Identifiabilité structurelle et identification de systèmes couplés par les sorties

Identifiabilit´e structurelle et identification de syst`emes coupl´es par les sorties

Safa JEDIDI ¹ , Romain Bourdais ¹ , Jean Buisson ¹ , Marie-Anne Lefebvre ¹

1 Equipe ASH Automatique des Syst` emes Hybrides SUPELEC - IETR UMR 6164, Avenue de la Boulaie

CS 47601, F-35576 Cesson-S´ evign´ e Cedex, France

{safa.jedidi@supelec.fr}

R´ esum´ e— Cet article s’int´ eresse ` a l’identification des syst` emes de grande taille qui peuvent ˆ etre d´ ecompos´ es en une collection de sous-syst` emes coupl´ es par les sorties. Il est d’abord montr´ e que si le syst` eme global est structurellement identifiable, alors tous les sous-syst` emes le sont ´ egalement, en consid´ erant les sorties comme de nouvelles entr´ ees. Cette propri´ et´ e est ensuite utilis´ ee pour proposer une proc´ edure d’identification d´ ecentralis´ ee. L’efficacit´ e de l’approche pro- pos´ ee est illustr´ ee sur un exemple acad´ emique.

Mots-cl´ es— Identifiabilit´ e structurelle, Identification d´ ecen- tralis´ ee, Syst` emes de grande taille.

I. Introduction

Les syst` emes technologiques de grande taille tels que les syst` emes de transport, les syst` emes ´ electriques, les syst` emes de bˆ atiments. . .sont omnipr´ esents dans notre vie moderne. La grande taille de ces syst` emes a conduit au d´ eveloppement de diverses techniques pour r´ eduire la complexit´ e de leur ´ etude. Une approche possible est de consid´ erer le grand syst` eme comme une collection de nom- breux sous-syst` emes plus simples.

L’identification [1] est un point crucial pour l’´ elaboration d’une strat´ egie de contrˆ ole bas´ ee sur un mod` ele. D’un point de vue pratique, le probl` eme de la taille des syst` emes se pose ´ egalement pour l’identification param´ etrique.

Pour simplifier l’identification des syst` emes de grande taille, de nombreux auteurs ont essay´ e d’exploiter leur structure. Dans [5], le syst` eme global est hi´ erarchis´ e et une m´ ethode it´ erative est propos´ ee pour l’identification. Dans [7], les auteurs s’int´ eressent aux syst` emes circulants [3], et ils exploitent leurs propri´ et´ es pour d´ efinir une proc´ edure originale d’identification. Une autre technique exploite la propri´ et´ e de d´ ecouplage en boucle ferm´ ee afin de d´ efinir une collection d’observateurs d´ ecentralis´ es pour les syst` emes non lin´ eaires interconnect´ es [12].

Dans cet article, nous supposons que le syst` eme global est structurellement identifiable. L’identifiabilit´ e structu- relle est une propri´ et´ e importante quand il faut ´ evaluer les param` etres du syst` eme, car elle garantit l’unicit´ e des param` etres [15]. Dans [13], l’auteur se concentre sur les syst` emes compartimentaux pour ´ etudier l’identifiabi- lit´ e structurelle du syst` eme global, et dans [4], l’identi- fiabilit´ e pratique peut ˆ etre v´ erifi´ ee pour des conditions suffisantes sur les signaux d’interaction entre les sous- syst` emes. Dans ce document, on consid` ere un ensemble de syst` emes lin´ eaires coupl´ es par leurs sorties. Un exemple est repr´ esent´ e sur la figure 1. De nombreux processus peuvent ˆ

etre mod´ elis´ es sous cette forme, c’est le cas par exemple des syst` emes thermiques dans les bˆ atiments [8].

Fig. 1. Exemple d’un grand syst` eme compos´ e de M sous-syst` emes coupl´ es par les sorties.

La contribution de cet article est double : il est d’abord prouv´ e que si le syst` eme global est structurellement iden- tifiable, alors tous les sous-syst` emes coupl´ es par les sor- ties sont ´ egalement structurellement identifiables. A partir de ce r´ esultat, une proc´ edure d’identification d´ ecentralis´ ee permettant de r´ eduire la complexit´ e de l’identification glo- bale est d´ evelopp´ ee.

Ce document est organis´ e comme suit : dans la section II, on donne quelques rappels sur l’identifiabilit´ e struc- turelle puis on pr´ esente le syst` eme global et sa struc- ture. La premi` ere contribution de cet article est expliqu´ ee dans la section III dans laquelle on pr´ esente une condi- tion suffisante pour l’identifiabilit´ e structurelle des sous- syst` emes. Dans la section IV, la proc´ edure d’identification d´ ecentralis´ ee est d´ efinie et son efficacit´ e est illustr´ ee par un exemple acad´ emique inspir´ e des syst` emes thermiques dans les bˆ atiments. La conclusion et les perspectives de ce travail sont pr´ esent´ ees dans la section V.

II. Formalisation du probl` eme A. Rappel sur l’identifiabilit´ e structurelle

Tester l’identifiabilit´ e structurelle d’un syst` eme est une

´

etape importante dans la validation th´ eorique d’un mod` ele.

Intuitivement, les param` etres d’un syst` eme sont identi- fiables s’il est th´ eoriquement possible de les d´ eterminer d’une fa¸ con unique ` a partir de l’observation des entr´ ees et des sorties suppos´ ees parfaitement connues, en se pla¸ cant dans un cadre id´ eal non bruit´ e, o` u le mod` ele cherch´ e cor- respond ` a celui du syst` eme ´ etudi´ e.

La litt´ erature sur l’identifiabilit´ e et les m´ ethodes pour la

v´ erifier est vaste [2], [6], . . .. Le lecteur peut se r´ ef´ erer ` a [14]

et [15] qui traitent le sujet en d´ etail. Sa d´ efinition formelle est rappel´ ee comme suit :

D´ efinition 1 : Identifiabili´ e structurelle globale [14]

Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire (1) param´ etr´ e en p ,avec p ∈ P ⊂ R ⁿ

^p

(o` u P est l’ensemble des param` etres admis- sibles), repr´ esent´ e sous la forme d’´ etat suivante :

x ˙ = A(p)x + B(p)u

y = C(p)x , x(0) = x ₀ (p) ∈ R ⁿ (1) Le param` etre p 0 ∈ P 0 ⊂ R est dit structurellement glo- balement identifiable (s.g.i.) si et seulement si, pour tout p e 0 ∈ P 0 et pour une classe d’entr´ ee U :

y( p, t) e ≡ y(p, t), ∀t ∈ R ⁺ , ∀u ∈ U , = ⇒ p e 0 = p 0 (2) Le syst` eme global (1) est s.g.i. si et seulement si, tous ses param` etres sont s.g.i..

Dans cet article, sans perte de g´ en´ eralit´ e, nous supposons que la condition initiale est connue et non param´ etr´ ee.

Il existe plusieurs m´ ethodes pour tester l’identifiabilit´ e structurelle comme l’approche par transformation de La- place, d´ ecrite dans [10], la m´ ethode des param` etres de Mar- kov expliqu´ ee dans [11] qui est bas´ ee sur la repr´ esentation Bond Graph du syst` eme ou le d´ eveloppement en s´ erie de Taylor des sorties, ´ etudi´ e dans [9] par exemple.

Dans cet article, nous allons utiliser un outil puis- sant pour v´ erifier l’identifiabilit´ e structurelle d’un mod` ele repr´ esent´ e par sa repr´ esentation d’´ etat : la m´ ethode des si- milarit´ es (similarity transformation approach) d´ ecrite dans [13].

Avant de rappeler le th´ eor` eme principal de cette ap- proche, nous introduisons d’abord quelques notations. La d´ ependance en p de toutes les matrices sera omise : par exemple, la matrice A(p) sera not´ ee A. Pour une autre pa- ram´ etrisation ˜ p, la matrice A(˜ p) sera not´ ee ˜ A.

Pour appliquer la m´ ethode des similarit´ es, il faut que le syst` eme (1) soit structurellement commandable et structu- rellement observable :

D´ efinition 2 : Le syst` eme (1) est structurellement com- mandable si pour presque tout p ∈ P, on a :

rang B AB . . . A ⁿ⁻¹ B

= n

D´ efinition 3 : Le syst` eme (1) est structurellement obser- vable si pour presque tout p ∈ P, on a :

rang









 C CA

.. . CA ⁿ⁻¹











= n

Les r´ esultats de cet article sont bas´ es sur le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 1 : [13] Le syst` eme (1), structurellement com- mandable et observable, est structurellement globalement identifiable si et seulement si, pour deux param´ etrisations p et ˜ p et une matrice non singuli` ere T ∈ R ^n×n , telles que :







T A = AT e T B = B e CT e = C

(3) alors T = Id et p = ˜ p.

Maintenant que les principales d´ efinitions sont donn´ ees, nous allons pr´ eciser dans la section suivante, la structure du syst` eme global ´ etudi´ e.

B. Passage d’une description locale ` a une description glo- bale du syst` eme

Dans cet article, on consid` ere une collection de M sous- syst` emes dynamiques. Chaque sous-syst` eme est d´ ecrit par l’´ equation diff´ erentielle suivante :

(Σ _i ) :

( x ˙ _i = A _i x _i + B _i u _i + P

j∈N

i

K _ij y _j y i = C i x i

(4) dans laquelle les matrices A _i , B _i , C _i et K _ij sont pa- ram´ etr´ ees par le vecteur p _i ∈ R ⁿ

^pi

(i = 1 . . . M ).

L’ensemble N i = {j\ K ij 6= 0} est une collection d’in- dices qui indique le voisinage du syst` eme (Σ i ). Un sous- syst` eme (Σ j ) est dans le voisinage de (Σ i ) si sa sortie y j a un effet sur ˙ x _i .

A partir de cette description locale, le syst` eme global peut ˆ etre d´ eduit comme suit :

(Σ) :

x ˙ = Ax + Bu

y = Cx (5)

avec :

x =









 x 1

x ₂ .. . x M









 , u =









 u 1

u ₂ .. . u M









 , y =









 y 1

y ₂ .. . y M









 , p =









 p 1

p ₂ .. . p M











Les matrices A, B et C d´ ependent du vecteur p qui est le vecteur des param` etres du grand syst` eme.

A(p) =











A 1 K 12 C 2 . . . K 1M C M

K 21 C 1 A 2 . . . K 2M C M

.. . .. . .. . .. . K _M1 C ₁ K _M2 C ₂ . . . A _M











B(p) = diag (B _i ) _i=1,M , C(p) = diag (C _i ) _i=1,M On suppose que le syst` eme global est structurellement commandable et observable. Dans ce cas on peut montrer que les sous-syst` emes sont ´ egalement structurellement com- mandables et observables. La preuve de cette propri´ et´ e ne sera pas d´ evelopp´ ee dans cet article.

III. Condition suffisante pour l’identifiabilit´ e structurelle des syst` emes locaux L’id´ ee pour montrer cette propri´ et´ e est de consid´ erer chaque sous-syst` eme comme ind´ ependant des autres mais poss´ edant comme entr´ ees virtuelles certaines des sorties de ses voisins. On d´ efinit ainsi le sous-syst` eme virtuel :

(Σ i ) :

( x ˙ i = A i x i + B i u i + P

j∈N

i

K ij u b ij

y i = C i x i

(6)

Le premier r´ esultat de cet article peut ˆ etre ´ enonc´ e comme

suit :

Th´ eor` eme 2 : Si le syst` eme global (Σ), structurellement commandable et observable, est structurallement globale- ment identifiable, alors tous les sous syst` emes (b Σ i ) sont aussi structurellement globalement identifiables.

Preuve 1 : Pour tout i = 1, . . . , M , on suppose qu’on a deux param´ etrisations p _i et ˜ p _i et une matrice T _i telles que : T i A i = A ˜ i T i (7) T i B i = B ˜ i (8)

∀j 6= i, T _i K _ij = K ˜ _ij (9) C ˜ _i T _i = C _i (10) En introduisant T = diag (T i ) _i=1,M on a alors :

T A =











T 1 A 1 T 1 K 12 C 2 . . . T 1 K 1M C M

T ₂ K ₂₁ C ₁ T ₂ A ₂ . . . T ₂ K _2M C _M

.. . .. . .. . .. .

T M K M 1 C 1 T M K M 2 C 2 . . . T M A M











=











A ˜ ₁ T ₁ K ˜ ₁₂ C ₂ . . . K ˜ _1M C _M K ˜ ₂₁ C ₁ A ˜ ₂ T ₂ . . . K ˜ _2M C _M

.. . .. . .. . .. . K ˜ _{M 1} C ₁ K ˜ _{M 2} C ₂ . . . A ˜ _M T _M











=











A ˜ ₁ T ₁ K ˜ ₁₂ C ˜ ₂ T ₂ . . . K ˜ _1M C ˜ _M T _M K ˜ ₂₁ C ˜ ₁ T ₁ A ˜ ₂ T ₂ . . . K ˜ _2M C ˜ _M T _M

.. . .. . .. . .. .

K ˜ _{M 1} C ˜ ₁ T ₁ K ˜ _M2 C ˜ ₂ T ₂ . . . A ˜ _M T _M











= AT ˜ (11)

Comme B, C et T sont des matrices diagonales par bloc, BT = ˜ B et ˜ CT = C. Et puisque le syst` eme global est par hypoth` ese globalement identifiable, alors en utilisant le th´ eor` eme 1, on peut d´ eduire que T = Id et p = ˜ p.

Par cons´ equent, pour tout i = 1, . . . , M on a T _i = Id et p i = ˜ p i . D’o` u, par le th´ eor` eme 1, on d´ eduit que tous les sous-syst` emes (Σ i ) sont structurellement identifiables. Ceci conclut la preuve.

Le th´ eor` eme 2 sera utilis´ e pour ´ elaborer une proc´ edure d’identification d´ ecentralis´ ee. Ce point est expliqu´ e dans la section suivante.

IV. la d´ emarche de l’identification d´ ecentralis´ ee

Dans cette partie, on va tout d’abord d´ ecrire la proc´ edure d’identification d´ ecentralis´ ee qui sera par la suite appliqu´ ee sur un exemple acad´ emique.

A. Le sch´ ema d’identification d´ ecentralis´ ee

L’int´ erˆ et du th´ eor` eme 2 est de simplifier l’identification du syst` eme global en estimant les param` etres de chaque sous-syst` eme. On v´ erifie d’abord que le grand syst` eme est structurellement globalement identifiable. Dans ce cas, en utilisant le th´ eor` eme 2, on peut d´ eduire que les sous- syst` emes sont aussi structurellement globalement identi- fiables. On va donc sous-syst` eme par sous-syst` eme, identi- fier les param` etres associ´ es. On va pour ce faire r´ ecup´ erer le jeu d’entr´ ee/sortie du sous-syst` eme consid´ er´ e, ainsi que les

donn´ ees des sorties des sous-syst` emes qui sont en couplage avec lui. Les param` etres globaux seront alors la r´ eunion de tous les param` etres ainsi obtenus (voir figure 2).

le th´ eor` eme 2 implique que si le grand syst` eme com- pos´ e de sous syst` emes coupl´ es par les sorties est globa- lement identifiable alors les sous syst` emes sont aussi glo- balement identifiables. En s’appuyant sur ce th´ eor` eme, nous proposons de remplacer l’identification globale des pa- ram` etrespar une identification d´ ecentralis´ ee de param` etres de chacun des sous syst` eme qui le compose. les signaux d’entr´ ee pour l’identification d’un sous syst` eme sont ses si- gnaux d’entr´ ees ainsi que les signaux des sorties de de son voisinage.

Fig. 2. Proc´ edure d’identification.

Cette proc´ edure d’identification est test´ ee sur un exemple acad´ emique qui est pr´ esent´ e dans la section sui- vante.

B. Exemple acad´ emique

Pour montrer l’int´ erˆ et du th´ eor` eme 2, l’´ etude sera faite en premier lieu sur un syst` eme global simple et structurelle- ment globalement identifiable compos´ e de M sous-syst` emes coupl´ es par les sorties. On ´ etudiera l’influence de 3 indica- teurs pour comparer les r´ esultats :

– l’erreur param´ etrique maximale (EPM) de l’ap- proche utilis´ ee (globale ou d´ ecentralis´ ee) correspond au maximum des erreurs calcul´ ees sur chacun des pa- ram` etres. Chaque erreur est d´ efinie par la formule sui- vante :

(EP ) _i = 100

valeur estim´ ee (p _i ) − valeur r´ eelle (p _i ) valeur r´ eelle (p i )

o` u p i est un param` etre du syst` eme ´ etudi´ e.

– l’ajustement(ou le fit) minimal(Am) corres- pond au minimum des ajustements calcul´ es sur les diff´ erentes sorties. Ces ajustements indiquent la res- semblance entre les sorties r´ eelles et les sorties me- sur´ ees.

– le temps d’identification calcul´ e comme la somme des temps d’identification de tous les sous-syst` emes qui composent le grand syst` eme (calcul non parall´ elis´ e).

B.1 Description du syst` eme

L’exemple choisi pour illustrer la d´ emarche provient du

domaine de la thermique des bˆ atiments. On consid` ere un

grand syst` eme repr´ esentant un bˆ atiment compos´ e de M pi` eces dont le mod` ele de couplage choisi est un couplage par les sorties. Les sous-syst` emes sont d´ ecrits par les figures 3 et 4.

Fig. 3. Sous syst` eme(i). Fig. 4. Sch´ ema ´ electrique

´

equivalent du sous- syst` eme(i).

Le grand syst` eme peut repr´ esenter une maison dont les sous-syst` emes sont les pi` eces qui la composent et les entr´ ees sont les flux de chauffage et la temp´ erature ext´ erieure par exemple. Le couplage repr´ esente l’influence thermique entre les pi` eces voisines. Le mod` ele ´ electrique ´ equivalent est donn´ e par la figure 4.

Pour cet exemple, on va traiter le cas o` u le couplage par les sorties se fait uniquement entre les sous-syst` emes les plus proches comme le montre la figure 5.

Fig. 5. Couplage par les sorties entre les voisins (sous-syst` emes) les plus proches seulement.

Ce couplage est traduit par les r´ esistances de couplage R ij .

Les param` etres inconnus (` a estimer) sont les r´ esistances et les capacit´ es pour chaque sous-syst` eme : C <sub>mi</sub> , C <sub>i</sub> , R <sub>i</sub> , R <sub>0i</sub> et R ij . Les valeurs de ces param` etres sont diff´ erentes d’une pi` ece ` a l’autre mais restent proches des valeurs donn´ ees dans le tableau I.

TABLE I

Valeurs moyennes des param` etres

p i C mi C i R i R 0i R ij

valeur r´ eelle 5 4 3 0.4 6

Chaque sous-syst` eme est d´ ecrit par la repr´ esentation d’´ etat 4 avec :

A i =

−1 C

mi

( _R ¹

0i

+ _R ¹

i

) _C ¹

mi

R

i

1 C

_i

R

_i

−1 C

_i

( _R ¹

i

+ P

j∈N

i

1 R

_ij

)

!

B i =

0 _C ¹

mi

R

_0i

1

C

_i

0

K ij = 0

1 C

i

R

ij

C i = 0 1 x i =

T mi

T i

U i = u i1

u i2

B.2 Conditions exp´ erimentales

Pour proc´ eder ` a l’identification, on a utilis´ e des signaux d’entr´ ee riches en fr´ equence de type PRBS (Pseudo Ran- dom binary sequence), RGS (Random Gaussian Signal) and RBS (Random Binary Signal). Les valeurs initiales des param` etres pour l’identification sont de l’ordre de 20

% des vraies valeurs. Pour l’identification des param` etres, on a utilis´ e la fonction PEM (Prediction Error Estimate) de Matlab avec l’algorithme ` a r´ egions de confiance (Trust- Region-Reflective Algorithm) qui est un algorithme d’opti- misation d’une fonction de coˆ ut diff´ erentiable. Les simula- tions pour l’identification sont faites sur 9000 points.

B.3 Identification

Pour analyser les r´ esultats de l’identification, on a trait´ e deux cas : le premier cas est l’identification dans un cadre id´ eal non bruit´ e et pour le deuxi` eme cas, on a ajout´ e des bruits sur les sorties.

B.3.a Identification : cas id´ eal. Les r´ esultats de l’iden- tification pour un syst` eme global compos´ e de M sous- syst` emes sont les suivants : le tableau II donne les ajuste- ments minimaux (Am) et le tableau III fournit les r´ esultats d’erreur param´ etrique maximale, dans les cas d’identifica- tion globale (IG) et d´ ecentralis´ ee (ID).

TABLE II

Influence de M sur l’ajustement

M Am(IG)(%) Am(ID)(%)

M =2 100 100

M =3 100 100

M =4 100 100

M =5 99.76 100

M =6 99.54 100

M =7 98.24 100

M =10 N/A 100

TABLE III

Influence de M sur l’EPM

M EPM (IG)(%) EPM (ID)(%)

M =2 0 0

M =3 0 0

M =4 0 0

M =5 0.64 0

M =6 0.98 0

M =7 1.2 0

M =10 N/A 0

A partir de ces r´ esultats, on peut remarquer que plus

le nombre des sous-syst` emes est grand, plus la dimension

du syst` eme global augmente, et plus son identification de- vient compliqu´ ee : par exemple pour M = 10 (on a 20

´

etats et 49 param` etres) la proc´ edure d’identification ´ echoue

`

a donner un r´ esultat. On note aussi, dans le cas global, que le pourcentage des erreurs param´ etriques augmente si la taille du syst` eme augmente, et la valeur minimale des fits des sorties diminue progressivement, ce qui montre la d´ egradation de la qualit´ e de l’identification. Par contre, en utilisant l’approche d´ ecentralis´ ee (identification de chaque sous-syst` eme) on obtient des bons r´ esultats d’identification avec un ajustement de 100% et une erreur param´ etrique nulle.

On a fait aussi une comparaison du temps d’identifica- tion entre les deux approches. Le tableau IV compare le temps d’identification pour le syst` eme global (IG) et le temps d’identification d´ ecentralis´ ee (ID).

TABLE IV

Influence de M sur le temps d’identification

M temps (IG) (min) temps (ID) (min)

M =2 2.65 1.75

M =3 5.77 2.57

M =4 7.10 4.20

M =5 9.15 5.14

M =6 14.20 6.28

M =7 19.30 7.16

M =10 N/A 11.25

Les r´ esultats montrent un autre int´ erˆ et du th´ eor` eme 2 qui est la r´ eduction du temps d’identification en le comparant

`

a celui de l’approche globale.

Cet exemple acad´ emique simple, met en avant l’int´ erˆ et du th´ eor` eme 2 et de la proc´ edure d’identification qui en d´ ecoule.

B.3.b Identification : cas bruit´ e (bruit sur les sor- ties). Il est toujours int´ eressant de regarder comment les r´ esultats d’identification sont sensibles aux bruits. Pour

´

etudier ce point, on a ajout´ e des bruits de mˆ eme puis- sance mais de natures diff´ erentes (gaussien, uniforme) et avec des r´ ealisations diff´ erentes sur toutes les sorties pour un syst` eme global compos´ e de 6 sous-syst` emes. On a aug- ment´ e progressivement le rapport signal sur bruit (RSB) et on a calcul´ e l’erreur param´ etrique maximale (EPM) et le fit minimal pour l’approche globale et l’approche d´ ecentralis´ ee comme le montrent les figures 6 et 7.

Suite ` a cette exp´ erience, on peut ´ egalement remarquer que, mˆ eme dans le cas o` u les sorties sont bruit´ ees, les erreurs param´ etriques pour l’approche d´ ecentralis´ ee sont moins ´ elev´ ees que celles pour l’approche globale, et que les ajustements sur les sorties sont meilleurs dans le cas de l’approche d´ ecentralis´ ee.

Cette exp´ erience semble montrer que la d´ emarche pro- pos´ ee est moins sensible aux bruits de mesure. Cet aspect sera exploit´ e dans des travaux futurs, o` u une ´ etude de sen- sibilit´ e sera men´ ee.

V. Conclusion

L’identification des syst` emes de grande taille est toujours consid´ er´ ee comme un probl` eme compliqu´ e. Dans cet ar- ticle, on a montr´ e comment la structure d’un mod` ele (cou-

Fig. 6. Comparaison des erreurs param´ etriques maximales.

Fig. 7. Comparaison des ajustements minimaux.

plage des sous-syst` emes par les sorties) peut simplifier et r´ eduire la complexit´ e de l’identification des syst` emes de grand taille. On a illustr´ e cette technique sur un exemple inspir´ e des syst` emes thermiques des bˆ atiments.

Dans les probl` emes trait´ es dans cet article, on a sup- pos´ e que le syst` eme ` a identifier pouvait ˆ etre repr´ esent´ e sous forme de plusieurs sous-syst` emes coupl´ es par les sor- ties. Or selon les syst` emes adress´ es, cette mod´ elisation n’est pas toujours ad´ equate. Dans des travaux futurs, il serait int´ eressant d’´ etudier l’extension de cette d´ emarche ` a d’autres types de couplage (couplage par les entr´ ees, par les ´ etats. . .).

D’autre part, d’un point de vue pratique, identifier les param` etres d’un syst` eme requiert des signaux d’entr´ ee suf- fisamment riches. Or dans notre approche, les signaux as- soci´ es aux entr´ ees virtuelles des sous-syst` emes ( b u _ij ) sont en r´ ealit´ e des sorties de notre processus qui peut filtrer certaines fr´ equences. L’impact de cette perte potentielle en richesse sera aussi ´ etudi´ e prochainement.

R´ ef´ erences

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