Opt 4 : M IROIRS SPHERIQUES DANS LES CONDITIONS D ’ APPROXIMATION DE GAUSS .
Les surfaces réfléchissantes des miroirs permettent de changer le sens de propagation de la lumière.
Le miroir plan est le plus utilisé dans la vie courante, mais on utilise aussi des miroirs sphériques comme rétroviseur à grands champ, pour sécuriser certaines intersections routières ou comme miroirs grossissants de salle de bains.
Ils sont aussi utilisés dans les télescopes (la première fois dans le télescope de Newton, 1668). En effet, ils ne génèrent pas d’aberrations chromatiques et peuvent être fabriqués de très grande taille, contrairement aux lentilles.
I. P RESENTATION DES MIROIRS SPHERIQUES . 1. Définitions.
a. Vocabulaire relatif aux miroirs sphériques
Un miroir sphérique est une surface réfléchissante qui, généralement, est en forme de calotte sphérique.
On note . . . le centre de la sphère réfléchissante, c’est à dire le . . . Ce dispositif possède un axe de symétrie de révolution, ce système optique est donc . . . Cet axe de symétrie de révolution est appelé . . .
Il passe par le centre C du miroir et intercepte la calotte sphérique en . . , le . . .
Si la surface réfléchissante est du côté du centre le miroir est . . . Il est . . . dans le cas contraire.
R=SC R=SC
Le rayon SC de la sphère est appelé . . . . . .
On utilise sa valeur algébrique R=SC en orientant l’espace dans le sens de propagation des rayons incidents.
A.O. A.O.
S C C S
A.O. A.O.
S C C S
b. Miroirs convergents ou divergents ?
La marche d’un rayon incident vers un miroir sphérique concave puis convexe montre donc que :
le miroir sphérique convexe est un système optique . . . le miroir sphérique concave est un système optique . . .
2. Stigmatisme et aplanétisme approchés.
On sait déjà qu’il y a stigmatisme rigoureux pour deux couples de points :
Tout rayon lumineux passant par C repart en passant par C : C est l’image de C par un miroir sphérique.
Tout rayon lumineux passant par S repart symétriquement par rapport à l’axe optique : S est l’image de S par un miroir sphérique.
Il y a stigmatisme rigoureux pour les couples . . .
Pour tout autre point de l’espace, il y a stigmatisme approché et aplanétisme approché à condition de travailler dans les . . . c’est à dire en limitant les rayons incidents :
aux rayons . . . ; aux rayons . . .
A.O. A.O.
S C C S
Conséquence :
Dans ces conditions, nous pouvons rechercher des relations de conjugaison entre point objet et point image.
Remarques :
Les conditions d’approximation de Gauss limitent les aberrations géométriques (sphéricité, astigmatisme, coma, distorsion...).
Avec les miroirs, il n’y a pas d’aberrations chromatiques car les rayons lumineux restent dans un milieu très peu dispersif, l’air.
3. Miroirs sphériques dans les conditions d’approximation de Gauss.
a. Incidence sur les miroirs sphériques dans les conditions d’approximation de Gauss.
Dans les conditions de l’approximation de Gauss, les rayons frappent les miroirs au voisinage du sommet S : . . .
On modélise le miroir sphérique au voisinage de son sommet par un plan perpendiculaire à l’axe optique
b. Modélisation des miroirs sphériques dans les conditions d’approximation de Gauss.
Miroir concave Miroir convexe
4. Foyers et plans focaux.
a. Rappels.
Foyer image F’ : A∞SOC→F'
Foyer objet F : FSOC→A'∞
Plan focal image (PF’) : plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer image F’.
Plan focal objet (PF) : plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer objet F.
Les plans focaux rassemblent outre F (resp. F’) les foyers secondaires Foyer secondaire image : B∞SOC→ ∈B' (PF') Foyer secondaire objet : B∈(PF)SOC→B'∞
b. Cas des miroirs sphériques.
Pour les miroirs sphériques, en utilisant le principe de retour-inverse on montre immédiatement que l’image de F’ est située à l’infini sur l’axe optique.
Ainsi, F et F’ sont confondus, on parle de . . . et du couple de conjugués :
On admet pour l’instant que F est le milieu du segment [CS].
Les miroirs sphériques possède un plan focal unique (PF).
Détermination du lieu des foyers secondaires :
c. Distance focale, vergence.
La distance focale image est la distance algébrique f'=SF'.La distance focale objet est la distance algébrique f=SF.
Dans le cas des miroirs sphériques, cette grandeur ne fait qu’une, la distance focale du miroir sphérique : f=SF.
On admet pour l’instant que
2 f=SF=SC
Remarques :
La distance focale f=SF s’exprime en mètres.
Elle pourra être positive ou négative, selon la nature concave ou convexe du miroir.
Définition : La vergence d’un miroir sphérique est la grandeur algébrique 1 1 v '
SF f
= = .
On admet pour l’instant que 1 2
v
SF SC
= = . d. Résumé.
Miroir concave Miroir convexe
II. C ONSTRUCTIONS FONDAMENTALES . 1. Construction d’une image.
Il s’agit de construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe optique.
Le système étant aplanétique, c’est à dire stigmatique pour tout couple (A, A’) et (B, B’), il suffit de construire l’image B’ de B par le système optique et de projeter ensuite B’ orthogonalement sur l’axe optique pour en déduire A’.
a. Construction de l’image B’ d’un objet B situé en dehors de l’axe optique : Les quatre rayons utilisables.
Pour construire l’image B’ de B par le système optique, on utilise des rayons parmi les quatre rayons dont la traversée est remarquable :
•
•
•
•
b. Construction de l’image A’ d’un objet A situé sur l’axe optique.
Pour construire l’image A’ d’un point objet A situé sur l’axe optique, on introduit un second point objet B en dehors de l’axe optique, appartenant au plan perpendiculaire à l’axe optique passant par A, afin de se ramener à la construction de l’image A’B’ de l’objet AB par le système optique.
On conclut en utilisant le caractère aplanétique approché du système.
c. Exemples.
F S
C S F C
A.O.
A.O.
F S
C
A.O.
F S
C
A.O.
F S
C
A.O.
F C
S
A.O.
F C
S
A.O.
F C
S
A.O.
d. Construction de l’objet étendu AB dont l’image est A’B’.
2. Construction de rayons réfléchi ou incident.
a. Méthode.
Pour construire des rayons réfléchis ou incidents (sans qu’il y ait d’objet), on utilise la propriété des foyers secondaires :
On utilise un rayon auxiliaire parallèle au rayon incident proposé (resp. au rayon réfléchi proposé) et passant par le centre C du miroir sphérique.
On sait alors que ces deux rayons parallèles convergent dans le plan focal (resp. sont issus d’un objet dans le plan focal).
Remarque :
On peut choisir comme rayon auxiliaire un autre rayon que celui passant par C ; on peut choisir un des quatre rayons remarquables, mais le rayon qui passe par C et qui n’est pas dévié est le plus facile à tracer et celui qui encombrera le moins le schéma.
b. Exemples.
F C
S
A.O.
F S
C
A.O.
F S
C
A.O.
F C
S
A.O.
F S
C S F C
A.O.
A.O.
A’
B’
B’
A’
III. R ELATIONS DE CONJUGAISON POUR UN MIROIR SPHERIQUE DANS LES CONDITIONS D ’ APPROXIMATION DE G AUSS .
1. Relations de conjugaison avec origine au sommet du miroir.
a. Démonstration.
Le grandissement est défini par le rapport suivant : A B' ' AB γ=
b. Relations de conjugaison (formules de Descartes).
Pour la position : Pour le grandissement :
2. Relations de conjugaison avec origine au foyer principal.
a. Démonstration.
b. Relations de conjugaison (formules de Newton).
Pour la position : Pour le grandissement :
F S
A C
B I
A.O.
F S
A C
B I
A.O.
3. Relations de conjugaison avec origine au centre du miroir.
a. Démonstration.
b. Relations de conjugaison (formules de Descartes).
Pour la position : Pour le grandissement :
F S
A C
B I
A.O.
