Devoir Surveill´ e num´ ero 1

USTL – Lille 1 UFR de Math´ematiques Licence Sciences et Technologies A - Mass Second Semestre

109 — Alg`ebre

Devoir Surveill´ e num´ ero 1

Sans document ni calculatrice

Exercice I

Soit a un nombre r´eel et E le sous-espace vectoriel de R⁴ engendr´e par les vecteurs:

(1, a,2,−1), (−2,3, a,1), (2,−1, a,1), (−1,0,2,−1).

1) Pour quelle(s) valeur(s) deaa-t-on l’´egalit´eE=R⁴ ?

2) Dans ce qui suita=−2.

2.1) Trouver une base deE.

2.2) Parmi les vecteurs :

(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), lesquels sont dansE?

2.3) Le vecteur (1,−1,0,0) appartient-il `a E?

Exercice II

SoitF le sous-espace vectoriel deR⁵engendr´e par les vecteurs : (1,0,1,−1,0), (2,1,2,1,1), (3,1,2,0,1).

Consid´erons ´egalementGle sous-espace vectoriel deR⁵engendr´e par les vecteurs : (1,1,3,−1,1), (2,−1,−4,4,−1), (0,1,2,0,1), (1,−2,−3,−1,−2).

1) Trouver une base deF et G.

2) Trouver une base deF+Get donner la dimension de F∩G.

Exercice III

Soitf l’application lin´eaire deR²dansR²dont la matrice dans la base canonique est :

2

4 4

−1 0

.

1) Trouver des vecteursuetv tels queu6= 0,f(u) = 2u,f(v) =u+ 2v.

2) Soient uet v des vecteurs de R² v´erifiant u6= 0,f(u) = 2u, f(v) =u+ 2v.

Montrer alors que (u, v) est une base deR² et ´ecrire la matrice def dans la base (u, v).

Exercice IV

Soitf : R²→R² une application lin´eaire telle que f of(u) = −u, pour toutu deR².

1) Soitu6= 0; montrer alors que (u, f(u)) est une base deR². 2) Ecrire la matrice def dans la base (u, f(u)).