SUJET 11

8-1- 2009 J.F.C. S 11 p. 1

SUJET 11

Rappel

∀(a, b)∈R², cosacosb= 1

2(cos(a+b) + cos(a−b)).

∀(a, b)∈R², sinacosb=1

2(sin(a+b) + sin(a−b)).

∀(p, q)∈R², sinp−sinq= 2 cos p+q

2

sin p−q

2

.

∀a∈R, ∀k∈Z, cos(a+kπ) = (−1)^k cos(a) et sin(a+kπ) = (−1)^k sin(a).

Pas de changement de variable ni d’int´egration par parties sur des int´egrales g´en´eralis´ees.

Dans tout le probl`emeαest un r´eel strictement sup´erieur `a 1 etλ= 1 α . PARTIE I

Q1 kest ´el´ement de N^∗. On pose uk = Z π

0

cos(λx) cos(kx) dx. Montrer que :

uk= (−1)^ksin(λπ) λ²−k² λ .

Q2 Soientxun r´eel etnun ´el´ement deN^∗. On poseCn(x) =

n

X

k=1

cos(kx) =<e

n

X

k=1

e^ikx

! . Montrer que si xn’est pas un multiple de 2π:

C_n(x) =1 2

sin ²ⁿ⁺¹₂ x sin ^x₂ −1

2· (suite g´eom´etrique ou r´ecurrence...)

Q3 On pose :∀x∈]0, π], Φ(x) = cos(λx)−1

sin(x/2) et Φ(0) = 0.

Montrer que Φ est continue sur [0, π] et de classeC¹sur ]0, π].

Calculer Φ⁰(x) pour tout ´el´ement xde ]0, π].

Montrer enfin que Φ est de classe C¹ sur [0, π].

Prouver `a l’aide d’une int´egration par parties que lim

γ→+∞

Z π

0

Φ(x) sin(γx) dx= 0 (Riemann-Lebesgue... ne pas rem- placer Φ par sa valeur).

Q4 Soitnun ´el´ement de N^∗. Montrer que :

n

X

k=1

uk =1 2

Z π

0

φ(x) sin2n+ 1 2 x

dx+1 2

Z π

0

sin (²ⁿ⁺¹₂ )x

sin^x₂ dx−sin(λπ) 2λ · (partir d’un cˆot´e ou de l’autre et prendre son temps).

J.F.C. S 11 p. 2 Q5 On pose pour tout ´el´ement ndeN,In=

Z π

0

sin (²ⁿ⁺¹₂ )x sin^x₂ dx.

Montrer que la suite (In)n>0 est constante. CalculerI0. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral un converge et que :

+∞

X

k=1

uk =π

2 −sin(λπ) 2λ

PARTIE II

Q1 a) Montrer que les int´egralesI= Z 1

0

x^λ−1

1 +xdx,J = Z 1

0

x^−λ

1 +xdxet K= Z +∞

0

1

1 +x^αdxexistent.

b) Montrer que I= 1 λ

Z 1

0

1

1 +t^αdt (posert=x^λ). Montrer queJ = 1 λ

Z +∞

1

1

1 +t^αdt(poser t=x^−λ).

En d´eduire une relation simple entre I,J et K.

Q2 Pour toutndansN^∗on pose A_n= Z 1

0

hXⁿ

k=0

(−1)^kx^ki

x^λ−1dxetB_n= Z 1

0

hXⁿ

k=1

(−1)^k−1x^k−1i x^−λdx.

a) pest dans Net xdans [0,1]. Calculer

p

X

k=0

(−1)^kx^k.

Montrer que :

p

X

k=0

(−1)^kx^k− 1 1 +x

6x^p+1.

b) En d´eduire une majoration simple de |An−I|et |Bn−J| pourndansN^∗. c) Montrer que : lim

n→+∞A_n=I et lim

n→+∞B_n=J.

Q3 Soitnun ´el´ement de N^∗. CalculerAn et Bn. En utilisant I Q1 v´erifier que :A_n+B_n− 2

sin(λπ)

n

X

k=1

u_k= 1 λ· En d´eduire que :

K= Z +∞

0

1

1 +x^αdx= λπ sin(λπ)=

π α

sin^π_α·

PARTIE III

Dans cette partie on consid`ere la fonctionf:x→ Z +∞

0

e^−xtα

1 +t^αdt. On rappelle queαest un ´el´ement de ]1,+∞[

Q1 Soitγun r´eel positif ou nul.

a) Montrer que Z 1

0

t^γe^−xtα

1 +t^α dt converge pour tout r´eel x.

b) Montrer que si xest strictement positif, Z +∞

1

t^γe^−xtα 1 +t^α dtet

Z +∞

0

t^γe^−xtα

1 +t^α dtconvergent.

Q2 a) Montrer que le domaine de d´efinition def estR⁺ (faire trois cas).

b) On se propose de montrer `a la main que lim

x→+∞f(x) = 0. Donner la d´efinition de lim

x→+∞f(x) = 0.

J.F.C. S 11 p. 3 Soitεun r´eel strictement positif.

Montrer que∀x∈]0,+∞[, 06f(x)6 Z ^ε₂

0

1 dt+e^−x(^ε₂)^αZ +∞

ε 2

1

1 +t^αdt6 ε

2+f(0)e^−x(^ε₂)^α. Achever de prouver le r´esultat.

Q3 On se propose de montrer que f est d´erivable surR^+∗ et que :

∀x∈R^+∗, f⁰(x) = Z +∞

0

−t^αe^−xtα 1 +t^α dt Soitc un ´el´ements deR^+∗ ethun r´eel non nul tel que|h|6 c

2. a) Justifier tr`es rapidement queg(c) =

Z +∞

0

t^αe^−ctα 1 +t^α dtet

Z +∞

0

t^2α

1 +t^α e^−(c/2)tαdtexistent.

b) Montrer que :∀u∈R, |e^u−1−u|6 ^u2²e^|u|. c) On pose ∆(h) = f(c+h)−f(c)

h +g(c). Montrer que :

|∆(h)|6|h|

Z +∞

0

t^2α

1 +t^α e^−(c/2)tαdt.

Conclure.

Dans la suite nous admettrons que f⁰ est continue surR^+∗ (cela se montre sans difficult´e).

Q4 On se propose de montrer que f est continue en 0.

a) Donner la d´efinition de lim

x→0f(x) =f(0).

b) Montrer que si xet Asont deux r´eels positifs :

|f(x)−f(0)|6 Z A

0

|e^−xtα−1|dt+ 2 Z +∞

A

2

1 +t^αdt6x Z A

0

t^αdt+ 2 Z +∞

A

2 1 +t^αdt

c) Soit εun r´eel strictement positif. Montrer que l’on peut trouver un r´eel positifAtel que : Z +∞

A

1

1 +t^αdt < ε 4 Achever de prouver le r´esultat.

Q5 a) Montrer que pour tout r´eelxstrictement positif :

f⁰(x) =f(x)−x^−α1Γ(1 + 1 α) b) En d´eduire que pour r´eel xstrictement positif :

f(x)e^−x= Γ(1 + 1 α)

Z +∞

x

e^−tt^−1/αdt.

(on pourra consid´ererh:x→f(x)e^−xet int´egrerh⁰).

Montrer que ceci vaut encore pourx= 0.

Q6 D´eduire de (tout) ce qui pr´ec`ede que :∀z∈]0,1[, Γ(z)Γ(1−z) = π sin(πz)·