HAL Id: hal-01404613
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Submitted on 29 Nov 2016
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Note Technique: calcul de la densité de probabilité du SNR équivalent à un relai de type Amplify and Forward
sans faire la moindre approximation et obtention des performances
Jean-Pierre Cances
To cite this version:
Jean-Pierre Cances. Note Technique: calcul de la densité de probabilité du SNR équivalent à un relai de type Amplify and Forward sans faire la moindre approximation et obtention des performances . [Research Report] Xlim ULR CNRS 7252. 2013. �hal-01404613�
Note Technique: calcul de la densité de probabilité du SNR équivalent à un relai de type Amplify and Forward sans faire la
moindre approximation et obtention des performances
JP Cances, Xlim, UMR CNRS 7252
Résumé : Dans le cadre de cette note technique nous nous intéressons au calcul rigoureux exact de la densité de probabilité du SNR au niveau du récepteur à la destination lorsque l’on utilise un relais intermédiaire de type AF (Amplify and Forward) dans la liaison. En effet, dans la littérature, on approxime le SNR équivalent en négligeant au dénominateur le terme 1 devant la somme des variables aléatoires Y et Z au dénominateur qui représentent les SNR’s équivalents sur la liaison source relais et relais destination. A notre connaissance, les calculs présentés dans cette note technique sont les plus précis existant dans le domaine.
1-Contexte :
Un terminal A communique avec un terminal B via un relais de type AF. Les canaux de propagation sur chacun des liens sont supposés non sélectifs en fréquence avec des coefficients complexes (équivalents en bande de base) h1 et h2. Dans ces conditions, le signal reçu au relais s’écrit :
1 1
( ) . ( ) ( ) (1) r t h s t n t
Le relais amplifie le signal reçu avec un gain G et le renvoie vers le terminal de destination B. Le signal reçu à la destination s’écrit alors :
2 1 1 2
( ) . .( . ( ) ( )) ( ) (2) r t h G h s t n t n t Le rapport signal à bruit en réception au terminal B s’écrit donc :
2 2
1 2
2
2 1 0 0
eq 2 2 2
2 0 2
2
0 0
[ . . ] .
(3)
[ . 1]. 1
.
h h
h h G N N
h G N h
N G N
Terminal A
Terminal B
h
1h
2relai
On choisit gain G pour obtenir une puissance rayonnée par le relais qui reste constante, soit par exemple :
2 2
1 0
1 (4)
G
h N
Le rapport signal à bruit en réception au terminal B s’écrit alors :
2 2
1 2
2
2 1 0 0
eq 2 2 2 2
2 0 2 1
0 0
[ . . ] .
(5)
[ . 1].
1
h h
h h G N N
h G N h h
N N
Ce qui s’écrit encore, en notant
2 1 1
0
h
N et
2 2 2
0
h
N , eq 1 2
1 2 1
.
Lorsque les paramètres h1 et h2 suivent des lois de Rayleigh on sait que 1et2 suivent des lois exponentielles. Pour trouver la densité de probabilité de eq il est d’usage dans la littérature de faire l’approximation suivante :
1 2 1 2
eq
1 2 1 1 2
(6)
Nous nous proposons dans cette note technique d’obtenir un résultat sans la moindre approximation. Il faut donc obtenir la densité de probabilité d’une variable aléatoire T définie
par : .
1 T Y Z
Y Z
où Y et Z suivent des lois exponentielles. From now on, the text will be written in English.
2-Equivalent pdf :
From now on, the text will be written in English. We want to calculate the p.d.f of the random variable:
. 1 T Y Z
Y Z
where Y and Z are two independent random variables with exponential laws of parameters 1 and
2. For simplicity reasons we will assume here that: 1 > 2. -We study at first the c.d.f defined by:
Proba( ) Proba( . ) 1
Proba( . ). ( ).
1
T X Z Y X
Z Y Z Y X Z f Z dZ Z Y
0 0
0
Proba( ) Proba( . ) Proba[ . .( 1)]
1
Proba[ .( ) .( 1)]
.( 1)
Proba( ). ( ). Proba( ). ( ).
.( 1)
Proba( ). ( ). Proba( ). ( ).
[ (
Z Z
Z X Z X
X
Z Z
X
Y
T X Z Y X Z Y X Z Y
Z Y Y Z X X Z
Y X Z Z p Z dZ Y Z p Z dZ
Z X
Y X Z Z p Z dZ Y Z p Z dZ
Z X p y
.( 1) /
0 0
). ]. ( ). ( ).
X Z Z X X
Z Z
X
dy p Z dZ p Z dZ
For the first part the quantity X Z.( 1) Z X
should remain positive, so we have: ZX We begin to calculate:
1
1 1
1
.( 1) / .( 1) /
. 1
0 0
. .( 1) / . .( 1) /
0 . .( 1) /
( ). . .
[ ] [ 1]
1
X Z Z X X Z Z X
y Y
y X Z Z X X Z Z X
X Z Z X
p y dy e dy
e e
e
Then, we obtain:
1 2 2
2 1 2 2
2 1 2 2
1
. .( 1) / . .
2 2
0
. . .( 1) /( ) . .
2 0
. . .( 1) /( ) . .
2
. .( 1) /(
2
Proba( ) (1 ). . . . .
[ ] . . . [ ]
. . . 1
1 .
X
X Z Z X Z Z
X
Z X Z Z X Z Z X
X X
X X Z Z X Z X
X
X Z Z X
T X e e dZ e dZ
e e e dZ e
e e e dZ e
e
) 2.
. Z.
X
e dZ
We use the new variable: ( ) 1. .(X Z 1) 2.
U f Z Z
Z X
for Z[ ,X [, we have:
1 1
2 2
2 2
1 1 2
2
. .( ) . .( 1)
( )
. . .( )
( )
X Z X X Z
U
Z Z X
X X Z X
Z X
2 2 2
1 1 2
2
2 2
2 2 2 1 1
2
. . .( 2. . )
( )
. 2. . . ( ) .
( )
X X Z Z X X
Z X
Z Z X X X
Z X
So this derivative value becomes null for:
2 2
2.Z 2. . .2Z X ( 2 1)X 1.X 0
We have:
2 2 2
2 2 2 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1
2
2 1
. .[( ) . ]
. . . . . .
. .[ ]
X X X
X X X X
X X
We obtain then the solutions:
2
2 2 1 1
2 2
1 2
. / . .[ ] 1
/ . .[1 ]
.[1 / .(1 1) ]
X X X
Z X X
X
X X
The graph of U f Z( ) is depicted on the figure just below:
We denote:
1 1
2
.[1 .(1 1)]
Z X
X
1 2
2
.[1 .(1 1)]
Z X
X
We have here: Z10 and Z20. In these conditions the integral 1. .(X Z 1) /(Z X). 2.Z.
X
I e e dZ
may becalculatedin the following way:
1 2
1
1 2 1 2
1
. .( 1) /( ) .
. .( 1) /( ) . . .( 1) /( ) .
. .
. . . .
X Z Z X Z
X Z
X Z Z X Z X Z Z X Z
X Z
I e e dZ
e e dZ e e dZ
We have:
Z1
1 1
1 2 1
1
1 1 1
2
2 2
1 2
1 1 2 1 1
2 2 2
1 2 1 2
1 1
1 2
. .( 1)
( ) .
. 1 1
.[ .[1 .(1 ) ] 1] . .[1 .(1 ) ]
. / .(1 1/ )
.
1 1 1
.[ .[1 .(1 ) ] 1] .[ .(1 ) .(1 ) ]
/ .(1 1/ ) / .(1 1/ )
1 .[ . .(1
/ .(1 1/ )
f Z X Z Z
Z X
X X X
X X
X X
X X
X X X
X X
X X
1
1 1 2
2 2
1
1 1 1 2
1 2 2 1
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1
.(1 ) ) .(1 ) . . .(1 ) ]
1 1
.[2. .[2. ( ). .(1 ) ]]
/ .(1 1/ ) 2. .(1 )
.( )
/ .(1 1/ )
2. . . .(1 ) ( ).
( )
X X
X X
X X
X
X X
X
X X X
K X
Using the new variable u we obtain:
2
1 1 2 2 1 2 1
2
. .( 1) . .( 1) . .( ) . . .( ) .
X Z . X Z Z Z X Z X Z X
u Z
Z X Z X Z X
This yields:
2
2 1 2 1
2
2 1 2 1 1
.( ) . . .( ) .
. .[ .( ) ] ( ). 0
u Z X Z X Z X
Z Z X u u X
2
1 2 1 2 2 1
2
2 2 2
1 2 1 2 2 1 2
1 2
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 1
1 2
2 2 2
1
.( ) / [ .( ) ] 4. . .( )
2.
.( ) 2. . .( ) 4. . . 4. . .
.( )
2. 2. / 2.
.( ) 2. . .( ) 4. . .
.( )
2. 2. / 2.
.(
X u X u X u
Z
X X u u X u X
X u
Z
X X u u X
X u
Z Z X
2 2 2
1 2 1 2 2 1
2
2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2
2 2 2
2 2
1 2 2 1
1 2
2 2 2
2. . .( ) .( ) 4. . .
) /
2. 2. 2.
[ .( )] .( ) .( ) 4. . .
.( )
2. 2. / 2.
[ .( )] 4. . .[ ]
.( )
2. 2. / 2.
u X u X X
u
u X X X X
X u
Z
u X X X
X u
Z
Then, we calculate:
1 2
2 2
2 1 2 2 1
.( )
.[1 / ]
2. [ .( )] 4. . .[ ]
u X dZ du
u X X X
Hence, we obtain:
1
1 2 1 2
1
. .( 1) /( ) . . .( 1) /( ) .
1 2
2 2
2
( ) 1 2 2 1
1 2
2 2
( ) 2 1 2 2 1
. . . .
.( )
.[ 1 ].
2. [ .( )] 4. . .[ ]
.( )
.[1 ].
2. [ .( )] 4. . .[ ]
Z
X Z Z X Z X Z Z X Z
X Z
u
K X u
K X u
I e e dZ e e dZ
u X
e du
u X X X
u X
e du
u X X X
e
1 2
2 2
( ) 1 2 2 1
.( )
. .
[ .( )] 4. . . .[ 1]
K X
u X
du
u X X X
It is then possible to integrate by parts this last expression:
1 2
2 2
( ) 1 2 2 1
2
1 2 2 1 ( )
2
2
1 2 2 1
( )
.( )
. .
[ .( )] 4. . . .[ 1]
1 .([ .[ [ .( )] 4. . . .[ 1]]]
.[ [ .( )] 4. . . .[ 1]]. )
u
K X u
K X
u K X
u X
I e du
u X X X
e u X X X
e u X X X du
( ) 2
1 2 2 1
2
2
1 2 2 1
2 ( )
1. . [ ( ) .( )] 4. . . .[ 1]
1 . [ .( )] 4. . . .[ 1]. .
K X
u K X
e K X X X X
u X X X e du
The last integral may be expressed as:
2
1 2 1 2
( )
( ) [ .( )] 4. . . .[ 1]. u.
K X
J X
uX X X e du We obtain eventually :1 2 1 2
( ) 2
2 1 2 2 1
2
2
1 2 2 1
2 ( )
.( ) 2. . . .(1 ) 2
1 2 2 1
2
1 2
( ) Proba( )
1 .[ 1. . [ ( ) .( )] 4. . . .[ 1]
1 . [ .( )] 4. . . .[ 1]. .
1 . [ ( ) .( )] 4. . . .[ 1] ...
[ .( )]
K X
u K X
X X X
F X T X
e K X X X X
u X X X e du
e K X X X X
u X
2 1
( )
4. . . .[ 1]. u.
K X
X X e du
It is then possible to simplify the following expression:
2
1 2 2 1
[ ( )K X X.( )] 4. . . .[ X X 1]
1 2 2 1
4. . . .(1 ) 4. . . .( 1) 0
X X X X
So, we obtain:
2
1 2 2 1
( )
( ) Proba( )
1 [ .( )] 4. . . .[ 1]. u.
K X
F X T X
u X X X e du
- In fact we want to deduce the p.d.f of: . 1 T Y Z
Y Z
.
To calculate the derivative of the above integral form, we remark that:
1 2
1 2
2 2
1 2 2 1
( )
.( ) 2
2 1
2. . . .(1 )
( ) [ .( )] 4. . .[ ]. .
( ) 4. . . [ 1]. .
u K X
X t
X X
J X u X X X e du
J X e t X X e dt
The integral form can be written as :
2 2 2 2 2 .
1
2 2 . 2 2 .
1 1
( ) . . . . . .
. 1. . . . 1 1/ . .
t a t
a
a t a t
I a t a e dt t a a e a dt
a t e dt a t t e dt
With: a2. 1. .2 X.(1X) ;we can then use the series expansion of function 1u for u <
1. We have:
1/ 2
2. 1 1
(2 2)!
(1 ) 1 .
2 .( 1)!. !
n n
n
u n u
n n
So, we have:
2 2 . 2 .
2. 1 2
1 1 1
.
2 .
2. 1 2. 1
1 1 1
.
2 .
1 1
(2 2)! 1
( ) . . 1 1/ . . . .[1 . ]. .
2 .( 1)!. ! (2 2)!
.[ . . . . ]
2 .( 1)!. !
1 (2 2)!
.[ . . . .
2 2
a t a t
n n
n a t a t
n n
n a t a t
I a a t t e dt a t n e dt
n n t
n e
a t e dt dt
n n t
e n
a t e dt dt
t
2. 1 2. .12 1
2
0 1 2. 1 2. 1
2
. . ]
.( 1)!. !
1 (2 2)!
.[ ( ) . ( ) . ( )]
2 2 .( 1)!. !
a t
n n
n
n n n
e dt
n n t
a I a EI a n I a
n n
And :
. . .
0 1
1 1
. 1
( ) . . [ . ] 1. .
1 1 1
. .[ . ]
1 1
.(1 ).
a t a t a t
a a t
a
I a t e dt t e e dt
a a
e e
a a a
a a e
And :
.
2. 1 2. 1
1
1 2. . 2 2. . 2 2. .
1 1
. .
2. 2 1 2. 2
1
2. 2
( ) .
1 1
. . [ . . ] . . . .
2 2. 2 2.
1 [ ] . .
2. 2 2. 2
1 . .
2. 2 2. 2
1 . .[
2. 2 (2. 2)
a t
n n
n a t n a t n a t
a
a t a t
n n
a
n
a
I a e dt
t
t e dt t e a t e dt
n n
e a e
n t n t dt
e a I
n n
a e
n e n
2. 3 2
2. 3
. ]
(2. 3) (2. 3)
1 . . .
2. 2 (2. 2) (2. 3) (2. 2).(2. 3)
a
n a
a
n
a I
n n
a e a
e I
n n n n n
By recursion, we obtain immediately :