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Chapitre 9 : Logarithme

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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(2)

9.1 D´efintion et propri´et´es

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9.1 D´efintion et propri´et´es La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur Rde plus

x→−∞lim ex= 0 et

x→lim+ex= +∞.

(4)

9.1 D´efintion et propri´et´es La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur Rde plus

x→−∞lim ex= 0 et

x→lim+ex= +∞.

D’apr`es le th´eor`eme de la bijection il existe une unique solution `a l’´equation ex =a

avecaun r´eel strictement positif.

(5)

9.1 D´efintion et propri´et´es La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur Rde plus

x→−∞lim ex= 0 et

x→lim+ex= +∞.

D’apr`es le th´eor`eme de la bijection il existe une unique solution `a l’´equation ex =a

avecaun r´eel strictement positif.

O y=a C

(6)

D´efinition

(7)

D´efinition

La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.

(8)

D´efinition

La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.

On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x

(9)

D´efinition

La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.

On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x

Cons´equences :

(10)

D´efinition

La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.

On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x

Cons´equences :

• ln(1) = 0

(11)

D´efinition

La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.

On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x

Cons´equences :

• ln(1) = 0

• ln(e) = 1

(12)

D´efinition

La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.

On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x

Cons´equences :

• ln(1) = 0

• ln(e) = 1

• Pour tout r´eelλ, l’´equation ln(x) =λadmet une unique solutionx= eλ

(13)

Propri´et´e

(14)

Propri´et´e

Dans un rep`ere orthonormal, les courbes repr´esentatives des fonctions exponentielle et logarithme sont sym´etriques par rap- port `a la droitey=x.

(15)

Propri´et´e

Dans un rep`ere orthonormal, les courbes repr´esentatives des fonctions exponentielle et logarithme sont sym´etriques par rap- port `a la droitey=x.

O

b

b

y= ex

y = lnx y =x M

M

(16)

Propri´et´e

(17)

Propri´et´e

La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.

(18)

Propri´et´e

La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.

D´emonstration

(19)

Propri´et´e

La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels tels que 0< a < b.

(20)

Propri´et´e

La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels tels que 0< a < b.

On sait que a= elna etb= elnb d’o`u elna <elnb

(21)

Propri´et´e

La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels tels que 0< a < b.

On sait que a= elna etb= elnb d’o`u elna <elnb

Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc lna <lnb

(22)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

(23)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

(24)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

D´emonstration

(25)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a

(26)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab

(27)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab d’o`u eln(ab)= eln(a)+ln(b)

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9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab d’o`u eln(ab)= eln(a)+ln(b)

et donc ln(ab) = lna+ lnb

(29)

9.2 Propri´et´es alg´ebriques

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.

D´emonstration

Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab d’o`u eln(ab)= eln(a)+ln(b)

et donc ln(ab) = lna+ lnb

Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(1

a) =−lnaet ln(a

b) = lna−lnb.

(30)
(31)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

(32)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

(33)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

(34)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

D´emonstration

(35)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a

(36)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√

a×√ a) or

(37)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√

a×√ a) or

Pour tous r´eels aetb de ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb

(38)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√

a×√ a) or

Pour tous r´eels aetb de ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb d’o`u lna= ln(√

a) + ln(√

a) = 2 ln(√ a)

(39)

Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.

On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.

Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1

2lna.

D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√

a×√ a) or

Pour tous r´eels aetb de ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb d’o`u lna= ln(√

a) + ln(√

a) = 2 ln(√ a) et donc ln(√

a) = 1 2lna

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