D20538. Losange inscrit
Deux diamètres perpendiculaires d’une ellipse sont les diagonales d’un lo- sange. Quelle position de ces diamètres donne au losange l’aire minimale ? Solution
Soit t l’angle du grand axe 2a avec la demi-diagonale r1 du losange, on a r12 cos2t
a2 +sin2t b2
!
= 1.
Pour la demi-diagonale perpendiculairer2, on a de même r22 sin2t
a2 + cos2t b2
!
= 1.
L’aire du losange est 2r1r2. Pour la minimiser, il suffit de maximiser a4b4
(r1r2)2 = (b2cos2t+a2sin2t)(a2cos2t+b2sin2t) = (a2−b2)2sin2(2t)
4 +a2b2. Le maximum est atteint pourt multiple impair de π/4, l’aire minimale est 2r1r2= 2r12 = 2r22 = 4a2b2
a2+b2, le losange est alors un carré à côtés parallèles aux axes de l’ellipse.