Le cours 5 en pdf

REGIME SINUSOIDAL: retour de vacances...

 Tensions et courants sinusoïdaux

 Nombres complexes associés

 Loi des mailles en régime sinusoïdal

 Loi des nœuds en régime sinusoïdal

 Les dipôles élémentaires en régime sinusoïdal

 La résistance

 L'inductance

 La capacité

 Association RLC série

 Association RLC parallèle

TENSIONS ET COURANTS SINUSOIDAUX

Valeur efficace (en Volt).

Pulsation (en radian par seconde).

ω = 2πf où f est la fréquence (en Hertz)

Valeur maximale (en Volt) : Û = U      .



u  t = U  ^{2 ∙ sin  ω t θ }

TENSIONS ET COURANTS SINUSOIDAUX

Exemple :

NOMBRE COMPLEXE ASSOCIE 

Forme trigonométrique :  

Nombre complexe  correspondant :

Forme cartésienne :

u  t = U  ^{2 ∙ sin  ω t θ }

Axe   imaginaire

Axe réel

U U

θ

U ∙cosθ U ∙ sinθ

U = [ U ; θ ]

ReU=U ∙ cosθ ImU=U ∙ sinθ

U = U ∙ cos  θ  j ∙ U ∙ sin  θ 

Loi des mailles en régime sinusoïdal

u

u

u

u

U

 U

 U

= U

Exemple :

u

 t =3  ^{2∙ sin }

^{∙ t − } ₂ ^

u

 t = 5  ^{2∙ sin ω ∙ t }

u

 t = 4  ^{2 ∙ sin }

^{∙ t  5} ₆ ^{ }

⇒

⇒

⇒

U

= [ 3; − 

2 ] = 3 ∙ cos  −

2 

∙ 3∙ sin  −

2  = −

∙ 3 U

= [ 5 ;0 ] = 5∙ cos  0 

∙ 5 ∙ sin  0  = 5

U

= [ 4; 5∙ 

6 ] = 4 ∙ cos  5 ∙ 

6 

∙ 4 ∙ sin  5∙ 

6  = − 3,46 

∙2

Re

Img

U = U

U

U

= −

∙ 35 −3,46

∙2 = 1,54 −

∙1

U

∣U∣ =



^et

U = [ 1,83; −

6 ] ⇒ u  t = 1,83  ^{2 ∙ sin ω ∙ t − } ₆ ^

Loi des nœuds en régime sinusoïdal

i

i

i

i

A vous de jouer !

i₁t=0,25





i₃t=0,2



I

 I

= I

 I

Trouver i

(t)

LES DIPÔLES PASSIFS ELEMENTAIRES

Le résistor

Il est caractérisé  par sa résistance R  qui s'exprime en Ohm (Ω)

I

U

U = R I

La bobine

Elle est caractérisée  par son inductance L  qui s'exprime en Henry (H)

i

u

u=Ldi dt

Le condensateur

Il est caractérisé  par sa capacité C  qui s'exprime en Farad (F)

i

u

i=Cdu dt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

­10

­8

­6

­4

­2 0 2 4 6 8 10

u(t) (V) i(t) (mA)

temps en millisecondes

i(t) u(t)

LE RESISTOR

U=R I I=1

R U Z_R=[R ;0]=R

Y_R=[ 1

R ;0]=1 R

si i=I





L'intensité du courant « i » qui le traverse est toujours  en phase avec la tension « u » qui lui est appliquée.

I

U

Impédance et 

admitance complexe :

Loi d'Ohm avec  les complexes :

  ­100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

­8

­6

­4

­2 0 2 4 6 8 10

u(t) (V) i(t) (mA)

i(t) u(t)

LA BOBINE

si i=I





2 L'intensité du courant « i » qui la traverse est toujours 

en retard d'un quart de période sur la tension « u ».

i

u

Impédance et 

admitance complexe : Z_L=[Lω;π

2 ]= j Lω Y_L=[ 1

Lω ;−π

2 ]= 1 jLω

Loi d'Ohm avec  les complexes :

U= jL ωI I= 1

jL ω U

Comportement du dipôle

­ aux basses fréquences : 

­ aux hautes fréquences : 

­10

­8

­6

­4

­2 0 2 4 6 8 10

u(t) (V) i(t) (mA)

i(t)

u(t)

LE CONDENSATEUR

Comportement du dipôle

­ aux basses fréquences : 

­ aux hautes fréquences : 

L'intensité du courant « i » qui le traverse est toujours  en avance d'un quart de période sur la tension « u ».

i

u

si i=I



Cω



Impédance et 

admitance complexe : Z_C=[ 1

C ω ;−π

2 ]= 1 jC ω Y_C=[C ω;π

2 ]= jCω

Loi d'Ohm avec  les complexes :

U= 1 jC ω I I= jC ωU

ASSOCIATION « RLC » SERIE

Quand les dipôles sont en série on  peut appliquer la loi d'additivité des  tensions  les tensions complexes.

i

u_R R

u_L L

u_C C

u

ZR = R      ZL = jLω   ZC = 1/ jCω 

Quand les dipôles sont en série leurs impédances complexes  s’ajoutent pour donner l’impédance complexe de l’association.

Z

=





−



∣

∣ ⁼

= 

^

⁻

^

φ

=



⇒



=





⇒

U=U_RU_LU_C

   Z = ZR + ZL + ZC

ASSOCIATION « RLC » PARALLELE

Quand les dipôles sont en  série leurs admittances  complexes s’ajoutent pour  donner l’admittance 

complexe de l’association.

⇒

Quand les dipôles sont en parallèle  on peut appliquer la loi d'Ohm  avec les tensions complexes.

I=I_RI_LI_C

i

i_R R i_L L

i_C C

u

Z

=

[

R





−

]

Y = YR + YL + YC Z

=

 ^

^

^

⁻

^

φ=tg⁻¹



Lω

−C

