• Aucun résultat trouvé

Brevet de technicien supérieur 9 mai 2017 - groupement A1 - CIRA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Brevet de technicien supérieur 9 mai 2017 - groupement A1 - CIRA"

Copied!
8
1
0
En savoir plus ( Page)

Texte intégral

(1)

A.P.M

Brevet de technicien supérieur 9 mai 2017 - groupement A1 - CIRA

Exercice 1 11 points

Les 4 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice on s’inté- resse à l’évolution, en fonction du temps, de la vitesse de rotation d’un moteur à courant continu.

Partie A : Étude de la vitesse de rotation du moteur lors de son démarrage

Dans un premier temps, le moteur à courant continu utilisé n’est soumis à aucune charge mécanique.

La vitesse de rotation de ce moteur, exprimée en tour par seconde (tour/s), est notéeω. Elle dépend du tempst, exprimé en seconde (s), écoulé depuis le démarrage du moteur.

La courbe ci-dessous représente l’évolution de cette vitesse en fonction du temps.

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0 5 10 15

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0 5 10 15

vitesse en tours par seconde

temps en secondes

1. Répondre aux questions suivantes à l’aide de la représentation graphique ci-dessus.

a. Quelle est la vitesse de rotation du moteur à l’instantt=0?

b. Quelle est la vitesse de rotation du moteur une seconde après le démarrage ? c. Vers quelle valeurωSsemble se stabiliser la vitesse de rotation du moteur ?

d. Avec la précision permise par le graphique, déterminer au bout de combien de temps on atteint 95 % de la vitesse stabilisée. Expliquer.

(2)

2. On admet que, dans les conditions de fonctionnement étudiées dans la partie A, la vitesse de rotation du moteur est modélisée par la fonctionωdéfinie pourt>0 par :

ω(t)=15−(30t+15)e2t

a. On noteωla fonction dérivée deω. Justifier que pourt>0 : ω(t)=60te2t. b. En déduire le sens de variation de la fonctionωsur [0 ;+∞[.

c. Calculerω(0). Donner une interprétation graphique du résultat.

Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour les parties B et C de l’exercice Équation différentielle sans second

membre

Solutions surR a y′′+by+c y = 0 avec a, b et c des

constantes réelles.

• Si∆>0 : t7−→Aer1t+Ber2t, avecA,Bconstantes réelles etr1, r2les solutions de l’équation caractéris- tique.

Équation caractéristique :ar2+br+c=0 de discriminant∆.

• Si∆=0 : t7−→(At+B)er t, avecA,Bconstantes réelles etrla solution de l’équation caractéristique.

• Si∆<0 :t7−→eαt[Acos(βt)+Bsin(βt), avecA, B constantes réelles etα+iβetα−iβles solutions de l’équation caractéristique.

Partie B : Résolution d’une équation différentielle permettant d’obtenir la vitesse de rotation Sous certaines conditions de charge, la vitesse de rotation d’un moteur à courant continu soumis à une tension constanteU, exprimée en Volt (V), est solution de l’équation différentielle

(E) : 1

4y′′+y+y=U

k, oùkest une valeur caractéristique du moteur.

1. On note (E0) l’équation homogène associée à (E). On a donc : (E0) : 1

4y′′+y+y=0.

Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0).

2. Vérifier que la fonction constanteg: t7−→U

k est une solution de l’équation différentielle (E).

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle de (E).

4. En prenantk =2

3 etU=10 V montrer que la fonctionωdonnée dans la question A. 2. est la solution de l’équation différentielle (E) vérifiant les conditions initialesy(0)=0 ety(0)=0.

Partie C : Détermination de la vitesse de rotation d’un moteur à courant continu à partir des prin- cipes de la physique

D’une manière plus générale on démontre que la vitesse de rotation du moteur alimenté par une tension continueUvérifie l’équation différentielle

(E1) : α2y′′+2mαy+y=U k,

α,metksont des paramètres strictement positifs dépendant des caractéristiques physiques du moteur étudié (résistance, inductance, moment d’inertie).

Dans cette partie on prend :U=10 V;α=0,3; m=0,6 etk=2 3.

(3)

L’équation différentielle (E1) s’écrit donc :

0,09y′′+0,36y+y=15.

1. Résoudre dansCl’équation : 0,09z2+0,36z+1=0.

2. Parmi les quatre fonctions proposées ci-dessous, une seule est solution de l’équation différen- tielle (E1) et vérifie les conditions initialesy(0)=0 ety(0)=0.

Quelle est cette fonction ? Justifier la réponse.

Fonction 1: t7−→15h

1−e83t¡

cos(2t)+3

4sin(2t)¢i Fonction 2: t7−→15£

1−e2t¡ cos¡8

3t¢ +3

4sin¡8

3t¢¢¤

Fonction 3: t7−→15e23t−15e143t Fonction 4: t7−→15−e2t£

cos¡8

3t¢ +3

4sin¡8

3t¢¤

3. La solution de l’équation différentielle (E1) qui vérifie les conditions initialesy(0)=0 ety(0)=0 modélise l’évolution de la vitesse du moteur en fonction du temps dans les conditions étudiées dans la partie C. Elle est représentée ci-dessous.

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0 5 10 15

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0 5 10 15

vitesse en tours par seconde

temps en secondes

D’après cette modélisation, quelle est la vitesse maximale du moteur ? À quel moment, environ, est-elle atteinte ?

Partie D : Comportement d’un moteur soumis à différents sauts de tension

(4)

Une boucle de régulation de vitesse permet à présent de faire fonctionner le moteur à différentes vitesses. La tension d’entrée vaut successivement 10 V, 30 V puis 20 V. La vitesse de rotation du moteur est alors analysée et illustrée par le graphique ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

vitesse en tours par seconde

temps en secondes

1. Déterminer à l’aide du graphique les trois instants où les tensions ont été modifiées. On ne demande pas de justification.

2. Représenter sur le document réponse (page 9) la tension d’entréee, exprimée en Volt, appli- quée aux bornes du moteur en fonction du tempst, exprimé en seconde.

3. On désigne parU la fonction causale unité. On rappelle que : U(t)=0 sit<0 etU(t)=1 sinon.

Pour exprimer la tension d’entréee(t) appliquée aux bornes du moteur à l’instanttun étudiant propose l’expressione(t)=10U(t)+30U(t−3)−20U(t−7) et remplit le tableau donné sur le document réponse.

(5)

a. Compléter, sur le document réponse, le tableau rempli par l’étudiant.

b. Une fois qu’il a terminé de remplir le tableau, l’étudiant se rend compte qu’il a donné une expression inexacte dee(t). Expliquer pourquoi.

c. Donner l’expression exacte dee(t). On n’attend pas de justification.

Exercice 2 9 points

Les deux parties suivantes sont indépendantes. Elles peuvent être traitées dans n’importe quel ordre

PARTIE A :

On appellef la fonction définie surR, paire, périodique de périodeπ, vérifiant : f(t)=tsin(t) pourt

h0 ; π 2

i.

1. Parmi les quatre courbes suivantes quelle est celle qui représente la fonction f? On n’attend pas de justification.

Courbe 1

π π

2 π

2 π

2

Courbe 2

π

2 π

2 π

2

Courbe 3

π π

2 π

2 π

2

Courbe 4

π −π

2 π

2 π

2

2. On admet que la fonctionf est développable en série de Fourier.

On noteSson développement en série de Fourier.

On rappelle que : S(t)=a0+P+∞

n=1(ancos(nωt)+bnsin(nωt)), avecω=2π

T , Tpériode def ; a0 = 1

T Za+T

a f(t) dt. Pour n > 1 : an = 2 T

Za+T

a f(t)cos(nωt) dt et bn = 2

T Za+T

a

f(t)sin(nωt) dt

avecaconstante réelle quelconque.

a. Justifier quebn=0 pour toutnentier naturel supérieur ou égal à 1.

(6)

b. Montrer que la fonction g définie pour tout réelt parg(t)= −tcos(t)+sin(t) est une primitive de la fonction définie surRpart7→tsint.

c. La fonction étant paire et de périodeπ,a0vérifiea0=2

π

Zπ2

0 f(t)dt.

Vérifier quea0=2

π. Écrire les étapes du calcul effectué.

3. On admet que pour tout entier natureln>1 :an=π2(1)n

³ 1

(2n+1)2+ 1

(2n1)2

´

Donner les valeurs dea1eta2arrondies au millième.

4. On notefele nombre positif vérifiantfe2=1 π

Zπ

0 f2(t)dt.

On admet que l’expressiona20+1

2

X2 n=1

(a2n+bn2), obtenue d’après la formule de Parseval, permet d’obtenir la valeur approchée defe2au millième.

a. Calculer la valeur approchée defe2au millième.

b. Sif modélise un signal de périodeπ, que représentefe? PARTIE B : Étude de quelques propriétés d’un filtre numérique

• Le signal causal d’entrée d’un filtre numérique, notée(n), est l’échelon unité discret.

On a donc :e(n)=

½ 0 si n<0 1 si n>0

• Le signal causal de sortie de ce filtre numérique est notéx(n) et vérifie, pour tout entier relatif n:x(n)−x(n−2)=0,04e(n−1). (∗)

1. a. Justifier quex(0)=0.

b. Calculerx(1),x(2),x(3),x(4) etx(5). Détailler au moins un des calculs sur la copie.

Dans les questions 2 et 3, on note E(z) etX(z) les transformées enZrespectives des signaux causaux e(n) etx(n).

On donne les formules suivantes :

Signal causal Transformée enZ

n→1 z

z−1 nd(n)

d(0)=1 etd(n)=0 sinon. 1

nn z

(z−1)2

nanavecaréel non nul. z

(z−a) Propriétés

nx(n) X(z)

y:nanx(n) avecaréel non nul Y(z)=X¡z

a

¢

y:nx(n−n0) pourn>n0 Y(z)=zn0X(z) y:nx(n+1) Y(z)=z[X(z)−x(0)]

y:nx(n+2) Y(z)=z2£

X(z)−x(0)x(1)z1¤ 2. a. Quelle est l’expression de E(z) ?

b. Exprimer en fonction dezla transformée enZde 0,04e(n−1).

(7)

c. Exprimer en fonction dezet deX(z) la transformée enZdex(n)x(n−2).

d. Déduire de l’égalité (*) que :X(z)= 0,04z2 (z−1)2(z+1). 3. On admet queX(z) peut s’écrire :X(z)= 0,02z

(z−1)2+0,01z

z−1 −0,01z z+1.

a. En déduire que pour tout entier natureln:x(n)=0,02n+0,01(1−(−1)n).

b. On rappelle que : (−1)2n+2=1 et (−1)2n+1= −1.

Montrer quex(2n+1)=x(2n+2) pour tout entier natureln.

c. Représenter dans un repère à tracer sur la copie les termes du signal causalx(n) pourn compris entre−2 et 6.

(8)

DOCUMENT RÉPONSE à rendre avec la copie EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 2 :

5 10 15 20 25 30 35 40 45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

tension en Volt

temps en secondes

EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 3. a. :

t −∞ 0 3 7 +∞

10U(t) 30U(t−3)

−20U(t−7) e(t)

Références

Documents relatifs

Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de 0, 25 mole par litre3. (a) Calculer, en

Le système réagit de sorte que l'erreur de vitesse  v (issue de la comparaison de la consigne de vitesse V c et du retour vitesse V r ) s’annule.. Le branchement de la

Determination of plasma CgA and EM66 concentrations in the same group of patients revealed that the test assays for these markers had an overall 84% diagnostic sensitivity, which

La commande du hacheur, ainsi que la mesure de la vitesse du moteur sont gérés par le port parallèle de l’ordinateur..

A tension de commande constante (Ve=constante), quel intérêt peut présenter une boucle d'asservissement vis à vis des variations de couple résistant de la

En supposant une amplification statique infinie dans la chaîne directe, quel doit être la valeur de la constante statique dans la boucle de retour.. Soit K1 cette

On insère entre a et b le montage ci-contre, (correcteur par avance de phase). Tracer le diagramme de BODE du correcteur. Déterminer la nouvelle FT comportant le correcteur PD. Tracer

Compléter le fichier parvex.m afin de tracer la FTBO (Bode) du système corrigé (faire le produit du numérateur et du dénominateur de la FTBO avec le numérateur et le dénominateur

Dans cet exercice on s’inté- resse à l’évolution, en fonction du temps, de la vitesse de rotation d’un moteur à courant continu.. Partie A : Étude de la vitesse de rotation

Le service Packaging de l’entreprise réalise une étude sur la longueur et la largeur des tablettes fabri- quées afin qu’elles soient compatibles avec les dimensions des

On désigne par Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 billes prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces billesa. Une seule

où y est une fonction inconnue de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur [0 ; +∞[, y ′ la fonction dérivée de y et y ′′ sa fonction dérivée

Dans toute la suite, on considère le plant de Douglas étudié dans la partie 1, dont le volume de bois fort est donné par le premier tableau de la partie 1.. L’utilisation

Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale en an- nexe 1, en laissant apparents les traits de construction.. On note e et d les images respectives de E et D

Dans un atelier de l’usine où la température ambiante est 20°C, on admet qu’en appliquant la loi de Newton, la fonction correspondant à la température (en °C) de la monture

Pour cela il propose l’installa- tion d’un élément chauffant dont la puissance doit permettre de compenser les pertes thermiques et de réaliser la montée en température en un

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 batteries prélevées au hasard dans la production, associe son autonomie moyenne.. Énoncer la règle de décision

du document réponse 2 permet de comparer les réponses à l’échelon unité du système analogique et du

On appelle X la va- riable aléatoire qui, à chaque chaîne ainsi reçue, associe le nombre d’erreurs de transmission, c’est-à-dire le nombre de 0 obtenus.. On rappelle que

On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonction y de la variable réelle t, solution de l’équation différentielle :.. y ′′ (t) +4y (t) =

On appelle Z la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’une année de 365 jours.. Donner,

Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés d’un filtre numérique N et de comparer des effets de ce filtre avec ceux d’un filtre analogique A..

Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère du