La résolution des additions simples chez les enfants de 10 ans

Master

Reference

La résolution des additions simples chez les enfants de 10 ans

BAECHLER, Sophie

Abstract

Depuis bientôt 40 ans, il est admis que, pour résoudre des additions simples, les enfants de 10 ans récupèrent majoritairement les résultats en mémoire à long terme. Toutefois, des recherches récentes, menées auprès d'adultes, démontrent que pour résoudre des additions aussi simples que 4+2, ces derniers auraient recours à des procédures de comptage très rapides et inconscientes. Ces résultats nous amènent à nous questionner sur la récupération mnésique des faits arithmétiques dans la jeune population. Trente-sept élèves de 10 ans ont ainsi été testés à travers une tâche informatisée d'additions simples et une tâche de mémoire...

BAECHLER, Sophie. La résolution des additions simples chez les enfants de 10 ans. Master : Univ. Genève, 2015

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Mémoire de Maîtrise Universitaire en Logopédie

La résolution des additions simples chez les enfants de 10 ans

PAR

Sophie BAECHLER

Sous la direction de : Dr. Catherine THEVENOT

Jury : Dr. Julie FRANCK et Prof. Dirk KERZEL

Genève, juillet 2015

UNIVERSITE DE GENEVE

FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L’EDUCATION SECTION PSYCHOLOGIE

Remerciements

En préambule de ce mémoire, qui met un point d’orgue à ma formation universitaire en logopédie, je souhaite adresser mes remerciements les plus sincères aux personnes qui m’ont apporté leur aide et qui ont contribué à son élaboration.

Je tiens à remercier,

Le Dr. Catherine Thevenot pour s’être montrée à l’écoute et très disponible tout au long de la réalisation de ce mémoire. Merci pour ses conseils, son aide mais surtout pour les moments de partage de connaissances et son enthousiasme dans ce domaine de recherche.

Tout cela m’a aidé à donner de la pertinence à mon travail et de maintenir ma motivation tout au long de ces 2 ans de recherche.

Le Dr. Caroline Castel pour sa bonne humeur et sa dynamique qui nous ont bien encouragé lorsqu’il s’agissait d’effectuer des analyses statistiques. Merci également d’avoir pris soin de tous les aspects informatiques et techniques.

Le Dr. Julie Franck et le Dr. Dirk Kerzel pour avoir accepté de faire partie du jury.

Le Dr. Sandrine Masson et son esprit de persuasion qui nous a été bien utile pour motiver les directeurs d’établissements scolaires.

Les directeurs, les enseignants et leurs élèves qui ont accepté de nous donner de leur temps lors d’une période où effectuer des tâches d’additions n’était pas des plus amusant.

Sans eux notre recherche n’aurait pas pu être menée.

Madame Dominique Jacot-Descombes pour m’avoir fait découvrir et donné l’intérêt pour la rééducation logico-mathématique.

Ma binôme, Laura Salathé, qui a fait preuve de grande patience pour m’expliquer les notions que je peinais à comprendre, qui travaille plus vite que son ombre et qui maîtrise mieux que personne les animations powerpoint.

Tamara Ott pour ses conseils et ses critiques constructives.

Ma maman pour sa relecture attentive, même dans l’urgence.

Mes parents, ma famille et mes amis pour m’avoir encouragée tout au long de ma formation universitaire.

1. Résumé

Depuis bientôt 40 ans, il est admis que, pour résoudre des additions simples, les enfants de 10 ans récupèrent majoritairement les résultats en mémoire à long terme. Toutefois, des recherches récentes, menées auprès d’adultes, démontrent que pour résoudre des additions aussi simples que 4+2, ces derniers auraient recours à des procédures de comptage très rapides et inconscientes. Ces résultats nous amènent à nous questionner sur la récupération mnésique des faits arithmétiques dans la jeune population. Trente-sept élèves de 10 ans ont ainsi été testés à travers une tâche informatisée d’additions simples et une tâche de mémoire.

Les résultats montrent qu’à 10 ans, les enfants semblent continuer à compter plutôt qu’à récupérer lorsqu’il s’agit de résoudre des additions non-doubles impliquant des opérandes entre 1 et 4. Ces observations sont retrouvées, quelles que soient les capacités de mémoire de travail des sujets. Il semblerait que le développement des capacités arithmétiques ne s’effectuerait pas en terme de changement de stratégie, mais en terme d’accélération et d’automatisation d’une même procédure de comptage. Les résultats sont discutés en lien avec la théorie sur la dyscalculie.

2. Table des matières

1. Résumé ... 3

2. Table des matières ... 4

2.1 Liste des abréviations ... 5

3. Introduction ... 6

3.1 La dyscalculie développementale ... 7

3.2 Les capacités arithmétiques précoces ... 10

3.3 Le développement des stratégies de comptage de l’enfance à l’âge adulte ... 11

3.4 Conceptions plus mitigées du développement des stratégies de comptage ... 16

3.5 Nouvelle conception de l’évolution des stratégies de comptage ... 18

4. De la théorie à notre recherche ... 25

4.1 Objectifs de la recherche ... 25

4.2 Hypothèses opérationnelles ... 26

5. Méthodologie ... 28

5.1 Participants ... 29

5.2 Matériel et procédure ... 29

5.3 Variables ... 31

6. Résultats ... 32

6.1 Lecture de chiffres ... 32

6.2 Résolution d’additions ... 32

6.2.1 Pourcentages de réponses correctes ... 32

6.2.2 Temps de résolution ... 33

6.2.2.1 Analyse de l’ensemble du groupe ... 33

6.2.2.2 Analyse selon les scores de mémoire de travail ... 37

7. Discussion ... 44

7.1 Interprétation des résultats pour l’ensemble des enfants de 10 ans ... 44

7.2 Interprétation des résultats en fonction des capacités de MdT ... 49

7.3 Notre vision du développement des habiletés arithmétiques ... 53

7.4 Conséquences de nos résultats dans le domaine de la dyscalculie développementale : quelques pistes de rééducation ... 55

7.5 Limites et perspective pour de prochains travaux ... 58

8. Conclusion ... 60 9. Bibliographie ... 62 10. Annexes ... 66

Annexe I : Tableau récapitulatif des âges, des scores de MdT, de la catégorie de MdT, du nombre d’erreurs et des TRs de chacune des additions pour chaque sujet. ... 66 Annexe II : Tableau des variabilités des moyennes des TRs (et écarts-types) en

fonction des types d’opérations. ... 67 Annexe III : Exemple du protocole de passation randomisé pour la tâche

d’additions simples ... 68 Annexe IV : Exemple du protocole de passation pour la tâche de mémoire des

chiffres en ordre direct (EMCD) et indirect (EMCI) ... 69 Annexe V : Tableau des opérations possibles pour une somme. ... 69

2.1 Liste des abréviations

MdT Mémoire de travail

MLT Mémoire à long terme

ms Millisecondes

TR(s) Temps de résolution(s)

3. Introduction

Résoudre des calculs tels que les additions, les soustractions, les multiplications et les divisions est une habileté maîtrisée par la majorité des adultes. La plupart des gens ont acquis, durant leur enfance, des connaissances leur permettant de résoudre des calculs simples et parfois plus complexes. Ces savoirs se sont développés grâce à l’apprentissage de procédures de comptage, de savoirs généraux ou des connaissances spécifiques.

Depuis les années 70 jusqu’à aujourd’hui le but des recherches dans le domaine arithmétique a été de comprendre les mécanismes mis en jeu lors de résolutions de calculs et plus spécifiquement lors de résolutions d’additions simples. En effet, bien que les enfants montrent dès leur plus jeune âge des capacités à réunir des éléments et résoudre des opérations, il leur faudra de nombreuses années d’expertise avant d’être réellement efficace.

La théorie dominante établie depuis une quarantaine d’années grâce, notamment, aux travaux de Groen et Parkman (1972), Ashcraft et Battaglia (1978) et Ashcraft et Fierman (1982), atteste d’un développement progressif des compétences allant de l’enfance à l’âge adulte. Ce développement serait rythmé par l’utilisation de diverses stratégies de comptage durant l’enfance jusqu’à l’âge de 10 ans, pour finalement aboutir à une récupération en mémoire des résultats des additions à l’âge adulte.

Au vu de ces anciennes découvertes sur le développement normal, la question s’est ensuite posée de savoir quelles stratégies étaient mises en place lorsque le développement ne se faisait pas comme attendu. Les travaux sur la dyscalculie menés, entre autres, par Geary dès les années 90, ont montré que la cause des difficultés des enfants dyscalculiques résidait dans des difficultés de comptage et de mise en mémoire.

Cependant, des études récentes dans le domaine arithmétique ont montré que les adultes pourraient ne pas récupérer les résultats des additions, même des additions les plus simples (Fayol & Thevenot, 2012 ; Barrouillet & Thevenot, 2013). Cette observation remet donc en question le passage au cours du développement d’une stratégie de comptage dans l’enfance à une récupération à l’âge adulte.

Le but de la présente étude est de déterminer les stratégies réellement mises en place par les enfants de 10 ans, âge auquel un changement de stratégie avait été observé, puisque sur l’observation des sujets adultes, aucun changement n’aurait réellement lieu. Nous tenterons ainsi, dans un premier temps, de déterminer si les enfants de 10 ans récupèrent ou non les résultats des additions simples. Dans un deuxième temps, nous discuterons de l’impact que pourraient avoir nos résultats sur la compréhension de la dyscalculie.

3.1 La dyscalculie développementale

Alors que de nombreuses recherches ont déjà été menées dans le domaine des troubles des apprentissages au sujet de la dyslexie et de la dysorthographie, la dyscalculie a encore été peu étudiée jusqu’à présent et demeure peu connue. Sous l’appellation dyscalculie, se cache pourtant des difficultés également en lien étroit avec le langage. En effet, les nombres s’écrivent, se lisent, s’entendent et se prononcent tout comme n’importe quels mots de la langue (Seron & Pesenti, 2000). À l’heure actuelle, il n’existe pas de critères diagnostiques communément admis pour ce trouble, et le terme dyscalculie n’est pas employé de manière universelle pour décrire les déficits portants sur le nombre (INSERM, 2007). Toutefois, la définition du Manuel Diagnostique et Statistique des Troubles Mentaux (DSM) est la plus souvent citée. Selon le DSM-IV, le trouble du calcul se caractérise par une faiblesse des aptitudes en mathématiques qui sont nettement au-dessous du niveau escompté, compte tenu de l’âge chronologique du sujet, de son niveau intellectuel, et d’un enseignement approprié à son âge. La perturbation interfère de manière significative avec la réussite scolaire ou les activités de la vie courante faisant appel aux aptitudes mathématiques. Selon le DSM-5 la dyscalculie est un trouble spécifique des apprentissages avec des difficultés en mathématiques. Ce trouble se manifeste par des difficultés avec le sens du nombre, à traiter des informations numériques, à apprendre les faits arithmétiques et à résoudre de manière adéquate ou fluide des calculs. Malgré des avis divergents dans la littérature, la prévalence de ce trouble s’élèverait entre 3,6 à 7% (Badian, 1999). Environ 6 à 8% de cette prévalence serait associée à la dyslexie (INSERM, 2007). Définir le nombre de personnes touchées par ce trouble est toutefois difficile à établir étant donné que la définition de la dyscalculie n’est pas unique.

Les difficultés des enfants dyscalculiques sont multiples. Selon le rapport de l’INSERM (2007), elles s’observeraient déjà de manière précoce au niveau des connaissances mathématiques informelles qui se développent avant la scolarisation. Ces connaissances informelles concernent le dénombrement, l’estimation de quantités ainsi que les stratégies de résolution d’additions et de soustractions simples. Les aspects conceptuels des activités de calcul et de comptage, les aspects procéduraux, ainsi que les capacités de mémorisation seraient ainsi touchés.

Un chercheur ayant mené de nombreuses recherches dans le domaine de la dyscalculie et, tenté de cerner les difficultés spécifiques de cette population, est Geary. Dans une étude menée en 1990, il a cherché à observer la manière dont des enfants de 7 ans, avec et sans difficulté arithmétique, procédaient lors de résolutions d’additions simples. Il remarque alors que tous utilisent des stratégies de résolution identiques, qu’ils soient dyscalculiques ou non.

Plus précisément, Geary observe que dans les 2 premières années d’apprentissage des mathématiques, lorsque nous proposons à des enfants avec et sans difficulté des tâches de résolution d’additions simples ou de problèmes verbaux simples, tous s’aident majoritairement de leurs doigts pour compter. La première différence qu’il observe, est que les enfants dyscalculiques, contrairement aux enfants tout-venant du même âge, ont davantage tendance à utiliser des stratégies de comptage dites immatures telles que nous les décrirons plus précisément dans la partie suivante. Ces stratégies immatures sont non seulement employées plus fréquemment, mais en plus de manière moins fiable et plus longtemps au cours du développement. La deuxième différence que Geary observe entre les deux groupes est que les enfants sans difficulté manifestent un glissement allant d’une forte utilisation des doigts lors de la première année d’apprentissage, à un comptage toujours plus basé sur le verbal en deuxième année. Ce qui distingue les enfants avec des difficultés de leurs pairs est notamment qu’ils ne manifestent pas ce glissement et s’aident de manière plus prolongée de leurs doigts, et ce, parfois même jusqu’à l’âge de 10 ans (Geary, 2005; Geary &

Brown, 1991). Aussi, lorsque ces enfants comptent avec leurs stratégies immatures et principalement digitales, ils commettent plus d’erreurs et sont plus lents. Ainsi, les méthodes qu’ils utilisent ne sont, non seulement pas les plus performantes, mais en plus ils les utiliseraient moins bien. La troisième différence que Geary constate est que le nombre de stratégies utilisées par les dyscalculiques est limité et n’évolue pas d’une stratégie de comptage à une stratégie de récupération en mémoire des résultats additifs avec l’âge. Il observe que les enfants de 10 ans sans trouble récupèrent de manière toujours plus fréquente

les différents faits en mémoire à long terme (MLT) et se détachent toujours plus de la stratégie de comptage, alors que les enfants avec troubles résolvent les additions simples comme les additions complexes avec une stratégie de comptage primitive persistante.

Cependant, comme nous l’avons mentionné dans l’Introduction et que nous reprendrons plus en détail dans la partie concernant La nouvelle conception de l’évolution des stratégies de comptage de l’enfance à l’âge adulte, le passage d’une stratégie à l’autre est actuellement remise en question. Il est ainsi probable que les éléments observés par Geary, notamment ceux concernant l’évolution des stratégies de calcul, aient été interprétés a postériori sur un fond théorique qui, aujourd’hui, se discute. Ces éléments seront repris dans la partie Discussion.

Un élément supplémentaire qui reste encore peu connu au sujet de la dyscalculie concerne la cause de ce trouble. Dans son rapport, l’INSERM (2007) mentionne qu’il est possible que la dyscalculie soit la manifestation secondaire d’un déficit cognitif plus général ou plus élémentaire. Plusieurs auteurs considèrent d’ailleurs la dyscalculie comme un trouble secondaire causé par un déficit mémoriel lié à de faibles ressources en mémoire de travail (MdT) (INSERM, 2007). À son sujet, la littérature mathématique mentionne que l’évolution de la MdT conduit à l’utilisation de stratégies arithmétiques de plus en plus matures (Kreutzer, Leonard & Flavell, 1975 ; Cowan, Saults & Elliott, 2002).

Cette mémoire permet également l’accroissement de la vitesse de traitement jusqu’à une mise en MLT. Ainsi, il se pourrait que la cause des mauvaises performances dans le comptage digital, ainsi que la source du problème de passage entre une stratégie immature vers une stratégie mature s’explique par des capacités limitées de MdT. À plus forte raison, une MdT déficitaire serait à l’origine de résolutions de calculs erronées ce qui empêcherait en cascade l’encodage et les associations en des opérandes et de leurs résultats (Geary, 2004). Dans son étude de 2004 portant sur une tâche d’empan de comptage (tâche qui consiste à mesurer la quantité d’information numérique qui peut être manipulée en MdT) et de résolution d’additions simples, Geary a justement observé que les performances d’enfants dyscalculiques de 3 degrés scolaires différents, par rapport à des enfants contrôles de mêmes niveaux, différaient. En effet, ses résultats ont révélé que l’empan mnésique de tous les enfants augmentait en fonction de leur niveau scolaire, mais que celui des enfants dyscalculiques correspondait à celui des enfants tout-venant d’environ un degré scolaire en moins à chaque fois. De plus, l’auteur a remarqué que ce retard d’empan de un an corrélait

avec l’utilisation du comptage digital plus fréquent par rapport au verbal et avec le nombre d’erreurs.

Afin de mieux comprendre la lignée dans laquelle s’inscrit la théorie sur la dyscalculie, je commencerai par présenter, dans ce qui suit, comment s’effectue le développement des connaissances arithmétiques chez les enfants tout-venant, selon un modèle classique.

Préalablement à cette partie, je présenterai comment les capacités arithmétiques se développent avant l’apprentissage formel. Finalement, je présenterai la vision la plus actuelle de l’évolution des habiletés mathématiques qui remettent en cause nos connaissances actuelles concernant les troubles mathématiques.

3.2 Les capacités arithmétiques précoces

Les connaissances actuelles sur la dyscalculie présentées dans la partie précédente reposent sur les résultats de recherches beaucoup plus anciennes. C’est sur la base de travaux préalablement menés sur le thème de la résolution des additions qu’est née l’envie de connaître pourquoi certains enfants ne se développaient pas de la même manière que la majorité des autres élèves. Ainsi, les connaissances théoriques que nous possédons actuellement sur ce trouble proviennent des connaissances des années 70-80 au sujet du développement normal des connaissances arithmétiques.

Avant d’explorer la manière dont les enfants développent leurs capacités arithmétiques, explorons premièrement la manière dont ils se comportent face à la notion de nombre dès leur plus jeune âge. Un des premiers grands chercheurs à s’être intéressé au développement des compétences numériques des enfants est Jean Piaget. D’après lui, il était impossible que les capacités numériques et plus particulièrement la notion de nombre soient de nature innée. Par de nombreuses manipulations, Piaget est parvenu, à démontrer que le nombre s’acquiert uniquement par apprentissage. Selon lui, la réelle compréhension du nombre est tardive, bien que précédée de nombreuses intuitions perceptives préalables (Piaget & Szeminska, 1964).

Cependant, des recherches plus récentes sur les capacités arithmétiques infantiles ont permis de donner des informations divergentes quant à la question de l’inné et de l’acquis. Selon Wynn (1995) la capacité à résoudre des additions et même des soustractions simples s’acquiert de manière spontanée dans l’enfance sans apprentissage formel nécessaire. Ses travaux montrent en effet que les bébés de 5 mois sont sensibles aux résultats d’additions et

soustractions simples lorsque ces derniers sont testés selon un paradigme de violation des attentes. Les bébés sont ainsi capables de repérer des changements précis effectués sur des petites collections. Baroody et Ginsburg (1986) remarquent également qu’avant même la scolarisation et l’apprentissage des processus de comptage, l’enfant est déjà capable de résoudre de manière spontanée des additions simples. Ils comprennent aisément que si nous avons un élément et que nous en prenons un autre nous en avons deux et ainsi de suite. Avec l’expérience, l’enfant intègre seul que les mêmes problèmes peuvent être résolus sans la présence des objets concrets. Ils peuvent ainsi faire des calculs simples mentalement. Les travaux de Starkey (1992, cité par Seron & Pesenti, 2000) suggèrent que les enfants de 2 ans sont capables de se représenter des mouvements d’ajouts et de retraits jusqu’à 3. Ces capacités précoces sur les additions et les soustractions sont toutefois absentes dans le cas de la multiplication et de la division qui nécessitent tous deux, obligatoirement un apprentissage.

En effet, ceci s’explique par le fait que ces deux derniers types de calculs sont moins présents dans les transformations rencontrées quotidiennement dans la vie de tous les jours.

Fuson (1982) précise que dès 3 ans, les enfants peuvent effectuer des additions simples sur base verbale quand on leur demande de réunir 2 et 3 éléments. Toutes ces expériences nous montrent que déjà, avant l’apprentissage scolaire de l’addition, les enfants auraient une capacité précoce à réunir des petites collections sur la base de leurs connaissances de dénombrement. Cependant, pour d’autres chercheurs, la capacité précoce à résoudre des calculs de manière préverbale est à distinguer des réelles capacités arithmétiques. En effet, les connaissances précoces sont limitées puisque les très jeunes enfants ne peuvent traiter les quantités au-delà de 3 éléments. De plus, elles ne relèvent pas d’une habileté reposant sur le langage, mais sur l’imagerie (Starkey, 1992, cité par Seron & Pesenti, 2000). Il faudra alors attendre l’âge de la scolarité élémentaire et un apprentissage formel tel que par la mémorisation de tables d’additions, par exemple, pour voir apparaître chez les enfants de réelles connaissances arithmétiques (Thorndike, 1922, cité par Groen & Parkman, 1972).

3.3 Le développement des stratégies de comptage de l’enfance à l’âge adulte

À leur tour, Groen et Parkman (1972) remarquent que les capacités de résolution d’additions simples des enfants ne sont pas innées. Ils soulèvent qu’au cours du développement de l’acquisition arithmétique, les enfants passent par différentes étapes procédurales. À chaque étape, les procédures et les stratégies mobilisées pour résoudre les

additions diffèrent. On peut, d’une part, observer une évolution dans l’utilisation des supports sur lesquels les enfants se basent pour s’aider à compter : utilisation d’objets, compter sur les doigts, compter verbalement, décomposer puis récupérer en mémoire (Siegler, 1987 ; Fuson, 1982). D’autre part, une évolution dans la stratégie de comptage elle-même peut également être constatée. Groen et Parkman (1972) proposent de mieux comprendre la manière dont les enfants procèdent pour résoudre des additions en se référant au principe du compteur. Selon eux, c’est grâce à un compteur interne que les enfants sont capables de résoudre des additions. En effet, ce compteur permet à l’enfant d’incrémenter un par un la valeur du deuxième opérande à partir du premier préalablement fixé sur le compteur afin d’arriver à la somme correcte. D’après les auteurs, à l’aide de ce compteur, 5 procédures différentes sont utilisées par les enfants lorsqu’on présente une addition dont la somme ne dépasse pas 9. Ces procédures passent par différentes étapes de maturation et tendent vers la stratégie la plus économique en termes de temps et la moins coûteuse en termes de ressources cognitives. Dans leur modèle classique, on retiendra surtout la première stratégie de compter tout communément utilisée par les enfants en début d’apprentissage. Cette stratégie consiste à se représenter sur le compteur ou sur ses doigts les 2 collections de manière séparée (à partir de 0). De cette manière, l’enfant comptera la première collection puis la deuxième en recommençant à 1 et finalement recomptera le tout de manière rassemblée. La seconde stratégie appelée comptage à partir du premier est acquise par la suite, lorsque l’enfant prend conscience que la première est peu efficace. Il comprend qu’il est inutile de compter la première collection puis la deuxième pour finalement recompter le tout. Il ajuste alors sa stratégie en la rendant plus économique en comptant la première collection en premier sur ses doigts et en continuant directement dans la chaîne verbale avec la deuxième représentée sur ses autres doigts. Au début de l’utilisation de la stratégie de comptage à partir du premier, l’enfant procède à une incrémentation dite maximum, car celui-ci a tendance à partir du plus petit opérande pour incrémenter ensuite le plus grand (2+3 sera résolu en partant de 2 et en ajoutant 3x1 soit 3, 4, 5). Par la suite, cette seconde stratégie est à son tour abandonnée et laisse place à la troisième stratégie du comptage minimum. Cette troisième stratégie consiste à se représenter sur le compteur ou sur ses doigts le plus grand des 2 opérandes, puis incrémenter le nombre de « pas » équivalant au plus petit des 2 opérandes.

Enfin, grâce au développement du comptage verbal, l’enfant passe du comptage minimum digital au comptage minimum verbal qui lui permet de compter sans utiliser ses doigts. Cette dernière stratégie va progressivement céder à la mise en place des techniques de décomposition en base 10.

À la suite des études menées par Groen et Parkman (1972), toutes les recherches dans le domaine de l’arithmétique ont confirmé le caractère évolutif de l’utilisation des stratégies de comptage au cours du développement des sujets. Il a été montré que, alors que les enfants de 4-5 ans calculent en appliquant la stratégie de compter tout (Siegler & Shrager,1984), à 6—7 ans c’est la stratégie du comptage minimum qui prédomine (Groen & Parkman, 1972).

La prédominance d’une stratégie par rapport à une autre a été définie par l’observation des temps de résolutions (TRs) à chaque âge. Il en ressort que dans les premières années d’apprentissage de l’arithmétique, le meilleur prédicteur des TRs, soit l’élément dans l’addition qui explique le mieux les TRs, est le résultat de l’opération. C’est donc l’incrémentation maximale, qui implique de recompter chaque terme, comme c’est le cas dans la stratégie compter-tout qui explique le mieux les TRs. Par la suite c’est la taille du plus petit des 2 opérandes, soit l’utilisation de la stratégie de comptage minimum qui prévaut. En d’autres termes, pour juger de la véracité d’une addition simple, un enfant de 6-7 ans mettra un temps proportionnel à la magnitude du plus petit des 2 opérandes. Ainsi, si on l’illustre avec le principe du compteur précédemment présenté, un enfant sera plus rapide pour résoudre 4+1 que 4+3. En effet, le sujet se fait une représentation directe du premier opérande sur son compteur, ce qui prendra le même temps dans le cas de ces deux additions. Le temps pour ajouter 1 sera cependant plus rapide que 3 puisque ce premier est plus petit. Les auteurs ont, de plus, prouvé que le temps pour ajouter 1 donne une différence constante de 400 millisecondes (ms). Ainsi, l’enfant mettra 400 ms de plus pour résoudre 4+2 que 4+1, de même qu’il mettra autant de temps pour résoudre 7+2 que 4+2, puisque, comme nous l’avons dit, le temps pour récupérer le premier opérande est constant. À partir de cette observation, les auteurs concluent que, puisque le TR augmente de manière constante en fonction de la taille du plus petit opérande, alors une droite de régression linéaire devrait en découler et attester de l’évolution du TR toujours croissant. Ceci est appelé l’effet de taille. Plus tard dans le développement, à 9 ans, une grande variabilité dans l’utilisation des stratégies a été observée par les chercheurs, ce qui relève, selon eux, d’une étape transitoire (Ashcraft & Fierman, 1982). À 10-12 ans les enfants montrent en revanche une stratégie beaucoup plus rapide que celle utilisée par les plus jeunes (Groen & Parkman, 1972 ; Ashcraft & Fierman, 1982). Cette dernière stratégie utilisée par les enfants plus âgés est à mettre en lien avec ce qui avait été trouvé auprès de la population adulte dans les recherches menées par Groen et Parkman (1972).

Groen et Parkman, pionniers des recherches dans le domaine de l’arithmétique, avaient essayé de voir si les mêmes processus de résolution d’additions simples étaient en jeu chez les sujets adultes ou si, comme c’était déjà le cas vers 6 ans, un autre changement s’opérait.

Pour ce faire, ils ont soumis aux adultes les mêmes tâches de vérification d’additions simples que celles présentées précédemment aux enfants. Les résultats ont fait ressortir que les TRs n’était cette fois pas de 400 ms à chaque fois qu’on incrémentait de 1 mais que ceux-ci n’étaient plus que de 20 ms. Les TRs étaient tellement petits qu’il était alors difficile d’imaginer qu’une stratégie de comptage soit réellement encore en jeu à l’âge adulte. C’est à la suite à ce constat, qu’ils ont formulé que 2 mécanismes de résolution des additions étaient en jeu au cours du développement. Le premier, qu’ils ont nommé « mécanisme reconstructif » relève d’un processus de comptage par mobilisation d’une procédure de calcul pour retrouver la somme de l’addition. Le second, qui consiste en une procédure de récupération de la somme en MLT, est appelé « mécanisme reproductif ». De même, dans leur étude menée auprès d’enfants âgés de 9 à 11 ans, Ashcraft et Fierman (1982) observent que tous les enfants ont de bons scores dans des tâches de vérifications d’opérations, mais qu’ils divergent en terme de TRs. Les enfants de niveaux scolaires bas (9 ans) sont moins rapides et moins efficients que les enfants de niveau scolaire plus élevé (11 ans). Ils remarquent que l’effet de taille des opérandes sur les TRs avant 10 ans est important.

Cependant, à 10 et 11 ans, les enfants sont plus rapides avec un effet de taille peu présent. Cet effet de taille sera par ailleurs encore moins présent à 12 ans. Ainsi, cette observation a permis aux auteurs de confirmer qu’un véritable changement de stratégie s’opérait à partir de l’âge de 10 ans. Ce changement en terme de TRs était pour eux la preuve que, dès cet âge charnière jusqu’à l’âge adulte, les sujets récupéraient les faits en MLT. Ils l’expliquent en disant que seule une récupération rapide en mémoire peut expliquer la taille d’effet minime ainsi que la fonction linéaire suivie par les TRs quasi inexistante.

Six ans plus tard, Ashcraft et Battaglia (1978) en sont arrivés aux mêmes conclusions que Groen et Parkman (1972) concernant les mécanismes de calculs employés par les adultes ainsi que leurs différences en terme de TRs. L’aspect nouveau de leur recherche est qu’ils se sont en plus intéressés à la manière dont devait s’illustrer cette récupération mnésique des faits. Les auteurs ont fait passer à des adultes une tâche de vérification d’additions dont les résultats pouvaient, cette fois, être plus ou moins raisonnables (e.g., 3 est un résultat plus plausible pour 1+2 que 7). Leurs prédictions étaient que les sujets seraient plus rapides (les TRs seraient plus courts) pour invalider une réponse très éloignée de la solution par rapport à

une réponse ne différant que de +/- 2 de la solution. Leurs résultats ont montré que le meilleur prédicteur des TRs des additions raisonnables n’était plus la taille du plus petit opérande donné par la stratégie d’ajout minimum, mais la somme au carré des opérandes ((m+n)²). L’apparition de ce nouveau prédicteur et les très petits TRs étaient, selon eux, le reflet d’une récupération en mémoire. Les auteurs ont alors imaginé ce modèle de récupération sous forme d’une table mentale d’additions. Ainsi, le temps de recherche des résultats augmenterait de façon exponentielle en fonction de la longueur de la diagonale à parcourir dans cette table pour retrouver le « nœud » correspondant à la case reliant 2 opérandes, d’où la notion de carré de la somme des opérandes. La différence de temps entre chaque somme s’accroît ainsi toujours proportionnellement. Cependant, cet accroissement proportionnel n’est pas de 1 à chaque fois, car pour rendre compte d’une courbe exponentielle, Ashcraft concluait que les colonnes du tableau s’espaçaient à mesure de la progression. Ainsi, les TRs varient en fonction du carré de la somme correcte sous réserve que la table s’élargisse en direction des grands opérandes. De telle sorte, nous mettons très peu de temps pour les toutes petites sommes et énormément plus pour les grandes. Les TRs des adultes, mais aussi des enfants dès 10 ans, reflètent le modèle de récupération d’informations stockées avec des temps qui augmentent en fonction de la magnitude du problème. L’effet de taille est ainsi conservé.

Pour comprendre comment les individus intègrent en MLT les faits arithmétiques, Ashcraft (1992) explique qu’en cours d’apprentissage, l’enfant associe le calcul avec son résultat. Cette conception suit l’idée de Logan (1988) qui affirme que c’est à force de se retrouver confronté aux mêmes résultats lors du calcul répété de la même opération que les associations se renforcent en mémoire. D’après cet auteur, et sa « Théorie des cas », c’est l’apprentissage fondé sur l’accumulation de confrontations à de mêmes cas, autrement dit, la présentation répétée d’un même calcul et d’un résultat stable, qui conduit à un stockage en MLT. La MLT à une forme de réseaux de faits arithmétiques de la solution du calcul, qui permettrait une récupération directe de la solution. Ce principe de renforcement d’associations a, de plus, l’avantage d’expliquer pourquoi les enfants, et parfois même les adultes, font des erreurs redondantes de calcul. La répétition systématique d’erreur sur un même calcul viendrait du fait que les sujets ont associé un calcul avec une fausse réponse.

Ashcraft et Battaglia (1978) ont proposé d’imaginer que les informations arithmétiques étaient probablement stockées en mémoire sous une forme identique aux informations sémantiques. A posteriori, il a été proposé que les représentations des additions

s’apparentaient à un tableau à doubles entrées avec des colonnes toujours plus étendues dans les grandes sommes afin de pouvoir expliquer les temps exponentiels de résolution. Cette dernière observation les a confortés dans leur hypothèse d’un accès direct à des informations en mémoire bien que, dans certaines conditions particulières, une procédure de comptage puisse toujours être préférée par les adultes.

Ce qui vient d’être exposé jusque-là sur les différents processus de résolution des additions simples chez les enfants ne concerne, cependant, que les additions ne faisant pas intervenir de chiffres doubles tels que 2+2, 3+3, etc. En effet, toutes les recherches menées dans le domaine de l’arithmétique mentionnent le statut particulier de ces additions qui ne sont ni affectées par un effet de taille, ni résolues avec des TRs similaires aux autres additions. Suite à l’observation que les TRs des additions doubles ne suivent pas une fonction linéaire, certains chercheurs tels que Groen et Parkman (1972) sont venus à la conclusion que probablement ce type d’additions serait résolu selon un processus de récupération en mémoire aussi bien par les adultes que par les enfants.

3.4 Conceptions plus mitigées du développement des stratégies de comptage

Les modèles de Siegler (1987) et de LeFevre, Sadesky et Bisanz (1996) présentent quelque chose d’un peu différent puisque, selon eux, une pluralité de stratégies est disponible au cours du développement. En se basant sur les rapports verbaux des participants, Siegler (1987) a observé que la stratégie de l’ajout minimum était, en effet, massivement utilisée par les enfants. Cependant, en s’intéressant à ce que les participants eux-mêmes disent avoir fait pour résoudre les additions, on remarque que d’autres stratégies étaient également utilisées. Aussi, en se basant sur les récits, l’auteur remarque que le modèle de l’ajout minimum n’était jamais un bon prédicteur de performance. Ainsi, au cours du développement, la fréquence et la variabilité d’utilisation des stratégies dont une personne dispose changent et peuvent être multiples à un moment donné (Siegler, 1987 ; LeFevre, Sadesky & Bisanz, 1996). On peut alors imaginer un continuum entre une utilisation de réponse au hasard à la stratégie de compter tout, puis de la stratégie de compter tout à la stratégie de décomposition, puis de la décomposition à la récupération en mémoire.

Bien que les enfants utilisent la stratégie d’ajout minimum et que cette stratégie soit utilisée à pratiquement tous les âges, cette dernière ne serait pas utilisée pour toutes les additions à chaque âge (Siegler, 1987). Pour Siegler (1987), disposer d’une variabilité de stratégies dès

4-5 ans permet aux enfants la découverte de nouvelles stratégies. Elle permet aussi l’utilisation de la stratégie la plus appropriée à une situation en fonction de son coût et de son efficacité. Ainsi, disposant de plusieurs stratégies, la plus rapide et la plus appropriée ne seront pas forcément utilisées sur un problème donné si une autre stratégie tout autant adéquate et tout autant rapide est applicable. L’auteur fait l’hypothèse que les individus choisissent la plupart du temps la stratégie qui sera la moins utilisée dans d’autres situations.

Par exemple, la stratégie de compter tout est la plus souvent utilisée sur les additions avec une petite différence entre les opérandes parce que la stratégie minimum est plus rapide et plus utile avec des problèmes comportant une large différence entre les opérandes. De ce fait, les stratégies rapides sont choisies quand elles peuvent générer des réponses avec exactitude et les stratégies lentes quand elles peuvent générer des réponses exactes et que les rapides ne le permettent pas. À plus forte raison, selon Siegler (1987), il n’y a pas de raison de penser que le fait de disposer de plusieurs stratégies à un même moment se limite aux enfants.

LeFevre, Sadesky et Bisanz (1996) observent que la récupération directe des faits chez les adultes se fait également de manière fluctuante suivant les problèmes. On peut dire qu’en fonction de la tâche, de la situation ou encore de ses compétences, un adulte, bien qu’utilisant en général majoritairement la récupération en mémoire, pourrait avoir recours à d’autres stratégies plus primaires. La difficulté des adultes à utiliser uniquement la stratégie de récupération serait le résultat d’une pratique insuffisante ou le résultat d’une procédure de comptage extrêmement efficace (Logan & Klapp, 1991, cité par LeFevre, Sadesky &

Bisanz, 1996). De ce fait, chez les enfants d’environ 10 ans et plus souvent chez les adultes, la récupération des faits est préférée lorsque l’association opérandes-résultat est forte, car cette stratégie mènera à une résolution plus rapide et moins coûteuse. Dans le cas d’additions peu maîtrisées et dont les associations sont plus faiblement ancrées en mémoire, le recours à une stratégie de comptage sera nécessaire et privilégié par les individus. À plus forte raison, il est faux de penser que seuls les adultes récupèrent en mémoire les résultats des additions simples puisqu’il a été montré qu’à 7 ans déjà les enfants récupèrent le résultat des additions de chiffres doubles (Groen & Parkman, 1972). Ceci confirme alors que, quel que soit l’âge, nous disposons tous de stratégies différentes et que nous les utilisons en fonction de la situation dans laquelle nous nous trouvons confrontés.

3.5 Nouvelle conception de l’évolution des stratégies de comptage

Tous les éléments concernant le développement des stratégies de comptage de l’enfance à l’âge adulte décrits dans les parties qui précèdent semblent plausibles. En effet, à l’époque, obtenir des connaissances sur la manière dont nous résolvons des additions simples était révolutionnaire. De plus, les résultats précédemment décrits ont permis de confirmer et de mieux comprendre les difficultés que rencontrent les enfants dyscalculiques dont nous avons parlé au début de ce travail. Rappelons-le, ces enfants ont pour principales difficultés une utilisation des procédures de comptage immatures ainsi qu’un déficit mnésique. Ce déficit mnésique a été cité comme étant la cause de leur difficulté à se constituer un stock de faits et à y recourir de manière adéquate. Sous la lumière des travaux exposés précédemment, il est désormais plus aisé de se représenter les difficultés scolaires que rencontrerait un élève disposant de faibles capacités mnésiques et de stratégies primaires. Il lui sera impossible d’accéder à un niveau efficace et rapide de résolution de calculs telle que pourrait l’être une récupération en mémoire des résultats des additions simples. Ces enfants, ainsi limités par leurs capacités, se trouveront très vite en échec scolaire face à des pairs évoluant selon un développement normal et devenant toujours plus efficients dans le domaine arithmétique.

Les conclusions des chercheurs des années 70-80 attestant d’un développement des capacités arithmétiques, qui évoluent d’une stratégie de comptage vers une stratégie de récupération en mémoire, ont été pendant de nombreuses années acceptées et peu remises en question. Cependant, les recherches beaucoup plus récentes sur ce même thème montrent des résultats totalement contradictoires. Des études plus actuelles ont permis de remettre en cause des connaissances jusque-là prises pour acquises en adressant plusieurs critiques aux auteurs pionniers. Notamment, deux études pointent des imprécisions concernant les conceptions théoriques sous-jacentes, les méthodologies utilisées, les interprétations des résultats ainsi que les justifications de l’effet de taille. Les nouveaux chercheurs ont ainsi tenté de pallier ces faiblesses en proposant de nouvelles conceptions au sujet du développement de la résolution des additions simples.

L’élément clé autour duquel s’axent les argumentations des défenseurs de l’ancienne conception est le postulat selon lequel la résolution des additions simples par récupération mnésique est forcément plus rapide que les procédures algorithmiques. Or, rien dans la littérature d’autrefois ne nous prouve que la récupération d’un fait en mémoire soit obligatoirement rapide et qu’un processus de comptage soit nécessairement lent. La première

étude à confronter cet ancien postulat et à porter un regard nouveau sur le développement de la capacité de résolution d’additions est celle de Fayol et Thevenot (2012). Ces auteurs ont soumis à des adultes experts des additions, des soustractions et des multiplications en manipulant le moment auquel apparaissait le signe de l’opération par rapport aux opérandes.

Les réponses des participants étaient données oralement et enregistrées au moyen d’une clé vocale. Toutes les opérations impliquaient des opérandes entre 1 et 9. Dans cette expérience, soit le signe était présenté 150 ms avant les opérandes, soit de manière simultanée, ou encore 150 ms après. Le but était de voir si le fait de présenter le signe avant, soit d’annoncer à l’avance la nature de l’opération, rendait les sujets plus rapides dans leur résolution. En d’autres termes, cette étude mettait en jeu un paradigme d’amorçage. Le fait d’observer un effet d’amorçage pouvait soit venir d’une pré-activation d’une procédure de calcul, soit d’une pré-activation d’une table de faits arithmétiques. Les résultats de cette étude ont révélé un effet d’amorçage dans les TRs des additions simples non-doubles lorsque la présentation du signe précédait les opérandes, et ce même pour les additions les plus petites constituées des opérandes de 1 à 5. Cet effet d’amorçage était également retrouvé lors de soustractions. Ce résultat concernant les soustractions allait dans le sens des attentes des chercheurs puisqu’il est communément admis que le résultat d’une soustraction est généré par comptage et qu’il est peu probable que ce type d’opération ait un stock de faits arithmétiques qui lui soit propre (Thevenot & Barrouillet, 2006 ; Dehaene, 1992, cité par Fayol & Thevenot, 2012;

Campbell & Xue, 2001). Cet effet d’amorçage n’a toutefois pas été retrouvé lors de multiplications. En effet, ni les tables de faits multiplicatifs ni une procédure de calcul n’ont pas été pré-activées lorsque le signe de la multiplication était présenté avant les opérandes.

Ce résultat était également attendu, car les multiplications sont résolues par un processus de récupération mnésique dans un réseau de faits, construit par l’apprentissage explicite et la répétition orale des tables de multiplications à l’école (Seron & Pesenti, 2000 ; Campbell & Xue, 2001 ; LeFevre, Sadesky & Bisanz, 1996). Les additions sont donc résolues selon les mêmes procédures que les soustractions, mais pas comme les multiplications. Les additions et les soustractions sont sujettes à un effet d’amorçage lorsque le signe est présenté avant les opérandes. Les chercheurs ont expliqué ces résultats en disant que, si les sujets sont plus rapides pour résoudre un calcul quand le signe est présenté avant les opérandes plutôt qu’après ou en même temps, c’est que ceux-ci sont facilités dans leur démarche par l’effet d’amorce. Selon eux, les sujets ont ainsi été facilités dans leur démarche de résolution d’additions et de soustractions, car ils savaient à l’avance quelle sorte d’opération ils allaient devoir effectuer. Dans le cas de ces dernières opérations, la présentation initiale du signe

donnant un indice aux sujets quant à la procédure de calcul à mettre en place, leur a permis de gagner du temps lors des résolutions. Les chercheurs ont pu démontrer que l’effet facilitateur était bel et bien le reflet d’une pré-activation des procédures de calcul. Observer cette pré- activation des procédures lors des résolutions d’additions va, de fait, à l’encontre d’une résolution par récupération en mémoire chez les adultes. De plus, les auteurs ont remarqué que les TRs pour résoudre les additions et les multiplications étaient strictement identiques lorsque le signe et les opérandes étaient présentés de manière simultanée. Ainsi, les résultats trouvés dans cette étude soutiennent premièrement que les adultes continuent d’utiliser des stratégies de comptage pour résoudre des additions, même les plus simples. Deuxièmement, les résultats confirment qu’il n’y a pas de raison de penser que des TRs courts sont forcément le signe d’une récupération en mémoire puisque des procédures peuvent être très rapidement mises en route. Troisièmement, les résultats montrent que l’observation des TRs n’est pas assez informative pour nous permettre de nous prononcer sur le type de procédure utilisé, puisque les TRs des multiplications sont identiques aux TRs des additions lorsque les opérandes et le signe sont présentés de manière simultanée.

Un deuxième élément qui soutient à son tour que l’observation des TRs n’est pas une mesure assez fiable pour tirer des conclusions sur les stratégies utilisées est la critique formulée en 1984 par Baroody. Cet auteur avait remis en question, bien avant les récents auteurs, les arguments d’Ashcraft quant au fait que la mémoire procédurale utilisée lors de comptage était forcément moins performante que la mémoire déclarative utilisée lors de la récupération. D’après lui, les résultats autrefois trouvés étaient dus à un artefact de la tâche de vérification. Il était ainsi toujours probable que la mise en route d’une procédure soit aussi rapide que la récupération. Cette remarque avait autrefois été ignorée faute de preuves expérimentales. Toutefois, des récents résultats ont fait ressurgir ces critiques. Ainsi, la critique concernant les protocoles a refait surface en 2013 avec l’étude de Barrouillet et Thevenot. Selon eux, les résultats trouvés entre autres par Ashcraft et Fierman (1982) sont biaisés par la nature de la tâche. Souvenons-nous, ces auteurs soumettaient à leurs sujets une tâche de vérification d’additions pour conclure, sur la base de leurs TRs, à une récupération ou non en mémoire des différents faits arithmétiques. Or, dans une tâche de vérification, le participant doit non seulement générer le résultat de l’addition proposée, mais en plus effectuer une comparaison entre le résultat trouvé et le résultat proposé. Dans une tâche de production, le participant a seulement à générer le résultat. Le sujet se révèle alors plus rapide pour résoudre une tâche de production que de vérification puisqu’il gagne le temps de la

comparaison. On pourrait donc penser que les patterns de TRs qu’Ashcraft et Fierman (1982) ont trouvé ne sont pas représentatifs des temps de résolutions effectifs pour ce type de problème. De plus, nous ne savons pas comment cette étape de vérification est modulée entre l’enfance et l’âge adulte. D’autres auteurs ont proposé d’apporter à leurs mesures objectives, des mesures plus subjectives se basant sur des rapports verbaux (LeFevre, Sadesky et Bisanz, 1996 ; Siegler, 1987). Dans ces rapports verbaux, les sujets devaient indiquer la procédure qu’ils avaient mise en place pour accéder à leurs résultats. Bien que ces rapports aient été cohérents avec les TRs et allaient dans le sens d’une récupération en mémoire, ces protocoles justificatifs n’ont pas fait l’unanimité. En effet, à partir d’un bon niveau d’expertise et d’automatisation dans la résolution des additions, il se pourrait que le sujet ait l’impression d’avoir récupéré une réponse en mémoire alors qu’en fait la procédure de comptage ait été si rapide qu’elle en devenait inconsciente (Baroody, 1983). Ainsi, argumenter que les adultes procèdent à des stratégies de récupération des faits arithmétiques parce que leurs TRs sont faibles n’est pas est justification valable. L’expérience de Fayol et Thevenot présentée précédemment et les observations des protocoles concourent toutes à dire que les TRs ne nous permettent pas à elles seules de se positionner sur le type de stratégie employée par les adultes.

L’étude qui a réellement défié les conclusions tirées par les pionniers et permis de se repositionner sur les stratégies utilisées par les adultes est celle de Barrouillet et Thevenot (2013). En réponse à l’étude d’Ashcraft et Battaglia (1978), Barrouillet et Thevenot publient en 2013 une étude menée auprès d’adultes auxquels ils ont demandé de résoudre des petites additions simples dont les résultats n’excédaient pas 8 suivant un protocole de production. Ces auteurs reprochaient notamment à leurs prédécesseurs leurs justifications de l’effet de taille et la représentation exponentielle des TRs. Rappelons que Groen et Parkman (1972) observaient chez les enfants un effet de taille qui s’illustrait par une fonction linéaire avec une augmentation constante de 400 ms pour chaque incrémentation de 1. Pour ces auteurs, les adultes récupèrent les faits arithmétiques en mémoire. Toutefois, même chez ces sujets, un effet de taille était toujours observé. Les auteurs ont alors expliqué a posteriori la persistance de cet effet en disant que sa présence était le reflet d’une utilisation par les adultes d’une stratégie de comptage dans les cas où la récupération en mémoire n’avait pas été possible. Cependant, selon Ashcraft et Battaglia (1978), la présence d’un effet de taille chez les adultes n’était pas le reflet d’une utilisation sporadique d’une stratégie de comptage, mais la conséquence de l’intervention

d’un effet d’interférence et d’un effet de fréquence. En effet, l’effet de taille serait toujours visible, car selon l’effet de fréquence, nous sommes plus souvent exposés et rencontrerions plus tôt dans notre apprentissage les petites additions que les plus grandes. Ainsi, à force de pratique et de renforcement, nous mettrions plus de temps pour résoudre 4+6 que 2+3, par exemple, car nous aurions rencontré plus de situations impliquant 2+3 que 4+6. Il se pourrait que les manuels scolaires soient une des causes des difficultés et que la difficulté entraîne des performances variables en terme de TRs et d’erreurs (Ashcraft & Christy, 1995 ; Hamann & Ashcraft, 1985). En ce qui concerne l’effet d’interférence, les sommes des grandes additions sont partagées par plusieurs autres additions. Ainsi, c’est parce que la somme 7 est partagée par 6 autres opérations (6+1, 5+2, 3+4 et leurs contraires) alors que la somme 3 n’est partagée que par 2 opérations (1+2 et son contraire) que nous mettons plus de temps pour résoudre 6+1 que 1+2. En effet, l’activation d’une opération pourrait activer toutes ces autres combinaisons, ce qui entraînerait une compétition entre les réponses et ainsi rallongerait les TRs (Campbell, 1995). Les nouveaux chercheurs trouvent eux aussi des arguments dans l’observation de la conservation de l’effet de taille chez les adultes.

Toutefois, pour eux, les 20 ms d’effet de taille observées par les chercheurs précédents ne peuvent pas être le reflet d’une récupération en mémoire et peuvent encore moins être expliquées par des effets d’interférences ou de fréquences. Dans leur discussion Barrouillet et Thevenot (2013) vont contre ces arguments préalablement formulés en disant qu’un effet d’interférence ne peut pas avoir lieu dans les premières années d’apprentissage arithmétique. La résolution d’additions n’étant pas encore bien maîtrisée par les enfants, ce type de tâche leur demande une trop grande mobilisation cognitive. Cette charge cognitive ne leur permettrait pas de se constituer des traces mémorielles facilement et rapidement récupérables. L’effet d’interférence pourrait être visible en comparant des grandes et des petites additions (avec des sommes plus grandes que 10), mais pas entre de petites additions.

À plus forte raison, les auteurs ne sont pas plus favorables à l’argument d’un effet de fréquence qui, selon eux, ne peut en aucun cas être observable lorsqu’on compare une faible quantité de très petites additions. Suite à ces critiques, Barrouillet et Thevenot (2013) ont alors mené leur expérience auprès d’adultes afin de voir si les TRs étaient différents pour résoudre par exemple 2+3 ou 2+4 qui varient sur le deuxième opérande, ou pour résoudre 2+4 et 3+4 qui varient sur le premier opérande. La première observation faite était qu’un effet de taille se manifestait même sur des petits calculs. De plus, ils ont vu que les adultes mettaient plus de temps pour faire 2+3 que 1+3, ce qui ne devrait pas être le cas si les faits arithmétiques étaient récupérés en mémoire. Les observations de

Barrouillet et Thevenot (2013) nous permettent ainsi d’observer que les TRs obtenus par les adultes augmentent de manière monotone (linéaire) en fonction du premier et du second opérande tout comme cela était le cas chez les enfants autrefois testés. Le meilleur prédicteur des TRs est alors à tous les âges la somme des opérandes ce qui va à l’encontre d’un modèle de récupération. Aussi, bien que cette incrémentation soit linéaire chez les 2 groupes, on observe une différence non pas dans la forme de la pente, mais dans son inclinaison. Cette pente explique la différence de rapidité de résolution qui passe de 400 ms pour les enfants à 20 ms chez les adultes. Cette différence d’inclinaison est désormais interprétée comme étant le reflet d’une automatisation des procédures et non comme une récupération de faits.

Toutefois, les auteurs ont montré que ces observations n’étaient pas valables pour les chiffres doubles et s’accordent sur le fait que ces opérations sont régies par des phénomènes à part.

Quoi qu’il en soit, Barrouillet et Thevenot (2013) affirment que les TRs sont liés aux caractéristiques structurelles des problèmes et surtout à la magnitude des opérandes. De plus, Thevenot, Barrouillet et Fayol (2001) ont déconstruit l’idée d’Ashcraft selon laquelle le passage d’un processus de comptage à un processus de récupération se faisait grâce à l’expertise et à la confrontation répétée à un même calcul. Ceci a été possible en montrant que l’apprentissage de l’arithmétique était une tâche difficile pour les enfants et que, au même titre que les autres apprentissages, celui-ci demandait une grande mobilisation cognitive. Il est dès lors difficile d’envisager qu’une trace du lien opérande-résultat soit mise en mémoire par la confrontation répétée puisque toutes les ressources sont déjà allouées à la mise en place d’une procédure encore peu maîtrisée en temps et en attention. Même si la tâche devient toujours plus simple au fur et à mesure du développement, cette mise en mémoire ne s’effectuerait pas pour autant par la suite. Les récentes critiques adressées aux chercheurs pionniers montrent en somme qu’il y a peu de raison de penser que le développement des stratégies de comptage consiste en un passage d’un mécanisme de comptage à un mécanisme de récupération. L’expérience de Barrouillet et Thevenot (2013) nous montre qu’il s’agirait en fait plutôt d’un mécanisme de comptage constant.

D’autres critiques ont également été formulées. Baroody en 1984 critiquait Ashcraft de ne pas s’être assez intéressé aux différences interindividuelles. Celui-ci proposait d’aller regarder ces différences en menant des études sur de plus larges échantillons, car leurs données présentaient des écarts-types de TRs assez importants qui reflétaient peut-être des processus sous-jacents différents. Dans la deuxième partie de leur étude de 2013, Barrouillet et Thevenot ont justement pris en considération ces différences en analysant de

manière plus fine les corrélations entre les TRs de leurs participants dans une tâche de production d’additions simples, et leurs capacités de mémoire de travail. Premièrement, ils ont observé, pour les problèmes non-doubles, une augmentation linéaire des TRs en fonction de la magnitude des deux opérandes. Le meilleur prédicteur restait la somme des opérandes.

En plus, ils ont remarqué que plus les capacités de MdT des participants étaient faibles, plus leurs réponses étaient lentes et que l’effet de taille était important. Ainsi, les TRs ne s’expriment pas de manière identique chez les sujets qui ont de faibles de MdT par rapport aux sujets avec de bonnes capacités de MdT. Alors que chez les meilleurs, les TRs sont influencés par la taille du deuxième opérande de l’opération, ceux des moins bons sont influencés par la taille des deux opérandes. Les deux groupes auraient ainsi recours à des stratégies de comptage différentes. Tous utiliseraient la stratégie évoquée par Groen et Parkman (1972), de déplacement d’un curseur sur une ligne numérique mentale. Cependant, alors que les plus lents doivent rechercher les deux opérandes sur cette ligne, les plus rapides accèdent automatiquement au premier opérande et ne déplacent le curseur que pour le second.

Suite aux observations sur les capacités de MdT, Barrouillet et Thevenot (2013) proposent une autre vision du développement des processus algorithmiques. Selon eux, au lieu de passer d’une stratégie de comptage à la récupération, on tendrait avec l’âge vers une automatisation des procédures de comptage, qui s’établirait avec le développement d’autres capacités cognitives plus générales comme la MdT.

Baroody (1983, 1984) critiquait, en plus de ce qui a déjà été exposé précédemment, le modèle de stockage de faits d’Ashcraft qu’il jugeait trop exhaustif et peu économique sur le plan cognitif. Selon Ashcraft, l’addition 8+6 est stockée en mémoire déclarative de manière isolée de l’addition 6+8. D’après Baroody, il serait plus judicieux de postuler un stockage de règles qui prendrait moins de place en mémoire. Les calculs commutatifs seraient alors regroupés en fonction de leurs nœuds communs (8+6 serait stocké au même endroit en mémoire que 6+8). Baroody (1984) explique sa conception par analogie au code binaire des ordinateurs qui permet de stocker et générer une multitude d’informations avec seulement 2 symboles. Il compare également son idée au langage en disant que, certaines phrases sont stockées en MLT, mais que la majorité de leurs combinaisons est générée par un système de règles. Ainsi, alors que les relations entre certains nombres sont stockées en MLT, beaucoup de ces combinaisons pourraient être générées également de manière efficace et économique à partir d’un système de règles (Baroody, 1984). Selon l’auteur, si nous stockions une règle plutôt que des faits isolés, nous pourrions alors générer une multitude de combinaisons. Pour

tenir compte de cela, Baroody propose un modèle alternatif dans lequel la production de réponses numériques est également dépendante des connaissances procédurales.

Au vu des récentes critiques et de la nouvelle conception du développement de l’arithmétique qui en découle, on peut se demander si nos connaissances sur la dyscalculie tiennent encore. En effet, si nous postulons qu’une des causes principales de ce trouble est la difficulté à se mettre en mémoire les différents résultats des additions et qu’il s’avère que dans le développement normal cette faculté n’est pas impliquée dans les processus de résolution, alors est-il encore pertinent de chercher cette manifestation clinique dans le développement pathologique ? N’y aurait-il pas d’explications plus valables pour attester des difficultés de certains enfants ? Sans toutefois pouvoir apporter des réponses à ces grandes questions, celles-ci seront discutées plus en détail dans la partie Discussion.

4. De la théorie à notre recherche

À travers la littérature parcourue, nous avons pu constater un accord commun sur le fait que pour résoudre des additions simples, les jeunes enfants comptent. Contrairement à ce qui avait été affirmé et accepté pendant de nombreuses années, il a récemment été montré que les adultes n’accèderaient pas directement aux résultats additifs dans leur mémoire. Bien que cela soit le cas lors de résolution de multiplications, ils utiliseraient plutôt une stratégie de comptage lors de résolution d’additions. À la suite des recherches présentées précédemment, il nous est difficile d’imaginer, encore aujourd’hui, que les enfants d’environ 10 ans aient recours à une récupération des faits telle que le mentionnaient Ashcraft et Fierman (1982).

4.1 Objectifs de la recherche

Le but de cette recherche est d’apporter des connaissances supplémentaires dans le domaine du développement des stratégies de calcul chez l’enfant. En répliquant l’étude de Barrouillet et Thevenot (2013), mais cette fois-ci sur de jeunes sujets, notre objectif est d’explorer comment les élèves âgés de 10 ans procèdent pour résoudre des additions simples.

Dès lors, nous nous sommes posé la question suivante : Est-ce qu’à 10 ans la résolution d’additions simples n’excédant pas la somme de 8, se fait par une stratégie de comptage ou par une récupération mnésique ?

En nous basant sur les résultats de l’étude de Barrouillet et Thevenot (2013) qui ont montré que des processus de récupération n’étaient pas observés chez des sujets adultes, nous supposons que cela ne sera pas non plus retrouvé chez des enfants. Il est avéré, que les enfants prennent plus de temps que les adultes pour résoudre des calculs aussi simples soient- ils. Toutefois, selon les conclusions de la nouvelle conception, cette différence en terme de rapidité ne serait que le fruit de l’automatisation. Nous pensons que les différences au niveau des TRs entre les enfants et les adultes, s’illustrant notamment par une inclinaison des pentes différentes, sont le reflet d’une différence d’expertise et d’automatisation de la mise en œuvre des stratégies de comptage.

4.2 Hypothèses opérationnelles

Afin de pouvoir répondre à notre question, nous pouvons prédire que :

Hypothèse 1. Les enfants de 10 ans résoudront les additions simples par une stratégie de comptage. Le pattern de leurs TRs devra être mieux expliqué par la mise en route de procédures de calculs plutôt que par des effets habituellement observés dans un réseau mnésique.

Plus précisément, nous nous attendons à ce que :

H.1.1 un pattern de TR, avec un effet de taille linéaire en fonction de la magnitude des deux opérandes, soit observé. Ce pattern de TR devrait être similaire à celui observé chez les sujets adultes de l’étude de Barrouillet et Thevenot (2013). Toutefois, l’effet de taille linéaire observé chez les enfants devrait avoir une inclinaison plus raide que celle des adultes autrefois testés (≥ 20 ms). Cela témoignerait de procédures de mises en route moins rapides.

H.1.2 la somme des opérandes ainsi que l’ajout minimum soient parmi les meilleurs prédicteurs de la variation des TRs, et ce, quelles que soient les capacités de MdT des sujets.