²

¶ et :

In=(−1)ⁿ Z 1

0

xⁿ

1+xdx= (−1)ⁿ 2(n+1)+ O

n→+∞

µ 1 n²

¶

ÏChoix des fonctions 1 ÏFonctions de classeC¹ 1

ÏRéalisation de l’intégration par parties 1 Ïa=2,α=2 1

ÏO(1/n²) 1

5.b. Sachant quern= −In, on a le développement : rn=un+vn avec un= −(−1)ⁿ

2(n+1) et vn= O

n→+∞

µ 1 n²

¶

La sérieP

nÊ1n⁻²est une série de Riemann convergente, par comparaison de séries à termes positifs la sérieP

nÊ1vnest absolument convergente donc convergente. La suite ((−1)ⁿun) est de signe constant et de plus :

|un| = 1

2(n+1)−−−−−→

n→+∞ 0

et la suite (|un|) est décroissante. Par application du théorème des séries alternées, la sérieP

nÊ1un

converge. La sérieP

nÊ1rnest convergente comme somme de deux séries convergentes.

ÏP1/n²converge 1

ÏComparaison séries à termes positifs 1 ÏConvergence absolue 1

ÏSomme de deux séries convergentes 1

6.a. Le principe est de définir une variablesnulle et de lui ajouter un par un les termes (−1)^k−1/k pour 1ÉkÉn.

def S(n):

s = 0

for k in range(1,n+1):

s = s+(-1)**(k-1)/k return s

ÏFonction S(n) 5 Explications, structure de la fonction, initialisation, bouclefor avec le bon intervalle, renvoi du résultat

6.b. D’après les questions précédentesSn−−−−−→_n

→+∞ ln 2. Notons pourn∈N^∗: Rn=

+∞X

k=n+1

(−1)^k−1 k

de sorte que ln 2−Sn=Rn. Posonsuk =(−1)^k−1/k pourk Ê1. La suite (uk) est alternée, la suite (absu_k) est décroissante et converge vers 0. Par application du théorème des séries alternées, on a la majoration du reste :

∀n∈N^∗,|ln 2−Sn| = |Rn| É 1 n+1 ÏLe théorème des séries alternées s’applique 1

ÏMajoration du reste 1

6.c.On définit une variablenégale à 1 que l’on augmente de 1 tant que 1/(n+1)>ε. Une fois obtenue la condition 1/(n+1)Éε, on a|ln 2−Sn| Éεet on renvoie la valeurSncorrespondante :

def ln2(epsilon):

n = 1

while 1.0/(n+1)>epsilon:

n = n+1 return S(n)

Exemple d’utilisation :

print(ln2(10**(-2)))

0.698172179310195

Vérification avec la valeur de ln(2) obtenue par le modulemath_: from math import log

print(log(2))

0.6931471805599453

ÏFonction ln2(epsilon) 5 Explications, structure de la fonction, initialisation, bouclewhileavec la bonne condition, renvoi du résultat

Sur l’ensemble de la copie : ÏPrésentation générale 1 ÏRésultats en évidence 1

ÏUtilisation précise du vocabulaire mathématique 1 ÏRédaction 1