Analyse combinatoire

Analyse combinatoire

1. Nombres d’applications, de parties.

2. Principe des bergers.

3. Nombres d’injections et d’arrangements.

4. Nombres de parties et de combinaisons.

5. Propriétés des coefficients binomiaux.

6. Principe d’inclusion-exclusion.

7. Principe des tiroirs.

8. Polynômes et séries génératrices.

9. Invariants combinatoires.

à Florent Hivert, Pierre-Jean Hormière __________

« L’analyse combinatoire conduit à l’imagination numérique − et enseigne l’art de la composition numérique − la base générale mathématique. »

Novalis, Les sciences philologiques.

L’analyse combinatoire est une branche de l’arithmétique se proposant de dénombrer ou énumérer certains ensembles ou structures finies, ou d’en démontrer l’existence. L’origine de ces structures est extrêmement variée (arithmétique, géométrie, probabilités, jeux, graphes, algorithmique et langages de programmation, etc.), ainsi que les techniques permettant de les étudier. En fait, toute théorie mathématique, y compris topologique ou différentielle, dont les objets peuvent être entièrement inventoriés et caractérisés au moyen d’un nombre fini d’invariants (entiers ou polynomiaux) aboutit à une taxinomie, et à une combinatoire : algèbres et groupes de Lie, théorie des nœuds, problème des quatre couleurs, etc ¹. L’analyse combinatoire s’est développée au XVIIème siècle (Pascal, Leibniz), en liaison avec le calcul des probabilités. Toutes les suites d’entiers connues que l’on rencontre en analyse combinatoire (mais aussi dans d’autres domaines) sont répertoriées sur le site OEIS (On line Encylopedia of Integer Sequences) de Neil Sloane. Il est conseillé au lecteur de le consulter.

Enfin, pour la première fois, une chaire de Combinatoire vient d’être créée au Collège de France, La leçon inaugurale, donnée à huis clos par le professeur britannique Timothy Gowers², a eu lieu le 21 janvier 2021, à 18 h.

Rappelons que si E et F sont deux ensembles finis, on a :

card (E ∪ F) = card(E) + card(F) − card(E ∩ F) et card(E × F) = card(E) × card(F) . Exercice : Soit S une partie de E×F. Pour tous (a, b) ∈ E×F, on note

S(a, .) = { (x, y) ∈ E×F ; x = a } et S(., b) = { (x, y) ∈ E×F ; y = b } Démontrer que card(S) =

∑

∈E a

a S

card ( ,.) =

∑

∈F b

b S card (., ).

Applications : 1) Soient a, b des réels > 0. S = { (x, y) ∈ N×N ; 1 ≤ x ≤ a , 1 ≤ y ≤ bx }

1 De même, Mark Twain prétendait classifier les histoires drôles en douze types, et Charles Fourier proposait une savoureuse hiérarchie du cocuage en 80 types, répartis en deux classes. Nikos Kazantzaki distinguait quant à lui 77 espèces de folie, et l’on trouvera dans Rabelais (Gargantua, chap. XIII) un savoureux inventaire des torcheculs, mais aussi les injures les plus variées.

2 Sir William Timothy Gowers (Wiltshire, 20 novembre 1963), médaille Fields 1998 pour ses recherches en analyse fonctionnelle sur la géométrie des espaces de Banach, et en combinatoire.

S = { (x, y) ∈ N×N ; 1 ≤ y ≤ n , y ≤ x ≤ y + n } , S = { (x, y) ∈ Z×Z ; |x| ≤ n , 0 ≤ y ≤ n + 1 − |x| }.

Quelles identités obtient-on ?

2) En considérant de deux manières D = { (x, y) ∈ N*² ; x.y ≤ n }, démontrer la formule

∑

≤

≤k n

k

1

)

τ

( ⁼

∑

≤

≤x n 1

[nx_{] , où τ} est le nombre de diviseurs et [ ] la partie entière.

1. Nombre d’applications d’un ensemble fini dans un autre.

Proposition 1 : Si X et Y sont des ensembles finis de cardinaux resp. n et p, alors card FFFF_{(X, Y) = p}ⁿ_. Preuve : Notant X = {x₁, …, x_n} les éléments de X, l’application f → (f(x₁), …, f(x_n)) est une bijection FFFF_{(X, Y) → Y}ⁿ. Il reste à passer aux effectifs.

Remarque : C’est ce résultat qui explique la notation de l’exponentielle ensembliste FFFF_{(X, Y) = Y}^X_. Corollaire : Si X a n éléments, card PPPP_{(X) = 2}ⁿ_.

Preuve : À toute partie A ∈ PPPP(X) associons sa fonction indicatrice³, définie sur l’ensemble X par : 1_A(x) = 1 si x ∈ A , 0 sinon.

L’application A → 1_A est une bijection PPPP_{(X) →} FFFF(X, {0, 1}), admettant pour réciproque l’appli- cation FFFF(X, {0, 1}) _→ PPPP(X) , qui à ϕ associe ϕ⁻¹({1}) = { x ; ϕ(x) = 1 }.

Il reste à passer aux effectifs.

On peut aussi faire une récurrence sur n . Si n = 0, X = ∅ et PPPP(X) a un élément : ∅.

Si le résultat est vrai au rang n−1, isolons un élément a de X.

Si A ne contient pas a, A est une partie de X − {a} : 2ⁿ⁻¹ possibilités.

Sinon, A s’écrit de façon unique {a} ∪ B, où B est une partie de X − {a} : 2ⁿ⁻¹ possibilités.

Au fond, PPPP(X) se présente comme un arbre de décision dichotomique. Numérotant {x₁, …, x_n} les éléments de X, à chaque étape, soit on prend x_k, soit on ne le prend pas.

Exercice 1 : Montrer qu’on peut numéroter explicitement, de 0 à 2ⁿ − 1, les parties de {1, 2, …, n}, en associant à toute H ⊂ {1, 2, …, n} l’entier N_H =

∑

∈

− H h

2h 1 ( avec la convention n_∅ = 0 ).

Exercice 2 : On considère les ensembles ∅, PPPP_(∅), P P P P₍PPPP_(∅)), PPPP₍PPPP₍PPPP_{(∅))), etc.}

Quels sont leurs cardinaux ? Expliciter les premiers d’entre eux.

2. Principe des bergers.

Formosam pastor Corydon ardebat Alexim, Delicias domini, nec quid speraret habebat ; Tantum inter densas, umbrosa cacumina, fagos Adsidue veniebat ; ibi haec incondita solus Montibus et silvis studio jactabat inani ; Virgile, Bucoliques Principe des bergers ⁴ : Soit u : S → T une surjection. L’on suppose chaque « fibre » u⁻¹(t), t ∈ T, finie de cardinal q ≥ 1.

Alors : S est fini ⇔ T est fini et l’on a

3 On dit aussi fonction caractéristique.

4 Ainsi dénommé traditionnellement, parce qu’un berger peut compter les bêtes de son troupeau en baissant la tête, en comptant les pattes et en divisant leur nombre par quatre. Drôle d’idée, même pour un berger de Virgile ! Il semble que peu de mathématiciens aient gardé un troupeau de moutons. D’ailleurs, s’il n’y a des moutons à cinq pattes que dans les proverbes, il y a certainement des moutons à trois pattes…

card S = q × card T .

Preuve : Les fibres u⁻¹({t}), t ∈ T, forment une partition de S en ensembles finis de cardinal q.

Si T est fini, S est réunion finie d’ensemble finis, donc est fini, et card S = q × card T . Si T est infini, S est réunion infinie d’ensembles non vides, donc est infini.

Ce principe (ou lemme) des bergers s’applique dans les deux sens, selon que l’on cherche card S ou card T. Nous en verrons des applications dans les § 3 et 4. Donnons-en des applications qui anticipent sur la suite.

Exercice 1 : Dans l’espace Rⁿ muni de la distance euclidienne usuelle, on considère le « n-cube » C = {0, 1}ⁿ. Deux sommets x et y sont dits adjacents si ||xy|| = 1. Le segment [x, y] est alors une arête du cube. Combien le cube C a-t-il de sommets ? d’arêtes ?

Indication : Considérer l’application { (x, y) ∈ C×C ; ||xy|| = 1 } → [x, y].

Exercice 2 : Soit P_n un polygone régulier de centre O, dans le plan. Combien y a-t-il d’isométries planes conservant P_n ?

Indication : Soient A₁, …, A_n les sommets de P_n. Remarquer qu’une isométrie plane u conservant P_n laisse fixe le point O, et considérer l’application u → u(A₁).

Exercice 3 : Soit f : G → H un homomorphisme de groupes.

Montrer que : G est fini ⇔ Ker f et Im f sont finis , et qu’alors card G = card Ker f × card Im f . Application 1 : Si p est premier impair, ∃c ∈ Z p | c² + 1 ⇔ p ≡ 1 ( mod 4 ).

Pour le sens ⇒, considérer le morphisme f : x → x⁴ de (Z/pZ)*.

Application 2 : On considère l’application f : (z, z’) ∈ Ua×Ub → z.z’ ∈ C* (a et b ≥ 1), où Un

désigne le groupe des racines n-èmes de l’unité. Montrer que f est un morphisme de groupes ; déterminer son noyau. En déduire card Im f. Reconnaître Im f. Cas où a et b sont premiers entre eux.

Indication : L’application f induit une surjection de G sur Im f , qui obéit au principe des bergers, car pour tout y ∈ Im f , la fibre f⁻¹({y}) est équipotente à Ker f = f⁻¹({e}), où e est le neutre de H.

En effet, si f(x₀) = y, il est clair que s → s.x₀ est une bijection de Ker f sur f⁻¹({y}). Conclure.

Exercice 4 : Soient p un nombre premier, E un Z/pZ-espace vectoriel de dimension n. Combien E admet-il de droites vectorielles ? de droites affines ?

Exercice 5 : Lemme de Poincaré. Soient G un groupe multiplicatif, H et K deux sous-groupes finis de G. On introduit l’ensemble H.K = { x = h.k ; (h, k) ∈ H×K }.

Montrer que card(H.K) =

) (

) ( ).

(

K H card

K card H card

∩ . En déduire que card G ≥

) (

) ( ).

(

K H card

K card H card

∩ ^. Indication : L’application (h, k) → h.k de H×K sur H.K obéit au principe des bergers : elle est surjective, et, si (h₀, k₀) est un antécédent de x, les autres sont de la forme (h₀.a, a⁻¹.k₀), où a décrit H ∩ K. Ainsi, toutes les fibres sont équipotentes à H ∩ K.

Exercice 6 : Formule des classes.

Soit G un groupe fini agissant sur l’ensemble E. L’élément x ∈ E a pour orbite O(x) = { g ^T x ; g∈G}

et pour groupe fixateur F(x) = { g ∈ G ; g T x = x }. Montrer que : card G = card O(x) ×××× card F(x) . Cette formule, qui fonctionne dans les deux sens, a d’importantes conséquences : dénombrement des groupes d’isométries conservant des figures données (polygones, polyèdres platoniciens…), théorème de Wedderburn, dénombrement des grilles de sudoku, etc.

3. Nombres d’injections et d’arrangements.

Définition : On appelle arrangement [sans répétition] des éléments de Y pris n à n, toute applica- tion injective [1, n] → Y, ou encore tout n-uplet (y1, …, y_n) ∈ Yⁿ tel que i ≠ j ⇒ y_i ≠ yj .

Proposition : Soient X et Y deux ensembles finis de cardinaux resp. n et p, ℑ(X, Y) l’ensemble des injections X → Y.

Si n > p , card ℑ(X, Y) = 0 ; si n ≤ p , card ℑ(X, Y) =

)!

(

! n p

p

− = p ( p − 1 ) … ( p − n + 1 ) ≡ (p)n . Preuve : Numérotons les éléments de X : x₁, …, x_n.

Heuristiquement, pour se donner une injection f : X → Y, il faut se donner f(x1) : p choix possibles.

Ce choix étant effectué, il ne reste que p−1 choix possibles pour f(x₂), p−2 choix possibles pour f(x₃),

…, p−n+1 choix possibles pour f(x_n). En tout, p (p − 1) … (p − n + 1) injections possibles.

Plus rigoureusement, raisonnons par récurrence sur n.

Si n = 1, toute application de X dans Y est injective : en tout p injections.

Supposons le résultat vrai pour tout ensemble X’ de cardinal n−1.

Supposons X de cardinal n, et isolons un élément a de X.

Pour chaque y ∈ Y, il y a

)!

1 1 (

)!

1 ( − +

− − n p

p =

)!

( )!

1 (

n p p−−

injections f de X dans Y telles que f(a) = y.

Il suffit en effet de se donner une injection f de X−{a} dans Y−{y}, et de la prolonger à X en posant f(a) = y. Comme y décrit Y, il y a en tout p.

)!

( )!

1 (

n p p−−

= ( )!

! n p

−p injections de X dans Y.

Au fond, l’application f ∈ℑ(X, Y) → f(a) ∈ Y est une surjection qui obéit au principe des bergers.

Corollaire : Si card X = card Y = n, l’ensemble BBBB(X, Y) des bijections X → Y a pour cardinal card BBBB(X, Y) = n !

En particulier si X = Y, card SSSS_{X = n !}

Exercice 1 : Paradoxe des anniversaires. Montrer que, dans un groupe de plus de 23 personnes, il y a plus d’une chance sur deux pour que deux d’entre elles aient leur anniversaire le même jour.

Exercice 2 : Equivalent du nombre total d’arrangements AAAA_{(p) =}

∑

_n≥0 (p)_n .

Exercice 3 : Soit X un alphabet de n lettres. On forme tous les mots ne contenant pas deux fois la même lettre. Montrer que leur nombre M_n vérifie M_n = [en!] − 1.

4. Nombres de parties et de combinaisons.

Définition : Soit X un ensemble à n éléments. On appelle combinaison sans répétition des n éléments de X, pris k à k, toute liste de k éléments extraits de X, autrement dit toute partie de X à k éléments. Notons PPPP_k(X) l’ensemble de ces parties.

Théorème : Si card X = n , on a pour 0 ≤ k ≤ n card PPPP_{k(X) =}

)!

!.(

! k n k

n− ^≡ C^nk ≡

(

_kⁿ

)

. La notation Cn^k est utilisée en France, la notation

(

_kⁿ

)

est universelle.

Preuve : A toute injection f : [1, k] → X associons l’image directe A = f([1, k]), qui est une partie à k éléments de X. L’application u : f → A = f([1, k]) de IIII([1, k], X) dans PPPP_k(X) est une surjection qui obéit au principe des bergers : chaque partie A ∈PPPP_k(X) est l’image d’au moins une injection f, et en fait d’exactement k! injections ( autant que de bijections de [1, k] sur A ).

Par conséquent card PPPP_{k(X) =}

! 1

k ^{card IIII}([1, k], X). CQFD. Autres interprétations des Cn^k :

i) C’est le nombre des fonctions ϕ : X → {0, 1} telles que

∑

∈X x

x)

ϕ

( ^{= k ;} ii) C’est le nombre des n-uplets (x₁, …, x_n) ∈ {0, 1}ⁿ tels que

∑

= n

i

xi 1

= k ;

iii) C’est le nombre de chemins OA₁…A_n joignant O à M(k, n−k) dans N² , où A_i A_i+1= i ou j ; iv) C’est le nombre des applications strictement croissantes [1, k] → [1, n] ;

v) C’est le nombre de k-uplets (y₁, …, y_k) ∈ (N*)^k tels que

∑

= k

i

yi 1

≤ n ;

vi) C’est le nombre de distributions de k boules indiscernables dans n boîtes distinctes, chaque boîte contenant au plus une boule.

Preuve : Pour i), passer par les fonctions indicatrices.

Pour ii), comme [1, n] et X sont en bijection, se donner une fonction ϕ : X → {0, 1} équivaut à se donner une fonction i ∈ [1, n] → x_i ∈ {0, 1}.

Pour iii), un chemin joignant O à M est de longueur n. Il doit contenir k segments horizontaux, et la donnée de ces segments, qui forment une partie à k éléments d’un ensemble de n éléments, détermine entièrement le chemin.

Pour iv) soit S l’ensemble des applications strictement croissantes f : [1, k] → [1, n]. Toute f ∈ S est injective ; lui est associée naturellement l’ensemble f([1, k]), partie de [1, n] à k éléments.

Réciproquement, toute partie à k éléments de [1, n] est l’image de k ! applications, dont une seule est strictement croissante. S est donc équipotent àPPPP_{k([1, n]).}

Le dénombrement v) se ramène aisément à iv).

Exercice 1 : Un jeu comporte 32 cartes, 8 par couleur. Une main est un ensemble de 8 cartes.

1) Quel est le nombre de mains possibles ? 2) Combien de mains contiennent un valet au moins ? 3) Combien contiennent au moins un cœur ou une dame ?

4) Combien ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus ? [ Réponses : 10518300 ; 7410195 ; 10314810 ; 77212. ]

Exercice 2 : Combinaisons avec répétition.

Soit X un ensemble à n éléments. On appelle combinaison avec répétition des n éléments de X, pris k à k, toute liste de k éléments extraits de X, les répétitions étant autorisées, et l’ordre dans la liste n’intervenant pas. Par exemple, si X = {a, b, c}, {a, b, a, b, b} et {b, b, b, a, a} sont une même combinaison des éléments de X 5 à 5.

1) Montrer l’équipotence des ensembles suivants :

a) L’ensembleQQQQ_k(X) des combinaisons avec répétition des éléments de X pris k à k ; b) L’ensemble des fonctions ϕ : X → N telles que

∑

∈X x

x)

ϕ

( ^{= k ;} c) L’ensemble des n-uplets (x₁, …, x_n) ∈ Nⁿ tels que

∑

= n

i

xi 1

= k ; d) L’ensemble des applications croissantes [1, k] → [1, n] ; e) L’ensemble des (k+1)-uplets (y₁, …, y_k+1) ∈ N^k+1 tels que

∑

⁺

= 1

1 k

i

yi = n − 1 ; f) L’ensemble des k-uplets (y₁, …, y_k) ∈ N^k tels que

∑

= k

i

yi 1

≤ n − 1 ;

g) L’ensemble des distributions de k boules indiscernables dans n boîtes distinctes.

2) Montrer, par différentes méthodes, que tous ces ensembles ont Cn^k+k−1 éléments. En particulier, on indiquera une bijection entre l’ensemble des fonctions croissantes [1, k] → [1, n] et l’ensemble des fonctions strictement croissantes [1, k] → [1, n+k−1] .

Exercice 3 : Montrer que le nombre de sous-ensembles à k éléments de {1, 2, …, n} ne contenant pas d’entiers consécutifs est donné par Cn^k₊1₋k.

Exercice 4 : Problème de Terquem. Soit q_n,k le nombre des applications strictement croissantes u : [1, k] → [1, n] telles que, pour tout x ∈ [1, k], x et u(x) soient de même parité.

Montrer que q_n,k = q_n−1,k−1 + q_n−2,k . En déduire : q_n,k = Cm^k , où m =

[

2 n+k

]

. 5. Propriétés des coefficients binomiaux.

1) Le triangle arithmétique dit « de Pascal ».

Proposition 1 : ∀n Cn⁰ = Cnⁿ = 1 , ∀n ≥ 1 ∀k ∈ [1, n−1] Cn^k = C_n^k₋₁ + C_n^k₋⁻₁¹.

Preuve : On peut vérifier cette formule à l’aide des factorielles, mais mieux vaut isoler un élément a dans un ensemble E à n éléments, et distinguer, parmi les parties à k éléments, celles qui ne contiennent pas a, au nombre de C_n^k₋₁, et celles qui le contiennent, au nombre de C_n^k₋⁻₁¹.

Ces formules déterminent entièrement le triangle dit de Pascal ⁵ des Cn^k.

Elles restent vraies pour tout couple (n, k) ∈ N², avec la convention très utile Cn^k = 0 si k ∉ [0, n].

Le triangle de Ibn Munc’im (vers 1200) Le triangle de Chuh Shih-Chieh (1303)

2) Horizontales du triangle de Pascal.

Proposition 2 : A n fixé, la suite finie k → C^nk est croissante, puis décroissante, unimodale si n est pair, bimodale si n est impair, et symétrique en ce sens que ∀k ∈ [0, n] Cn^k = Cn^n−k.

Preuve : Il suffit de calculer le quotient Cn^k+1/Cn^k, et de le comparer à 1.

En particulier, max _0≤k≤2n C2^kn = C2ⁿn et max _0≤k≤2n+1 C2^kn+1 = C2ⁿn+1 = 2+¹1 n+

Cn .

5 Ce triangle était connu bien avant Pascal, en Inde (Bhascara, 1150), chez les arabes (Munc’im, 1210), et en Chine (Chu Shih-chieh, 1303), n’est arrivé en Europe qu’au XVIème siècle (Maurolyco, Hérigone…). Pascal l’étudia en grand détail dans son Triangle arithmétique (1654). Ajoutons que plusieurs opuscules scientifiques de Pascal ont été perdus.

Ces formules se résument en une seule : max _0≤k≤n Cn^k = Cn^{[ ]n/2} , où [ ] désigne la partie entière.

La suite 1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, … des valeurs modales est référencée A001505 dans l’OEIS.

La sous-suite (C₂ⁿ_n) = ( 1, 2, 6, 20, 70, … ) est référencée A000984.

Voici représentées quelques-unes des courbes k → C2^kn, une fois centrées, normalisées et rendues affines par morceaux.

> with(plots):

> q:=n->listplot([seq([k,binomial(2*n,n+k)/binomial(2*n,n)],k=-n..n)], thickness=2,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12));

> display({q(4),q(6),q(8),q(10)});

L’étude approfondie de ces « courbes en cloche », une fois centrées et réduites, conduit au théorème de la limite centrale de De Moivre et Laplace, fondamental en calcul des probabilités ⁶.

3) Verticales du triangle de Pascal.

Proposition 3 : A k fixé, la fonction n → C^nk =

! 1

k ^{n ( n−1 ) … ( n−}k+1 ) est polynomiale de degré k, et croissante.

Preuve : Cette fonction est la fonction polynomiale associée au polynôme de Newton N_k(X) =

! 1

k ^{X.(X−1) … (X−k+1).}

Si l’on pose N₀(X) = 1, les polynômes de Newton forment une base de Q[X] (degrés échelonnés).

De plus, ils vérifient N_k(X + 1) − Nk(X) = N_k−1(X).

En effet pour tout entier n ≥ 0, N_k(n + 1) − N_k(n) = C_n^k_{+1 −} Cn^k = Cn^k−1 = N_k−1(n).

L’identité, valable pour une infinité de rationnels, est vraie dans Q[X]. Mais on peut aussi la vérifier directement.

La suite N₁(n) = n des nombres entiers naturels est bizarrement référencée A001477.

La suite N₂(n) = 2

) 1 (n+

n des nombres dits « triangulaires » est référencée A000217.

La suite N₃(n) =

6 ) 2 )(

1 (n+ n+

n des nombres dits « tétraédraux » est référencée A000292.

N₂(n) = N₁(1) + … + N₁(n) , c’est-à-dire 2

) 1 (n+

n = 1 + … + n.

N₃(n) = N₂(1) + … + N₂(n) , c’est-à-dire

6 ) 2 )(

1 (n+ n+

n =

2.2

1 ₊

2.3

2 _{+ … +} 2

) 1 (n+ n . 4) Formules du binôme et du multinôme.

Dans un anneau A, si a et b commutent : ( a + b )ⁿ =

∑

= n

k nk

C

0

a^k b^n−k.

6 On trouvera des précisions sur ce sujet dans mon chapitre « Convergences simple et uniforme », § 2.

Si a₁, ... , a_p commutent, ( a₁+ ... + a_p )ⁿ =

∑

= + + αp n

α₁ ... !... !

!

1 p

n

α

α

^{.a1α1...aαpp.}

5) Sommes et différences :

∑

= n

k 0 kn

C = 2ⁿ ,

∑

= n

k 0

kn k.C

(-1) = 0 si n ≥ 1, 1 si n = 0 . Faire a = b = 1, resp. a = − b = 1 dans le binôme.

Voici une preuve combinatoire : isolons un élément a dans l’ensemble E à n éléments. A toute partie X de E, associons X−{a} si a ∈ X, X ∪ {a} si a ∉ X, autrement dit X ∆ {a}. ∆ étant une loi de groupe sur PPPP(E), on met en bijection les parties de cardinal pair et les parties de cardinal impair.

5) Identité hypergéométrique : C_aⁿ_+b =

∑

⁻

k

k n b akC C . .

Dans cette somme, k varie de max(0, n−b) à min(n, a), ou de 0 à l’infini avec les conventions habituelles sur les binomiaux. Cette importante identité, dite parfois de Vandermonde mais en réalité bien plus ancienne, peut s’établir par deux moyens, l’un combinatoire, l’autre algébrique :

• en dénombrant de deux façons les parties à n éléments d’un ensemble de a + b éléments, selon le nombre d’éléments du type a qu’elles contiennent.

• en identifiant les coefficients de Xⁿ dans les deux membres de : ( 1 + X )^a+b = (1 + X)^a.(1 + X)^b. Corollaire :

∑

= n

k 0 kn)²

(C = C2ⁿn.

6) Sommes partielles alternées :

∑

= p

k 0

kn k.C

(-1) = (−1)^p.Cn^p−1 si 0 ≤ p ≤ n−1 , 0 si p = n ≥ 1.

La formule précédente peut s’établir par récurrence sur p.

Exercice 1 : Montrer cette formule en considérant le terme en Xⁿ dans le polynôme : P(X) = Xⁿ ( 1 − X )ⁿ + Xⁿ⁻¹ ( 1 − X )ⁿ + … + X^n−p ( 1 − X )ⁿ . En revanche, il n’y a pas de formule donnant les sommes partielles

∑

= p

k 0 kn

C . 7) Formules de sommation : Pour 0 ≤ k ≤ n, +1¹

k+

Cn = Ck^k + Ck^k+1 + … + Cn^k.

Cette formule s’écrit N_k+1(n+1) = N_k(k) + N_k(k+1) + … + N_k(n) = N_k(0) + N_k(1) + … + N_k(n).

Elle peut se démontrer :

− combinatoirement, en notant X = {1, 2, …, n+1} et en dénombrant les parties de X à k+1 éléments selon le plus petit élément qui leur appartient,

− algébriquement, en partant de Nk+1(x + 1) − Nk+1(x) = N_k(x), en faisant x = 0, 1, …, n et en additionnant.

Application à la sommation des puissances numériques :

Soit à calculer la somme des puissances a-èmes des n premiers entiers S(a, n) =

∑

= n

k

ka 1

.

En vertu du critère des degrés échelonnés, le monôme X^a est combinaison linéaire des polynômes N₀(X), N₁(X), …, N_a(X). Or ( )

1

k N

n

k

∑

a

=

= N_a+1(n + 1) . Il reste à conclure par linéarité.

Par exemple, calculons S(2, n) : on a X² = 2.X(X − 1)/2 + X = 2.N2(X) + N₁(X), donc : S(2, n) = 2 ( )

1 2 k N

n

k

∑

=

+ ( )

1 1 k N

n

k

∑

=

= 2.N₃(n + 1) + N₂(n + 1) =

6 ) 1 2 )(

1 (n+ n+

n . On trouve :

S(1, n) = 2

) 1 (n+

n S(2, n) =

6 ) 1 2 )(

1 (n+ n+

n

S(3, n) = 4

)² 1

²(n+

n S(4, n) =

30

) 1 3

² 3 )(

1 2 )(

1

(n+ n+ n + n−

n .

Remarques :

1) Les deux premières formules étaient connues des Grecs anciens. Le jeune Carl Friedrich Gauss a surpris son maître en démontrant la première formule à l’âge de neuf ans.

Voici des « preuves sans mots » de ces formules. La première, à gauche, se passe de commentaires.

La seconde (figure de droite) consiste à disposer N = 1 + 2 + … + n = 2

) 1 (n+

n boules de masse unité m_i = 1 aux points d’ordonnées 1, 2, …, n d’un triangle équilatéral.

Le centre de gravité G de ce système de masses, qui est aussi le centre de gravité du triangle équilatéral, a pour ordonnée y =

31

2n+ . En vertu du principe du levier d’Archimède, toutes les forces sont en équilibre quand on concentre la masse au centre de gravité.

∑

^N= −

i i

i y y

m

1

)

( = 0, donc

∑

= N

i i iy m

1

= m y

N

i i).

(

1

∑

= , i.e. 1×1 + 2×2 + … + n×n = N×y = 2

) 1 (n+

n .

31 2n+ _.

2) On constate que S(3, n) = S(1, n)² . Simple hasard.

3) Un moyen mécanique pour exprimer X^a dans la base (N₀(X), N₁(X), …, N_a(X)) est donné par la formule de Newton-Gregory (chap. Polynômes, § 9). Cette méthode se généralise au calcul des

) (

1

k P

n

k

∑

=

, P polynôme.

4) Les nombres et polynômes de Bernoulli donnent une approche plus profonde du sujet.

Exercice 2 : Combien de boulets de canon contiennent les piles ci-dessous ?

Exercice 3 : Démontrer que :

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² et n² – (n − 1)² + … + (−1)ⁿ⁻¹.1² = 2

) 1 (n+ n . Exercice 4 : On considère les matrices :

M₁ = (1) , M₂ =



 3 4

2

1 _{, M}

3 =











 3 4 5

2 1 6

9 8 7

, M₄ =

















13 14 15 16

12 3 4 5

11 2 1 6

10 9 8 7

, etc . Calculer la trace de M_n .

8) Propriétés multiplicatives : ∀k ∈ [1, n] k.Cn^k = n.C_n^k₋⁻₁¹ (*)

Cette formule, et celles qui s’en déduisent par itérations : k.(k − 1).Cn^k = n.(n − 1).C_n^k₋⁻₂² , etc. , permettent de calculer les moments factoriels de la loi binomiale BBBB(n, p) ( p & q ≥ 0, p + q = 1 ) : n^{k k n k}

n

k

q p C

k ⁻

∑

= ^{. . .} 0

= np et n^{k k n k} n

k

q p C k

k ⁻

=

∑

^.( −^{1). . .}

0

= n(n−1)p² , etc.

Ces dernières formules s’obtiennent aussi en dérivant partiellement en p l’identité (p + q)ⁿ = ….

Soit X : (Ω, AAAA_{, P) →} N une variable aléatoire discrète suivant la loi binomiale BBBB_{(n, p) :} P(X = k) = Cn^kp^k q^n−k pour 0 ≤ k ≤ n. Elle a pour espérance et pour variance : E(X) =

∑

= =

n

k

k X P k

0

) (

. = np et V(X) = E(X²) – E(X)² = npq.

Exercice 5 : Soit E un ensemble de n éléments, X = { (a, b) ; a ∈ E , B ⊂ E , card B = k−1 , a ∉ B }.

En dénombrant X de deux façons, montrer (*).

Exercice 6 : Vérifier que Cn^k.Cn^p₋⁻k^k = C .n^p C^kp pour 0 ≤ k ≤ p ≤ n.

9) Propriétés de divisibilité.

Le fait que Cn^k soit un entier se traduit arithmétiquement ainsi : le produit de k entiers naturels consécutifs est toujours divisible par k!. En voici une preuve arithmétique :

Exercice 7 : 1) Soient a₁, a₂, …, a_n n entiers naturels. Pour tout entier h, soit N_h = card{ i ; a_i≥ h }.

Montrer que

∑

= n

i

ai 1

=

∑

^+∞

=1 h

Nh . Interprétation géométrique.

2) En déduire que, pour tout nombre premier p, v_p(n!) =

∑

^+∞

= 



 





1 h

ph

n ( Legendre, 1808 ),

où v_p(m) désigne l’exposant de p dans la factorisation de l’entier m, [x] la partie entière du réel x.

3) Montrer que ∀(x, y) ∈ R² [x + y] = [x] + [y] + 0 ou 1.

4) En déduire que k ! ×××× (n − k) ! divise toujours n !.

5) Par combien de 0 se termine l’écriture décimale de 1000 ! ? 6) Montrer que v_p(n!) =

1 ) (

−− p

n s

n , où s(n) est la somme des chiffres du développement de n en base p.

Exercice 8 (Catalan, 1874) : Soient a et b ∈ N. Montrer que (2a)!(2b)! est divisible par a! (a + b)! b!

Exercice 9 (Teixeira, 1881) : Soit E un ensemble à nq éléments.

Montrer que le nombre de partitions de E en n parties de q éléments chacune est _n q n

qn )

! (

! )!

( .

En déduire que si n et q sont deux naturels, (q!)ⁿ.n ! divise (qn)!

Exercice 10 : Montrer que le produit de k entiers relatifs consécutifs est toujours divisible par k !

10) Propriétés probabilistes.

Exercice 11 : Deux joueurs, Pierre et Jean, jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée, aux instants 1, 2, …, n. Ils parient 1F à chaque partie. Soit S_n le gain cumulé de Pierre à l’instant n.

Quelle est la loi de cette variable aléatoire ? Son espérance et sa variance ?

Exercices divers Exercice 12 : Un peu d’histoire.

Dans son traité, Pascal définit le triangle arithmétique, non comme le tableau des nombres de combinaisons, mais comme un tableau de nombres « figurés », d’origine géométrique.

Chaque ligne est formée des sommes partielles des éléments de la ligne précédente : La 1^ère ligne est formée des unités : 1 1 1 1 1 1 …

La 2^ème ligne des nombres entiers : 1 2 3 4 5 6 … La 3^ème ligne des nombres triangulaires : 1 3 6 10 15 21 … La 4^ème ligne des nombres pyramidaux : 1 4 10 20 35 56 … etc. En résumé, si T(k, n) est le n-ème élément de la k-ème ligne,

(∀n) T(1, n) = 1 ∀k ≥ 1 ∀n T(k, n) = T(k−1, 1) + T(k−1, 2) + ... + T(k−1, n)

Exprimer les T(k, n) en termes de binomiaux. On introduit les lignes d’indices 0, −1, −2, etc. de façon que T(k, 0) = 1 (∀k ∈ Z). Calculer les T(k, n) pour (k, n) ∈ Z×N.

Exercice 13 : Démontrer combinatoirement la formule ( a + b )ⁿ =

∑

= n

k nk

C

0

a^k b^n−k pour a, b, n ∈ N.

Exercice 14 : Calculer les sommes

∑

k nk

C³ ,

∑

⁺

k nk

C^{3 1},

∑

⁺

k nk

C^{3 2}. Exercice 15 : 1) Soit P =

∑

a_k.X^k∈ C[X], ω = exp

m i

π

2 _{. Montrer}

∑

≡(mod )

.

m r k

k kX a =

m

1 ¹ _{.( . )}

0

X f ^t

m

t

rt ω

∑

⁻ω

=

− .

2) En déduire que

∑

≡r(mod m) k

nk

C = m

1 ¹_{2.cos(( 2 ) ).cos( )}

0 m

t m

r t

n ⁿ

m

t

n ₋ π π

∑

⁻

=

. Exercice 16 : Etudier la parité des coefficients binomiaux.

Exercice 17 : Étudier, à n fixé, la convexité de la suite k → C^nk.

Exercice 18 : Etudier la suite (C2ⁿn). Démontrer qu’elle est croissante et convexe.

Exercice 19 : Montrer les identités suivantes, où x est une variable réelle : Si 0 ≤ p ≤ n,

∑

=

−− p

k

k k p

k n

nkC x

C

0

.

. =Cn^p( 1 + x )^p ; si 0 ≤ k ≤ n,

∑

= n

k p

k p p p

n C x

C . . =Cn^kx^k ( 1 + x )^n−k . Exercice 20 : Calculer

∑

= +

n

k

nk

k C

0

1.

1 .

[

Réponse : 1

1 2 ¹

+−

+

n

n

]

Exercice 21 : Transversales du triangle de Pascal. Calculer et reconnaître les nombres T_n =

∑

−

= +j n 1 i

ij

C . Exercice 22 : Montrer pour tout 0 ≤ k ≤ n Cn^k = ²¹

π ∫

₋⁺_π^π(2.cos

^θ

₂^)n.cos((n₂^−k)

^θ

^).d

^θ

^.

Exercice 23 : Soient E un ensemble de n éléments, PPPP(E) l’ensemble de ses parties.

1) Quel est le nombre de couples (X₁, X₂) ∈ PPPP_(E)² tels que X₁ ⊂ X2 ?

2) Quel est le nombre de r-uplets (X₁, …, X_r) ∈ PPPP_(E)^r tels que X₁ ⊂ X2 ⊂ … ⊂ Xr ? Exercice 24 : Soit E un ensemble de cardinal n. Si X est fini, on note |X| son cardinal.

1) Calculer

∑

∈P(E) X

X . 2) En déduire

∑

∈

∪

)² ( ) , (XY PE

Y

X et

∑

∈

∩

)² ( ) , (XY PE

Y X . Exercice 25 : Soit P l’ensemble des parties de [1, n].

Montrer que

∑

∈P A

∑

∈A k

k = n ( n + 1 ) 2ⁿ⁻² ,

∏

∈P

A

∏

∈A k

k = (n!)^{2^(n−1)} . Exercice 26 : Montrer l’identité :

∏

≤ +j n i

ibj

a. )

( = (a.b)^p , où p = C_n³₊₂. Exercice 27 : On rappelle l’équivalent de Stirling : n! ~ n

e n⁾n^{. 2}

π

( .

On pose a_k(m) = 2m.C2^mm^+k

2

1 pour −m ≤ k ≤ m. Equivalents des suites (a0(m))_m et (a_k(m))_m (k fixé) ? Equivalent de la suite M_n = max { C^nk ; 0 ≤ k ≤ n } ?

Exercice 28 : inverses des binomiaux.

Soit S_n =

∑

= n

k nk 0C

1 . Montrer que (S_n) est bornée, convergente ; limite, développement asymptotique ? Exercice 29 : Un entier est dit binomial s’il est de la forme Cn^k, où 2 ≤ k ≤ n−2.

Soit E = { 6, 10, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 4(, 55, 56, … } l’ensemble de ces entiers, (qui est référencé A006987 dans l’OEIS). On note E(n) = E ∩ [0, n].

Démontrer que : card E(n) = 2n + o( n).

[ Indications : Soit E_k = { Cn^k ; n ≥ 2k } ; card E₂(n) ≤ card E(n) ≤ card E₂(n) +

∑

_k≥3 card E_k(n).] Exercice 30 : le théorème « de l’étoile de David ».

Henry W. Gould a conjecturé en 1971 que pgcd(C_n^k₋⁻₁¹, Cn^k+1, C_n^k₊₁) = pgcd(C_n^k₊⁺₁¹, Cn^k−1, C_n^k₋₁).

Ce résultat a été démontré dès l’année suivante.

1) Vérifier cette formule pour n = 7, 8, 9, et toutes les valeurs de k .

2) Vérifier les relations suivantes, trouvées par Hitotumatu et Sato (1975), et conclure :













+ +

−−

nk nk nk

CC C

1 1 11

= 











−

− + − +

−+ − − − − n n k k

n k n k

n n k k

1 1

1 1 1













−

− ++

nk nk nk

CC C

1 1 11

et













−

− ++

nk nk nk

CC C

1 1 11

= 











+

−

−

−

−

−− −+ −−+ 1 1 1

1

1 k n k n

n k k n

k n k n













+ +

−−

nk nk nk

CC C

1 1 11

.

6. Principe d’inclusion-exclusion.

Ce principe, appelé aussi formule du crible ⁷, donne le cardinal d’une union finie d’ensembles finis.

Théorème : Soient A₁, …, A_ndes ensembles finis. Alors : card

U

ⁿ

i

Ai

=1

=

∑

= n

i

cardAi 1

−

∑

<

∩

j i

j

i A

cardA +

∑

<

<

∩

∩

k j i

j k

i A A

cardA ₋ … + (−1)ⁿ⁻¹.card (A₁ ∩ … ∩ A_n)

7 On la nomme parfois formule de Poincaré, ce qui est absurde : elle est due à A. de Moivre (Doctrine of Chances, 1718), et fut popularisée par W. A. Whitworth (Choice and Chance, 1867).

Preuve : Une preuve par récurrence sur n est fondée sur la distributivité de la réunion par rapport à l’intersection : le cas n = 3 montre comment passer de n à n + 1.

Une autre preuve, plus concrète, consiste à raisonner élément par élément. Soit a un élément de ∪A_i. Il est compté une fois et une seule dans la réunion. Soit H = { i ∈ [1, n] ; a ∈ A_i }, h = card H ; a est compté h − Ch² + Ch³ − Ch⁴ + … = 1 − ( 1 − 1 )^h = 1 fois dans le second membre.

Exercice 1 : Démontrer que card

U

ⁿ

i

Ai

=1

est compris entre deux sommes partielles consécutives de la formule du crible :

∑

= n

i

Ai

card

1

)

( ₋

∑

<

∩

j i

j

i A

A

card( ) _≤ card

U

ⁿ

i

Ai

=1 ≤

∑

= n

i

Ai

card

1

) ( , etc.

Application 1 : dénombrement de surjections.

Proposition : Soit SSSS(X, Y) l’ensemble des surjections de X → Y (ensembles finis).

Si card X < card Y, SSSS_{(X, Y) = ∅} ; si card X = n ≥ card Y = k, alors :

card SSSS(X, Y) = kⁿ − C¹k.( k − 1 )ⁿ + Ck².( k − 2 )ⁿ − Ck³.( k − 3 )ⁿ − … + (−1)^k.Ck^k.( k − k )ⁿ Autrement dit : card SSSS_{(X, Y) =}

∑

= − −

k

h

n kh

hC k h

0

) .(

) 1

( .

Preuve : Indexons Y = { y₁, … , y_k }. Tout repose sur l’égalité : FFFF(X, Y) −SSSS(X, Y) =

U

^k

i

Ai

=1

, où A_i = { f ∈FFFF_{(X, Y) ; (∀x ∈ X) f(x) ≠ yi }.}

A_i s’identifie naturellement à FFFF_{(X, Y−{yi}) , Ai ∩ Aj à} FFFF_{(X, Y−{yi, yj}), etc.}

La formule du crible conclut.

Corollaire : Pour tout entier n ≥ 1 :

n! = nⁿ− Cn¹.( n − 1 )ⁿ + Cn².( n − 2 )ⁿ− Cn³.( n − 3 )ⁿ− … + (−1)ⁿ.Cnⁿ.( n − n )ⁿ Preuve : Dénombrons de deux façons les permutations de { 1, 2, …, n }.

D’une part, ce sont les injections de { 1, 2, …, n } dans lui-même : il y en a n !.

D’autre part, ce sont les surjections de { 1, 2, …, n } dans lui-même : la prop. précédente conclut.

Remarque : cette formule s’écrit aussi _n

nn! = 1 − C (¹n. 1 −

n1 )ⁿ + C (n². 1 −

n2 )ⁿ− C (n³. 1 − n3₎ⁿ_{− … + (−1)}ⁿ_. n_.

C (n 1 − nn₎ⁿ

≈ 1 − C¹n.e⁻¹ + Cn².e⁻²− Cn³.e⁻³− … + (−1)ⁿ.Cnⁿ.e⁻ⁿ ≈ ( 1 − e⁻¹ )ⁿ

Le ≈ ayant un sens très vague ; cela nous rapproche un peu de la formule de Stirling.

Définition : nombres de Stirling⁸. On nomme ainsi les S(n, k), où S(n, k) est le nombre de partitions d’un ensemble de n éléments en k sous-ensembles.

On a : S(n, k)=

! 1

k ^card SSSS([n], [k]) =

! 1

k

[

kⁿ− C¹_k.( k − 1 )ⁿ + C_k².( k − 2 )ⁿ− C_k³.( k − 3 )ⁿ− … + (−1)^k C_k^k.( k − k )ⁿ

]

On entend ici par partition un ensemble { A₁, …, A_k } de k ensembles non vides disjoints de réunion X, et non un k-uplet ; d’où la nécessité de diviser par k!.

On convient de poser S(0, 0) = 1 , S(0, k) = 0 pour k ≥ 1.

8 de seconde espèce ; voir L. Comtet. Les nombres de Stirling de 1^ère espèce dénombrent les permutations ayant un nombre d’orbites donné.