2016 L'L' OO TT

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C ll ll aa aa ss ss ss ss ee ee ss ss PP PP rr rr éé éé pp pp aa aa rr rr aa aa tt tt oo oo ii ii rr rr ee ee ss ss M

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M PP PP SS SS II II PP PP C C C C SS SS II II PP PP TT TT SS SS II II M

M M

M PP PP PP PP C C C C PP PP SS SS II II PP PP TT TT TT TT SS SS II II AA AA TT TT SS SS

2015/2016

É

D I T I O N N A T I O N A L E

N° 22

L' L' O O ^{FFICIEL FFICIEL DE DE LA LA} T T ^{AUPE AUPE}

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D I T I O N S

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Y R O S C O P E

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F F I C I E L D E L A

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A U P E Couv_1_odlt_spe_21v7:Couverture Page1 8/11/15 2:27 Page 1

• ECAM Lyon

• ECAM Rennes

• ECAM Strasbourg-Europe

• ECAM -EPMI Cergy-Pontoise

• ESAIP Angers, Grasse

• ESCOM Compiègne

• ESEO Angers

• HEI Lille

• ISEN Brest

• ISEN Lille

• ISEN Toulon

• ISEP Paris

• LASALLE Beauvais

Concours e3a et Banque PT

inscription sur www.scei-concours.fr

756 PLACES

OFFERTES EN 2016

CONCOURS COMMUN 13 GRANDES ÉCOLES

D’INGÉNIEURS

CONCOURS

FESIC PRÉPA

2016

Informations sur les écoles

www.fesic.org

CHOISIR UNE ÉCOLE

D’INGÉNIEURS DE LA FESIC

UN DIPLÔME ET DES

MÉTIERS D’AVENIR

Projet1_CP 06/10/2015 15:14 Page 1

Avertissement à lire ...3

ORAUX DE MATHÉMATIQUES OPTIONS

ENS MP* ... 5

ENS PC* ... 7

École polytechnique - ENS Cachan PSI* ...9

École polytechnique MP* ...9

École polytechnique - ESPCI PC* ...11

CC Mines-Ponts MP ...13

CC Mines-Ponts PC ...15

CC Mines-Ponts PSI ...17

CC Centrale-Supélec MP ...19

CC Centrale-Supélec PC ...21

CC Centrale-Supélec PSI ...23

CC Polytechniques MP ...25

CC Polytechniques PC ...29

CC Polytechniques PSI ...33

Concours Divers MP ...35

Concours Divers PC ...35

Concours Divers PSI ...37

Cachan-ENSAM-CC Polytechniques PT ...39

Concours TSI TSI ...43

ORAUX DE PHYSIQUE-CHIMIE OPTIONS

ENS MP* ... 45

ENS PC* ... 47

École polytechnique - ENS Cachan PSI* ...47

École polytechnique MP* ... 47

École polytechnique - ESPCI PC* ...49

CC Mines-Ponts MP ... 49

CC Mines-Ponts PC ... 51

CC Mines-Ponts PSI ... 51

CC Centrale-Supélec MP ... 53

CC Centrale-Supélec PC ... 55

CC Centrale-Supélec PSI ...59

CC Polytechniques MP ... 61

CC Polytechniques PC ... 63

CC Polytechniques PSI ...64

Concours Divers MP ...65

Concours Divers PC ...65

Concours Divers PSI ...66

Concours PT PT ... 66

Concours Divers TSI TSI ... 68

Concours Divers ATS ATS ... 69

Index mathématiques toutes ... 71

Index physique-chimie toutes ... 72 Numéro 2015/2016

ÉDITION NATIONALE N° 22 CPGE 1^reet 2^ndeannée MPSI-PCSI-PTSI-TSI-TPC

MP-PC-PSI-PT-TSI-ATS ÉDITEUR Éditions Gyroscope L’Officiel de la Taupe 50, avenue Henri Barbusse 94240 L’HAŸ-LES-ROSES

[email protected] SARL au capital de 7 622,45€

PUBLICITÉ Éditions Gyroscope L’Officiel de la Taupe [email protected]

✬ FABRICATION

IMPRESSION Grupo Impresa Novembre 2015

✬ DIFFUSION les préparationnaires les enseignants des CPGE

les écoles d’ingénieurs

✬ DÉPOT LÉGAL Décembre 2015

✬ REPRODUCTION

Droits réservés Copyright GYROSCOPE 2015

✬ VENTE Pas de vente possible

Vente interdite

✬ Nous rappelons aux annonceurs que les

textes des fiches techniques et des annonces publicitaires sont publiés sous

leur entière responsabilité.

✬ Collection «Officiel de la Taupe»

1260-8319 22^eédition ISBN 2-912459-43-5 ÉDITIONS GYROSCOPE

L'Officiel de la Taupe

So m m ai re Éd ito ria l

Pour commencer, suite à la demande de certains enseignants, nous avons restauré une mention explicite qui précise les planches qui sont, totalement ou partiellement, accessibles aux étudiants de première année.

Comme la population des CPGE est, par nature, éphémère, nous reproduisons en page 3, encore cette année, quelques conseils pour essayer d’enrayer la dégradation de la qualité des oraux qui nous sont renvoyés. Ce n’est pas la quantité qui est en cause mais la qualité.

Parmi les quelques 600 e-mails contenant plus de 1500 planches que nous avons reçus, il n’a pas été possible de trouver, notamment en physique, assez de matière pour servir un pro- duit équilibré.

Une raison essentielle est dans l’absence des valeurs numériques qui rendent de nombreuses planches inexploitables, faute de temps pour aller toutes les rechercher. Il n’y a que deux solu- tions :

- soit vous pensez à noter ces valeurs dès la sortie de l’oral ;

- soit chacun fait l’effort d’aller les chercher sur internet, pour les plus difficiles à mémoriser.

Si chaque étudiant prend le peu de temps nécessaire pour cela, ce sont environ 300 heures que nous pourrons consacrer à l’amélioration du produit (proposition d’indication, planches supplémentaires, problèmes corrigés en ligne, etc.)

La seconde raison est dans le manque de rédaction de beaucoup de planches. Si nous préférons les planches saisies à l’ordinateur plutôt que manuscrites et scannées, c’est parce qu’il est nécessaire de rédiger. De nombreuses planches, potentiellement intéressantes ou nouvelles, ne sont pas exploitables pour des raisons de présentation ou de manque de clarté.

Nous savons bien qu’il est difficile pendant les oraux de consacrer un temps précieux pour tout cela. Mais, après vos oraux, quand tout est fini, serait-ce trop demander que ce petit effort soit fait avant de partir en vacances ?

Pensez à nous qui consacrons notre été depuis 22 ans à confectionner l’OdlT.

Bon travail, très bonne année scolaire à tous, et tous nos vœux de réussite.

Page 1 PAGE01Sommaire15-16:Page 1 Sommaire 23/11/15 9:16 Page 1

ANNÉE DE CRÉATION 1946

DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Monsieur Julien POUGET

STATUT Établissement sous tutelle du ministère chargé de l’économie Membre de la Conférence des Grandes Écoles, de ParisTech et de l’Université Paris-Saclay

DIPLÔME DÉLIVRÉ Diplôme d’ingénieur

RESPONSABLE DU CONCOURS Monsieur Claude PETIT

NOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 5 726 inscrits, 1 812 admissibles (Concours Maths) NOMBRE DE PLACES EN 2015 45 places

DATE DU CONCOURS 2016 épreuves écrites : du 25 au 27 avril 2016

ACTIVITÉS PARALLÈLES • Double diplôme avec HEC, avec l’ESSEC, avec l’ESCP Europe

• Masters de recherche co-habilités ou en convention (certains cours de troisième année partagés)

• Centre de Recherche en Économie et Statistique (CREST)

• Tournoi annuel de Debating (joute oratoire en langue anglaise) avec l'École Polytechnique, l'ENA, l’ENST, l’ENPC, l’ENS Ulm, HEC, Centrale, etc.

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES • Nombreuses, dans le cadre de ParisTech et de l’Université Paris-Saclay LOGEMENT DES ÉLÈVES Externat

TYPE DE BOURSES Bourses semblables à celles de l’enseignement supérieur FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 811 € en 2015/2016

L’ÉCOLE

STATISTIQUES DU CONCOURS

FORMATION RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

publi-information

ENSAE ParisTech École Nationale de la Statistique et de l’Administration Économique

3, avenue Pierre Larousse 92245 MALAKOFF Cedex Tél. : 01 41 17 65 25 - Fax : 01 41 17 38 52

www.ensae.fr - e-mail : [email protected]

RECRUTEMENT DE 1

^RE

ANNÉE Concours commun Mines Ponts, Concours ENS Sciences sociales, Concours prépa EC / S

RECRUTEMENT DE 2

^E

ANNÉE Admission sur titres : Grandes Écoles ou M1 / Mathématiques, MASS ou Économie

ADMISSION

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

Page 2

L’ENSAE ParisTech est la seule grande école d’ingénieur spécialisée en économie, statistique, finance et actuariat.

Trois concours permettent d'y accéder : un concours maths mais aussi deux concours économie : l’un ouvert aux élèves de Khâgne B/L (18 places) et l’autre ouvert aux prépa EC option scientifique (12 places).

• Actuariat

• Analyse des marchés et finance d’entreprise

• Data science

• Finance et gestion des risques

• Prévision et politiques économiques Formation par la recherche

Scolarité à l'étranger avec diplôme étranger (notamment dans les grandes universités américaines et européennes)

Stage long possible (entre la deuxième et la troisième année)

• Double diplôme avec la Humboldt Universität de Berlin

• Conventions avec plusieurs universités européennes : Université Pompeu Fabra de Barcelone, Université de Bonn, etc.

• Accords avec UC Berkeley, Institut von Neumann au Vietnam, etc.

OPTIONS DE 3

^E

ANNÉE SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION

ACCORDS INTERNATIONAUX

ENSAE_FT_V7:ENSAE FT 8/11/15 22:24 Page 1

Apr` es vos oraux, pensez ` a nous...

Etudiants et enseignants, si vous estimez que l’Officiel de la Taupe vous a rendu service et m´´ erite de perdurer, nous vous serions reconnaissants de penser `a nous et nous adresser vos planches par e-mail au format que vous voulez, ou presque(*) :

selon votre option : [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] ou [email protected] Merci de concourir ainsi `a perp´etuer un travail dont le but est de rendre l’´egalit´e des chances `a tous devant les concours.

Pour nous aider le mieux possible, pensez `a

noter vos planches tout de suite ` a la sortie de votre oral,

ou `a d´efaut, si vous en avez encore le courage :

le soir mˆ eme

. Les valeurs num´eriques sont importantes tant en physique qu’en chimie et disparaissent des m´emoires, tr`es vite.

Concernant les oraux et les planches ci-apr` es

. . .

•Certains ´enonc´es sont parfois -apparemment- peu clairs ou peu d´evelopp´es.

Ces ´enonc´es⟨⟨obscurs⟩⟩sont ainsi pos´es en connaissance de cau- se. L’examinateur souhaite voir etentendrer´efl´echir l’´etudiant,`a haute et intelligible voix, et progresser dans l’analyse du sujet avant d’aborder la r´esolution proprement dite. En dehors de l’absen- ce involontaire de certaines valeurs num´eriques (pK ou∆G en chimie, notamment), l’aspect⟨⟨imparfait⟩⟩de certains ´enonc´es traduitune r´ealit´e des orauxque les livres d’exercices corrig´es occulte :

l’initiative demand´ee au candidat.

•Parmi les les candidats les plus aga¸cants (pour l’examinateur), on citera :

−Le poseur de questions. Vous n’ˆetes pas `a l’oral d’un concours pour que l’on vous aide, tout au moins tant que vous n’avez rien propos´e. Retenez-vous ! Souvent, si vous cherchez `a r´epondre `a la question, que vous ne poserez qu’`a vous-mˆeme, cette recherche vous mettra sur la piste de la solution. Parfois, ajouter une hypoth`ese pour pouvoir commencer peut aussi d´ebloquer votre probl`eme. C’est peut-ˆetre une initiative attendue.

−La statue. Rester immobile et silencieux au tableau, dos `a l’examinateur, sans rien ´ecrire pendant de longues minutes ne rap- portera pas de points. Se retourner de temps en temps pour implorer, avec les yeux, une indication n’arrangera rien.

−Le muet. Recopier toutes ses notes de pr´eparation, y compris les calculs, lentement et en silence, est une attitude souvent reproch´ee.

Exposez rapidement et oralement tous les r´esultats que vous avez obtenus. L’examinateur vous demandera des pr´ecisions s’il le juge utile.

−Le lanceur de SOS. Parfois, l’´etudiant croˆıt pertinent de souligner lui-mˆeme ses difficult´es par un⟨⟨Je ne vois pas comment faire⟩⟩ou

⟨⟨Je ne sais pas trop par o`u commencer⟩⟩, sans prendre la moindre ini- tiative ou sans tenter de traiter des cas particuliers ou des exemples significatifs.

−Le li`evre. Certains candidats se pr´ecipitent, ´ecrivent mal et com- mettent erreurs sur erreurs.

En conclusion, quelque soit le protocole d’oral, il est d´efini pour permettre `a l’examinateur d’appr´ecier la qualit´e de r´eflexion, la technique de calcul ou la maˆıtrise du cours du candidat. Lorsque rien n’apparaˆıt, la note peut tomber tr`es tr`es bas.

•Comme vous le constaterez `a la fin du fascicule,

un index

permet de retrouver les planches portant sur une partie donn´ee du programme.

Certains exercices sont accessibles par les ´el`eves de premi`ere ann´ee lorsqu’ils ont achev´e les parties correspondantes du programme. Ceci est en effet tout `a fait th´eorique. Les meilleurs pourront toujours se distraire durant l’´et´e en cherchant les exercices pos´es aux ENS...

En pratique, beaucoup de ces exercices demandent une maturit´e, une technique de calcul ou des astuces qui n’ont en g´en´eral pas encore

´

et´e assimil´ees par la plupart des ´etudiants de premi`ere ann´ee.

Le temps faisant son ouvrage, avec du travail, ces exercices de- viendront comestibles avec l’exp´erience. Les ´etudiants motiv´es com- menceront par goˆuter les exercices des Concours Communs Polytech- niques. Si cette premi`ere exp´erience se r´ev`ele positive, ils pourront ensuite croquer les autres planches, plus ´epic´ees, des Concours Com- muns Mines-Ponts ou Centrale-Sup´elec.

Le but n’est pas d’´ecœurer les ´etudiants de premi`ere ann´ee. Nous avons proc´ed´e de cette fa¸con pour trois raisons :

−il est important que chacun se rende compte de l’importance, au moins en volume, du programme de premi`ere ann´ee qui tombe encore plus `a l’oral qu’`a l’´ecrit, parfois directement sous forme de question de cours (machines thermiques, lois de Kepler, etc.) ;

−l’acc`es `a cette information est souvent difficile pour un ´etudiant.

Nous pensons⟨⟨qu’un homme averti en vaut deux⟩⟩et que prendre le temps durant des vacances d’appr´ehender comment le programme de premi`ere ann´ee est exploit´e par les examinateurs est une curiosit´e qui portera ses fruits. Une premi`ere conclusion `a tirer sera de pr´evoir une p´eriode de r´evision consacr´ee `a ce programme ;

−enfin, le cˆot´e positif : si vous aboutissez sur certaines questions alors qu’il vous reste un an pour pr´eparer les concours, c’est rassu- rant : vous ˆetes bien `a votre place en pr´epa. Accrochez-vous.

•La compilation d’un grand nombre de planches collect´ees aupr`es d’´etudiants engendre in´evitablement quelques fautes dans les ´enonc´es originaux. Quand un ´enonc´e nous paraissait douteux, il a ´et´e contrˆol´e. Vous pouvez rencontrer quand mˆeme des exercices⟨⟨faux⟩⟩: une erreur d’´enonc´e est aussi une fa¸con de tester la capacit´e d’initiati- ve du candidat.

Malgr´e toute notre attention, il peut aussi demeurer quelques fautes involontaires !

•On peut trouver `a l’int´erieur d’un mˆeme concours, dans une mˆeme option, des planches de difficult´es tr`es in´egales.

Ces ´ecarts entre interrogations traduisent surtout la r´eussite plus ou moins heureuse de chaque ´etudiant. Lorsque la planche paraˆıt facile, il faut imaginer que l’´etudiant n’a pas ´et´e tr`es brillant dans son entr´ee en mati`ere, ou trop lent, et que l’examinateur a creus´e pour savoir si la note devait tomber tr`es bas, d’o`u l’apparition de questions jug´ees simples. Ajoutez `a ceci que certaines planches sont incompl`etes. Lorsqu’au contraire, l’oral propos´e paraˆıt au-dessus du niveau moyen, c’est le plus souvent que le candidat s’est montr´e brillant et rapide sur le premier sujet propos´e. L’examinateur va alors chercher `a l’´evaluer le plus justement possible en posant un ou plusieurs exercices plus longs et plus diffciles dont il n’attend n´ecessairement pas une r´esolution compl`ete : les m´ethodes propos´ees, l’analyse claire du sujet ou quelques calculs fins bien men´es, suffiront largement `a l’´eclairer.

En conclusion, n’enviez pas hˆativement la⟨⟨chance⟩⟩de tel candi- dat inconnu qui a eu une planche facile, ou ne redoutez pas la

⟨⟨malchance⟩⟩de tel autre, tout aussi inconnu, qui a eu trois exer- cices de plus en plus difficiles.

•Il apparaˆıt de plus en plus de planches faisant appel tr`es directe- ment au cours, sans que cela soit forc´ement un signe de mauvaise planche. Les connaissances de premi`ere ann´ee sont toujours aussi sollicit´ees, dans toutes les mati`eres.

•S’il arrive que des exercices retombent d’une ann´ee sur l’autre, il nous apparaˆıt aussi clairement que le bachotage d’un concours dans une option ne portera pas tous les fruits esp´er´es : de nombreux exercices sont nomades et oscillent d’une ann´ee `a l’autre entre deux ou plusieurs concours.

Un autre inconv´enient du bachotage est dans la multiplicit´e des solutions de nombreux exercices. Si vous servez `a l’oral une solution manifestement trop⟨⟨apprise⟩⟩, l’examinateur en demandera une autre et se fera alors une meilleure id´ee de votre capacit´e de r´eflexion.

(*) Par ordre de pr´ef´erence :

1. document TEX ou L^ATEX avec le pdf du typeset ;

2. tout texte avec pour indice et ˆ pour exposant, delta pourδ, Delta pour∆, rho pourρ, etc. ; 3. document pdf avec texte accessible ;

4. tout document papier bien ´ecrit et bien scann´e ou photographi´e ; 5. tout document illisible ou sans rapport avec le sujet ; 6. ne rien envoyer ;

7. document MS Word c⃝au format docx.

L’officiel de la taupe num´ero22 Page3 ⃝cMMXV ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope Hirondellesv9_Officiel de la taupe 22/11/2015 17:16 Page1

ANNÉE DE CRÉATION 1994 DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Renan DUTHION

STATUT Établissement public à caractère scientifique, culturel et professionnel (EPSCP), ministère de l'Économie et des Finances

HABILITATION Oui – Diplôme d’Ingénieur de l’Ensai, habilité par la CTI, qui confère le grade de Master Membre actif de la Conférence des Grandes Écoles

SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION

Admission sur titres pour les étudiants titulaires d'un DUT Stid ou informatique, d'une Licence 3 ou d'un Master 1 (Mathématiques, Mass, Économie, Économétrie, Miage) ou d'un diplôme équivalent français ou étranger.

RESPONSABLE DU CONCOURS Nadège ORRIERE : 02.99.05.32.47 ; [email protected]

NOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 Spécialité «mathématiques» : 2 057 candidats pour la formation ingénieur et 1327 candidats pour la formation d’attaché statisticien de l'Insee.

Beaucoup de candidats s'inscrivent aux deux concours.

NOMBRE DE PLACES EN 2015 68

DATE DU CONCOURS 2016 du 3 au 5 mai 2016, pour les épreuves concernant l’Ensai ; pas d’épreuves de physique, chimie.

ACTIVITÉS PARALLÈLES Nombreux accords de double diplôme : Sciences Po Paris, Ensae, Amse, Université de Southampton, Berlin, etc. En 3

^e

année, les élèves ingénieurs ont aussi la possibilité de suivre l’Option formation par la recherche (OFPR) qui leur permet d’obtenir, en plus du diplôme d’ingénieur, un des quatre Masters proposés.

Les attachés ont la possibilité de suivre un Master de statistique publique, en formation continue diplômante intégrée ou décalée.

Centre de recherche en économie et statistique (Crest – Ensai).

ACTIVITÉS ASSOCIATIVES BDE, Junior Entreprise, Gala, Forum, Association des anciens élèves (Ensai Alumni)…

LOGEMENT DES ÉLÈVES Sur le campus.

TYPE DE BOURSES Bourses du Genes selon critères sociaux. Bourses au mérite et à l’international.

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 811 € pour les ingénieurs ; pas de frais pour les attachés statisticiens stagiaires qui sont rémunérés environ 1 550€ brut par mois, durant leur scolarité.

-FRAIS DE SÉLECTION 51€ + Frais de dossier liés au CCP ; les élèves boursiers sont exonérés de ces frais.

publi-information

Ensai

École nationale de la statistique et de l’analyse de l’information Campus de Ker Lann - Rue Blaise Pascal

BP 37203 - 35172 BRUZ Cedex Tél.: 02 99 05 32 47 - Fax : 02 99 05 32 05

email: [email protected] - http://www.ensai.fr L’ÉCOLE

ADMISSION

STATISTIQUES DU CONCOURS

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES FORMATION

RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

Page 4

L’Ensai est la première école d’ingénieurs couvrant la plupart des domaines d’application de la statistique : génie statistique, statistique et ingénierie des données, statistiques pour les sciences de la vie, ingénierie statistique des territoires et de la santé, gestion des risques et ingénierie financière, marketing quantitatif et revenue management. Elle forme également des cadres fonctionnaires, attachés statisticiens de l’Insee.

Durée de la scolarité pour les élèves ingénieurs : 3 ans.

Durée de la scolarité pour les attachés statisticiens stagiaires de l’Insee : 2 ans.

Possibilité d’accéder au master statistique publique à l’issue de la scolarité.

Fin de 1

^re

année : stage opérateur de 4 semaines minimum Fin de 2

^e

année : stage d'application statistique de 8 semaines minimum Fin de 3

^e

année : stage de fin d'études de 20 semaines à 6 mois.

Pour les ingénieurs, un séjour de 4 semaines minimum à l'étranger durant le cursus est obligatoire.

Dans le cadre des programmes européens, l’Ensai est signataire d’un contrat institutionnel ERASMUS+ permettant notamment des échanges d’étudiants avec des Universités allemandes, anglaises, danoises, espagnoles, irlandaises, italiennes et roumaines. Par ailleurs, des accords existent avec des universités américaines, allemandes, indiennes, la Chine, le Maroc et la Tunisie.

STAGES DES ÉLÈVES INGÉNIEURS

ACCORDS INTERNATIONAUX

Concours portant sur le programme des CPGE 2

^de

année MP et MP*. L’Ensai recrute en banque d’épreuves des concours communs polytechniques (CCP).

RECRUTEMENT DE 1

^RE

ANNÉE RECRUTEMENT DE 1

^RE

OU 2

^E

ANNÉE

ENSAI_FTv9_ENSAI FT 23/11/2015 09:33 Page1

ENS−option MP Planche 1Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

SoitKun corps ; pour toute permutationσdeSn, on noteP(σ) sa matrice dans la base canonique deKⁿ.

Montrer que deux permutationsσ1etσ2sont conjugu´ees dansSnsi et seulement siP(σ1) etP(σ2) sont semblables.

Planche 2Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

SoitPl’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans{−1,0,1}, P+le sous-ensemble de ces polynˆomes dont les coefficients sont positifs, P1celui des polynˆomes dePde coefficients constants ´egaux `a 1.

On noteD(r) l’ensemble des nombres complexes de module strictement inf´erieur

`

ar∈R^∗+,Ml’ensemble des complexeszdeD(1) pour lesquels il existe un polynˆome deP1qui s’annule enzetQ=D(1)\M.

D´eterminerR= sup{r∈[0,1], D(r)⊂Q}.

Pourz∈Q\{0}, on admet queK={P(z), P∈P+}est ferm´e ; montrer que toute applicationfcontinue de [0,1] dansKest constante (on pourra montrer queKest la r´eunion disjointe dezKet 1 +zK).

Soitz∈M; montrer queC={P(z), P∈P+}est connexe par arc (on pourra montrer quezK∩1 +zKest non vide).

Planche 3Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Soitfde classeC¹deRⁿdansR, telle que lim

∥x∥→+∞

f(x)

∥x∥= +∞et strictement convexe :∀λ∈]0,1[,∀(x, y)∈(Rⁿ)², f!

λx+ (1−λ)y"

<λf(x) + (1−λ)f(y)).

Montrer queG, d´efini parG(x) =∇f(x), est un hom´eomorphisme (c’est `a dire continu, bijectif et de bijection r´eciproque continue).

Planche 4Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

On dit qu’une fonctionfest hyper croissante sur un intervalleIsi et seulement si elle y estC^∞et si pour tout entierknon nul, sa d´eriv´ee d’ordreky est positive.

Sifest hyper croissante sur[a, b[, peut-on dire qu’elle est hyper croissante sur ]2a−b, a]?

Montrer que sifest hyper croissante sur[a, b[, elle est d´eveloppable en s´erie enti`ere enaavec un rayon de convergence au moins ´egal `ab−aet qu’elle co¨ıncide avec la sommeFde la s´erie enti`ere sur [a, b[.

Dans ces conditions,Fest-elle hyper croissante sur son disque ouvert de conver- gence ?

Montrer qu’on peut majorer une fonction croissante par une fonction hyper croissante.

Planche 5Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee On note⌈x⌉la partie enti`ere sup´erieure d’un r´eelx. On consid`ere alors que

⌈+∞⌉= +∞et que1

∞= 0.

Soientx∈]0,1[ et la suite :∀k∈N^∗, ak= min{n∈N∪{+∞},^k−1# i=0 1 ai+ 1

n!x}.

Trouver une relation de r´ecurrence.

Montrer que pour tout entiern"1,an+1"an(an−1).

On pose∀k∈N^∗, Sk=

#k i=0 1

ai; montrer queSkconverge versx.

Planche 6Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Soitfcontinue deR×RⁿdansRⁿv´erifiant :

∀t >0,∀(x, y)∈(Rⁿ)²,∥f(t, x)−f(t, y)∥!1 t∥x−y∥

.

Montrer que le probl`emeX^′=f! t, X(t)"

avecX(0) =x0∈Rⁿ, admet au plus une solution.

Mˆeme question s’il existeωcroissante deR+dansR+, telle que1 ωne soit pas int´egrable en 0 et∀t >0,∀(x, y)∈(Rⁿ)²,∥f(t, x)−f(t, y)∥!ω∥x−y∥.

Planche 7Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Soientucontinue deR²dansRtelle que

$$

R²u²>0 etI(t) = sup y∈R²

$ D(y,t)

u². Montrer queId´efinit une application croissante deR^∗+dansR^∗+. Montrer que la borne sup´erieure est atteinte.

Montrer que∀M >0,∃CM,∀(t, s)∈]−M, M[,|I(t)−I(s)|!CM

%|t−s|.

Planche 8Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Pour

&

x y z '

, on noteP(x,y,z)l’espace engendr´e par

&

1 0 0 '

et

&

0 1 x '

. Montrer que, pour tout couple (u, v) de vecteurs deR³, il existe un r´eelr >0 et un chemin continuγ,C¹par morceaux de [0, r] dansR³tel queγ(0) =v, γ(r) =wet∀t∈[0, r],γ^′(t)∈Pγ(t).

Soientγde coordonn´ees (γ1,γ2,γ3),H(γ) =

$ [0,r]

%

γ²1(t) +γ2²(t)dtetd(v, w) la borne inf´erieure deH(γ) quandγparcourt l’ensemble des chemins v´erifiant les hypoth`eses de l’´enonc´e. Montrer que lim

v→0d(u, v) = 0.

Planche 9Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

Soitγde [0,1] dansC, de classeC¹par morceaux, et telle queγ(0) =γ(1).

∀z∈C\Imγ, on noteIγ(z) =1 2iπ

$1 0

γ^′(t) γ(t)−zdt.

Montrer queIγest continue surC\Imγ.

Montrer, sans utiliser le th´eor`eme de rel`evement, queIγ(z)∈Z(on pourra introduireϕ(s) = exp($s

0 γ^′(t) γ(t)−zdt)

).

CalculerIγ(z) lorsqueγ(t) =e^2iπnt, puis^⟨⟨lorsqueγparam`etre un huit couch´e^⟩⟩(sans passer par la param´etrisation explicite d’une lemniscate).

Discuter le comportement deIγ(z) lorsque le cheminγest d´eform´e.

Planche 10Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

Soit (ak) une suite de r´eels ; montrer qu’il existe une fonctionuinfiniment d´erivable, telle que∀k∈N, u^(k)(0) =ak.

Planche 11Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

SiABCest un triangle, on d´efinitfsurR²parf(M) =M A+M B+M C(somme des distances deMaux sommets).

Montrer quefadmet un minimum globalPappartenant au triangle mais qui n’est pas l’un des sommets.

Planche 12Ulm - Lyon - Cachan - Rennes DansRⁿeuclidien, on noteE=C¹([0,1],Rⁿ).

Pourγ∈E, on poseL(γ) =

$1 0

**γ^′(t)**dtetN0(γ) = sup t∈[0,1]∥γ(t)∥.

Montrer queLn’est pas continue pourN0enγ(t) = (t,0, . . . ,0).

Pourγ∈E, on poseN1(γ) =N0(γ) +N0(γ^′).

Montrer queLest diff´erentiable pourN1en toutγtel que∀t∈[0,1],γ^′(t)̸= 0.

Planche 13Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

Soit (an)_n∈N∗une suite de r´eels, telle que∀(n, m)∈N^∗2, an+m!an+am. Montrer que lim

n→∞

an n= inf

k∈N^∗ ak k·

SoitFcontinue et croissante deRdansR, telle que∀x∈R, F(x+ 1) =F(x) + 1.

Montrer que lim n→∞

Fⁿ(x)−x

n =lo`uF<sup>n</sup>d´esigne le compos´en-i`eme deF, etl est dansR. Montrer quelest r´eel et ind´ependant dex.

Planche 14Ulm, abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee

SoientAetbcontinues et croissantes deR+dansR+; on noteB(t) =

$t 0

b(s)ds.

Soientλetµdeux r´eels de [0,1] tels queλµ <1 etρ= 1

1−λµ·Soitvcontinue deR+dansR, telle quev(0)!0 etv(t)!tA(t) +$t

0

b(s)v(s)ds+λv(µt).

Montrer que∀t∈R+, v(t)!ρtA(t)e^ρB(t). Planche 15Ulm

Soitfde]0,1[dansR, nulle sauf sur un ensemble d´enombrable de pointsai. A quelle(s) condition(s) sur les` aietf(ai), existe-t-ilx0⊂]0,1[tel quefsoit diff´erentiable enx0?

Planche 16Ulm

Soientfetgdeux fonctions d´ecroissantes deR+dansR+,FetGdeux fonctions int´egrables deR+dans [0,1]. Montrer que (l’in´egalit´e est `a valeur dans R+∪{+∞}) :

$+∞

0 f(t)g(t)dt"

$+∞

0 f(t)F(t)dt

$+∞

0 g(t)G(t)dt max

+$+∞

0 F(t)dt,

$_+∞

0 G(t)dt

,·

Planche 17Ulm

SoitFun corps fini etP∈F[X1, . . . , Xn]\{0}de degr´e inf´erieur `ad.

Montrer quePa au plusd|F|ⁿ⁻¹racines.

SoitFun corps quelconque,Eun sous-ensemble deFⁿtel que|E|<!n+d d

"

o`u d∈N.

Montrer qu’il existeP̸= 0 de degr´e inf´erieur `adqui s’annule surE.

SoitEun sous-ensemble deFⁿtel que pour toutx∈F, il existe une droite affine Dpassant parxet v´erifiant|D∩E|> d. Montrer que|E|<!n+d

d

"

. Planche 18Ulm

UneC-alg`ebre est engendr´ee par deux ´el´ementsxetytels queyx=qxyo`uqest un complexe.

Trouver une formule similaire `a celle du binˆome de Newton pour le calcul de (x+y)<sup>n</sup>; on exprimera les coefficients obtenus de fa¸con explicite, par une formule similaire `a celle exprimant les coefficients binomiaux `a l’aide d’une factorielle (on pourra, siKun corps fini `aq´el´ements et siKⁿest muni d’une structure de K-espace vectoriel, d´enombrer les sous-espaces deKⁿde dimensiona).

Planche 19Lyon

I)On dit qu’un sous-espace deMn(R) est diagonalisable si toutes ses matrices le sont. Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace diagonalisable ? II)Exhiber une fonction non nulle,C^∞, `a support compact.

Planche 20Lyon

Soitfde classeC²deRdansR, telle quef², f^′′f,(f^′)²sont int´egrables.

Montrer que

$ Rf^′′f <0.

Planche 21Lyon

I)On noteAla sous-alg`ebre des endomorphismes nilpotents d’unC-espace vectorielVde dimension finie ; montrer que-

f∈A Kerf̸={0}.

II)D´emontrer le th´eor`eme spectral.

Planche 22Lyon

Soit (xn) une suite de ]0,1[ ; montrer qu’il est ´equivalent de dire : (i) Pour toute suite (an) strictement positive telle que.

anconverge,. a^xnⁿ converge.

(ii) Il existe un r´eelm >1 tel que.

m^1/(xn−1)converge.

L’officiel de la taupe num´ero22 Page5 ⃝cMMXV ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Hirondellesv8_Officiel de la taupe 21/11/2015 11:10 Page1

ANNÉE DE CRÉATION 1949 DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Marc HOUALLA

STATUT Établissement public sous tutelle du Ministère de l’Écologie, du Dévelop- pement durable et de l’Énergie, — Direction Générale de l’Aviation Civile.

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur depuis 1949 ANNÉE D’HABILITATION 1949

RECRUTEMENT DE 1

^RE

ANNÉE EPL

^●

MPSI, PCSI, PTSI, MP, PC, PSI, TSI et PT

IENAC

^●

Sur concours communs polytechniques MP, PC, PSI, TSI ou L2 ICNA

^●

Sur concours ENAC : MP, PC, PSI, PT ou L2

IESSA

^●

Sur concours ENAC : TSI, ATS ou DUT scientifiques RECRUTEMENT DE 2

^E

ANNÉE IENAC

^●

sur dossier : 1

^re

année de Master sciences

RESPONSABLE DU CONCOURS NOMBRE DE PLACES EN 2015 DATE DU CONCOURS 2016

ACTIVITÉS ASSOCIATIVES

^●Asso. anciens élèves, Junior entreprise, clubs (théâtre, musique, etc.)

, BDE ACTIVITÉS INTER ÉCOLES

^●

Gala

Forum Toulouse Technologies — Tournoi Sportif des Grandes Écoles Aéro-

nautique — Air Expo — Festival Turbulences

LOGEMENT DES ÉLÈVES

TYPE DE BOURSES FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS EPL, IENAC civils ICNA, IESSA, IENAC Fonctionnaires

L’ÉCOLE

ADMISSION

STATISTIQUES DU CONCOURS RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

E.N.A.C.

École Nationale de l’Aviation Civile 7, avenue Édouard Belin

CS 54005

31055 TOULOUSE Cedex 4 Tél.: 05 62 17 40 00 - fax : 05 62 17 40 24

http://www.enac.fr — [email protected]

L’École Nationale de l’Aviation Civile regroupe l’ensemble des formations conduisant à tous les métiers de l’aviation civile : ingénieur, pilote, contrôleur aérien, électronicien, technicien, etc.

publi-information

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

Page 6

SPÉCIFICITÉ DE L’ÉCOLE

ACCORDS INTERNATIONAUX

LES STAGES IENAC

IESSA ICNA FORMATION

Résidences sur le campus de l’ENAC.

Bourses possibles dans la limite des crédits fixés par la DGAC.

Droits universitaires + sécurité sociale étudiante.

Gratuit. Scolarité rémunérée, entre 1600 € et 2100 €/mois selon la formation.

Marc FOURNIÉ ; Téléphone 05 62 17 40 70

EPL : 20 ; IENAC civil : 120 ; IENAC fonctionnaire : 6 ; ICNA : 45 ; IESSA : 30.

Consulter le calendrier sur www.enac.fr selon la formation.

LES FORMATIONS

1^reou 2^eannée : stage ouvrier de 4 semaines

Possibilité d’une année en entreprise entre la 2^eet la 3^eannée.

3^eannée : stage de fin d’études de 22 semaines en France ou à l’étranger 18 mois répartis au cours de la scolarité

6 mois répartis au cours de la formation.

MAJEURES IENAC uniquement

Cette formation à caractère pluridisciplinaire est orientée vers les activités du domaine aérospatial. L’ingénieur ENAC intervient dans l’industrie aérospatia- le (avionneurs, équipementiers électronique, informatique) dans le transport aérien (compagnies aériennes, aéroports) dans le secteur public (DGAC) et de multiples secteurs connexes.

●Télécommunications aéronautiques et spatiales

●Opérations aériennes et sécurité

●Systèmes Air Traffic Management

●Systèmes avioniques

IENAC

ICNA

Cette formation à caractère professionnel destine tous ses élèves à la DGAC au sein de laquelle les ICNA assurent le contrôle de la circulation aérienne.

Cette formation à caractère professionnel destine tous ses élèves à la DGAC où ils prennent en charge le développement, l’installation et l’entretien des matériels utilisés pour la navigation aérienne.

IESSA

Formation de pilote de ligne. Les élèves issus de cette formation rejoignent les compagnies aériennes.

EPL

L’ENAC coopère avec plus de 50 partenaires académiques tant en Europe (Universités de Berlin, Darmstadt, Madrid, Barcelone, Rome, Bristol, Glasgow, Stockholm, Lisbonne, Zilina…) qu’en Amérique du Nord (Universités de Berkeley, Embry-Riddle, Maryland, École Polytechnique de Montréal…) ou en Asie (Universités de Nanyang à Singapour, Nanjing, Xian en Chine…).

L’ENAC est membre fondateur du réseau européen PEGASUS (réseau des universités aéronautiques européennes) et du réseau France Aérotech.

ENAC_FTv7:FT 8/11/15 3:17 Page 1

Planche 23Lyon

On donne un arcγdeRdansR³, de classeC¹, tel que∀s∈R,∥γ^′(s)∥= 1. On suppose de plus qu’il estl-p´eriodique, injectif sur [0, l] (l’arc ne se recroise pas).

On poseδ= sup

|s−t|!l/2

|s−t|

∥γ(s)−γ(t)∥; montrer queδ!1.

Siγest un cercle (dont on choisira le param´etrage), que vautδ? On note δccette valeur. Montrer queδ!δc(on pourra introduire les fonctions f(s) =γ!

s+l 2

"

−γ(s) etu(s) = f(s)

∥f(s)∥et on cherchera alors `a borner la longueur deusur [0,l

2], la longueur ´etant donn´ee par

#l/2

0

$$u^′(s)$$ds).

Planche 24Lyon

Montrer que, siGest un groupe de cardinalm >1, il existe une partie g´en´eratrice AdeGtelle que|A|"log2|G|.

Trouver la borne sup´erieure delog2|AutG|

(log2|G|)²pourGparcourant l’ensemble des groupes de cardinalm.

Planche 25Lyon

D´eterminer les entiersntels quen²divise 2ⁿ+ 1.

Planche 26Lyon - Cachan - Rennes

Pourn∈Netfcontinue sur [a, b], on noteEnl’ensemble des polynˆomes de Rn[X] tels que∥f−P∥∞=_Q∈Rinf

n[X]∥f−Q∥∞. Montrer queEnest un convexe non vide, puis que c’est un singleton.

Planche 27Cachan - Rennes, abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee (Ω,A, P) ´etant un espace probabilis´e, montrer que∀(A, B)∈A²,

|P(A∩B)−P(A)P(B)|"1

4et ´etudier le cas d’´egalit´e.

Planche 28Cachan - Rennes

SoitfdeR²dansRtelle que∀x∈R, g(y) =f(x, y) et∀y∈R, h(x) =f(x, y) soient polynomiales. Le but de cet exercice est de montrer quefest un polynˆome

` a deux variables.

Pour tout entierm, on poseEm={x∈R,degg(y)"m}.

Ainsi,∀x∈Em,∀y∈R, g(y) =f(x, y) =

%m

k=0 ak(x)y^k.

Montrer que∃(fkj)0!k,j!m,∀x∈Em,∀k∈[[0, m]], ak(x) =

%m

j=0 f(x, j)fkj. En d´eduire que∃(Bk)0!k!mdes polynˆomes tels que :

∀x∈Em,∀y∈R, f(x, y) =

%m

k=0

Bk(x)y^k. Conclure.

Est-ce encore vrai si on remplaceRparQdans l’´enonc´e initial ? Planche 29Cachan - Rennes

D´eterminer les fonctionsfde classeC¹deR²dansR, telle que :

∀(x, y)∈R²,1 =!∂f

∂xf(x, y)"2 +!∂f

∂yf(x, y)"2 .

Planche 30Cachan - Rennes

I)SoientAsym´etrique r´eelle positive,Pmatrice d’un projecteur orthogonal,λ valeur propre r´eelle non nulle deAP. Montrer queλ! min

α∈Sp(A)α.

II)SoientAetBsym´etriques r´eelles positives, on noteA∗Bla matrice dont les coefficients sont les produits de ceux deAetB.

Montrer queA∗Best sym´etrique r´eelle positive (on pourra exprimer la double somme^tX(A∗B)X, o`uXest un vecteur deRⁿ, comme la trace d’un certain produit de matrices).

Planche 31Cachan - Rennes

Comment caract´eriser la continuit´e d’une application lin´eaire ? Sur l’ensembleI1des suites complexes sommables, index´ees surZ, on d´efinit une loi de composition interne par (u∗v)(p) =%

n∈Z unup−n. Y a-t-il un ´el´ement neutre ? Montrer que c’est bien d´efini.

Siψest un morphisme d’alg`ebre continu de (l1,+,∗) dansC, montrer qu’il existe (wn), une suite deCindex´ee surZ, telle que∀u∈l1,ψ(u) =%

n∈Z wnun. On note, pour% p∈Z,τ(p) une fonction telle queτ(p)(u)(n) =un−p; calculer p∈Zψ◦τ(p)(u)∗v^papr`es avoir montr´e que la famille est sommable.

En d´eduire une d´efinition deswk, une relation entre leswket des informations surw1.

En repartant du point de d´epart, montrer queψest continu en consid´erant v=%

n∈N uⁿ⁺¹

zⁿ o`uzest un complexe tel que|z|>∥u∥.

Planche 32Cachan - Rennes

On munitE, espace vectoriel de dimensionn, d’une baseB= (e1, . . . , en) ; montrer qu’il existe une baseB^∗deE^∗telle que∀(i, j)∈[[1, n]]², e^∗i(ej) =δij. Montrer que, r´eciproquement, si on dispose d’une baseB^∗deE^∗, on peut trouver une baseBdeEv´erifiant les mˆemes hypoth`eses.

Soiteila forme lin´eaire qui, `aP∈Rn−1[X] associeP(xi),x1< x2< . . . < xn. De quel espace (e1, . . . , en) est-elle une base ? TrouverB^∗.

Soitfde classeC¹sur [x1, xn] ; montrer qu’il existe (b^mi) avec 1"i, m"ntels que

&

&

&

&

&

%n

i=1 b^miei(f)−

#xn x1

f(t)dt

&

&

&

&

&^{"∥f′∥∞(xn−x1)} 2.

Quelles sont les propri´et´es de cet op´erateur ? Que dire sifest un polynˆome ?

Planche 33Informatique, abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee

Rappeler l’algorithme d’Euclide permettant de calculer le pgcd deaetb. Quelles valeurs deaetbfont faire le plus de passages dans la boucle ? Que pensez-vous de la complexit´e ?

Algorithme de Stein : pgcd(a,0) =a pgcd(0, b) =b pgcd(2a,2b)=2pgcd(a, b) pgcd(a,2b)=pgcd(a, b) siaimpair pgcd(2a, b)=pgcd(a, b) sibimpair pgcd(a, b)=pgcd(|a−b|,min(a, b)) siaetbimpairs.

Prouver la terminaison et la correction de cet algorithme. Que se passe-t-il avec des entiers relatifs ?

Pourm!n!0, trouveraetbde respectivementmetnbits tels que l’algorithme

de Stein appliqu´e `aaetbfassemsoustractions.

Montrer que siaetbsont les entr´ees, alors le nombre de soustractions effectu´ees lors de l’application de cet algorithme est major´e par 1 + Log2(max(a, b)).

Conclure quant `a la complexit´e.

Planche 34Informatique

SoitE={x1, . . . , xn}⊂R^d, o`u (d, n)∈N². On ´etiquette chaquexipar unyi∈R.

On cherche les fonctionsfdeR^ddansR, telles que∀i∈[[1, n]], f(xi) =yi. Montrer qu’il n’y a pas unicit´e de la solution.

On supposed= 1 ; d´eterminer un algorithme pour trouver une solution polyno- miale de degr´en−1 au plus.

SoitPle polynˆome trouv´e `a la question pr´ec´edente, ˆPle polynˆome trouv´e avec le mˆeme algorithme en modifiant l´eg`erement l’une des ´etiquettes : ˆyi=yi±εpour un certaini.

Montrer quePet ˆPpeuvent ˆetre arbitrairement distants (avecd(P,P) =ˆ

# R

&

&P−Pˆ&&_∈R+∪{+∞}).

Monter que ˆPetPpeuvent ˆetre de degr´es distincts.

On revient au cas g´en´eral pourdet on suppose∀i∈[[1, n]], yi∈{−1,1}. On s’int´eresse aux solutions de la formef(x) = sgn(< x|f >−σ) avecf∈R^d,σ∈R.

Montrer qu’il n’en existe pas toujours.

On choisitd= 2 et on suppose qu’il existe des solutions ; mettre en place un algorithme pour en d´eterminer une.

Planche 35Informatique

Quelles sont les op´erations qui permettent de construire un langage rationnel ? On admet le lemme de l’´etoile ; d´eterminer si les langages suivants sont r´eguliers ou non :

Σ={a, b};L1=motswcomportant autant deaque deb;

L2=motswcomportant autant deabque deba.

On appelle langage sans ´etoile un langage qui se construit de la mˆeme fa¸con qu’un langage rationnel, sauf qu’`a la place de l’´etoile de Kleene on n’a droit qu’au compl´ementaire : sieest un langage sans ´etoile, on note ¯ele langage tel que L(¯e) =Σ^∗\L(e). D´eterminer si les langages suivants sont sans ´etoile ou non : L3=ab^∗a;L4= (ab)^∗.

Montrer qu’un langage sans ´etoile est rationnel.

Un automateA= (Q, q0, F,δ) v´erifie :

∀q∈Q,∀y∈Σ^∗,∀n!1,δ(q, yⁿ) =y⇒δ(q, y) =y.

Montrer que∃n0,∀n!n0,∀(x, y, z)∈Σ^∗,xyⁿz∈L(A)⇔xyⁿ⁺¹z∈L(A).

ENS−option PC

Planche 36

Soient (Xi)_N∗des variables al´eatoires ind´ependantes, telles que pour touti∈N^∗,

Xi!−1. On noteSn=

%n

i=1 Xi.

Montrer queP(Sn=−1 etSk!0,∀k∈[[1, n−1]]) =1

n P(Sn=−1) (on pourra consid´erer, pour touti∈[[1, n]], l’´ev`enementAi:Sn=−1 etiest le plus petit indice tel queSi= min

k∈[[1,n]](Sk) ; on montrera que lesAiont la mˆeme probabilit´e en ´etudiant d’abordAnetA1).

Planche 37Abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee

On noteφune fonction infiniment d´erivable deRdansR, admettant une limite finielen +∞.

Soitc∈R; donner les solutions ´evidentes de (∗) : (φ(x)−c)u^′′(x) =φ^′′(x)u(x).

On suppose qu’il existeα>0 tel que∀x∈R,φ(x)−c!α; montrer que (∗) admet une solution qui tend vers +∞en +∞.

On suppose quec= 0, qu’il existex0>0 tel queφ(x0) = 0 etφ^′(x0)̸= 0, et que φne s’annule pas sur[0, x0[.

Montrer que (∗) admet une solution non proportionnelle `aφsur[0, x0[.

En donner un d´eveloppement limit´e au voisinage dex0. Planche 38

PourN∈N^∗, calculer lim t→1⁻

% n"N tⁿ. Trouver un ´equivalent de cette s´erie.

Trouver un ´equivalent en 1⁻de% n"0

antⁿ, quandan∼1 en +∞.

Trouver un ´equivalent en 1⁻de% n"0

antⁿ, quandan∼nen +∞.

L’officiel de la taupe num´ero22 Page7 ⃝cMMXV ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Hirondellesv8_Officiel de la taupe 21/11/2015 11:11 Page1

OPTIONS DE 3

^E

ANNÉE

RECRUTEMENT DE 1

^RE

ANNÉE

^●Sur concours commun Mines-Ponts

●Sur titre et sélection pour les titulaires d’une L3 ou d’un titre étranger jugé équivalent (10 places)

●Cycle préparatoire des INP (2-3 places)

RECRUTEMENT DE 2^EANNÉE ●Sur titres et sélection pour les détenteurs d’un master M1, d’un titre ingénieur ou d’un titre étranger jugé équivalent (https://admission.gei-univ.fr/) (5 places)

●Après examen probatoire pour les officiers des armées

●Ingénieurs dee études et techniques l’armement

RECRUTEMENT DE 3^EANNÉE ●Sur dossier et entretien pour les élèves de l’École polytechnique.

(Possibilité de rentrer en 2^eannée)

●De droit pour les ingénieurs de l’armement (Possibilité de rentrer en 2^eannée)

NOMBRE DE CANDIDATS EN 2014

Plus de 10 000 sur le Concours Commun Mines-Ponts

NOMBRE DE PLACES EN 2015

70 en MP, 30 en PC, 67 en PSI, 7 en PT, 6 en TSI

DATE DU CONCOURS 2016

Dates à consulter sur http://concours-minesponts.telecom-paristech.fr/

ACTIVITÉS PARALLÈLES

^●BDE, Junior Entreprise, très nombreux clubs sportifs et culturels et associations étudiantes (Ingénieur sans frontières, Euroavia, ...), associations des anciens élèves...

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES

^●Forum Toulouse Technologies, tournoi sportif des Grandes Écoles Aéronautiques, Supaerowing (régate internationale d'aviron), Air Expo (grand meeting aérien), etc.

LOGEMENT DES ÉLÈVES

450 logements : 420 chambres et 30 studios sur le campus SUPAERO de Toulouse-Rangueil de l’ ISAE, campus “à l’américaine” de 22 hectares

TYPE DE BOURSES

Bourses sur critères sociaux

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS

2300€(frais année scolaire 2014-2015) + 215€(Sécurité Sociale étudiante)

L’ÉCOLE

ADMISSION

STATISTIQUES DU CONCOURS

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES FORMATION RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

publi-information

Page 8

Première formation d'ingénieurs française dans les domaines aéronautique et spatial, l'une des toutes premières en Europe, le cycle ingénieur SUPAERO forme en trois ans des ingé- nieurs généralistes et polyvalents, capables de maîtriser des systèmes complexes et de réinvestir leurs compétences dans de nombreux secteurs économiques.

Au-delà des compétences scientifiques et techniques de très haut niveau, des parcours ren- forcés, international, recherche, innovation et entrepreneuriat permettent aux étudiants d’adapter leur formation à leur projet professionnel et aux industriels de trouver à la sortie de l’école des profils variés permettant de répondre à leurs attentes. Grâce à un accord de double diplôme avec HEC, l'ingénieur SUPAERO peut également acquérir une formation complète et unique d'ingénieur manageur. Des formations complémentaires plus courtes permettent également d’acquérir des compétences en ingénierie des affaires, en manage- ment de l’innovation, en ingénierie systèmes, en droit et en développement durable.

Le programme couvre l'ensemble des disciplines de base de l'ingénieur, en s'appuyant tout particulièrement sur les domaines d'application que sont l'aéronautique et l'espace. Le pro- gramme de formation est construit autour d’un socle commun décliné en trois grands champs, scientifique, humanité, ingénierie et entreprise. Le cursus est jalonné par des pro- jets permettant une ouverture intellectuelle, scientifique et humaine construits autour de la créativité, l’innovation, la recherche, l’ingénierie et l’entrepreneuriat.

La 3^eannée combine un domaine d’application et une filière disciplinaire. Cette structuration permet de répondre au double objectif de formation : expertise et polyvalence.

La filière disciplinaire permet à l’étudiant de disposer d’une expertise dans une visée pro- fessionnelle technique ou dans un objectif de poursuite en doctorat. Six filières sont propo- sées ; dynamique des fluides ; ingénierie mécanique ; sciences et observation de la Terre et de l’univers ; informatique, réseaux et télécommunications ; sciences de la décision ; signaux et systèmes.

Les domaines d’application permettent à l’étudiant de compléter la dimension architecte sys- tème. Cinq domaines sont proposés : conception et opération des aéronefs ; conception et opération des systèmes spatiaux ; systèmes autonomes : robots, drones et missiles ; éner- gie, transport et environnement ; modélisation et simulation des systèmes complexes.

→64 programmes de substitution et 39 doubles diplômes sont possibles avec les meilleures universités étrangères tant aux États-Unis (Stanford, MIT, Michigan, Georgia Tech, CalTech, Berkeley), qu'au Canada ou en Europe (Polytechnique Montréal, universités de Cranfield, Stuttgart, Munich, Turin, Milan, Rome, Madrid, Barcelone, ...), en Chine (Nanjiing, Xian),...

→Membre fondateur du réseau européen PEGASUS.

ANNÉE DE CRÉATION

SUPAERO (1909) — ISAE (2007)

DIRECTEUR DE L’ÉCOLE

Monsieur Olivier LESBRE

STATUT

Établissement public sous tutelle du ministère de la Défense

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR

Formation habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur

SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION

ACCORDS INTERNATIONAUX

Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace

Formation SUPAERO 10, avenue Édouard Belin

BP 54032

31055 TOULOUSE Cedex 4

isae-supaero.fr

SUPAERO FTv7:ISAE_SUPAERO_FT 8/11/15 22:36 Page 1

Ecole polytechnique´ −ENS Cachan−option PSI Planche 39

On donnen∈N^∗,A∈Mⁿ(R) et∀j∈[[1, n]],

!Xj^′(t) =AXj(t) Xj(0) =ej o`uejest le ji`eme vecteur de la base canonique. On noteX(t) ="

Xi,j(t)# 1!i,j!n. Montrer que∀j∈[[1, n]], Xj(t) est bien d´efini surR.

Montrer que∀t∈R,det"

X(t)#

̸= 0 et trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par det"

X(t)#

; en d´eduire que si trA= 0, alors∀t∈R,det"

X(t)#

= 1.

Planche 40Abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee

I)nconvertisseurs num´eriques fonctionnant de mani`ere ind´ependante sont plac´es en s´erie. Chaque convertisseur restitue correctement le bit qu’on lui fournit avec la probabilit´epet renvoie le bit oppos´e avec la probabilit´e 1−p,p∈[0,1].

On noteX0le bit en entr´ee de chaˆıne etXkle bit en sortie duk-i`eme convertisseur.

On poseAk=$_P(X k= 1) P(Xk= 0)

%

; d´eterminer une relation de r´ecurrence entre lesAk et en d´eduire la probabilit´e que le bit initial soit correctement rendu en sortie du n-i`eme convertisseur. Que se passe-t-il lorsqu’on passe `a la limite ? L’exercice suivant ne pourra ˆetre abord´ees que si le pr´ec´edent a ´et´e r´esolu.

II)Un d´e pip´e a six faces num´erot´ees de 1 `a 6 et la probabilit´e d’obtenir la face kest not´eep(k) ; on le lancenfois successives et on notexkla face obtenue au k-i`eme lancer.

Que peut-on dire du nombreNkd’apparition de la facekquandntend vers +∞?

Quelle est la probabilit´e d’obtenir une suite (x1, . . . , xn) de lancers tels que

∀k∈[[1,6]],Nkest l’entier le plus proche denp(k) ? Cas du d´e non pip´e.

Planche 41

A toute fonction` fcontinue deR+dansR, on associe sa demi-int´egrale d´efinie parI1/2f(x) =1

√π

&x 0

√f(t)x−tdtet `a toute fonctionfde classeC¹deR+dans R, on associe sa demi-d´eriv´ee d´efinie, pourx >0, parD1/2f=d

dxI1/2f.

V´erifier queI1/2fest bien d´efinie et qu’elle est continue surR+. Montrer queI1/2f(x) =

&x 0

f(x√−t) t dt.

Montrer queD1/2est bien d´efinie et queD1/2f(x) =I1/2f^′(x) +f(0)

√πx· CalculerI1/2pourf(x) =xⁿ(on pourra utiliser la valeur des int´egrales de Wallis Wn=

&π/2 0

sinⁿtdt, soitW2p+1=2^2p(p!)² (2p+ 1)!etW2p= (2p!)

2^2p(p!)² π 2).

CalculerI1/2fpourf(x) =x^n+1/2. En d´eduire les relationsI1/2I1/2f(x) =

&x 0

f(t)dtetD1/2I1/2f=fquandfest un polynˆome.

Montrer les relations de la question pr´ec´edente pour une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere. Que dire quandfest quelconque, de classeC¹? Planche 42

PourAetBpolynˆomes fix´es deR[X], avec deg(B) =n+1, on noteφl’application qui, `aP∈Rn[X], associe le resteRde la division euclidienne deAPparB.

Montrer que siAetBsont premiers entre eux,φest un isomorphisme.

On supposeBscind´e `a racines simples ; trouver les valeurs propres deφ.

Est-il diagonalisable ?

On choisitA=aX^p+1−(a+ 1)X^p+ 1 etB= (1−X)²;φest-il diagonalisable ? Planche 43

Autour de la propri´et´e (*) : toute matrice inversibleAconnait une d´ecomposition A=OSo`uOest une isom´etrie vectorielle etSune matrice sym´etrique d´efinie positive.

Pourd!non d´efinitmsur leR-espace vectoriel norm´eEde dimensionn, par m(x1, x2, . . . , xd) =|detB(x1, x2, . . . , xd)|si (x1, x2, . . . , xd)est libre dans la base orthonormaleBde l’espace engendr´e par lesxietm(x1, x2, . . . , xd) = 0 sinon.

On noteXdl’ensemble des endomorphismes deEtels que : m"

f(x1), f(x2), . . . , f(xd)#

=m(x1, x2, . . . , xd).

Justifier la d´efinition demet montrer que toutes les applications deXdsont des automorphismes. Montrer queXdcontient les isom´etries vectorielles.

On choisitd < n; quels sont les endomorphismes sym´etriques deXd? En d´eduire queXdest l’ensemble des isom´etries vectorielles.

D´emontrer que toute matrice sym´etrique d´efinie positive est le carr´e d’une matrice sym´etrique d´efinie positive, puis d´emontrer la propri´et´e (*).

Planche 44

Soitφcontinue deR+dansR, telle que∀k"0,φ(x) =a0+a1 x+. . .+ak

x^k+εk(x) x^k · et lim

x→+∞εk(x) = 0 A quelles conditions sur les` ai,'

n"1

φ(n) converge-t-elle ? A quelles conditions sur les` ai,(

n"1 φ(n) converge-t-il ?

A quelles conditions sur les` ai,' n"1 (n i=0

φ(i) converge-t-elle ?

Pour quelle(s) valeur(s) deα,' n"1 (n i=1

"

2−e(α/k)# converge-t-elle ?

Planche 45

Sur quel intervalle deR^∗+,f(α) =

&+∞

0 dx

x^α(1 +x)est-elle d´efinie ? Montrer qu’elle est continue sur cet intervalle et trouver un ´equivalent defen 0.

Montrer que la courbe defest sym´etrique par rapport `a la droitex= 1.

Ecole polytechnique´ −option MP Planche 46

SoientX1, X2deux variables al´eatoires deZdansR, telles queE(|X2|)<+∞

Montrer qu’il existehdeZdansRtelle queY1=h(X1) v´erifieE(|Y1|)<+∞

et pour toute fonctionfdeZdansRborn´ee,E"

f(X1)X2#

=E"

Y1f(X1)# . Montrer l’unicit´e deY1`a l’exception d’ensembles n´egligeable pourX1. Montrer que, en notantY1=E(X1|X1), pour toute fonctiongdeZdansR born´ee,E"

g(X1)X2|X1

#=g(X1)E(X2|X1).

Planche 47

I)SoitA, BdansMn(R) etC=AB−BA; on suppose queAetCcommutent.

D´eterminer la d´eriv´ee en 0 def(t) = exp(A+tB).

II)Soita∈R+;Ea={z∈C,)))z+1 z ))

)=a}est-il compact ? D´eterminer les extrema de|z|lorsquezd´ecritEa.

III)SoitAetBdeux matrices carr´ees de taillen; montrer que siBest de rang 1, det(A+B) = det(A) + tr(AB).*

Planche 48

On notePnl’ensemble des polynˆomes `a deux variables, homog`enes et de degr´en.

On donne le LaplacienD(P) =∂²P

∂X²+∂²P

∂y²et on note respectivementAnetBn les ensembles de polynˆomes `a Laplacien nul (i.e. le noyau du laplacien) et ceux s’´ecrivantP(X, Y) = (X²+Y²)QavecQ∈Pn. Montrer quePn=An⊕Bn. Planche 49

SoitVun espace vectoriel de dimension finie etAun sous-espace deL(V) tel que les seuls sous-espaces stables parAsoient{0}etV.

Montrer que le commutant deAest r´eduit aux homoth´eties.

On fait agirAsurVⁿde la fa¸con suivante :u(x1, . . . , xn) ="

u(x1), . . . , u(xn)# . Montrer que tout sous-espace deVⁿstable parAadmet un suppl´ementaire stable parA. Montrer queA=L(V).

Planche 50

I)SoientAetBdeux matrices deMⁿ(C) telles queAB²−B²A=B.

Montrer queBest nilpotente d’ordre impair.

II)Soitfde classeC⁴sur [0,1]², `a valeurs dansRet v´erifiant )) )) ^∂

4f

∂x²∂y² )) ))^!M o`uMest une constante, et s’annulant sur les bords du carr´e.

Montrer que

&&

fest born´ee parM

144(on pourra utiliser, apr`es l’avoir d´emontr´e, que, sigest une fonction de classeC²de [0,1] dansR, alors :

&1 0

g(t)dt=g(0) +g(1)

2 +

&1 0

t(1−t)g^′′(t)dt).

Planche 51

Soitfune fonctionC²deIintervalle ouvert deRdansR, v´erifiantf(0) = 0 et telle quef^′ne s’annule pas surI.

Soientyde valeur absolue arbitrairement petite, `a fixer par la suite, etφla fonction d´efinie parφ(x) =x+y−f(x)

f^′(x) ·

On posex0= 0 etxn+1=φ(xn) ; interpr´eter graphiquementφ, puis montrer que la suite (xn) converge versx∈Iv´erifiantf(x) =y.

Planche 52

I)SoitEunK-espace vectoriel ; on dit queu∈L(E) est une transvection si detu= 1 et s’il existe une forme lin´eairef∈E^∗et un vecteura∈E\Kerftels que∀x∈E,u(x) =x+f(x)a.

Montrer que l’ensemble des transvections engendre, en tant que groupe,SL(E).

II)D´eveloppement asymptotique de (xn)n∈N, suite des solutions de l’´equation sinxlnx= 1 ordonn´ees par ordre croissant.

III)Image du cercle unit´e deR²par une application deL(R²).

Planche 53 D´eterminer sup

M∈O(n) ' 1!i!j!n

mi,j.

Planche 54Abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee

Une variable al´eatoireXdeΩdansRⁿv´erifieX(Ω) ={v1, . . . , vm} On noteraX=

⎛

⎝^X

(1) ... X⁽ⁿ⁾

⎞

⎠,vi=

⎛

⎝^v (1) i

... v⁽ⁿ⁾i

⎞

⎠etpi=P(X=vi).

Lesvietpisont non nuls. On dit queXest centr´ee siE(X) = 0.

On dira qu’elle est r´eduite si∀(i, j)∈[[1, ,]]n², E(X⁽ⁱ⁾X^(j)) =δij. Montrer que siXest centr´ee r´eduite, alorsm"n+ 1.

On suppose quem=n+ 1 ; montrer queXest centr´ee r´eduite si et seulement si

< vi, vj>=−1 sii̸=jet||vi||²=1 pi−1.

Exhiber une variable centr´ee r´eduite en dimension 2.

Planche 55

SoitN={M∈M2(R), M²= 0}; d´eterminer les vecteurs tangents `aNen la matrice nulle, puis en la matrice$_{0 1}

0 0

%

, puis en une matrice quelconque deN.

Planche 56Abordable d`es la 1<sup>`ere</sup>ann´ee

Une suite (Xn)n"1de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes, suivent une mˆeme loi de Bernouilli de param`etre1

2(δ0+δ1).

Quelle est la probabilit´e pour que∀n"1, Xk(ω) = 1 pour au moins unktel que n!k!2n?

L’officiel de la taupe num´ero22 Page9 ⃝cMMXV ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Hirondellesv8_Officiel de la taupe 21/11/2015 11:12 Page1