9.1 D´efintion et propri´et´es
9.1 D´efintion et propri´et´es La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur Rde plus
x→−∞lim ex= 0 et
x→lim+∞ex= +∞.
9.1 D´efintion et propri´et´es La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur Rde plus
x→−∞lim ex= 0 et
x→lim+∞ex= +∞.
D’apr`es le th´eor`eme de la bijection il existe une unique solution `a l’´equation ex =a
avecaun r´eel strictement positif.
9.1 D´efintion et propri´et´es La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur Rde plus
x→−∞lim ex= 0 et
x→lim+∞ex= +∞.
D’apr`es le th´eor`eme de la bijection il existe une unique solution `a l’´equation ex =a
avecaun r´eel strictement positif.
O y=a C
D´efinition
D´efinition
La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.
D´efinition
La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.
On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x
D´efinition
La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.
On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x
Cons´equences :
D´efinition
La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.
On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x
Cons´equences :
• ln(1) = 0
D´efinition
La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.
On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x
Cons´equences :
• ln(1) = 0
• ln(e) = 1
D´efinition
La fonction exponentielle admet une fonction r´eciproque d´efine sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.
On note lnx l’image d’un r´eel strictement positif par cette fonction. Alors, pour toutx > 0, elnx = x et pour tout r´eelx, lnex=x
Cons´equences :
• ln(1) = 0
• ln(e) = 1
• Pour tout r´eelλ, l’´equation ln(x) =λadmet une unique solutionx= eλ
Propri´et´e
Propri´et´e
Dans un rep`ere orthonormal, les courbes repr´esentatives des fonctions exponentielle et logarithme sont sym´etriques par rap- port `a la droitey=x.
Propri´et´e
Dans un rep`ere orthonormal, les courbes repr´esentatives des fonctions exponentielle et logarithme sont sym´etriques par rap- port `a la droitey=x.
O
b
b
y= ex
y = lnx y =x M
M′
Propri´et´e
Propri´et´e
La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
Propri´et´e
La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
D´emonstration
Propri´et´e
La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels tels que 0< a < b.
Propri´et´e
La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels tels que 0< a < b.
On sait que a= elna etb= elnb d’o`u elna <elnb
Propri´et´e
La fonction logarithme n´eperien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels tels que 0< a < b.
On sait que a= elna etb= elnb d’o`u elna <elnb
Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc lna <lnb
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
D´emonstration
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab d’o`u eln(ab)= eln(a)+ln(b)
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab d’o`u eln(ab)= eln(a)+ln(b)
et donc ln(ab) = lna+ lnb
9.2 Propri´et´es alg´ebriques
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb.
D´emonstration
Soit aetb deux r´eels strictement positifs, on a eln(ab) =abet eln(a)+ln(b)= eln(a)×eln(b) =ab d’o`u eln(ab)= eln(a)+ln(b)
et donc ln(ab) = lna+ lnb
Pour tous r´eelsa etbde ]0; +∞[, ln(1
a) =−lnaet ln(a
b) = lna−lnb.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
D´emonstration
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√
a×√ a) or
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√
a×√ a) or
Pour tous r´eels aetb de ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√
a×√ a) or
Pour tous r´eels aetb de ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb d’o`u lna= ln(√
a) + ln(√
a) = 2 ln(√ a)
Pour tout r´eelade ]0; +∞[ et tout entier relatifn ln(an) =nlna.
On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence.
Pour tout r´eelade ]0; +∞[, ln(√ a) = 1
2lna.
D´emonstration Soitaun r´eel strictement positifs, on a lna= ln(√
a×√ a) or
Pour tous r´eels aetb de ]0; +∞[, ln(ab) = lna+ lnb d’o`u lna= ln(√
a) + ln(√
a) = 2 ln(√ a) et donc ln(√
a) = 1 2lna