Masques, bits, logique et arithm´etique

(1)

logique et arithm´etique

J.-M Friedt

Masques, bits, logique et arithm´ etique

J.-M Friedt

FEMTO-ST/d´epartement temps-fr´equence [email protected]

transparents `ajmfriedt.free.fr

27 f´evrier 2021

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(2)

J.-M Friedt

Affichage de valeurs num´ eriques :

hexad´ ecimal

On suppose avoir une fonction qui affiche une chaˆıne de caract`eres.

Quelle est la d´efinition d’une chaˆıne de caract`eres en C ? Comment en connaˆıtre la fin ?¹

On veut afficher en hexad´ecimal des nombres cod´es sur 8, 16 et 32 bits.

Approche na¨ıve :

#i n c l u d e <s t d i o . h>

i n t main ( ) {c h a r c [ 2 5 6 ] ;

i n t 3 2 t a =10;

s p r i n t f ( c ," % d ", a ) ; }

donne un ex´ecutable qui occupe 1840 octets de programme

$ a v r−g c c −mmcu=a t m e g a 3 2 u 4 s o u r c e . c

$ a v r−o b j c o p y −O b i n a r y a . o u t a . b i n

−r w x r−x r−x 1 j m f r i e d t j m f r i e d t 1840 Jan 13 1 6 : 5 4 a . b i n 1. voiraffiche chaine.c

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(3)

J.-M Friedt

Remplacer sprintf() – 8 bits

Soit un entier sur 8 bits c : remplir la chaine de caractèresbuffer avec les chiffres représentant cen hexadécimal (utiliser masques et divisions : 5 lignes)

man ascii

2 3 4 5 6 7 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 --- --- 0: 0 @ P ‘ p 0: ( 2 < F P Z d n x

1: ! 1 A Q a q 1: ) 3 = G Q [ e o y

2: " 2 B R b r 2: * 4 > H R \ f p z 3: # 3 C S c s 3: ! + 5 ? I S ] g q { 4: $ 4 D T d t 4: " , 6 @ J T ^ h r | 5: % 5 E U e u 5: # - 7 A K U _ i s } 6: & 6 F V f v 6: $ . 8 B L V ‘ j t ~ 7: ’ 7 G W g w 7: % / 9 C M W a k u DEL 8: ( 8 H X h x 8: & 0 : D N X b l v 9: ) 9 I Y i y 9: ’ 1 ; E O Y c m w A: * : J Z j z

B: + ; K [ k { C: , < L \ l | D: - = M ] m } E: . > N ^ n ~ F: / ? O _ o DEL

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(4)

J.-M Friedt

Remplacer sprintf() – 8 bits

Soit un entier sur 8 bits c : remplir la chaine de caractèrest avec les chiffres représentant cen hexadécimal

#i f d e f PC

#i n c l u d e<s t d i o . h>

#e n d i f

v o i d c (c h a r c ,c h a r ∗t )

{t [ 0 ] = ( ( c&0 x f 0 )>>4)+’ 0 ’;i f ( t [0]>’ 9 ’) t [ 0 ] + = 7 ; t [ 1 ] = ( c&0 x 0 f )+’ 0 ’; i f ( t [1]>’ 9 ’) t [ 1 ] + = 7 ; t [ 2 ] = 0 ;

} i n t main ( ) {c h a r t [ 2 5 6 ] ;

c h a r c c=0x 4 2 ; c ( cc , t ) ;

#i f d e f PC p r i n t f (" % s \ n ", t ) ;

#e l s e a f f i c h e ( t ) ;

#e n d i f }

$ a v r−g c c −mmcu=a t m e g a 3 2 u 4 s o u r c e . c

$ a v r−o b j c o p y −O b i n a r y a . o u t a . b i n

−r w x r−x r−x 1 j m f r i e d t j m f r i e d t 430 Jan 14 1 3 : 5 3 a . b i n

Code compilable sur AVRet PC :gcc -DPC fichier.c

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(5)

J.-M Friedt

Remplacer sprintf() – 16 bits

Soit un entier sur 16 bitss : remplir la chaine de caractères buffer avec les chiffres représentants en hexadécimal (2 lignes)

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(6)

J.-M Friedt

Remplacer sprintf() – 16 bits

Soit un entier sur 16 bitss: remplir la chaine de caractères tavec les chiffres représentant sen hexadécimal

#i f d e f PC

#d e f i n e a f f i c h e p r i n t f

#e l s e

#d e f i n e a f f i c h e

#e n d i f

// b i e n p e n s e r a f i n i r p a r l ’ o c t e t de p o i d s f a i b l e ( d ’@ l a p l u s f o r t e ) c a r on // a j o u t e \0 a l a f i n de l a c h a i n e

}

v o i d s (s h o r t s ,c h a r ∗t ) {c ( ( s &0 x f f 0 0 )>>8,&t [ 0 ] ) ;

c ( s &0 x f f ,& t [ 2 ] ) ; }

i n t main ( ) {c h a r t [ 2 5 6 ] ;

c h a r c c=0x 4 2 ; s h o r t s s =0x 5 6 7 8 ; l o n g l l =0x 1 2 3 4 5 6 7 8 ; c ( cc , t ) ; a f f i c h e (" % s \ n ", t ) ; s ( s s , t ) ; a f f i c h e (" % s \ n ", t ) ; }

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(7)

J.-M Friedt

Remplacer sprintf() – 32 bits

Soit un entier sur 32 bitsl : remplir la chaine de caractères buffer avec les chiffres représentantl en hexadécimal (2 lignes)

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(8)

J.-M Friedt

Remplacer sprintf() – 32 bits

Soit un entier sur 32 bitsl: remplir la chaine de caractères tavec les chiffres représentant len hexadécimal

#i f d e f PC

#d e f i n e a f f i c h e p r i n t f

#e l s e

#d e f i n e a f f i c h e

#e n d i f

}

v o i d s (s h o r t s ,c h a r ∗t ) {c ( ( s &0 x f f 0 0 )>>8,&t [ 0 ] ) ;

c ( s &0 x f f ,& t [ 2 ] ) ; }

v o i d l (l o n g l ,c h a r ∗t )

{s ( ( l &0 x f f f f 0 0 0 0 )>>16,&t [ 0 ] ) ; // idem que t s ( l &0 x f f f f ,& t [ 4 ] ) ;

} i n t main ( ) {c h a r t [ 2 5 6 ] ;

c h a r c c=0x 4 2 ; s h o r t s s =0x 5 6 7 8 ; l o n g l l =0x 1 2 3 4 5 6 7 8 ; c ( cc , t ) ; a f f i c h e (" % s \ n ", t ) ; s ( s s , t ) ; a f f i c h e (" % s \ n ", t ) ; l ( l l , t ) ; a f f i c h e (" % s \ n ", t ) ; }

-rwxr-xr-x 1 jmfriedt jmfriedt 662 Jan 13 17 :08 a.bin

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(9)

J.-M Friedt

Echanger deux variables ´

Proposer une fonction qui prend en argument deux entiers aetb, et intervertit leur contenu

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(10)

J.-M Friedt

Echanger deux variables ´

Est-ce que ce programme fonctionne ?

v o i d f (i n t a ,i n t b ) {i n t tmp ;

p r i n t f (" % d % d - > ", a , b ) ; tmp=a ; a=b ; b=tmp ;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; }

i n t main ( ) {i n t a =1 , b =2;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; f ( a , b ) ; p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; }

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(11)

J.-M Friedt

Echanger deux variables ´

Est-ce que ce programme fonctionne ?

v o i d f (i n t a ,i n t b ) {i n t tmp ;

p r i n t f (" % d % d - > ", a , b ) ; tmp=a ; a=b ; b=tmp ;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; }

i n t main ( ) {i n t a =1 , b =2;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; f ( a , b ) ; p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; }

donne

1 2

1 2 −> 2 1 1 2

Passage par valeurs et non passage par pointeur⇒aetbdu programme principal sont inchang´ees

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(12)

J.-M Friedt

Echanger deux variables ´

v o i d f (i n t ∗a ,i n t ∗b ) {i n t tmp ;

p r i n t f (" % d % d - > ",∗a ,∗b ) ; tmp=∗a ; ∗a=∗b ; ∗b=tmp ;

p r i n t f (" % d % d \ n ",∗a ,∗b ) ; }

i n t main ( ) {i n t a =1 , b =2;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; f (&a ,& b ) ; p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; }

donne

1 2

1 2 −> 2 1 2 1

Passage par pointeur ⇒aetbdu programme principal sont modifi´ees

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(13)

J.-M Friedt

Echanger deux variables sans ´ variable interm´ ediaire

Proposer une solution pour ´echangeraet bsans passer par une variable interm´ediairetmp

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(14)

J.-M Friedt

Echanger deux variables sans ´ variable interm´ ediaire

Proposer une solution pour ´echangeraet bsans passer par une variable interm´ediairetmp

i n t main ( ) {i n t a =1 , b =2;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; aˆ=b ;

bˆ=a ; aˆ=b ;

p r i n t f (" % d % d \ n ", a , b ) ; }

En effet :

1 a=0, b=0 : XOR(0,0)=0 donc on garde toujours 0 ;

2 a=1, b=1 : a=XOR(1,1)=0→b=XOR(0,1)=1 →a=XOR(0,1)=1

3 a=0, b=1 : a=XOR(0,1)=1→b=XOR(1,1)=0 →a=XOR(1,0)=1

4 a=1, b=0 : a=XOR(1,0)=1→b=XOR(0,1)=1 →a=XOR(1,1)=0 valide pour chaque bit, donc valide pour tous les bits. CQFD

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(15)

J.-M Friedt

D´ emonstration :

XOR est associatif ((a^b)^c=a^(b^c)) et commutatif (a^b=b^a)

1 a=a^b;b=b^a;a=a^b;se r´eduit (1er terme) en ...

2 b=b^(a^b)eta=(a^b)^(b^(a^b));

3 b=b^(b^a); en utilisant la commutativit´e (1er terme)

4 b=(b^b)^a; en utilisant l’associativit´e (1er terme)

5 b=(0)^a;en utilisant l’identit´ea^0=a (1er terme)

6 b=a;en utilisant l’identit´ea^0=a(1er terme)

7 a=(b^b)^(a^a)^b;devienta=b; pour le deuxi`eme terme

Economie d’un octet au d´´ etriment des op´erations logiques additionnelles

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(16)

J.-M Friedt

Transistors et logique

Exemple avec transistors NPN (I_CE >0 siV_B >0)

OUT IN

IN1

IN2

OUT

IN1

OUT IN2

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(17)

J.-M Friedt

Logique → arithm´ etique : XOR

XOR répond à la même logique que la somme binaire (0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0¹)

Comment synth´etiser la table logique de XOR `a partir des portes vues auparavant

Rappel : th´eor`eme de DeMorgan

A·B=A+B etA+B=A·B avec ·la fonction ET et + la fonction OU

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(18)

J.-M Friedt

Logique → arithm´ etique : XOR

∧ 0 1

0 0 1

1 1 0

= NOT





? 0 1

0 1 0

1 0 1



=

NOT









& 0 1

0 0 0

1 0 1



OR





&(NOT,NOT) 0 1

0 1 0

1 0 0









= NOR((A&B),(A&B))

En d’autres termes, (A·B) +A·B qui devient

A·B·A·B = (A+B)·(A+B) = ²A·A+A·B+B·A+B·B= ³A·B+B·A

2. X =X 3. A·A= 0

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(19)

J.-M Friedt

Logique → arithm´ etique : XOR

& &

~(X|Y) X=A&B Y=~A&~B Vcc

&

(A&B) (~A&~B) NOR( )

NOT ~

~&

~|

,

~

~ A

B

X

Y

Solution `a 10 transistors

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(20)

J.-M Friedt

Logique → arithm´ etique : XOR

Solution `a 8 transistors puisque

A·(A·B)·B·(A·B) =A·(A·B) +B·(A·B) = ²A·(A·B) +B·(A·B)

2. (X =X)

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(21)

J.-M Friedt

Logique → arithm´ etique : XOR

Solution `a 8 transistors puisque

A·(A·B)·B·(A·B) =A·(A·B) +B·(A·B) = ²A·(A·B) +B·(A·B) = A·(A+B) +B·(A+B) =A·A+A·B+B·A+B·B= ³A·B+B·A CQFD

2. (X =X) 3. X·X = 0

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(22)

J.-M Friedt

Transistors et arithm´ etique

Half adder (XOR puis retenu par AND) et full adder (XOR avec retenue)

x y

c s

x y c

s c

c est carry, s est somme

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(23)

J.-M Friedt

Multiplication

Comment multiplier par 15 ?

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(24)

J.-M Friedt

Multiplication

Comment multiplier par 15 ?

*15=*16-1et*16s’´ecrit <<4.

D´emonstration avecgccpour processeur ARM :

i n t main ( )

{v o l a t i l e i n t d , c =42;

d=c∗1 5 ; }

devient par

arm-none-eabi-gcc -O2 -c t.c arm-none-eabi-objdump -dSt t.o la s´equence d’opcodes

14: e0633203 rsb r3, r3, r3, lsl #4 18: e58d3000 str r3, [sp]

qui d´ecalle de 4 vers la gauche (multiplication par 16) et soustraction de r3 (*16-1)

Exercice : comment multiplier par 10 ? par 20 ? Exercice : comment est-ce que gcccompile

for (k=0;k<(20*10);k++) {...}?

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