APPLICATION AUX POUTRES

APPLICATION AUX POUTRES

Cadre général

Hypothèse de Navier

Calcul des efforts internes Cinématique

Méthode de résolution

Équations générales Exemple

Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan

APPLICATION

AUX POUTRES

Cette structure est un assemblage de poutres !!! Il faut utiliser la RdM

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Calcul des efforts internes Cinématique

Méthode de résolution

Équations générales Exemple

Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Cadre général

- section S massive et droite - longueur L >> les autres - courbure de L faible - profil sans discontinuité

- section : S = ds = dx ₂ dx ₃

- moments d ’ordre 1

x ₂ ds = x ₃ ds = 0 - moments d ’ordre 2

quadratique : I ₂ = x ₃ ² dsI ₃ = x ₂ ² ds

produit : I ₂₃ = x ₂ x ₃ ds

- moments de giration I = I ₂ + I ₃

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Méthode de résolution

Équations générales Exemple

Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Géométrie

Au cours de la déformation, la section S reste droite.

Degrés de liberté :

- trois déplacements u1, u2, u3 - trois rotations r1, r2, r3

Vecteur déplacement au point M : u _M = u + r ∧ GM

u r

= torseur des déplacements

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Méthode de résolution

Équations générales Exemple

Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Hypothèse de Navier

Vecteur déplacement au point M : u _M = u + r ∧ GM

e _M = e + κ ^{∧ GM}

e

κ = torseur des déformations On introduit le vecteur e _M =

ε ₁₁

2 ε ₁₂

2 ε ₁₃

ε _M complètement déterminé à partir de ε ₁₁ ^, ε ₁₂ ^et ε ₁₃

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Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Torseur des déformations

Vecteur contrainte au point M sur un élément de S :

R M

= torseur des efforts - moment résultant : M = GM∧t _M ds

- force résultante : R = t _M ds

t _M =

σ ₁₁ σ ₁₂ σ 13

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Méthode de résolution

Équations générales Exemple

Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Torseur des efforts

R ₁ R ₂ R ₃ M ₁ M ₂ M ₃

e ₁ e ₂ e ₃

κ ₁ κ ₂ κ ₃

= .

ES 0 0 0 0 0

µ 0 ^S 0 0 0 0

0 0

µ ^S

0 0 0

0 0

µ 0 ^I 0 0

0 0 0 0 EI ₂ -EI ₂₃

0 0 0 0 -EI ₂₃

EI ₃

R

M = torseur des efforts

e

κ = torseur des déformations

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Méthode de résolution

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Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Loi de comportement élastique linéaire

- couple réparti : c = GM∧f _v ds - force répartie : p = f _v ds

R

M = torseur des efforts Conditions aux limites :

R et M aux extrémités Equilibre des moments :

M’ + x ₁ ∧R + c = 0 Equilibre des forces :

R’ + p = 0

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Méthode de résolution

Équations générales Exemple

Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Calcul des efforts internes

R ₁ R ₂ R ₃ M ₁ M ₂ M ₃

e ₁ e ₂ e ₃

κ ₁ κ ₂ κ 3

= .

ES 0 0 0 0 0

µ 0 ^S 0 0 0 0

0 0

µ ^S

0 0 0

0 0

µ 0 ^I 0 0

0 0 0 0 EI ₂ -EI ₂₃

0 0 0 0 -EI ₂₃

EI ₃

Efforts internes calculés par les

équations d’équilibre

Caractéristiques de la poutre (matériau et géométrie)

Déformations calculées par inversion

du système

u

r = torseur des déplacements Conditions aux limites :

u et r aux extrémités Déformation :

u’ + x ₁ ∧r = e Courbure :

r’ = k

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Contraintes et déformations

Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Calcul des déplacements et des rotations

Equations d’équilibre :

N’ + p _x = 0 T’ + p _y = 0 M’ + T + c _z = 0

Equations cinématiques :

r’ = k _z u’ = e _x v’-r = e _y Déplacement

normal Flèche Rotation

u =

u v 0 0 M R

M, r x

u

r =

0 0 r

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Calcul des déplacements et des rotations Géométrie

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Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales

L x y

F=

-P 0 0

x y

z

Forme de la section de la poutre :

S et I

Matériau constituant la poutre :

E et µ

N’ = 0 T’ = 0 M’ + T = 0 N = 0

T = -P

M = -P(L-x) Efforts internes :

M(x)

Diagramme du moment x

r’ = M/EI _z u’ = 0

v’ - r = T/µS

r = -(Px/2EI _z )(2L-x) u = 0

v = -(Px ² /6EI _z )(3L-x) -Px/µS Déplacements et rotations :

Contribution du moment

Contribution de l’effort tranchant R ₀

M ₀ M ₀

R ₀

x Diagramme de

l ’effort tranchant

T(x) F

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