ATS 2021-22 TD M2
ENERGIES POTENTIELLES
1 Exprimer des énergies poten- tielles*
1. Dans chacun des cas, exprimer, à une constante près, l’énergie potentielle de pesanteur du point M de massemen fonction de la variable d’espace proposée. Attention au signe.
(a) Soit un immeuble de hauteurL et un axeOz vertical ascendant.Oest au sommet du bâti- ment.
(b) Soit la surface de l’océan, horizontale, et un axeOxvertical descendant.Oest à la surface de l’eau.
2. Dans chacun des cas traités précédemment, dé- terminer l’expression de la constante grâce aux choix d’origine suivants :
(a) On place l’origine deEpp au niveau du sol.
(b) On place l’origine deEpp au niveau de la sur- face de l’eau.
3. Dans chacune des situations représentées ci- dessous, exprimer l’énergie potentielle élastique du pointM en fonction de sa positionx:
(a)
(b)
2 Appendice mathématique : déri- ver une fonction composée**
Soient deux fonctionsf :x→f(x) etg :x→g(x).
Un résultat de mathématique affirme que : [f(g(x))]0=f0(g(x)).g0(x)
En pratique on peut exploiter l’image des "poupées russes" : f(g) signifiant que g est la "petite poupée" conte- nue dans f. Il suffit alors d’appliquer le résultat suivant : comme si vous cherchiez à défaire les poupées, on commence par dériver la plus grosse sans toucher à ce qui est dedans (f0(g)) puis on multiplie par la dérivée de la petite (g0).
S’il y a 3 poupées (f(g(h(x)))), la méthode reste la même : f0(g(h)).g0(h).h0.
Ce résultat est à l’origine des relations suivantes qu’il faut apprendre par cœur si vous ne n’arrivez pas à maîtriser la technique générale précédente (uest une fonction) :
(ln(u))0 =u0
u ; (eu)0=u0eu ; (cos(u))0=−u0.sin(u) (un)0=n.un−1u0 ; (sin(u))0=u0.cos(u) Exemples :
d(cos(2πx))
dx =−sin(2πx).2π; d(cos2(x))
dx = 2 cos(x).(−sin(x)) d(ln(1−t2))
dt = 1
1−t2.(−2t) A vous de jouer :
1. d(D−y)dy 3 = 2. d(mLdθ2sin2θ) = 3. d(
1 H−x)
dx =
4. d(z/a−ldz o)2 =
5. d(k(2acos(θ/2)−ldθ o)2)=
3 Exploitation d’un graphe d’éner- gie potentielle*
On fournit les variations de l’énergie potentielle d’un système en fonction de la variable de position de celui-ci, avecr∈[0,∞].
Déterminer graphiquement les positions d’équilibre du sys- tème et préciser leur stabilité.
4 Ordre de grandeur*
Calculer l’énergie :
1. qu’il vous faut dépenser pour monter 3 étages (hauteur conventionnelle d’un étage 2.5 m). A comparer avec la valeur énergétique d’unMars : 450 kCalories, avec 1Calorie= 4.18J.
2. qu’il faut pour comprimer de 10% un ressort d’amortisseur de voiture :k = 45000N/m, lo= 28cm.
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5 Ressort tournant**
Un ressort horizontal est placé sur un plateau tour- nant à la vitesse angulaire constanteω. On noteOM =ret on cherche la longueur d’équilibre du ressortreq.
De la rotation découle une énergie potentielle centri- fuge, d’autant plus grande que la rotation est rapide :
Epc=−1 2mω2r2
1. Exprimer l’énergie potentielle totale de M en fonction der.
2. Déterminer la ou les positions d’équilibre du sys- tème et préciser leur stabilité en fonction deω.
3. Tester la cohérence de l’expression dereqen fonc- tion des paramètresm, ω puisk.
Réponse :req= lo
1−mωk2
6 Equilibre entre deux ressorts**
On considère un point matériel M de masse m at- tachée à deux ressorts de même longueur à vide lo et de raideur k pour celui de gauche et 2k pour celui de droite.
L’ensemble est confiné sur un espace de longueurD <2lo.
1. Que dire de l’énergie potentielle de pesanteur du système ?
2. Exprimer soigneusement les longueurslgetlddes ressorts (respectivement de gauche et de droite) à un instant quelconque en fonction de la variabley et deD, APRES avoir pris le temps de représenter ces 4 longueurs sur le schéma. En déduire l’énergie potentielle totale de M.
3. Déterminer la position d’équilibre du système et préciser sa stabilité.
4. Sans mener de calculs (intuitivement donc), si- tuer la position d’équilibre par rapport àD/2 (à droite ou à gauche). Le résultat de la question précédente confirme-t-il cette intuition ?
5. Reprendre les deux questions précédentes si dé- sormaisD >2lo.
Réponse : 3)yeq= 2D−l3 o
7 Plan incliné**
Soit la situation suivante,αest un angle positif :
Le ressort a une raideurket une longueur à videlo. 1. Quelle variable spatiale mesure "l’altitude" de
M? Représenter sur le schéma les deux longueurs correspondants aux coordonnées xet z du point M. Quels sont leur signe ?
2. Exprimer la longueur`du ressort en fonction de z et deα.
3. Exprimer l’énergie potentielle du système en fonc- tion dezet en déduire sa position d’équilibrezeq. 4. Tester la cohérence de l’expression dezeqpar rap- port aux paramètresmetk. Etudier le cas limite α→π/2.
5. L’équilibre est-il stable ?
6. Reprendre l’exercice en paramétrant le problème avecxau lieu dez.
Réponse : 3)zeq =−sinα(lo+mgsinα/k) ; 6) xeq = lo+mgsinα/k
8 Pendule tournant**
Soit un pendule simple de longueur L de masse m (point matérielM), mis en rotation uniforme de vitesse an- gulaireωautour de l’axe (Oz). On noteθl’angle que fait le pendule par rapport à l’axe vertical ascendant (Oz).
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De la force centrifuge associée à la rotation découle une énergie potentielle, d’autant plus grande que la rotation est rapide :
Epc=−1 2mω2r2
avecrla distance radiale séparant le pointM de son projeté orthogonal sur l’axe de rotation.
Exprimer z en fonction deθ en faisant attention au signe. Déterminer le ou les angles d’équilibreθeq du pendule et leur stabilité. Eprouver la cohérence de la formule.
Réponse :θeq1= 0, cosθeq2=g/Lω2 stable
9 Equilibre et stabilité***
Une perle quasi-ponctuelle P de masse m est as- treinte à se déplacer sans frottement le long d’un cercle de rayonaet de centreO. Le pointP est attaché à un ressort (de raideur k et de longueur à vide lo) dont l’autre extré- mité est fixée enO0. Le pointP est repéré par l’angleθque faitOP avec la verticale. On suppose les relations suivantes entre les paramètres :
a=2mg
k et lo=
√3 2 a
Montrer que le système possède deux positions d’équilibreθ1et θ2, exprimer les et étudier leur stabilité.
Aide : un théorème de géométrie permet de montrer que l’angle (OO0P) =θ/2.
Réponse :θ1= 0 instable etθ2=±Π3 stable
10 Gouttière tournante ***
Une bille de masse m peut glisser sans frottement dans une gouttière circulaire de rayon R placée dans un plan vertical ; cette gouttière tourne à la vitesse angulaire constanteωautour de son diamètre vertical. La position de la bille est repérée par l’angleθ.
De la force centrifuge associée à la rotation découle une éner- gie potentielle, d’autant plus grande que la rotation est ra- pide :
Epc=−1 2mω2r2
avecrla distance radiale séparant le pointM de son projeté orthogonal sur l’axe de rotation.
Déterminer les positions d’équilibre θeq et préciser leur stabilité. Montrer que l’une d’entre elles n’existent que sous une condition portant surω.
Réponse : θeq1 = 0 et θeq2 = cos−1(g/ω2R) si ω >
pg/R
11 Tige-ressort ***
On considère le système ci-contre, le ressort a une longueur à vide `0 et une raideur k. Le problème est para- métré par l’angle θ, la masse accrochée au ressort est met la tige a une longueura.
Exprimer l’énergie potentielle du système en fonction de l’angle. Recherche des positions d’équilibre et de leur sta- bilité possible avec le logiciel scilab...
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Réponse : Ep=amgcosθ+1
2k(p
(lo+a(1−cosθ))2+a2sin2θ−lo)2
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Je sais expliquer avec les mains quelles forces sont non-conservatives et que c’est le cas des frottements.
Je sais exprimer en toute circonstance l’énergie potentielle de pesanteur Epp (variable, signe et constante).
1,7,8,9, 10,11 Je sais exprimer l’énergie potentielle élastiqueEpe 1,5,6,7,
9,11 Je sais déterminer les positions d’équilibre d’un sys- tème
5,6,7,8, 9,10,11 Je sais déterminer la stabilité d’une position d’équi-
libre
5,6,7,8, 9,10,11
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