Application des dérivées STI2D 1
Application des dérivées
I. Sens de variation et extrema Activité p 90
A- Signe de la dérivée f’ et sens de variation de 𝒇 Propriété
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si 𝒇’(𝒙) > 𝟎 sur I, alors f est strictement croissante sur I.
Si 𝒇’(𝒙) < 𝟎 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Si 𝒇’(𝒙) = 𝟎 sur I, alors f est constante sur I.
B- Extremum local et dérivée Définition
On appelle extremum local un minimum ou un maximum local.
𝑓 admet un minimum local 𝑚 = 𝑓(𝛼) sur I en 𝛼 si pour tout 𝒙 ∈ 𝑰, 𝒇(𝒙) > 𝒇(𝜶)
𝑓 admet un maximum local 𝑀 = 𝑓(𝛽) sur I en 𝛽 si pour tout 𝒙 ∈ 𝑰, 𝒇(𝒙) < 𝒇(𝜷)
Propriété
Si 𝑓(𝑥0) est un extremum local sur l’intervalle ]𝑎 ; 𝑏[, alors 𝑓′(𝑥0) = 0.
La courbe C représentative de la fonction f admet une tangente horizontale au point (𝑥0, 𝑓(𝑥0))
Voir exercice résolu 1 p 91 Applications n°1 – 2 p 91
Exercices n°1 à 4 – 5 à 13 (questions 1 à 4) – 14 à 16 p 95 - 96
II. Nombre de solution d’une équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 Définition
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle I.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑘 revient à rechercher dans le tableau de variation le nombre de fois où la fonction prend la valeur 𝑘.
On peut localiser la (ou les) solution(s) en précisant à quel(s) intervalle(s) [𝑓(𝑎); 𝑓(𝑏)] appartient k.
Exemple
𝑓 est une fonction définie et dérivable sur [−2 ; 2] dont le tableau de variation est le suivant :
L’équation 𝑓(𝑥) = 1 admet deux solutions dans [−2 ; 2] (f n’est pas monotone sur [−2 ; 2]) L’équation 𝑓(𝑥) = 1 admet une solution dans 0 ; 2] (f est strictement croissante sur [0 ; 2])
Voir exercice résolu 2 p 93 Applications n°1 – 2 p 93
Exercices n°17 à 20 p 96 – QCM n°27 – 28 p 99
Problèmes n°29 – 31 – 32 – 33 – 34 – 37 – 39 – 40 – 42 p 99 à 104 Fiche de synthèse p 94
