Quentin De Muynck Tle S3 Spé Maths 02/05/2019
Devoir Maison 9
Notion de limite : Doudou le hamster (18 page 178) Étude asymptotique d’une marche aléatoire
«Doudou, le hamster paresseux, n’a que trois endroits dans sa cage : les copeaux où il dort, la mangeoire où il mange et la roue où il fait de l’exercice. Ses journées se ressemblent : toutes les minutes, il peut changer d’activité ou continer ce qu’il fait. Doudou n’a aucune mémoire...
– Quand il dort, la probabilité qu’il continue à dormir est de 0,9.
– Quand il se réveille, il va manger ou faire de l’exercice de façon équiprobable.
– Un repas de Doudou ne dure qu’une minute, après il faut autre chose.
– Après avoir mangé, Doudou part dans sa roue avec une probabilité de 0,3 ou retourne dormir.
– Quand il court, il part dormir la minute suivante avec un probabilité de 0,8, sinon il continue de courir en oubliant qu’il est déjà un peu fatigué.
» 1. Déterminer la matriceM de transition de ce système.
Soit M ∈ M3,3(R) et soit Dn, Nn et Rn les évènements « Doudou se repose », « Doudou mange » et
« Doudou fait de la roue » à la minute nrespectivement.
Modélisons d’abord la situation par un graphe :
Dn
Nn Rn
0,05 0,05
0,9
0,7
0,3
0,8
0,2
Ainsi, la matrice de transition M dans l’ordre alphabétique est :
M =
0,9 0,05 0,05 0,7 0 0,3 0,8 0 0,2
où m2,3 =P(Rn+1|Nn) =P(Nn)(Rn+1)
2. Initialement, Doudou dort. Quelle est la probabilité que, deux minutes plus tard, Doudou dort encore ? Qu’il court ? Qu’il mange ?
On définit (Sn) ∈ (M1,3(R))N telle que Sn = (
P(Dn) P(Nn) P(Rn))
. La suite s’exprime comme suit :
∀n∈N∗, Sn+1 =SnM
Démonstration. Montrons par récurrence que la propriétéP(n) :«Sn=S0Mn» est vraie pour tout entier naturel n:
• n= 0 : S0 =S0 S0 =S0M0=S0I3 =S0, P(0)est vraie.
Soit n∈N, fixé, tel queP(n) est vraie. Montrons que P(n+ 1) est aussi vraie :
Sn=S0Mn (par hypothèse de récurrence)
⇔SnM =S0MnM
⇔Sn+1 =S0Mn+1 (par définition)
C’est exactement P(n+ 1). Ainsi,P(0)est vraie, P(n) est héréditaire, par principe de récurrence, P(n)
est vraie pour tout entier naturel n.
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Quentin De Muynck Tle S3 Spé Maths 02/05/2019
D’après l’énoncé, on a S0 =(
1 0 0)
On calcule doncS2 :
M2 =
0,9 0,05 0,05 0,7 0 0,3 0,8 0 0,2
2
=
0,92+ 0,05×0,7 + 0,05×0,8 0,05×0,9 0,05×0,9 + 0,3×0,05 + 0,2×0,05 0,7×0,9 + 0,3×0,8 0,05×0,7 0,05×0,7 + 0,2×0,3
0,8×0,9 + 0,2×0,2 0,05×0,8 0,8×0,05 + 0,22
=
0,885 0,045 0,07 0,87 0,035 0,095 0,88 0,04 0,08
S2 =S0M2 =(
1 0 0)
×
0,885 0,045 0,07 0,87 0,035 0,095 0,88 0,04 0,08
=(
0,885 0,045 0,07) . Ainsi on a P(D2) = 0,885, P(N2) = 0,045et P(R2) = 0,07.
3. (a) À l’aide de la calculatrice, calculer M20, M40, M60, M100. Quelle conjecture fait-on sur la suite (Mn)? On admet le résultat.
On conjecture que la suite (Mn)converge, et on obtient l’approximation à10−6 :
n→lim+∞Mn=M∞=
a b c a b c a b c
où a≈0,883978, b≈0,044199, etc≈0,071823
(b) Avec ce modèle, à long terme, quel sera le temps de sommeil probable de Doudou chaque jour ?
S∞= lim
n→+∞S0Mn=S0M∞=(
1 0 0)
a b c a b c a b c
=(
a b c)
≈(
0,883978 0,044199 0,071823)
Ainsi, P(D∞) ≈ 0,883978. De plus 24 h = 24×60 min = 1 440 min. Ainsi, Doudou a un temps de sommeil probable de T ≈1440×0,883978 = 1 273 min = 21 h 12 min par jour.
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