Assemblage de vins sous contraintes

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Assemblage de vins sous contraintes

Philippe Vismara, Remi Coletta, Gilles Trombettoni

To cite this version:

Philippe Vismara, Remi Coletta, Gilles Trombettoni. Assemblage de vins sous contraintes. 9. Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC 2013), Jun 2013, Aix-en-Provence, France.

356 p. �hal-02745194�

Actes JFPC 2013

Assemblage de vins sous contraintes

Philippe Vismara ^1,2 Remi Coletta ¹ Gilles Trombettoni ¹

1 LIRMM, UMR5506 Universit´ e Montpellier II - CNRS, Montpellier, France

2 MISTEA, UMR729 Montpellier SupAgro - INRA, Montpellier, France {Philippe.Vismara,Remi.Coletta,Gilles.Trombettoni}@lirmm.fr

R´ esum´ e

En œnologie, l’assemblage consiste ` a m´ elanger plu- sieurs cuv´ ees afin d’obtenir un vin cible. Des progr` es dans l’analyse des arˆ omes permettent aujourd’hui de mesurer un ensemble de compos´ es chimiques influen¸ cant le goˆ ut d’un vin. Il devient ainsi possible de concevoir un outil d’aide ` a la d´ ecision pour le probl` eme suivant : ´ etant donn´ e un ensemble de vins cibles ` a produire, quelles quantit´ es doit-on pr´ elever dans chaque cuv´ ee afin de pro- duire des vins qui respectent des contraintes de concen- tration en arˆ omes, de volumes, de degr´ e alcoolique et de prix. L’article d´ ecrit la mod´ elisation de ce probl` eme sous forme d’une optimisation Min-Max (pour minimiser les

´

ecarts obtenus avec les concentrations souhait´ ees pour chaque crit` ere aromatique) sous contraintes num´ eriques lin´ eaires et quadratiques, et son traitement efficace avec le branch and bound ` a intervalles de Ibex.

Abstract

Assemblage consists in blending base wines in order to create a target wine. Recent advances in aroma ana- lysis allow us to measure chemical compounds impacting the taste of wines. This chemical analysis makes it pos- sible to design a decision tool for the following problem : given a set of target wines, determine which volumes must be extracted in each cuv´ ee to produce wines that satisfy constraints on aroma concentration, volumes, al- cohol levels and price. This paper describes the modeling of wine assemblage as a non linear constrained Min-Max problem (minimizing the gap to the desired concentra- tions for every aromatic criterion) efficiently handled by the Ibex interval branch and bound.

1 Introduction

L’assemblage est l’art de m´ elanger subtilement des vins de diff´ erentes parcelles et/ou de diff´ erents c´ e- pages, chacun apportant ses propres sp´ ecificit´ es. Le choix des assemblages ´ elabor´ es est g´ en´ eralement effec- tu´ e par des œnologues. Si la qualit´ e de leur travail est

in´ egalable, une limite forte dans le nombre de d´ egus- tations quotidiennes tient ` a la saturation des goˆ uts.

C’est pourquoi la soci´ et´ e Nyseos, qui nous a soumis ce probl` eme, propose des outils d’analyse chimique per- mettant de soulager l’œnologue d’une partie du tra- vail de d´ egustation. Ces outils analysent les arˆ omes d’un vin en mesurant un ensemble de compos´ es chi- miques qui influencent le goˆ ut du vin [6]. Il devient ainsi possible de concevoir un outil d’aide ` a la d´ ecision pour le probl` eme suivant : ´ etant donn´ e un ensemble de vins cibles ` a produire, quelles quantit´ es doit-on pr´ ele- ver dans chaque cuv´ ee pour produire des vins qui res- pectent des contraintes de concentration en arˆ omes, de volumes, de degr´ e alcoolique et de prix.

Moore et Griffin ont montr´ e que la concentration en arˆ omes d’un m´ elange de vins ob´ eit ` a des ´ equations lin´ eaires [10]. Cependant, d’autres imp´ eratifs d’assem- blage peuvent imposer des contraintes non lin´ eaires.

C’est notamment le cas pour la pr´ ediction de la cou- leur d’un vin cible en fonction de la couleur des vins de base. Mˆ eme si la mod´ elisation de cette contrainte n’est pas encore aboutie, nous savons d´ ej` a qu’elle ne sera pas lin´ eaire. Ce r´ esultat est d’ailleurs confirm´ e par d’autres ´ etudes [7]. Une autre difficult´ e provient du fait qu’il n’est pas possible de transvaser une trop faible quantit´ e de vin entre deux cuves ` a cause du vo- lume in´ evitablement perdu dans les tuyaux et du coˆ ut des manipulations. Comme nous le montrons dans l’ar- ticle, cela conduit ` a d´ efinir une contrainte disjonctive qui peut ˆ etre mod´ elis´ ee par des variables bool´ eennes ou des contraintes non lin´ eaires.

La principale ´ etude sur l’aide ` a l’assemblage de vin a ´ et´ e publi´ ee dans [7]. Les auteurs utilisent un r´ eseau de neurones pour d´ eterminer les quantit´ es devant ˆ etre extraites de chaque cuve de base afin de concevoir un vin respectant des crit` eres aromatiques pr´ ed´ efinis.

Dans cette ´ etude, les concentrations en arˆ omes n’ont

pas ´ et´ e mesur´ ees chimiquement mais ´ evalu´ ees gusta-

tivement par un panel de personnes (´ etudiants). Le r´ eseau de neurones est utilis´ e pour r´ ealiser une opti- misation multicrit` eres afin d’ajuster chaque arˆ ome. Il est ainsi difficile de comparer ce travail avec notre d´ e- marche dans la mesure o` u nous r´ ealisons une optimi- sation mono-crit` ere. Par ailleurs, [7] ne fournit aucune indication de performance (temps CPU).

Nous proposons dans cet article une mod´ elisation math´ ematique du probl` eme d’assemblage de vin. Le probl` eme se mod´ elise comme un programme non li- n´ eaire mixte (discret et continu) que nous transfor- mons en CSP num´ erique non lin´ eaire trait´ e par des m´ ethodes ` a intervalles. Pour minimiser, dans chaque vin cible, l’´ ecart entre les concentrations aromatiques souhait´ ees et celles obtenues, nous mod´ elisons ce pro- bl` eme d’optimisation ` a l’aide d’un Min-Max que nous parvenons ` a d´ ebarrasser de ses op´ erateurs valeur ab- solue et max. Le mod` ele a ´ et´ e particuli` erement ´ etudi´ e pour ˆ etre trait´ e efficacement par des m´ ethodes ` a in- tervalles. Nous montrons des premiers r´ esultats tr` es satisfaisants obtenus sur deux assemblages r´ eels.

2 Le probl` eme de l’assemblage de vins

Les ´ el´ ements permettant de d´ ecrire un probl` eme d’assemblage sont illustr´ es ` a la figure 1.

On dispose d’un ensemble de cuv´ ees de base, appe- l´ ees bases, num´ erot´ ees de 1 ` a B. On connaˆıt le volume vol b de chaque base b ∈ 1..B. Pour des raisons mat´ e- rielles, on ne peut pas toujours vider enti` erement un fond de cuve et l’on doit laisser un fond minimum not´ e s ⁻ _b (on a : 0 ≤ s ⁻ _b ≤ vol b ).

Toutes les bases sont analys´ ees afin de mesurer leur teneur en compos´ es aromatiques. Ces compos´ es sont num´ erot´ es de 1 ` a A et on notera c b,a la concentration en arˆ ome a dans la base b.

Un outil d’aide ` a l’assemblage doit permettre d’´ etu- dier globalement l’assemblage de plusieurs vins en pui- sant dans le mˆ eme ensemble de bases. On dispose donc d’un ensemble de vins cibles num´ erot´ es de 1 ` a W. Pour chaque vin w, on souhaite produire un volume de vin not´ e ˆ vol w . Ce volume peut cependant fluctuer jusqu’` a une borne maximale (resp. minimale) not´ ee vol ⁺ _w (resp.

vol ⁻ _w ). Ces bornes permettent de ne pas produire un volume trop important pour ˆ etre vendu ou au contraire de garantir un volume qui a ´ et´ e command´ e. Au final, le volume V w du vin w devra ˆ etre le plus proche possible de ˆ vol w tout en respectant :

∀w ∈ 1..W, vol ⁻ _w ≤ V w ≤ vol ⁺ _w (1) Chaque vin cible w ´ etant obtenu en assemblant du vin issu de plusieurs bases, on notera V _w,b le volume de vin w provenant de la base b. Le volume total du

vol b

c b,a

a

b

w

vol ⁺ _w

vol ⁻ _w s ⁻ _b

c ⁺ _w,a a

ˆ c w,a

c ⁻ _w,a V _w,b V _w,1

V w

vol ˆ _w

Figure 1 – L’assemblage de vins vin w est donc la somme de ces volumes partiels :

∀w ∈ 1..W, V w =

B

X

b=1

V w,b (2)

On doit veiller ` a ce que la somme des volumes soutir´ es dans une mˆ eme base b respecte les contraintes de vo- lume autoris´ e pour le surplus restant en fond de cuve.

On pose la contrainte :

∀b ∈ 1..B, s ⁻ _b ≤ vol b −

W

X

w=1

V w,b (3)

D’un point de vue pratique, il est impossible de sou- tirer un trop faible volume d’une cuve, notamment ` a cause du r´ esidu perdu dans les tuyaux. Si δ _V d´ esigne ce volume minimal, on pose la contrainte disjonctive suivante :

∀w ∈ 1..W, ∀b ∈ 1..B, (V w,b = 0) ∨ (δ V ≤ V w,b ) (4)

En plus du volume souhait´ e, chaque vin cible est d´ e-

crit par un profil aromatique recherch´ e ` a l’int´ erieur de

plages bien d´ efinies. Pour chaque vin cible w, on no-

tera ˆ c w,a la concentration souhait´ ee en arˆ ome a. La

concentration minimale (resp. maximale) tol´ er´ ee sera not´ ee c ⁻ _w,a (resp. c ⁺ _w,a ).

On peut donc exprimer le fait que la concentration C w,a en arˆ ome a du vin w doit ˆ etre comprise entre ces deux bornes : pour tout w ∈ 1..W et pour tout a ∈ 1..A, on a :

c ⁻ _w,a ≤ 1 V w

B

X

b=1

(V w,b . c b,a ) ≤ c ⁺ _w,a (5) De mani` ere analogue, on peut imposer des contraintes sur la concentration en alcool ou le prix au litre des vins cibles. Ces caract´ eristiques peuvent ˆ etre consid´ e- r´ ees comme deux arˆ omes suppl´ ementaires.

3 Un mod` ele MINLP

Nous pouvons mod´ eliser le probl` eme de l’assem- blage de vin comme un programme non lin´ eaire mixte (MINLP). Nous verrons ` a la section 4 comment trans- former ce MINLP en un CSP num´ erique (NCSP) trait´ e par des m´ ethodes ` a intervalles. De ce fait, nous allons directement traduire les contraintes de bornes par des domaines born´ es, c’est-` a-dire des intervalles.

3.1 Variables

Pour tenir compte des contraintes sur le volume mi- nimum pouvant ˆ etre soutir´ e (cf. (4)), nous cr´ eons pour chaque vin w ∈ 1..W et chaque base b ∈ 1..B :

– une variable P _w,b de domaine 0/1 et

– une variable V _w,b ⁰ de domaine D(V _w,b ⁰ ) = [δ _V , min(vol ⁺ _w , vol _b )] repr´ esentant le volume trans- vas´ e de la base b vers le vin cible w.

(nous avons : V w,b ≡ P w,b . V _w,b ⁰ . L’introduction de la variable 0/1 ´ evite la d´ efinition explicite de la contrainte disjonctive (4).)

Pour chaque vin w ∈ 1..W, nous d´ efinissons aussi une variable V w de domaine [vol ⁻ _w , vol ⁺ _w ] repr´ esentant son volume (cf. (1)).

3.2 Contraintes

Le syst` eme de contraintes de notre MINLP est ainsi d´ efini :

– la contrainte de channeling (2) devient :

∀w, V w −

B

X

b=1

(P _w,b . V _w,b ⁰ ) = 0 (2.i) – la contrainte (3) sur les surplus est similaire :

∀b ∈ 1..B, s ⁻ _b ≤ vol _b −

W

X

w=1

(P _w,b . V _w,b ⁰ ) (3.i)

– pour am´ eliorer les performances, nous avons in- troduit une contrainte redondante par rapport ` a (3.i). Cette contrainte garantit simplement que le volume total des vins cibles est inf´ erieur au vo- lume total des cuves de base :

W

X

w=1

V _w ≤

B

X

b=1

vol _b (6)

La r` egle (5) concernant chaque concentration en arˆ omes est d´ ecompos´ ee en deux contraintes o` u chaque partie a ´ et´ e multipli´ ee par le volume positif V w . On a donc, ∀w ∈ 1..W et ∀a ∈ 1..A :

pour la borne inf´ erieure, 0 ≤

B

X

b=1

V w,b . (c b,a − c ⁻ _w,a ) d’o` u :

0 ≤

B

X

b=1

P _w,b . V _w,b ⁰ . (c _b,a − c ⁻ _w,a ) (5.i -) et pour la borne sup´ erieure :

0 ≤

B

X

b=1

V _w,b . (c ⁺ _w,a − c _b,a ) d’o` u :

0 ≤

B

X

b=1

P w,b . V _w,b ⁰ . (c ⁺ _w,a − c b,a ) (5.i +)

3.3 Un Min-Max pour optimiser la qualit´ e des vins Dans l’assemblage de vins, le principal crit` ere de qualit´ e concerne les profils aromatiques. Cependant, il est tout ` a fait possible d’´ etendre les d´ efinitions qui vont suivre au degr´ e alcoolique ou au prix des vins cibles.

Nous avons vu que chaque vin cible w est carac- t´ eris´ e par un ensemble de concentrations souhait´ ees ˆ

c w,a pour chaque arˆ ome a mesur´ e. Pour optimiser la qualit´ e d’un vin w, nous pouvons minimiser la somme des diff´ erences entre chaque concentration ˆ c _w,a sou- hait´ ee et la concentration C _w,a obtenue (cf. (5)). De plus, nous voulons minimiser l’erreur maximale sur l’ensemble des vins cibles :

w∈1..W max Ω w (λ vol

_w

. e vol

_w

+ X

a∈1..A

(λ w,a . e w,a )) (7) o` u :

– Ω _w est un param` etre indiquant l’importance du

vin w (on suppose Ω _w ∈ [0, 1]). Il est ainsi pos-

sible d’accorder plus d’importance ` a certains vins

cibles, notamment ceux de grande qualit´ e.

– e w,a repr´ esente l’´ ecart entre la concentration sou- hait´ ee ˆ c w,a et celle obtenue C w,a .

– e vol

_w

est l’´ ecart entre le volume ˆ vol w d´ esir´ e pour le vin w et le volume obtenu V w .

– λ w,a ∈ [0, 1] d´ efinit le poids de l’arˆ ome a pour le vin w et λ vol

_w

∈ [0, 1] le poids accord´ e ` a son volume. Pour un vin w donn´ e, on suppose que λ vol

_w

+ P

a∈1..A λ w,a = 1.

Tous les param` etres sont mesur´ es avec un certain taux d’erreur. ε <sub>a</sub> repr´ esente la marge d’erreur possible sur une mesure de l’arˆ ome a. Nous cherchons donc ` a minimiser l’´ ecart entre ˆ c _w,a et C _w,a dans la limite de la marge d’erreur ε _a . En d’autres termes, si l’´ ecart entre la concentration souhait´ ee et celle obtenue est inf´ erieur au taux d’erreur, il sera consid´ er´ e comme nul dans la fonction objectif. La variable e w,a d´ ecrit donc l’erreur de concentration normalis´ ee pour l’arˆ ome a dans le vin w :

e w,a = max( |C w,a − ˆ c w,a | ˆ c w,a

− ε a , 0) (8) Nous pouvons d´ ecrire par une expression similaire l’´ ecart e vol

_w

entre le volume V w obtenu pour le vin cible w et le volume souhait´ e ˆ vol _w :

e vol

_w

= max(

vol ˆ w − V w

vol ˆ w

− ε vol , 0) (9) Par rapport ` a la formule pr´ ec´ edente, la suppression de la valeur absolue signifie simplement que l’erreur n’est pas prise en compte si le volume V w obtenu est compris entre le volume souhait´ e ˆ vol w et le volume maximum autoris´ e vol <sup>+</sup> <sub>w</sub> . Cette r` egle est illustr´ ee par la figure 2.

w

vol ⁺ _w

vol ⁻ _w V _w

vol ˆ w

e vol

_w

ε vol

Figure 2 – Visualisation de l’´ ecart e vol

_w

sur le volume De fa¸ con classique pour un probl` eme de Min-Max, nous d´ efinissons une variable E ∈ [0, +∞] ` a minimiser, en respectant les contraintes suivantes :

∀w ∈ 1..W, Ω w (e vol

_w

.λ vol

_w

+ X

a∈1..A

(e w,a . λ w,a )) ≤ E (10) Suppression des op´ erateurs max et valeur absolue

Afin d’am´ eliorer les performances, nous avons cher- ch´ e ` a supprimer les op´ erateurs max et valeur absolue

du mod` ele pr´ ec´ edent. L’op´ erateur max peut ˆ etre d´ efini par :

e = max(x, y) ≡ e ≥ x ∧ e ≥ y ∧ (e = x ∨ e = y).

De plus, si la quantit´ e e doit ˆ etre minimis´ ee pour une raison quelconque, la derni` ere conjonction peut ˆ etre supprim´ ee, ce qui simplifie la d´ efinition de l’op´ erateur max. Nous pouvons appliquer cette simplification ` a l’´ equation (8). Puisque chaque λ w,a est positif, mini- miser E revient ` a minimiser chaque variable e w,a . On a donc, ∀w ∈ 1..W, ∀a ∈ 1..A :

((e _w,a + ε _a ) ˆ c _w,a ≥ |C w,a − ˆ c _w,a |) ∧ (e _w,a ≥ 0) (11) La mˆ eme simplification peut s’appliquer ` a (9), ce qui donne, ∀w ∈ 1..W :

((e _vol

_w

+ ε _vol ) ˆ vol _w ≥ ( ˆ vol _w −V w ))∧ (e _vol

_w

≥ 0) (12) Nous pouvons aussi supprimer l’op´ erateur valeur ab- solue qui s’exprime sous la forme d’un max :

e = |x| ≡ e = max(x, −x)

≡ e ≥ x ∧ e ≥ −x ∧ (e = x ∨ e = −x) Comme pr´ ec´ edemment, si la quantit´ e e doit ˆ etre mi- nimale pour une raison quelconque, nous pouvons rem- placer l’op´ erateur valeur absolue par deux in´ egalit´ es.

Cette simplification peut s’appliquer ` a l’´ equation (11).

Rappelons en effet que chaque variable e _w,a doit ˆ etre minimis´ ee et notons que ˆ c w,a est toujours positif. Il s’ensuit, ∀w ∈ 1..W, ∀a ∈ 1..A, :

(e _w,a + ε _a ) ˆ c _w,a ≥ 1 V w

.

B

X

b=1

(P _w,b .V _w,b ⁰ .c _b,a ) − ˆ c _w,a

(e _w,a + ε _a ) ˆ c _w,a ≥ − 1 V w

.

B

X

b=1

(P _w,b .V _w,b ⁰ .c _b,a ) + ˆ c _w,a En multipliant chaque cˆ ot´ e de ces in´ egalit´ es par le vo- lume V w qui est positif, on obtient finalement trois cat´ egories de contraintes : ∀w ∈ 1..W, ∀a ∈ 1..A,

e w,a ≥ 0 (13)

V w .(e w,a +ε a + 1) . ˆ c w,a −

B

X

b=1

(P w,b .V _w,b ⁰ .c b,a ) ≥ 0 (14)

V w .(e w,a +ε a −1) . ˆ c w,a +

B

X

b=1

(P w,b .V _w,b ⁰ .c b,a ) ≥ 0 (15)

En cons´ equence, nous avons r´ eussi ` a supprimer de

notre mod` ele initial tous les op´ erateurs max et valeur

absolue. Bien que le r´ esolveur Ibex que nous allons

utiliser sache g´ erer ces op´ erateurs, les performances

seront am´ elior´ ees et ce mod` ele simplifi´ e peut ˆ etre mis

en œuvre dans d’autres r´ esolveurs.

3.4 Synth` ese : le mod` ele MINLP final

En plus des variables P _w,b , V _w,b ⁰ et V _w d´ efinies ` a la section 3.1, nous avons introduit de nouvelles variables pour le Min-Max : une variable E ∈ [0, +∞], W.A va- riables e w,a ∈ [0, 1] (qui englobent la contrainte unaire (13)) et W variables e vol

_w

∈ [0, 1] qui englobent la contrainte unaire (12).

En plus des contraintes (2.i), (3.i), (6), (5.i-), (5.i+) d´ efinies ` a la section 3.2, nous ajoutons de nouvelles contraintes pour le Min-Max : (10), (12), (14), (15).

La fonction objectif consiste simplement ` a minimiser la valeur de la variable E.

4 R´ esolution du MINLP par un B&B ` a intervalles

Le MINLP d´ etaill´ e pr´ ec´ edemment peut ˆ etre r´ esolu par n’importe quel r´ esolveur de MINLP [12, 2]. Ce- pendant, aucun d’entre eux n’est rigoureux. Cela si- gnifie qu’il peuvent ne pas trouver la meilleure solu- tion ` a cause d’erreurs d’arrondi de l’arithm´ etique en virgule flottante ` a certaines ´ etapes de la r´ esolution. ` A notre connaissance, un seul branch and bound (B & B) rigoureux ` a intervalles, nomm´ e IBBA [11], est dot´ e d’un m´ ecanisme simple de manipulation des variables int´ e- grales. Ainsi, comme :

– notre mod` ele d’assemblage de vins ne contient qu’un seul type de variables 0/1,

– le r´ esolveur ` a intervalles Ibex [5, 4] fournit un B & B tr` es efficace nomm´ e IbexOpt [13], et – les auteurs ont une bonne connaissance de Ibex, nous avons d´ ecid´ e de coder le MINLP sous la forme d’un NCSP, c’est-` a-dire un syst` eme standard de contraintes continues non lin´ eaires sur des nombres r´ eels. Pour cela, les variables 0/1 sont cod´ ees par des variables r´ eelles P _w,b ⁰ de domaine [0, 1]. Afin de garan- tir que ces variables ne pourront prendre que la valeur 0 ou 1, nous ajoutons simplement la contrainte qua- dratique suivante :

∀w ∈ 1..W et ∀b ∈ 1..B, 4(P _w,b − 1

2 ) ² = 1 (16) Cela signifie que les contraintes disjonctives initiales, qui sont ` a l’origine des contraintes mixtes dans le MINLP, sont g´ er´ ees par des contraintes continues qua- dratiques dans le NCSP.

4.1 Optimisation globale sous contraintes par un B&B sur intervalles

Un probl` eme d’optimisation globale sous contraintes est d´ efini de la mani` ere suivante.

Definition 1 (Optimisation )

Consid´ erons un vecteur de variables x = (x 1 , ..., x i , ...x n ) de domaine [x] = [x 1 ] × · · · × [x n ], une fonction continue f : R ⁿ → R , des fonctions g : R ⁿ → R ^m et h : R ⁿ → R ^p . (Nous notons g = (g 1 , ..., g m ) et h = (h 1 , ..., h j , ..., h p ).)

Soit le syst` eme S = (f, g, h, [x]), le probl` eme d’opti- misation globale sous contraintes consiste ` a trouver

min

x∈[x] f (x) soumis ` a g(x) ≤ 0 ∧ h(x) = 0.

f est appel´ ee fonction objectif ; g et h sont des contraintes d’in´ egalit´ e et d’´ egalit´ e respectivement.

Notre optimiseur global (sous contraintes) IbexOpt [13] calcule un vecteur de nombres ` a virgule flottante x -minimisant ¹ :

f (x) s.t. g(x) ≤ 0 ∧ (− eq ≤ h(x) ≤ + eq ).

Notons que les ´ egalit´ es h j (x) = 0 sont relˆ ach´ ees par des ´ equations “´ epaisses” h j (x) ∈ [− eq , + eq ], soit deux in´ egalit´ es : − eq ≤ h j (x) ≤ + eq . IbexOpt ga- rantit l’optimum global du syst` eme relˆ ach´ e, quoique eq puisse ˆ etre souvent choisi arbitrairement petit. (La plupart des optimiseurs globaux comme Baron [12] ou Couenne [2] ne peuvent fournir aucune garantie.)

Dans notre probl` eme de m´ elange de vins, nous prenons une constante <sup>1</sup> <sub>eq</sub> ´ egale ` a 1e-4 dans les contraintes d’´ egalit´ e (16). Un autre ² _eq est fix´ e ` a 1e-1 dans les contraintes d’´ egalit´ e (2.i). Cette incertitude correspond ` a un d´ ecilitre, soit moins que 0.1% des vo- lumes des vins cibles (au moins 500 litres).

Cela signifie que les volumes sont calcul´ es avec une approximation significativement meilleure que les er- reurs in´ eluctables faites pendant le m´ elange effectif, c’est-` a-dire les erreurs induites par les mesures et par la perte de mati` ere r´ esiduelle pendant le transvasement d’un vin d’une cuve de base ` a la cible ² .

4.2 Op´ erateurs algorithmiques d’Ibex

IbexOpt est implant´ e en Ibex (Interval Based EX- plorer) et enrichit cette biblioth` eque en C++ d´ edi´ ee ` a la “r´ esolution” par intervalles [5].

IbexOpt suit un sch´ ema de type Branch & Contract

& Bound sur les intervalles [13] . Le processus d´ ebute avec une boˆıte initiale [x] subdivis´ ee r´ ecursivement par l’op´ eration de branchement. L’arbre est parcouru en meilleur d’abord, en s´ electionnant ` a chaque it´ eration

1. -minimiser f(x) signifie minimiser f(x) avec une pr´ ecision , c’est-` a-dire trouver x tel que pour tout y, nous avons f(y) ≥ f(x) − .

2. Notons qu’une prochaine version de Ibex permettra

de rigoureusement -optimiser une fonction objectif sous des

contraintes d’´ egalit´ es vraies (non relax´ ees).

la boˆıte de coˆ ut inf´ erieur le plus petit. Les op´ erations suivantes s’enchaˆınent sur chaque boˆıte (nœud) trait´ e : Brancher : une variable x i est choisie et son inter- valle [x _i ] est d´ ecoup´ e en deux sous-intervalles. Les deux sous-boˆıtes produites subissent les deux op´ erations sui- vantes.

Contracter : un processus de filtrage contracte la boˆıte ´ etudi´ ee (c’est-` a-dire am´ eliore les bornes de ses intervalles) sans perte de solutions.

Borner : l’am´ elioration de la borne inf´ erieure est si- miliaire ` a une contraction (en consid´ erant une variable correspondant au coˆ ut de l’objectif) : la borne inf´ e- rieure garantit qu’aucune solution ne se trouve plus bas. L’am´ elioration de la borne sup´ erieure revient ` a trouver un point r´ ealisable de coˆ ut le plus bas pos- sible, de mani` ere ` a couper des branches de l’arbre de recherche de coˆ ut sup´ erieur.

Le processus d´ ebute avec une boˆıte initiale [x] et s’arrˆ ete quand la diff´ erence entre la borne sup´ erieure et la borne inf´ erieure atteint une pr´ ecision donn´ ee (- optimisation) ou encore quand tous les nœuds explor´ es atteignent une taille inf´ erieure ` a une pr´ ecision donn´ ee en entr´ ee.

A chaque nœud du B&B, IbexOpt appelle des op´ e- rateurs efficaces pour r´ eduire l’espace de recherche et am´ eliorer les bornes inf´ erieure et sup´ erieure de la fonc- tion objectif :

– L’algorithme de propagation de contraintes de r´ e- f´ erence (pour le continu) HC4 [3, 9] est d’abord utilis´ e pour contracter la boˆıte trait´ ee.

– Ensuite, l’op´ erateur algorithmique X-Newton uti- lise une forme de Taylor sur intervalles sp´ ecifique pour convexifier l’espace de recherche. Il contracte la boˆıte et am´ eliore la borne inf´ erieure [1].

– Deux algorithmes cherchent enfin ` a am´ eliorer la borne sup´ erieure en extrayant d’abord de mani` ere heuristique une r´ egion int´ erieure (ou enti` erement r´ ealisable) ne contenant que des points - solu- tions - satisfaisant les contraintes. D’o` u l’int´ erˆ et de relaxer l´ eg` erement les ´ equations. En simplifiant quelque peu, l’algorithme InHC4 est un algorithme dual de HC4 ; InnerPolytope est un algorithme dual de X-Newton.

La strat´ egie d’optimisation par d´ efaut de Ibex uti- lise comme heuristique de branchement (bissection) la variante SmearSumRel de l’heuristique de Kearfott ba- s´ ee sur la fonction Smear [8]. Les heuristiques de bran- chement SmearSumRel et SmearMaxRel sont d´ ecrites dans [13].

5 Exp´ erimentations

Nous avons mod´ elis´ e et r´ esolu plusieurs instances d’assemblage de vins. Nous verrons ` a la section 5.6

que notre d´ emarche a ´ egalement ´ et´ e valid´ ee par une s´ eance de d´ egustations r´ eelle.

Pour r´ ealiser l’optimisation, nous avons impos´ e une pr´ ecision =1e-4 sur le coˆ ut (objectif). Cette pr´ eci- sion est tr` es inf´ erieure au taux d’erreur _a des outils chimiques de mesure des concentrations en arˆ omes. La mˆ eme pr´ ecision est impos´ ee sur la taille des solutions (boˆıte) : au dessous de cette taille, une boˆıte n’est pas

´

etudi´ ee (d´ ecoup´ ee) par le B & B ` a intervalles.

5.1 Les instances test´ ees

Nous avons mod´ elis´ e trois instances du probl` eme d’assemblage des vins. La premi` ere (WineBlending0) est une petite instance artificielle qui nous a permis de r´ egler le mod` ele MINLP/NCSP vu plus haut jusqu’` a l’obtention d’un temps de r´ eponse suffisamment ra- pide. L’instance WineBlending0 contient 21 variables et est r´ esolue en 0.18 secondes avec seulement 6 bran- chements par la strat´ egie par d´ efaut, ind´ ependamment de la pr´ ecision demand´ ee (1e-4 ou 1e-8).

Instance r´ eelle 1

La seconde instance (WineBlending1) est une ins- tance r´ eelle fournie par la soci´ et´ e Nyseos. Il s’agit de produire W = 2 vins cibles ` a partir de B = 7 vins de base, en prenant en compte A = 11 arˆ omes.

Le probl` eme Min-Max (section 3.4), contient 55 va- riables et 116 contraintes :

– 2 contraintes de channeling sur les volumes, – 7 contraintes de surplus pour les bases, – 44 contraintes de concentration en arˆ omes, – 49 contraintes li´ ees au Min-Max,

– 14 contraintes quadratiques mod´ elisant les contraintes disjonctives sur les volumes r´ ealistes.

Cette instance forme un syst` eme relativement im- portant pour un optimiseur global sous contraintes d´ e- terministe (exact).

Instance r´ eelle 2

La troisi` eme instance (WineBlending2) d´ ecrit l’as- semblage de W = 3 vins cibles ` a partir de B = 6 bases, en tenant compte de A = 7 arˆ omes.

Le probl` eme Min-Max contient 64 variables et 118 contraintes :

– 3 contraintes de channeling sur les volumes, – 6 contraintes de surplus pour les bases, – 42 contraintes de concentration en arˆ omes, – 49 contraintes li´ ees au Min-Max,

– 18 contraintes quadratiques mod´ elisant les

contraintes disjonctives sur les volumes r´ ealistes..

5.2 R´ esultats obtenus avec l’optimiseur par d´ efaut Tous les r´ esultats pr´ esent´ es dans cet article ont ´ et´ e obtenus sur un ordinateur portable MacBook de 2010 (Intel Core 2 Duo ` a 2.4 GHz).

Nous avons tout d’abord utilis´ e l’optimisateur par d´ e- faut d’Ibex avec une erreur de 1e-4 et un temps-limite de 5 minutes.

L’optimiseur atteint le temps-limite pour Wine- Blending1 et WineBlending2 tout en retournant des solutions relativement bonnes :

– pour WineBlending1, apr` es 5 mn de calcul et 7894 nœuds, une erreur de 0.002 est obtenue sur l’ob- jectif (c.-` a-d., l’erreur maximum E).

– pour WineBlending2, en 5 mn et 8520 nœuds, une erreur de 0.0054 est obtenue.

5.3 Analyse algorithmique

Les r´ esultats pr´ ec´ edents ont ´ et´ e obtenus en utilisant la strat´ egie par d´ efaut disponible dans Ibex et qui est bri` evement d´ ecrite ` a la section 4.2.

Nous avons ensuite d´ etermin´ e quelles options par d´ e- faut pouvaient avoir une influence sur la performance.

Cette analyse a ´ et´ e tr` es r´ ev´ elatrice.

Concernant l’aspect contraction (filtrage), l’op´ e- rateur de lin´ earisation sur intervalles X-Newton est

´

etonnamment contre-productif. ` A l’inverse, toutes les contractions sont r´ ealis´ ees par l’op´ erateur HC4 de pro- grammation par contraintes. Dans la mesure o` u le mo- d` ele d’assemblage de vins est majoritairement lin´ eaire, ce r´ esultat n’est pas intuitif. Nous n’avons pas encore suffisamment d’´ el´ ements pour en comprendre la cause.

A l’oppos´ e, nous avons fait une observation plus intuitive sur les r´ egions internes extraites dans la phase d’am´ elioration de la borne sup´ erieure. L’op´ era- teur InHC4, issu des principes de la programmation par contraintes, ne semble pas utile. ` A l’inverse, l’al- gorithme InnerPolytope (dual de X-Newton) s’av` ere crucial pour extraire un polytope int´ erieur de l’espace r´ ealisable. Sans cette fonctionnalit´ e, nous ne pourrions pas obtenir de r´ eponse de l’optimiseur.

La strat´ egie de branchement (bissection) est le se- cond crit` ere ayant une influence majeure sur la per- formance. Nous avons observ´ e que les heuristiques ´ el´ e- mentaires de bissection fournies par Ibex sont inef- ficaces ou peu performantes. L’heuristique largest- First, qui s´ electionne une variable de plus grande largeur, empˆ eche le B&B de trouver un point r´ ea- lisable pendant la recherche arborescente. L’heuris- tique roundRobin offre ´ egalement de mauvaises per- formances, sauf si nous modifions l’ordre statique des variables en nous inspirant de la premi` ere analyse pr´ e- sent´ ee ` a la section 5.4.

Seules les strat´ egies de la famille Smear fonctionnent bien : les approches historiques SmearMax et Smear- Sum [8] ; la variante SmearSumRel appel´ ee par l’opti- miseur par d´ efaut [13], et enfin la variante SmearMax- Rel qui joue un rˆ ole fondamental dans notre probl` eme d’assemblage de vins.

Partant de cette analyse, nous avons ´ elabor´ e une nouvelle strat´ egie. L’op´ erateur X-Newton a tout d’abord ´ et´ e d´ esactiv´ e, ce qui a permis d’am´ eliorer les performances d’un facteur 4 sur les deux instances r´ eelles. Nous avons ensuite compar´ e les quatre va- riantes de l’heuristique Smear. Le tableau 1 pr´ esente les r´ esultats obtenus.

WineBlending 1 2

temps cpu (s) > 300 57 SmearSum pr´ ecision 0.00014 1e-10

#nœuds 21880 4146

temps cpu (s) > 300 > 300 SmearSumRel pr´ ecision 0.0018 0.00017

#nœuds 25864 24270

temps cpu (s) > 300 111 SmearMax pr´ ecision 0.0013 1e-10

#nœuds 25864 8851

temps cpu (s) 0.35 27.4 SmearMaxRel pr´ ecision 1e-10 1e-10

#nœuds 23 2048

Table 1 – Comparaison entre les diff´ erentes variantes de l’heuristique de branchement Smear. Chaque case contient 3 informations sur les r´ esultats obtenus pour une variante donn´ ee sur une des deux instances r´ eelles.

La premi` ere valeur indique le temps CPU (avec un temps-limite de 5 mn) ; la seconde valeur correspond

`

a l’erreur finale (1e-10 signifie que le denier appel ` a l’algorithme du simplexe r´ ealis´ e par InnerPolytope trouve une solution sans erreur (arrondie ` a 1e-10)) ; la troisi` eme valeur indique le nombre de nœuds de bran- chement.

Nous pouvons remarquer que SmearSum, et surtout SmearMaxRel, donnent de bons r´ esultats. C’est pour- quoi nous avons choisi SmearMaxRel pour notre pro- bl` eme d’assemblage de vins.

5.4 Vers une strat´ egie de branchement d´ edi´ ee

Nous avons ´ egalement ´ etudi´ e exp´ erimentalement

quelles variables ´ etaient s´ electionn´ ees dans diff´ erents

processus d’optimisation. Nous avons ainsi d´ etermin´ e

exp´ erimentalement que les variables P _w,b et V _w,b ⁰

doivent ˆ etre souvent s´ electionn´ ees alors que les va-

riables li´ ees ` a l’optimisation du Min-Max doivent l’ˆ etre

moins souvent. Nous avons donc ´ elabor´ e la strat´ egie

Figure 3 – R´ esultats obtenus pour WineBlending1 : les volumes des vins cibles (en bas) sont le r´ esultat de l’assemblage des vins de base (en haut).

d´ edi´ ee suivante :

– seules les variables mentionn´ ees ci-dessus peuvent ˆ

etre s´ electionn´ ees pour la bissection ;

– l’heuristique SmearMaxRel est appliqu´ ee au sous- ensemble de variables s´ electionn´ ees.

Cette heuristique d´ edi´ ee offre des performances ` a peine meilleures que SmearMaxRel (23 secondes contre 27 secondes sur WineBlending2). Nous avons bien sˆ ur besoin de plus d’instances pour mieux apprendre ` a par- tir des donn´ ees.

5.5 Les vins r´ esultats

La figure 3 pr´ esente la solution calcul´ ee pour Wine- Blending1. Les concentrations en arˆ omes (C _w,a ) dans les vins cibles sont d´ etaill´ ees par W = 2 graphes radar

`

a la figure 4. Le fait que les lignes bleues (ˆ c w,a ) soient comprises entre les lignes vertes (ˆ c w,a −ε a et ˆ c w,a +ε a ) montre visuellement que la solution optimale est obte- nue sous le seuil de tol´ erance ε a .

Les concentrations en arˆ omes pour les vins cibles de l’instance WineBlending2 sont illustr´ ees par W = 3 graphes radar ` a la figure 5.

5.6 S´ eance de d´ egustation

Une premi` ere validation qualitative de notre travail a ´ et´ e r´ ealis´ ee en collaboration avec un œnologue. La soci´ et´ e Nyseos lui a demand´ e d’´ elaborer un vin cible en assemblant diff´ erents vins de base. Elle a ensuite ana- lys´ e le vin ´ elabor´ e afin d’identifier les concentrations souhait´ ees en arˆ omes ainsi que les concentrations dans les vins de base. Nyseos a alors soumis ce probl` eme d’assemblage ` a notre outil qui a propos´ e des volumes

`

a assembler diff´ erents de ceux choisis par l’œnologue.

Une d´ egustation en aveugle a enfin ´ et´ e r´ ealis´ ee sur les deux vins produits.

Bien que les deux assemblages soient significative- ment diff´ erents, l’œnologue n’a pas ´ et´ e en mesure de diff´ erencier les deux vins.

Cette unique exp´ erience n’est bien entendu pas suf- fisante pour valider la d´ emarche mais c’est un r´ esultat encourageant pour la pertinence de notre outil.

5.7 Un outil de configuration pour l’assemblage de vins

Les r´ esultats exp´ erimentaux sont encore pr´ elimi- naires et n’ont ´ et´ e obtenus que sur deux cas r´ eels. Ils sugg` erent cependant que la strat´ egie actuelle, ´ even- tuellement dot´ ee d’une heuristique de branchement d´ e- di´ ee, est efficace pour traiter la plupart des cas utiles en pratique. Par cons´ equent, pour mieux r´ epondre aux souhaits des clients, nous pouvons imaginer une utili- sation interactive de notre algorithme d’optimisation,

`

a l’int´ erieur d’un outil de configuration. L’utilisateur pourrait interagir avec le syst` eme via des graphes radar correspondant aux diff´ erents vins cible, comme ceux des figures 4 et 5.

Une fa¸ con de modifier un assemblage est d’augmen- ter (ou diminuer) le poids relatif Ω w d’un vin cible w. Un simple curseur sous chaque graphe radar per- mettrait par exemple de modifier cette valeur, ce qui entraˆınerait le recalcul d’une solution par l’optimiseur.

En suivant la mˆ eme id´ ee, l’utilisateur pourrait mo-

difier le poids λ _w,a d’un arˆ ome a pour un vin w (par

exemple, via un menu contextuel apparaissant lorsque

le curseur de la souris se trouve sur l’axe correspondant

3MH A3MH 4MMP

2- ph´ enyl´ ethanol ac´ etate

d’hexyle

ac´ etate d’isoamyle

b- phenylethyl

ac´ etate

d´ ecanoate d’´ ethyle

hexanoate d’´ ethyle

octanoate d’´ ethyle

IBMP

3MH A3MH 4MMP

2- ph´ enyl´ ethanol ac´ etate

d’hexyle

ac´ etate d’isoamyle

b- phenylethyl

ac´ etate

d´ ecanoate d’´ ethyle

hexanoate d’´ ethyle

octanoate d’´ ethyle

IBMP

Figure 4 – Solution obtenue par notre mod` ele Min-Max sur les deux vins cibles de l’instance WineBlending1.

Chaque axe du graphe radar correspond ` a un compos´ e aromatique. La concentration obtenue C <sub>w,a</sub> (en bleu) doit rester comprise entre les limites impos´ ees par les bornes c <sup>−</sup> <sub>w,a</sub> et c <sup>+</sup> <sub>w,a</sub> (en rouge) tout en restant le plus proche possible de la concentration souhait´ ee ˆ c <sub>w,a</sub> . Cette derni` ere est repr´ esent´ ee par les deux courbes en vert ˆ

c _w,a − ε _a et ˆ c _w,a + ε _a qui traduisent l’erreur de mesure tol´ er´ ee pour l’arˆ ome a correspondant.

du graphe radar), et l’outil d´ eclencherait une nouvelle optimisation. Enfin, une derni` ere possibilit´ e plus intru- sive serait de permettre le renforcement des concen- trations maximales c <sup>+</sup> <sub>w,a</sub> (ou minimales c <sup>−</sup> <sub>w,a</sub> ) admis- sibles pour un arˆ ome a dans un vin w. L’utilisateur pourrait simplement s´ electionner une borne et notre syst` eme ex´ ecuterait deux optimisations afin de d´ eter- miner deux informations (en supposant que c ⁺ _w,a a ´ et´ e s´ electionn´ ee) :

– la plus petite valeur de c ⁺ _w,a possible (en respec- tant les contraintes),

– la plus petite valeur possible de c ⁺ _w,a qui n’aug- mente pas l’erreur globale E.

6 Conclusion

Nous avons pr´ esent´ e dans cet article la premi` ere approche en programmation par contraintes pour r´ e- soudre le probl` eme de l’assemblage de vins. Ce pro- bl` eme peut ˆ etre mod´ elis´ e par un MINLP ou un CSP num´ erique supportant des contraintes disjonctives qui s’av` erent cruciales en pratique. Ces contraintes sont notamment li´ ees ` a des imp´ eratifs physiques sur le transfert d’un volume de vin entre deux cuves. Nous nous sommes attach´ es ` a d´ efinir un mod` ele Min-Max sans op´ erateurs max ou valeur absolue. Nous avons con¸ cu une strat´ egie d’optimisation de l’assemblage de vins qui permet d’obtenir, en quelques secondes, une

solution (sans erreurs sur les volumes ou les concen- trations) pour deux instances r´ eelles fournies par la soci´ et´ e Nyseos. Une s´ eance de d´ egustations r´ ealis´ ee avec un expert œnologue a permis de valider l’int´ erˆ et de cette approche. Ces r´ esultats encourageants per- mettent d’envisager l’utilisation de notre mod` ele dans un outil interactif de configuration d´ edi´ e ` a l’assem- blage de vins.

R´ ef´ erences

[1] I. Araya, G. Trombettoni, and B. Neveu. A Contractor Based on Convex Interval Taylor. In Proc. CPAIOR, pages 1–16. LNCS 7298, 2012.

[2] P. Belotti. Couenne, a user’s manual, 2013. www.coin-or.org/Couenne/couenne- user-manual.pdf.

[3] F. Benhamou, F. Goualard, L. Granvilliers, and J.-F. Puget. Revising Hull and Box Consistency.

In Proc. ICLP, pages 230–244, 1999.

[4] G. Chabert. Interval-Based EXplorer, 2013.

www.ibex-lib.org.

[5] G. Chabert and L. Jaulin. Contractor Program- ming. Artificial Intelligence, 173 :1079–1100, 2009.

[6] L. Dagan. Potentiel aromatique des raisins de

Vitis vinifera L. cv. Petit Manseng et Gros Man-

seng. Contribution ` a l’arˆ ome des vins de pays

2- ph´ enylethanol ac´ etate d’hexyle ac´ etate

d’isoamyle

b- ph´ enyl´ ethyle

ac´ etate

d´ ecanoate d’´ ethyle

hexanoate d’´ ethyle

octanoate d’´ ethyle

2- ph´ enylethanol ac´ etate d’hexyle ac´ etate

d’isoamyle

b- ph´ enyl´ ethyle

ac´ etate

d´ ecanoate d’´ ethyle

hexanoate d’´ ethyle

octanoate d’´ ethyle

2- ph´ enylethanol ac´ etate d’hexyle ac´ etate

d’isoamyle

b- ph´ enyl´ ethyle

ac´ etate

d´ ecanoate d’´ ethyle

hexanoate d’´ ethyle

octanoate d’´ ethyle

Figure 5 – Graphes radar obtenus pour l’instance WineBlending2.

Cˆ otes de Gascogne. PhD thesis, ´ Ecole nationale sup´ erieure agronomique (Montpellier), 2006.

[7] J. Ferrier and D. Block. Neural-network-assisted optimization of wine blending based on sensory analysis. American Journal of Enology and Viti- culture, 52(4) :386–395, 2001.

[8] R.B. Kearfott and M. Novoa III. INTBIS, a por- table interval Newton/Bisection package. ACM Trans. on Mathematical Software, 16(2) :152–157, 1990.

[9] F. Messine. M´ ethodes d’optimisation globale ba- s´ ees sur l’analyse d’intervalle pour la r´ esolu- tion des probl` emes avec contraintes. PhD thesis, LIMA-IRIT-ENSEEIHT-INPT, Toulouse, 1997.

[10] D. B. Moore and T. G. Griffin. Computer blen- ding technology. American Journal of Enology and Viticulture, 29(1) :50–53, 1978.

[11] J. Ninin, F. Messine, and P. Hansen. A Reliable Affine Relaxation Method for Global Optimiza- tion. Technical Report RT-APO-10-05, IRIT, 2010.

[12] M. Tawarmalani and N. V. Sahinidis. A Polyhe- dral Branch-and-Cut Approach to Global Optimi- zation. Mathematical Programming, 103(2) :225–

249, 2005.

[13] G. Trombettoni, I. Araya, B. Neveu, and G. Cha-

bert. Inner Regions and Interval Linearizations

for Global Optimization. In AAAI, pages 99–104,

2011.