Equivalent pour le comportement de la suite r´ecurrente : u n+1 = sin(u n ) :

Equivalent pour le comportement de la suite r´ecurrente : u _n+1 = sin(u _n ) :

preuve astucieuse ou principe de comparaison ?

Guy Barles

Il est bien connu que, quel que soit le point de d´epartu0, la suite r´ecurrente : u_n+1= sin(u_n),

converge vers 0. Les arguments sont simples car : (i) pour tout n ≥1,|u_n| ≤1,

(ii) la fonction sin est croissante sur l’intervalle [−1,1], (iii) sin(x)≤xsur [0,1], sin(x)≥x sur [−1,0].

Un exercice classique consiste `a obtenir un ´equivalent de u_n et on peut prouver que :

u_n∼ ±√

3n^−1/2 .

La preuve classique de cette estimation est la suivante : on introduit la suite (v_n)_n d´efinie par :

v_n= 1 u²_n , et on montre que :

v_n∼ n 3 .

Cet ´equivalent est obtenu de la mani`ere suivante : pour n assez grand, si un 6= 0 (sinon tous les terme suivants sont nuls) alors un+1 6= 0 car le sinus est une bijection de [−1,1] sur [sin(−1),sin(1)] et grˆace au d´eveloppement

∗<guy.barles@idpoisson.fr>

1

limit´e du sinus en 0, on a :

v_n+1 = 1 u²_n+1

= 1

sin²(u_n)

= 1

(u_n−u³_n/6 +o(u³_n))² .

En factorisant le un au d´enominateur et en utilisant la d´efinition de vn, il vient :

v_n+1 = v_n

(1−u²_n/6 +o(u²_n))²

=v_n(1 +u²_n/3 +o(u²_n)

=v_n+ 1/3 +o(1) .

Donc (vn)n se comporte pour n grand comme une suite arithm´etique et par des arguments standards, on r´ecup`ere l’´equivalent annonc´e.

Pour conclure, il suffit de remarquer que le sinus envoie [0,1] dans lui- mˆeme et de mˆeme pour [−1,0] donc siu₁ ≥0 alorsu_n≥0 pour toutn ≥1 (et si u₁ ≤0 alorsu_n≤0 pour toutn ≥1), ce qui permet d’obtenir l’´equivalent de (un)n `a partir de celui de (vn)n.

*****

Nous allons proposer une preuve alternative, moins astucieuse, reposant sur un principe de comparaison qui s’´enonce comme suit :

Proposition 1. Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction croisssante et (xn)n, (y_n)_n deux suites `a valeurs dans [a, b] qui satisfont :

(i) il existe n¯ tel que x_¯n≤y_n¯, (ii) pour tout n ≥¯n,

x_n+1 ≤f(x_n) et y_n+1 ≥f(y_n). Alors, pour tout n≥n,¯ x_n≤y_n.

La preuve (tr`es facile) de cette proposition est laiss´ee au lecteur.

Pour obtenir l’´equivalent pour la suite (u_n)_nnous allons la comparer grˆace

`

a cette proposition `a des suites (x<sub>n</sub>)<sub>n</sub> et (y<sub>n</sub>)<sub>n</sub> particuli`eres.

Pour cela, on pose pour une constantec > 0 que l’on choisira plus tard : w_n =cn^−1/2 ,

et on s’int´eresse `a w_n+1−sin(w_n) pour n assez grand : w_n+1−sin(w_n) = c(n+ 1)^−1/2−sin(cn^−1/2)

=cn^−1/2(1 + 1/n)^−1/2−(cn^−1/2 −c³n^−3/2/6 +o(n^−3/2)

=cn^−1/2(1− 1

2n +o(1

n))−(cn^−1/2−c³n^−3/2/6 +o(n^−3/2)

= c 2(c²

3 −1)n^−3/2+o(n^−3/2) Il en r´esulte que, si n est assez grand :

– Si c > √

3,w_n+1 ≥sin(w_n) si n≥N₁(c) , – Si c < √

3,wn+1 ≤sin(wn) si n≥N2(c) .

Pour conclure, on utilise la Proposition 1 de la mani`ere suivante : on choisit d’abord c > √

3 (moralement “proche de √

3”). Comme un → 0, il existeN ≥N₁(c) tel que u_N ≤w_N1(c); on applique alors la Proposition 1 `a :

x_n=u_N+n , y_n =w_N1(c)+n , avec ¯n= 0 ; il en r´esulte que, pour tout n ∈N :

u_N+n≤w_N1(c)+n , ou que pour n assez grand :

u_n≤w_N1(c)−N+n . On en d´eduit que :

lim supn^1/2u_n ≤lim supn^1/2w_N1(c)−N+n=c . Cette propri´et´e ´etant v´erifi´ee pour tout c >√

3, on a : lim supn^1/2un ≤√

3.

Pour obtenir une propri´et´e analogue pour la lim inf, on ´echange les rˆoles de (u_n)_n et (w_n)_n : on choisitc <√

3 (moralement “proche de√

3”). Il existe N ≥N₂(c) tel quew_N ≤u₁ : on applique alors la Proposition 1 `a :

x_n=w_N+n , y_n =u_n,

avec ¯n= 1 ; il en r´esulte que, pour tout n ∈N : w_N+n ≤u_n.

On en d´eduit que :

c= lim infn^1/2w_N+n≤lim infn^1/2u_n . Cette propri´et´e ´etant v´erifi´ee pour tout c <√

3, on a :

√

3≤lim infn^1/2u_n ,

ce qui conclut l’argument puisque lim infn^1/2u_n = lim supn^1/2u_n = √ 3 montre bien que n^1/2u_n →√

3, i.e. l’´equivalent recherch´e.

Remarque 1. Nous avons introduit la suite :

w_n =cn^−1/2 ,

ce qui peut sembler une astuce. Mais le calcul effectu´e pour peut l’ˆetre pour la suite w_n=cn^−α : si on veut ´eliminer les premiers termes du DL et montrer ainsi que la suite (w_n)_n satisfait au mieux la relation de r´ecurrence (donc avec une erreur minimale), on voit qu’il faut prendre α = 1/2 et c = √

3.

On obtient ainsi l’´equivalent en utilisant des perturbations de cette “presque solution” qui donnent des “sous-solutions” (cf. (x_n)_n) et des sursolutions (cf.

(y_n)_n).