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VARIANTES SUR UN THÉORÈME DE CANDÈS, ROMBERG ET TAO

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(1)

HAL Id: hal-00741785

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00741785

Preprint submitted on 15 Oct 2012

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ROMBERG ET TAO

Jean-Pierre Kahane

To cite this version:

Jean-Pierre Kahane. VARIANTES SUR UN THÉORÈME DE CANDÈS, ROMBERG ET TAO. 2012.

�hal-00741785�

(2)

VARIANTES SUR UN THÉORÈME DE CANDÈS, ROMBERG ET TAO

par Jean–Pierre KAHANE

Variations on a theorem of Candès, Romberg and Tao

Introduction, théorème CRT et programme

On constate expérimentalement que certains signaux et certaines images sont reproduites de façon parfaite en n’utilisant qu’une partie de leurs trans- formée de Fourier, grâce au procédé que voici. Le signal, ou l’image, est représenté par une fonction xà valeurs complexes définie sur un groupe discret commutatifG (usuellement,ZN ouZ2N), et on supposex1(G) (c’est automatique siG est fini). Sa transformée de Fourier ˆx est définie sur le groupe dual ˆG (de nouveau, ZN ou Z2N dans les cas usuels), et ˆx appartient àA( ˆG), l’algèbre de Wiener de ˆG(A( ˆG) =F1(G)). Ainsi

kxˆkA=kxk1.

Soit Ω une partie de ˆG(la notation traduit le fait que, pour un signal, Ω est un ensemble de fréquencesω). L’ensemble des ˆyA( ˆG) qui sont égaux à ˆxsur Ω

{yˆ: ˆy|= ˆx|}

est un convexe fermé dansA( ˆG). On cherche si ce convexe admet un point unique de norme minimum et si ce point est ˆx; si c’est le cas, on a re- construitx par un procédé d’analyse convexe, qui est praticable. C’est le procédé réellement utilisé.

Ce procédé marche si et seulement si

(i) ˆxest le prolongement minimal dexˆ|dans A( ˆG)

(3)

Précisons que «le prolongement minimal » signifie non seulement que ˆ

x est un prolognement minimal, mais que ce prolongement minimal est unique.

Le présent article est consacré à l’exploration de cette condition.

La première contribution majeure dans cette direction est due à Candès, Romberg et Tao (théorème 1.3 de [2], théorème 2.1 de [1]). Dans leur mo- dèle, les temps,t, sont des entiers moduloN, de même que les fréquences, ω. Ainsi

tG=ZN =Z/NZ, ωGˆ

et ˆGest une autre copie deZN. La dualité entre les groupes cycliques G et ˆGs’exprime par

< ω, t >=eωt N

, e(u) = exp(2πiu).

Le signal est une fonctionx(t) (t G) portée par une partie S de G de cardinals:

(1) tG\S=x(t) = 0, |S|=s . Sa transformée de Fourier, ˆx(ω) (ωG), s’écritˆ

ˆ

x(ω) = 1

N X

t∈G

x(t)e N

et l’on a

x(t) = 1

N X

ω∈Gˆ

ˆ

x(ω)e N

.

Dans le cas général, on a besoin desN valeurs des ˆx(ω) pour reconstituer le signalx(t) (tG).

Le théorème de Candès, Romberg et Tao montre comment procéder à partir d’un ensemble de fréquences bien plus réduit quand on fait l’hypo- thèse (1). C’est le paradigme de l’échantillonnage parcimonieux (compres- sive sampling, oucompressed sensing).

Théorème(CRT). — On suppose que le signalxest porté parspoints (formule(1)). Soitla partie aléatoire deGˆ qu’on obtient en disposant au hasard suivant la probabilité naturelle||pointsω deG, et supposonsˆ

||> CslogN avec C= 22(M+ 1).

Alors(i)a lieu avec une probabilité1O(N−M) (N → ∞)et la reconsti- tution dexse fait suivant le procédé indiqué :

kxk1= inf{kyk1: ˆy|= ˆx|} et cette égalité caractérisex[C].

(4)

La démonstration donnée par les auteurs est assez difficile. Celle que je vais donner me paraît bien plus facile, et je l’introduirai en répondant d’abord aux questions que voici.

Dans le théorème CRT, il s’agit de reconstituerun signalxà partir de ˆ

x|. Peut–on faire de même pour tous les signaux portés par un même supportS? Mieux, pourtousles signaux portés par spoints ? Comment choisir Ω, et quelles sont les estimations de probabilités correspondantes ? Ce sera l’objet des variantes.

Telles sont les questions que je m’étais posées après une lecture trop partielle de [1]. Depuis la rédaction de cet article, Albert Cohen m’a informé que ces questions avaient été traitées dès 2006 par Candès et Tao : avec une probabilité voisine de 1, la reconstruction est possible pour tous les signauxxportés pars points moyennant une condition du type

||> Cslog6N .

Le referee a précisé les principaux résultats avec leurs références, en par- ticulier [1, 2, 3, 4]. Déjà [1] signale que l’on peut remplacer l’exposant 6 par 4. Le terme utilisé est « universal encoding strategies » et le concept de

« restricted isometries » introduit dans ce but a donné lieu à de nombreux travaux. Le résultat que j’obtiens sur cette question, avec une condition du type

||> Cs2logN .

est donc peu intéressant. La méthode que je vais présenter est très diffé- rente de celles des auteurs cités et peut intéresser certains lecteurs. Elle m’amène d’ailleurs à retrouver le théorème de Candès, Romberg et Tao avec la condition

||> CslogN .

J’indiquerai d’abord une suite de propositions qui impliquent (i) : (i)= (ii)= (iii)= (iv)

Les propositions (ii) et (iii) ne mettent en jeu queS et Ω, la proposition (iv) seulementset Ω. La proposition (iv) donnera tout de suite une réponse déterministe (sans aléa) à la question de reconstruction de tous les signaux xportés par s points par prolongement minimal de ˆx| dans A( ˆG). Son exploitation sera faite suivant la méthode aléatoire utilisée en [2]. Puis cette méthode aléatoire sera appliquée pour obtenir (ii) et (iii) avec une probabilité explicite, et retrouver le théorème CRT comme conséquence de la dernière variante, V′′3. La variante déterministe est V1, les variantes mettant en jeu s et un Ω aléatoire sont V2, V2 et V′′2, les variantes concernantSet Ω aléatoire sontV3,V3 etV′′3.

(5)

La varianteV4 indique une application de (i) dans une autre direction : G=Z, ˆG=T, Ω =I, un sous–intervalle deT, et on suppose que le spectre {λn}n∈Zde ˆxest assez dispersé, au sens queλn+1λn >d>10. Si|I|est convenable, on peut reconstruire ˆxà partir de ˆx|I grâce à (i).

Enoncés déterministes, variante V1 Il sera commode d’écrireR

pour la sommation surZN. Ainsi Z

x=X

t∈G

x(t). Rappelons que

kxˆkA=kxk1= Z

|x|.

J’écriraiℓ(G) (c’est aussi(G) et(G)) l’ensemble des fonctions à valeurs complexes définies surG. Désormais

(i) ˆxest le prolongement minimal dexˆ|dans A(G)

signifie à la fois une propriété dexℓ(G) et de ΩGˆ et le procédé cor- respondant pour la reconstruction dexà partir de ˆx|. Nous supposerons toujours quexest porté parS et que|S|=s(formule (1)).

Soitzℓ(G) telle que ˆz|= 0, etpℓ(G) telle que ˆp|G\Ωˆ = 0. Donc Z

G

z= Z

Gˆ

ˆ pz¯ˆ= 0. (i) signifie que, pour toutz6= 0,

Z

S

|x+z|+ Z

G\S|z|>

Z

S

|x|. La méthode de CRT consiste à prendre

(2)

( x=|x| sur S

|p|<1 sur G\S Alors, tenant compte dez6= 0,

Z

S|x+z|+ Z

G\S|z|>| Z

S

p(x+z) + Z

G\S

z|=| Z

S

x|= Z

S|x| donc (i) a lieu.

Tout le travail de CRT, qui met en jeu les matrices aléatoires, consiste à construire une fonctionpaléatoire vérifiant (2) avec une probabilité voisine à 1. Nous allons procéder de manière différente.

(6)

Comme

Z

S

|x+z|>

Z

S

|x| − Z

S

|z|, la condition

(ii)pour toutezℓ(G)6= 0, telle quezˆ|= 0, Z

G\S|z|>

Z

S

|z|, entraîne (i) pour tous lesxportés parS.

Soitλℓ(S) une fonction de module 1 (|λ(t)|= 1) telle que λ¯z=|z| sur S .

Au lieu de (2), supposons que pour un nombreα]0,1[

(3)

( |pλ|< α sur S

|p|<1α sur G\S . Alors

| Z

S

(p¯zλ¯z)|< α Z

S|z¯| en supposant le second membre6= 0, d’où en tous cas

| Z

S

z|>(1α) Z

S|z¯|

| Z

G\S

z|6(1α) Z

G\S|z¯|, et, compte tenu de

Z

S

+ Z

G\S

z= 0, on obtient

Z

S

|z¯|<

Z

G\S|¯z|. Donc, pour avoir la propriété (ii), il suffit que

(iii)pour touteλℓ(S)de module1, il existepℓ(G)tel que pˆsoit porté paret qu’on ait(3) pour unα]0,1[.

Le choix deα=12 va nous convenir pour le moment. Introduisons l’idem- potent

(4) K(t) =X

ω∈Ω

eωt N

(7)

et cherchonspsous la forme

(5) p(t) =X

t∈S

λ(t)K(tt) K(0) . ˆ

pest bien porté par Ω, et on a

(6)

|p(t)λ(t)|6 X

t∈S,t6=t

|K(tt)|

K(0) si tS

|p(t)|6X

t∈S

|K(tt)|

K(0) si tG\S

donc (3) est vérifié avecα= 12 sous la condition que (iv)pour toutt6= 0on a

(7) |K(t)|< 1

2sK(0).

Observons que (i) est une condition sur xet Ω, (ii) et (iii) des condi- tions surS et Ω, qui entraînent (i) pour tous les x portés par S, et (iv) une condition surset Ω, qui entraîne (i) pour tous lesxdont le support a s points au plus. On est ainsi parvenu, très facilement, à une réponse déterministe à la dernière question posée.

V1 Sia la propriété que l’idempotentKdéfini en(4)vérifie la condi- tion(iv), la propriété(i)est valable pour toutes les fonctions xportées par un ensemble despoints.

La construction d’idempotentsK vérifiant (iv), quandN et ssont don- nés, n’est pas immédiate. Elle impose que||soit assez grand. En effet,

N|| = X

ω∈Gˆ

|K(ω)ˆ |2=X

t∈G

|K(t)|2

6||2+||2

4s2(N1) donc

(8) ||>4s2 N

N+ 4s21.

Par exemple, si s = 2 et N > 100, || > 16. L’hypothèse que K est idempotent n’est d’ailleurs pas essentielle, il suffit que ˆK soit porté par Ω.

Mais elle intervient de façon naturelle dans la suite.

(8)

Sélection aléatoire de Ω, variante V2

L’étape suivante est empruntée à CRT. Elle consiste à considérer Ω comme aléatoire, à savoir comme le résultat d’une sélection aléatoire sur ZN de paramètreτ. Cela veut dire que les variables aléatoiresXn = 1n∈Ω

sont indépendantes, et

P(Xn = 1) =τ , P(Xn= 0) = 1τ . AlorsK s’écrit

K(t) = X

n∈ZN

Xn ent N

.

Pour chaquet6= 0, soitP(t) la probabilité pour que (7) n’ait pas lieu : P(t) =P(|K(t)|> 1

2sK(0)).

Choisissons un entier ν > 3. Etant donné t, il existe un ϕ ∈ {2kπν , k = 1,2, . . . , ν}tel que

Re(K(t)e−iϕ)>|K(t)|cosπ ν . Posonsa= cosπν et

P(t, ϕ) =P(Re(K(t)e−iϕ)> a 2sK(0)). Ainsi

P(t)6νsup

ϕ P(t, ϕ). Posons

Y = Re(K(t)e−iϕ)2saK(0)

= X

n∈ZN

Xn

cos2πnt N ϕ

a 2s

= X

n∈ZN

XnAn. On a

P(t, ϕ) =P(Y >0)< E(euY) pour toutu >0. MajoronsE(euY). Comme

E(evXn) = 1 +τ(ev1)<exp(τ(ev1)) et

E(euΣAnXn) = ΠE(euAnXn), on a

E(euY)6exp(τ X

n∈ZN

(exp(uAn)1)).

(9)

Désignons parMla moyenne surZN :M=N1 P

n∈ZN

, et posons Bn = cos2πnt

N ϕ , An = Bn a

2s. Il vient

E(euY)6exp(τ N(expau 2s

M(euBn)1)). Ecrivons

M(euBn) =

X

k=0

uk

k!M(Bnk) et évaluonsM(Bnk).

Commet6= 0,

M(Bn) = 0. Si de plus 2t6= 0,

M(Bn2) =1 2. Si de plus 3t6= 0,

M(Bn3) = 0.

Supposons qu’il en est bien ainsi, c’est–à–dire queN n’est multiple ni de 2 ni de 3. En tous cas

M(Bnk)61. Donc

M(euBn)61 +u2 4 +

X

k=4

uk k!

et

E(euY) 6exp τ N

1au

2s +a2u2 8s2

1 1 +u2

4 +

X

k=4

uk k!

1

6exp

τ N

au

2s +a2u2 8s2 +u2

4 +

X

k=4

uk k!

.

Le choix deu= as 1 +as22

−1

donne

au

2s +a2u2 8s2 +u2

4 +

X

k=4

uk

k! <au 2s+u2

4

1 + a2 s2

=a2 4s2

1 + a2 s2

−1

(10)

donc

P(t, ϕ) =P(Y >0)<exp

τ N a2 4(s2+a2)

, P(t)< νexp

τ N a2 4(s2+a2)

, P(non iv))< νNexp

τ N a2 4(s2+a2)

. Posons

τ N = 4C(s2+ 1) logN; alors

P(non(iv))< νN−Ca2+1.

Par exemple, si N = 1001, s = 2, τ N = 300 et ν = 10, on obtient P((iv))>10099. On a donc un moyen pratique de réaliser (iv) par tirage au sort, mais on doit imposer à||des valeurs assez grandes (E(||) =τ N).

Enonçons le résultat.

V2 Supposons qu’on réalisepar sélection aléatoire dansZN, avec E(||) = 4C(s2+ 1) logN , C >1,

et la condition queN ne soit multiple ni de2, ni de3. Siδ=Ca21avec a= cosπν,ν>3,

P((iv))>1νN−δ.

Rappelons que, si (iv) a lieu, (i) est valable pourtoutesles fonctionsx portées par un ensemble despoints.

Deux probabilités sur les Ω, variantes V2 etV′′2

Avant d’aller plus loin, revenons sur les deux probabilités qui ont été introduites sur l’ensemble des parties deZN. La première, qui figure dans l’énoncé du théorème CRT, est définie par la donnée d’un entierf (l’effectif des fréquences), 0< f < N; elle est concentrée sur l’ensemble des parties Ω deZN de cardinal||=f et elle y est également distribuée. La seconde intervient dans la varianteV2, elle est définie par un (petit) paramètreτ, 0 < τ <1 ; les événements (n Ω) (n N) sont indépendants et ont τ pour probabilité commune ; on dit qu’Ω résulte d’une sélection aléatoire de paramètreτ. On peut également la définir par le fait que la loi des||est la distribution de BernoulliB(τ, N) et que, pour chaque 0 6 j 6 N, la distribution des Ω tels que||=jest uniforme (égale probabilité sur tous les Ω). Dans les deux cas, la probabilité est invariante par les permutations

(11)

deZN, et elle est donc bien définie par la distribution des||. Désignons ces probabilités parP1,f etP2,τ :

P1,f(||=f) = 1 P2,τ(||=j) =

N j

τj(1τ)N−j. Il est classique, et facile à voir, que

E2,τ(||) =τ N et

(9) P2,τ(||> τ N(1 +ε))<exp

ε2 3 τ N

si 0< ε < 1 10. Les propriétés (i), (ii) et (iii) sont monotones en Ω : si elles ont lieu avec un Ω, elles ont lieu avec un Ω Ω. Cela permet de s’affranchir des conditions arithmétiques indiquées en V2. Il n’est pas clair qu’il en soit de même pour (iv). Si l’on s’en tient à (i), (ii) et (iii), (9) montre qu’en choisissantf =τ N(1 +ε) on a

P1,f(·) >P2,τ(·)exp

ε2 3τ N

> P2,τ(·)exp

ε2 4f

siε < 1 12. La varianteV2, oùP(·) signifieP2,τ(·), a donc pour corollaire :

V2 Si est choisi au hasard parmi les parties de ZN de cardinal f, avec la probabilité naturelle, et si

f = 4C(1 +ε)(s2+ 1) logN , C >1, O < ε < 1 12,

la probabilité d’avoir(i)pour tous lesxportés par un ensemble despoints, qu’on va désigner parP(x| kxk06s (i)), vérifie

P(x| kxk06s(i))>1νN−δN−Cε2(1+ε)(s2+1) avecδ=Ca21,a= cosπν,ν>3 arbitraire.

IciP=P1,f, etkxk0 désigne le cardinal du support dex.

L’énoncé est explicite mais lourd. Pour le comparer au théorème CRT, en voici une version allégée, asymptotique :

V′′2 Si est choisi au hasard parmi les parties deZN de cardinal f, et si

f =||= 4C(s2+ 1) logN , C >1,

(12)

la probabilité d’avoir(i)pour tous lesxportés par un ensemble despoints vérifie

P(x| kx0k6s (i)) = 1O(N−δ) (N → ∞) pour toutδ < C1.

En ce qui concerne la probabilité d’avoir (i) pour un xfixé, cet énoncé n’entraîne le théorème CRT que dans le cass = 2, avec une amélioration insignifiante. Son intérêt est de s’appliquer à tous lesxportés parspoints.

Peut–on remplacers2 par une plus petite puissance des? La question est ouverte pour V2 et V′′2. La réponse est négative pour V2, en vertu de l’inégalité (8).

Variantes V3,V3 etV′′3

Nous supposons désormais quexest porté par un ensemble S fixé mais inconnu, tel que |S| = s. Nous allons d’abord utiliser pour Ω le modèle de la sélection aléatoire de paramètreτ sur ZN, et chercher à réaliser la proposition (iii), que je rappelle : il existe unα]0,1[ tel que, pour toute λ ℓ(S) telle que |λ| = 1, il existe p ℓ(G) à spectre dans Ω vérifiant

|pλ|< αsurS et|p|<1αsurG\S.

Pour chaquet S, remplaçonsλ(t) par la plus proche racineµ–ièmede l’unité,eiψ(t). Ainsi

|eiψ(t)λ(t)|62 sin π Posons

α=α2 sin π et supposonsα>0. Alors

|pe|< α sur S entraîne|pλ|< α surS. Choisissons

p(t) =X

t∈S

eiψ(t)K(tt) K(0) , K étant l’idempotent défini en (4), tel que ˆK =

N1. Ainsi p a son spectre dans Ω et vérifie les inégalités voulues si

(10)

X

t∈S,t6=t

eiψ(t)K(tt) K(0)

< α sur S X

t∈S

eiψ(t)K(tt) K(0)

<1α sur G\S .

(13)

Soiteiϕ(t) la racineνièmede l’unité la plus proche dep(t)eiψ(t) sitS, et dep(t) sitG\S. Posonsa= cosπν. Pour avoir (10), il suffit que

Re X

t∈S,t6=t

ei(ψ(t)−ϕ(t))K(tt)

K(0) < aα sur S ReX

t∈S

ei(ψ(t)−ϕ(t))K(tt)

K(0) < a(1α) sur G\S . c’est–à–dire

Y =X

n∈ZN

Xn

X

t∈S\{t}

cos 2πn(tt)

N +ψ(t)ϕ(t)

<0 surS Z=X

n∈ZN

Xn

X

t∈S

cos 2πn(tt)

N +ψ(t)ϕ(t)

a(1α)<0 surG\S . OutreN et S, fixonsα, µ et ν, et évaluons la probabilité pour qu’il n’en soit pas ainsi, c’est–à–dire qu’il existe une fonctionψ schoix possibles) et, soit un t S et un ϕ(t) (sν choix possibles) tels que Y >0, soit un tG\S et unϕ(t) ((Ns)ν choix possibles) tels queZ >0.

EvaluonsP(Y >0) quandψ,t etϕ(t) sont fixés, par la même méthode que pour obtenirV2 :

P(Y >0)< E(euY)<exp(τ N(e−aαuMeuDn1)) (u >0) avecM=N1 P

n∈ZN

et

Dn= X

t∈S\{t}

cos2πn(tt)

N +ψ(t)ϕ(t) .

On a

e−aαu<(1u+u22(aα)2)1 M(euDn) = 1 +uM(Dn) +

X

k=2

uk

k!M(Dkn). Commett 6= 0 dansZN, on aM(Dn) = 0. Ecrivons Dkn= 1

2k

X

εj=±1,tj∈S\{t},j=1,2,...,k

cos X

j=1,2,...,k

εj

2πn(ttj)

N +ψ(tj)ϕ(t) .

La moyenne du cosinus est nulle sauf si Σεj(ttj) = 0 dans ZN. Quand lesεj(j = 1,2, . . . , k) et les tj(j = 1,2, . . . , k1) sont fixés, cette égalité

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