Contrôlabilité et stabilisation optimales en dimension finie ou infinie

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Contrôlabilité et stabilisation optimales en dimension

finie ou infinie

Christophe Prieur

To cite this version:

Christophe Prieur. Contrôlabilité et stabilisation optimales en dimension finie ou infinie.

Mathéma-tiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2009. �tel-00450499�

Habilitation à diriger

des re her hes

Contrlabilité et stabilisation optimales

en dimension nie ou innie

Soutenue publiquement le

9

novembre

2009

devant leJury omposé de

Mr Bernard BROGLIATO Mr Jean-Mi helCORON Mr Laurent PRALY Mr Jean-Pierre RAYMOND Mr Pierre ROUCHON Me Sophie TARBOURIECH Rapporteurs: Mr Bernard BROGLIATO Mr Pierre ROUCHON Mr Enrique ZUAZUA Version du 16novembre 2009

Je tiens i i à exprimer ma re onnaissan e envers tous eux qui m'ont a ompagné es

dernières années. Je remer ie tout d'abord Jean-Mi hel Coron qui, le premier, m'a initié au

ontrleetm'aensuiteen ouragéàpoursuivreenthèseen o-dire tionave LaurentPraly.Ces

deux ollègues et amis m'ont fait partager leur enthousiasme, leur rigueur et mille idées qui

fourmillentdansmes travaux.Cettehabilitationàdirigerdesre her hesleurdoitbeau oup.A

l'issuede mathèse,Jean-Mi heletLaurent m'ontlaissé prendrel'indépendan eindispensable

à un her heur, mais sesont toujours montrés disponibleslorsque j'ai eu besoin d'un onseil.

Je protede e manus rit pour leur témoigner mon amitié etma gratitude.

Je suis très tou hé de l'honneur que m'ont fait Bernard Brogliato, Pierre Rou hon et

Enrique Zuazua en a eptant de rapporter mon travail. Les diérents é hanges que j'ai eus

ave eux ont été très enri hissants.

Mer i à Sophie Tarbourie h d'avoir a epté de présenter mon dossier de re her he auprès

de l'universitéPaul-Sabatier.En plus de fairepartie de mes amis et d'êtreune ollaboratri e

régulière,Sophieabeau oup inuen émestravauxde re her he en meproposantde nouvelles

voies, de nouvelles appli ations et en m'en ourageant dans telles ou telles pistes, tout en

respe tant mes hoix. Je remer ie vivement Jean-Pierre Raymond d'avoir a epté de faire

partie du jury. Saprésen e est pour moiun grandhonneur.

Puisque l'opportunitém'en estdonnée, je remer ieMi helSorinepourses questions

s ien-tiquesetses onseilsqu'ilnemanquepas demedonnerrégulièrement.Jeremer ieégalement

Hisham Abou-Kandil qui m'a proposé aussi bien des pistes de re her he fondamentale que

des appli ations. Sa onan e qu'il a bien voulu m'a order depuis longtemps est un grand

honneur pour moi. Geoges Bastin, en plus d'être un ollègue haleureux ave qui j'appré ie

travailler, n'a jamais omptéson temps pour moi.Je luien suis trés re onnaissant.

Je voudrais exprimermagratitude envers mes diérents o-auteurs. J'exprimeune pensée

plus parti ulière pour EmmanuelleCrépeau ave qui j'ai vraiment appré ié travailler es

der-nières années. Mer i égalementàLionel Rosier, EmmanuelTrélat, DenisMatignon,Stéphane

Labbé ave qui j'ai eu des dis ussions trés enri hissantes. Nombre de mes o-auteurs sont

devenus des amis, ou étaient des amis avantd'être o-auteurs!

Je n'oublie pas mes nombreux ollègues, et bien souvent amis, du groupe de re her he

MAC. J'aiproté de nombreuses dis ussions s ientiques ave notemment IsabelleQueinne ,

DenisArzelier,DidierHenrion,Lu ieBaudouin,etVin entAndrieu.Mer ipour leurs onseils

s ientiques, etami aux. Ils ne se sont (presque) jamaismontrés impatients dans les fartleks

oulorsquejemesuispermisdeparlerdesréglesderugby!Mer iàtoutlegroupe(etàquelques

m'en ourage, et mesoutient ontinuellement dans mes nombreux projets. J'arriverai un jour

peut-être àmontrer àDomitille(et aussiàGaétaneetGuillem)quelaprofessionde her heur

n'est pas seulement une sour e de stress, ou de séparations, mais peut être aussi

enthousias-mante et stimulante par les multiples satisfa tions et ren ontres qu'elle apporte. Je dédie e

Introdu tion 3

I Contrle en dimension nie 7

1 Stabilisation de systèmes non-linéaires 9

1.1 Contrle dis ontinuet robustesse . . . 9

1.2 Stabilisationpar une ommandehybride . . . 13

1.3 Feedba k hybride pour lessystèmes asymptotiquement ontrlables . . . 15

1.4 Robustesse intrinsèque des systèmes hybrides . . . 17

2 Contrle optimal et robuste 21 2.1 Cas parti ulier de l'intégrateur de Bro kett . . . 23

2.2 Généralisationaux systèmes linéairesen la ommande . . . 27

2.3 Eléments de démonstrationdu théorème 2.6 . . . 29

2.4 Cal ulnumérique de la ommande optimale . . . 30

3 Performan e optimale de systèmes soumis à des non-linéarités de se teur 31 3.1 Cas des saturations emboîtées . . . 31

3.2 Analyse de la omplexiténumériquedes onditions . . . 35

3.3 Autres typesde non-linéarités . . . 35

II Contrle en dimension innie 37 4 Contrle de stru tures exibles mono-dimensionnelles 39 4.1 Contrlabilitéd'une poutre exible . . . 40

4.2 Eléments de démonstrationdes théorèmes 4.1et4.2 . . . 42

4.3 Simulationsnumériques. . . 44

4.4 Stabilisationde lapoutre . . . 46

5 Contrle d'une plaque, appli ation à l'optique adaptative 51

5.1 Contrlabilitéd'un miroir bimorphe . . . 52

5.2 Stabilisationd'un miroir bimorphe . . . 54

5.3 Eléments de démonstrationdu théorème 5.4 . . . 55

5.4 Contrle robuste d'un miroir bimorphe . . . 57

6 Contrle frontière de systèmes hyperboliques 61 6.1 Equations de Saint-Venanten présen e de perturbations . . . 62

6.2 Contrle frontière de systèmes hyperboliques quasi-linéaires non-homogènes . . 64

6.3 Validation numérique . . . 67

6.4 Validation expérimentale . . . 69

Perspe tives 73 Bibliographie 78 Bibliographie personnelle 89 Revues à omité de le ture . . . 89

A tes de onféren e à omitéde le ture . . . 91

Ce do ument présente une synthèse de mes travaux de re her he dont le thème entral est

la théorie du ontrle. Etant donné un système dont la dynamique dépend d'un paramètre

(appelé ontrle, ou ommande),l'enjeu prin ipalde es travaux a été de prouver l'existen e

d'une loi de ommande telle que les solutions du système dynamique satisfassent ertaines

propriétésde onvergen e(vers un équilibreparexemple)oude performan e( ommeun rejet

de perturbations). Diérentes stru tures de ontrle peuvent être envisagées : dépendant du

tempsetdela onditioninitiale(onparlealorsdebou leouverte),oualorsdépendantdel'état

de lasolution(onparlealorsde bou lefermée,oud'unretourd'état).Demême,lorsquel'état

du systèmedynamiqueesten dimensioninnie,diérentes propriétésde ontrle peuventêtre

obtenues selon latopologie etla régularité de la ondition initiale onsidérées.

La réalisation de es travaux a demandé des développements te hniques importants.

Ci-tonsquelques points- lés.Diérentes étudespourlessystèmesde dimensionnieontné essité

l'utilisationde ontrles dis ontinusà des ns de stabilisation asymptotiqueet robuste. Nous

avons également développé la synthèse de ommandes (presque) optimales et robustes pour

des systèmes non-linéaires. Parmi les résultats lés en dimension innie, nous avons donné

une des ription pré ise de la vitesse de la stabilité en fon tion de la position de l'a tionneur

de stru tures exibles. Nous avons aussi étudié le al ul de ontrle frontière dépendant

uni-quement de la sortie pour la régulation de l'é oulement de l'eau dans des anaux. Pour es

deux problèmes de dimension innie nous avons onsidéré des ommandes simples dans leur

formulation, mais dont le al ula né essité des démonstrations sophistiquées.

Etant donnéun système dynamique,suivant lenombre de modes dynamiques(en nombre

ni ou pas), nous onsidérons un modèle é rit en terme d'équations aux dérivées ordinaires

ou partielles. De même, suivant la largeur de la variation des paramètres (grande variation,

transitionentredeuxrégimesdefon tionnementparexemple),nousdevonsprendreen ompte

les eets non-linéaires ou pas. Nous obtenons ainsi diérents types de modèles dynamiques.

Une onstante dans e travail a été de her her à établir la performan e optimale, et à

dé-velopper des te hniques pour al uler expli itement ou numériquement les ommandes. Par

exemple pour le ontrle de stru tures exibles par des ellules piézo-éle triques, nous avons

étudié pré isémentla vitesse de la onvergen e (polynomialeou exponentielle). Nouspensons

aussi à la performan e optimale de systèmes soumis à des non-linéarités de type se teur, et

optimales (en temps minimal) et robustes. Un autre exemple, pour les systèmes de

dimen-sion innie, on erne un système d'optique adaptative pour lequel nous avons al ulé une

ommande optimale(au sens de lanorme

H

∞

).

Nous stru turons e do ument en deux parties distin tes en distinguant la théorie de la

ommande pour les systèmes de dimension nie, de la théoriedu ontrle en dimension

in-nie. Certains travaux annexes ont été omis. Nous donnons ependant une liste omplète des

publi ations àpartir de la page 89.

La première partie présente l'essentiel de mes résultats et de mes appli ations en théorie

du ontrlesur lessystèmesnon-linéairesdedimension nie, 'est-à-diredontlesmodèlessont

des équations aux dérivées ordinaires non-linéaires.

Nous allons tout d'abord étudier leproblème général de la stabilisation de systèmes

non-linéairesetnousenvisageronsla lassede ommandeshybridesquipermettentdegarantirune

robustesse par rapport aux petites perturbations (voir le hapitre 1). Nous introduirons en

parti ulierl'exempledel'intégrateurdeBro kett.Ensuite,dansle hapitre2,nousrajouterons

un ritèred'optimisationet, ave ettemême lassedefeedba ks, nousrésoudronsleproblème

de stabilisation en temps minimal sous une ontrainte d'amplitudede la ommande, d'abord

pour l'intégrateur de Bro kett et ensuite pour tout système ontrlable non-linéaire (mais

linéaireparrapportàla ommande).Enn,dansle hapitre3,nousanalyseronslaperforman e

optimaled'une lasse de systèmes non-linéaires (plus pré isément soumis àdes non-linéarités

de se teur) et nous privilégierons une méthode onstru tive pour le al ul de fon tions de

Lyapunov.

La se onde partie de e do ument on erne le ontrle de systèmes àparamétres répartis,

plus pré isémentdé rits par des équationsaux dérivées partielles.

Nous souhaitons avoir une vision globale de e type de systèmes et étudier toutes les

questions lassiques depuis la modélisation jusqu'à la simulation et l'appli ation ee tive en

passant, bien entendu, par la ommande de tels systèmes. L'originalité de notre appro he

réside dans lefaitque noussouhaitons privilégierlesmodèlesEDP qui présentent l'intérêt de

modéliseruneinnitéde degrésdeliberté.Tantque elaest possible,noussouhaitonsréserver

la dis rétisationau al ul ee tif des solutionset des ommandes.

Nous allons présenter plus parti ulièrement des résultats de ontrlabilité et de

stabi-lité pour une EDP linéaire modélisant une stru ture exible mono-dimensionelle (de type

poutre), ontrlée par des a tionneurs pon tuels (voir le hapitre 4). Ensuite nous

dévelop-pons des résultatsde ontrlabilitéetde stabilitéplus spé iquespourles stru turesexibles

bi-dimensionnelles(de typeplaque) et ontrléespar des a tionneursinternes ( 'est-à-dire

ré-partis sur les domaines non-réduits à un point). L'appli ation visée sera étudiée à la n du

hapitre 5,et on erne la régulationde miroir déformabledans un systèmed'optique

adapta-tive. Dans ledernier hapitre de ette partie ( hapitre 6), nous étudions le ontrle frontière

fron-tièrepouravoirunestabilitéexponentielleversl'équilibreenprésen edepetitesperturbations.

Nousappliquerons erésultatthéoriqueàlasynthèsede ommandesauxbordsrégulant

l'é ou-lementdel'eaudansun anal,ave unevitesseexponentielleetave unerobustesseparrapport

à lafri tion, et àla pentenotamment.

Nous on luerons edo umentparquelquesperspe tivesdere her heenthéoriedu ontrle

des systèmes de dimension nie ouinnie.

Les référen es alphanumériques [R*℄,

∗ ∈ {1, . . . , 27}

, [C*℄,

∗ ∈ {1, . . . , 51}

renvoient à mes

publi ations(voiràpartirdelapage89).Lesautresréféren essont itéesdanslabibliographie

Stabilisation de systèmes non-linéaires

Dans e hapitre nous allons étudier le problème de la stabilisation des systèmes

non-linéairesetnous rappelleronslané essité d'utiliserdes ommandesdis ontinues (ou

instation-naires) pour résoudre des problèmes de stabilitéet de performan e optimale. L'utilisationde

ommandesdis ontinuespeutintroduireunegrandesensibilitéparrapportauxperturbations,

et peut même réer une instabilité du système en bou le fermée en présen e de petites

per-turbations (voir le paragraphe 1.1). Nous allons ensuite introduire l'intégrateur de Bro kett

(voir leparagraphe1.2),ainsi quela lasse de feedba ks hybrides( 'est-à-dire ave une

dyna-miquemixtedis rète/ ontinue) quenousallonsétudieràplusieursreprisesdans edo ument.

Nous verrons que, sous une hypothèse de ontrlabilité,nous pouvons stabiliserles systèmes

non-linéaires ave un ontrle hybride (voir le paragraphe 1.3). Enn nous verrons dans le

paragraphe 1.4 que la robustesse par rapport auxpetites perturbations ( ommeles bruits de

mesureetleserreursdemodèle)estintrinsèqueàla lassede systèmeshybridesperturbés. Les

ommandes hybrides peuvent don être utiliséespour d'autres problèmes de ontrle, omme

le ontrleoptimal.Cettequestionde laperforman e optimaleferal'objetdu hapitresuivant

( hapitre 2).

1.1 Contrle dis ontinu et robustesse

Considérons un système dé ritpar un modèle non-linéaire

˙x = f (x, u)

(1.1)

où

f

:

O × U → R

e

n

est une appli ation ontinue,

O

e

et

U

sont des voisinages de l'origine

respe tivement dans

R

n

et

R

m

. Dans (1.1),

x

est appelé état du système, et

u

le ontrle.

Supposons que

A

est un équilibre de e système, 'est-à-dire que

A

est un ompa t in lus

dans

O

e

telque

f (x, 0) = 0

pour tout

x

∈ A

.Nous noterons

O = e

O \ A

.Lessolutionsde (1.1)

seront àvaleur dans

O

.

1

Lesnormeseu lidiennesserontnotées

|.|

(sanspré iserladimension

1

On peut ajouter

A

à l'espa e d'état, mais ela rend ertaines hypothèses un peu plus ompliquées à formuler(enparti ulierlanotionderayondeperturbationsadmissiblepage16,etl'hypothèse

(A4)

page18).

lorsque ela ne sera pas né essaire),et pour tout

x

∈ e

O

, nousnoterons

|x|

A

= min

x∈A

¯

|¯x − x|

.

Le problème de stabilisation par un retour d'état statique est le suivant : Trouver une

fon tion

u : x

7→ u(x)

, appelée ontrle ouretour d'état, dénie et ontinue sur un voisinage

de

0

, nulleen

0

,telle que le système

˙x = f (x, u(x))

(1.2)

soitlo alementasymptotiquementstable, 'est-à-direquivérielesdeuxpropriétessuivantes :

 (stabilité)pour tout

ε > 0

, ilexiste

δ > 0

telque,si

|x

0

|

A

< δ

et

x

0

∈ O

alors toutes les

solutionsde (1.2) maximalessur

[0, T )

ave la ondition initiale

x(0) = x

0

(1.3)

vérient

|x(t)|

A

≤ ε

pour tout

t

∈ [0, T )

.

 (attra tivité) ilexiste

µ > 0

telquesi

|x

0

|

A

< µ

et

x

0

∈ O

alors lessolutionsde (1.2) et (1.3) vérient

|x(t)|

A

→ 0

lorsque

t

→ T

.

Lapropriété pré édenteest unepropriété de bou leferméepuisque l'informationsurl'état

est utilisée pour al uler l'entrée du système dynamique (1.1). Nous opposons à ette

pro-priété la suivante, dite de bou le ouverte : nous disons que le système de ontrle (1.1) est

asymptotiquement ontrlable si lesdeux propriétés suivantes ([4, 37℄)sont satisfaites :

1. il existe

µ > 0

telque pour tout

|x

0

|

A

< µ

et

x

0

∈ O

, il existe

T > 0

et une ommande

u

x

0

: [0, T )

→ U

mesurable telle queles solutionsde

˙x = f (x, u

x

0

(t)) ,

x(0) = x

0

,

(1.4)

maximalessur

[0, T )

,satisfont

|x(t)|

A

→ 0

, lorsque

t

→ T

;

2. pour tout

ε > 0

, il existe

δ

tel que si

|x

0

|

A

≤ δ

et

x

0

∈ O

, il existe une ommande

u

x

0

: [0, T )

→ U

omme dans 1. ettelle que

|x(t)|

A

≤ ε

pour tout

t

∈ [0, T )

.

Remarquons que ette propriété de bou le ouverte est impliquée par l'existen e d'un

bou- lage d'état stabilisant asymptotiquement (1.1). De plus, suivant la stru ture du système

non-linéaire,ilpeuty avoirdes onditions né essaireset/ou susantes pour établirla

ontr-labilité asymptotique (voir [121℄ pour une ara térisation de la ontrlabilité en terme des

fon tions de Lyapunov assignables (Control Lyapunov Fun tions, CLFs), ou[43℄ par exemple

pour une ondition sur l'algèbre de Lie engendrée par les hamps de ve teur). De même il

existe des onditionsné essaires pour l'existen e d'un ontrle stabilisant ommela ondition

de Bro kett [23℄ (voiraussi [41℄) :

Théorème 1.1 ( onditionde Bro kett,[23℄)S'ilexisteun ontrle ontinuet stationnairetel

que le système (1.2) soit lo alement asymptotiquement stable, alors la fon tion

f

est ouverte

en

(0, 0)

, 'est-à-dire quel'imagepar

f

de toutvoisinage de

(0, 0)

∈ R

n

_{× R}

m

estun voisinage

de

0

∈ R

n

.

Un exemple important de systémes qui ne vérie pas ette ondition est l'intégrateur de

Bro kett introduit dans [23℄ :











˙x

1

= u

1

˙x

2

= u

2

˙x

3

= x

1

u

2

− x

2

u

1

(1.5)

Cet exemple est très souvent étudié dans la litérature (par exemple [39, 43,92, 122℄) ar il a

des appli ations importantes en robotique mobile voir [29, 101, 102, 114, 96℄ (on parle alors

d'intégrateur non-holonme). Voir d'autres types d'exempledans [29, 92,93, 97℄.

Il existe don de nombreux systèmes non-linéaires de dimension nie (même réguliers et

asymptotiquement ontrlablesà l'origine)pour lesquels il est né essaire de onsidérer

 des ontrles instationnaires(mais périodiques en temps);

 ou des ommandes dis ontinues (si on se restreint à la lasse de retours d'état

station-naires)

pour stabiliserasymptotiquement lo alement l'originedu système bou lé.

Nousne onsidérerons pasleproblèmede lastabilisationpardes ontrlesinstationnaires.

Voir[40,99,100,98℄ou[43, 97℄pour desréféren es plusré entes surlesétudesde ommandes

dépendantdu temps,maispériodiquesen temps.Enrevan he nousnous fo aliserons sur

l'uti-lisation de ontrles dynamiques et dis ontinus qui peuvent être utiles pour des problèmes

de stabilisation. Citons par exemple [37℄ qui propose de al uler un feedba k par un

é han-tillonnage(ave dessampling solutions),ou[4,19℄dans lesquels l'existen e d'unretour d'état

onstant par mor eaux (pat hy feedba k) est établie. Notons que le système (1.1) en bou le

fermée ave une ommande dis ontinue

x

7→ u(x)

peut se réé rire

˙x = F (x)

(1.6)

ave

F (x) = f (x, u(x))

et est une équation dymanique dis ontinue. Ce type de systèmes est

présentdans denombreuses appli ations( ommeen mé anique[25℄).Notonsquelessolutions

(deCarathéodory) de(1.6) sonten généralsensiblesauxperturbations.Il est ru iald'étudier

l'eet des perturbations sur la stabilité puisque 'est pour avoir de la robustesse que l'on

utilisedes feedba ksde préféren e àla bou leouverte. Enselimitantà des ontrles ontinus

stabilisants, ilexiste une fon tion de Lyapunov pour lesystème bou lé (d'aprés [74℄) etdon

un peu de robustesse. L'obtention de robustesse par rapport à des bruits de plus grande

amplitude est une question diérente (voir [116℄), mais peut être abordée par une appro he

Lyapunov (voir par exemple [69℄). Bien entendu introduire la possibilité de onstruire des

ommandesdis ontinues né essite d'étudierl'eetde larobustessede façonsystématique.Par

exemplepourlesystème de Bro kett, ilexiste un retourd'état(dis ontinu)telquelesystème

en bou le fermée soit asymptotiquement stable (et même ave une vitesse de onvergen e

exponentielle) en l'absen e d'erreur sur la dynamique, et fasse apparaître des y les limite

(non réduits àun point)en présen e de telles perturbations(voirdes simulations dans [97℄).

Nousnotonsquela lassedesolutionsde(1.6) estprotéiformeetdépend del'ensembledes

solutions possibles. Etant donné

T > 0

,nous rappelons que

X : [0, T )

→ R

n

est dite solution

de Carathéodory de (1.6) si

X

est absolument ontinue et vérie

˙

X(t) = F (X(t))

pour presque tout

t

∈ [0, T )

. On parlera alors de solutions nominales. Une autre lasse de

solutionsest elledes solutionsd'Hermes.Cesontleslimitesde solutionsdu systèmeperturbé

˙x = F (x+ξ

n

)

lorsquelasuitedeperturbations

(ξ

n

)

tendvers

0

.Voir[64,60℄pourunedénition

pré isedansun ontexted'équationsdiérentiellesave unse ondmembredis ontinu,ou[R5℄,

et[115℄ pour des généralisationsaux systèmes hybrides.

Deux autresnotionsde solutionssont elles de Krasovskii etde Filippov [50℄.Nous

rappe-lons que

X : [0, T )

→ R

n

est une solutionde Krasovskii, respe tivement de Filippov, de (1.6)

si

X

est absolument ontinue et vérie,pour presque tout

t

∈ [0, T )

,

˙

X(t)

∈

\

δ>0

con F (X(t) + B(0, δ)) ,

respe tivement

˙

X(t)

_∈

\

δ>0

\

N,λ(N )=0

con F ((X(t) + B(0, δ))

_{\ N)}

où

B(0, δ)

est la boule fermée de

R

n

entrée en

0

etde rayon

δ

,

λ

est la mesure de Lebesgue

sur

R

n

, et

con(A)

désigne l'enveloppe onvexe fermée d'un ensemble

A

.

D'autres notions de solutions existent. Citons les

π

-solutions ( elles obtenues par

é han-tillonnage de la ommande) et les solutions d'Euler. Voir [31, 123℄ pour les systèmes

non-linéaires lassiques et [R5℄pour leur généralisationauxsystèmes hybrides.

Nous omprenons que, lors de la synthèse de ontrles stabilisants, il soit né essaire de

pré iserlarobustesseetlastabilitéquel'onobtientenutilisanttelleoutelle lassedesolutions.

Ainsi les référen es [123, 36℄ proposent l'utilisation d'un type de ommandes dis ontinues

qui permettent de stabiliser le système pour les

π

-solutions et don ave un ertain type

de robustesse (une erreur de mesure uniquement aux instants d'é hantillonnage). Voir aussi

[5℄ pour l'utilisation de ontrles dénis par mor eaux (pat hy feedba ks). Nous souhaitons

onsidérerune lassede solutionspluslarge,en l'o uren elessolutionsde Krasovskii. Orily

adessystèmesasymptotiquement ontrlablestelsqu'iln'existepas de ontrleinstationnaire

dis ontinu

x

7→ u(x)

telquelesystèmebou lésoitasymptotiquementstablepourlessolutions

deKrasovskii.Ilsutdepenserdenouveauàl'intégrateurdeBro kett(1.5)quiestunexemple

de tel système non-linéaire.

Il apparaît don naturel d'envisager des ommmandes dynamiques

u

7→ u(x, ζ)

où

ζ

est

une variable dynamique additionnelle. La plus simple des dynamiques est une dynamique

dis rète pour

ζ

. On arrive don à une ommande mixte dis rète/ ontinue

u

7→ u(x, ζ)

où

x

est l'état du système (don ave une dynamique ontinue), et

ζ

est une variable suivant une

dynamiquedis rète.La ontraintetopologiquedeBro kettdans[23℄(généraliséedans[112℄)ne

qui garantit une stabilité asymptotique pour l'intégrateur de Bro kett (à un hangement de

oordonnéesprès).Pour omprendrel'importan eetlaportéede erésultat,pré isonsla lasse

de ontrleurs hybrides que l'on onsidère dans e do ument.

Pour une présentation de e type de feedba ks hybrides, voir [135, 55℄, [R8℄, ou [C55℄

par exemple. D'autres formalismesexistent (voir par exemple [22, 130, 87, 88,141℄ pour des

travauxave une appro hemoins systématique).Citonségalement[147℄pourune synthèse de

ontrles ave ommutationpour des systèmes (de dimension nie ouinnie).

Un ontrleur dynamique hybride est la donnée d'un ensemble totalement ordonné

Q

et,

pour tout

q

∈ Q

,de ladonnée de

(u

q

, φ

q

, ψ

q

, C

q

, D

q

)

telle que



C

q

et

D

q

sont deux sous-ensembles de

O × R

k

,pour un ertain entier

k

xé;



u

q

: C

q

→ U

; 

φ

q

: C

q

→ R

k

; 

ψ

q

: D

q

→ R

k

;

Le système (1.1) en bou le fermée ave e ontrleur s'é rit







˙

z }| {

(x, χ) = (f (x, u

q

(x, χ)), φ

q

(x, χ))

si

(x, χ)

∈ C

q

q

+

_{= ψ}

q

(x, χ)

si

(x, q)

∈ D

q

(1.7)

Donnons quelques idées intuitives sur e ontrleur dynamique. L'état du ontrleur est

(χ, q)

_{∈ R}

k

_{× Q}

, et l'état du système est don

(x, χ, q)

. Deux types de dynamiques ont lieu

pour l'état du ontrleur : 1) soitdis rète pour la variable

q

et dé rite par la fon tion

ψ

q

, si

le ouple

(x, χ)

est dans le sous-ensemble

D

q

des états, 2) soit ontinue pour la variable

χ

et

dé ritepar la fon tion

φ

q

, sile ouple

(x, χ)

est dans le sous-ensemble

C

q

des états. L'état du

ontrleursoit suit un ot, soit ee tue des sauts suivantla valeur de l'état.

1.2 Stabilisation par une ommande hybride

Donnons un sens pré is aux notions de stabilité et de solutions du système (1.7), et

pré-sentons le résultat prin ipal de [R18℄ o-é rit ave Rafal Goebel, université de Washington

et Andrew Teel, université de Californie à Santa-Barbara. Pour ela nous xons un ouvert

e

O ⊂ R

n

et un attra teur ompa t

A ⊂ e

O

. Notons

O = e

O \ A

. Nous allons onsidérer le

systèmenon-linéaire (1.1)dénisur

O

e

quiest asymptotiquement ontrlableà

A

.L'ensemble

O

sera l'espa ed'étatde lavariable ontinue dusystème hybridequenous analysons.Dans e

paragraphenousn'utiliseronspasdedynamique ontinue

χ

du ontrleuretdansleformalisme

de (1.7), la variable ontinue est

x

.

La lasse des systèmes hybrides qui nous intéresse dans ettepartie est elle résultant des

systèmes non-linéairesen bou lefermée ave un feedba k hybride. Nousle noterons

informel-lement par

(

˙x

_{∈ F}

q

(x)

x

∈ C

q

,

q

+

_{∈ G}

q

(x) x

∈ D

q

,

(1.8)

où

Q

est un ensemble totalement ordonné et pour tout

q

∈ Q

,

F

q

et

G

q

dont des fon tions

(éventuellement àvaleursdans les sous ensembles de

C

q

et

D

q

respe tivement) tandisque

C

q

et

D

q

sontdes sous-ensembles de

O

. Lesystème hybride dé ritpar (1.8)sera noté (

H

).

Remarquons que pour (

H

), la variable ontinue

x

évolue uniquement de façon ontinue

et n'a pas de sauts, tandis que la variable

q

n'évolue que par des sauts. Les ensembles

C

q

,

respe tivement

D

q

, dé rivent les ensembles dans lesquels la variable ontinue peut évoluer,

respe tivement l'ensemble où la variable dis rète

q

peut avoir des sauts. Rappelons quelques

on epts de [56℄, et[R18℄ pour donnerun sens pré isà lanotion de solutions quenous allons

onsidérer. La première notion est elle de domaine de temps hybride qui est naturelle si on

remarque qu'il y a une dynamique mixte dis rète/ ontinue dans le système (1.8) et que la

"bonne" notionde temps est elle de temps mixtedis ret/ ontinu.

Dénition 1.2  Un ensemble

S

⊂ R

≥0

× N

est un domainede temps hybride ompa t

si

S =

S

J−1

j=0

([t

j

, t

j+1

], j)

pour une ertaine suite de temps

0 = t

0

≤ t

1

≤ t

2

...

≤ t

J

.



S

est un domaine de temps hybride si pour tout

(T, J)

∈ S

,

S

∩ ([0, T ] × {0, 1, ...J})

est un domaine de temps hybride ompa t;

de façon équivalente,

S

est un domaine de temps hybride si

S

est la réunion d'une

suite nie ou innie d'intervalles

[t

j

, t

j+1

]

× {j}

, ave le dernier intervale, s'il existe,

éventuellement de la forme

[t

j

, T )

ave

T

ni ou

T = +

∞

.

Dans equisuit,nousnoterons

sup

t

(S)

pourlesupremumparrapportà

t

telque

(t, j)

∈ S

pour un ertain

j

, et

sup

j

(S)

pour le supremum par rapport à

j

tel que

(t, j)

∈ S

pour un

ertain

t

. Introduisons maintenantla dénition formelle d'unesolution de (1.8).

Dénition 1.3 Une solution du système hybride

(

1.8

)

onsiste en un domaine de temps

hybride non vide

S

, une fon tion

x : S

→ O

telle que

x(t, j)

est lo alement absolument

ontinue en

t

pour tout

j

xé, et onstant en

j

pour tout

t

xé tel que

(t, j)

∈ S

, et une

fon tion

q : S

→ Q

tel que

q(t, j)

est onstant en

t

, pour tout

j

xé pour tout

(t, j)

∈ S

,

satisfaisant les onditions:

x(0, 0)

∈ C

q(0,0)

∪ D

q(0,0)

et

(S1) Pour tout

j

∈ N

et pour presque tout

t

tel que

(t, j)

∈ S

,

˙x(t, j)

∈ F

q(t,j)

(x(t, j)),

x(t, j)

∈ C

q(t,j)

.

(S2) Pour tout

(t, j)

∈ S

tel que

(t, j + 1)

∈ S

,

q(t, j + 1)

∈ G

q(t,j)

(x(t, j)),

x(t, j)

∈ D

q(t,j)

.

Etant donnée une solution de

(

1.8

)

nous ne onsidérerons que des solutions maximales

( 'est-à-diredéniessurdesdomainesdetempshybridesmaximaux),etnousnementionnerons

pas expli itement le domaine de temps hybride. Nous identierons la solution par

(x, q)

, et

solutionde

(

1.8

)

est dite omplète sison domaineest non-borné.Unesolution omplète

(x, q)

peut satisfaire

sup

t

dom(x, q) <

∞

, dans e as la variable dis rète doit avoir une innité de

sauts.

Nous onsidérerons le as où la solution (ou plus pré isément la omposante ontinue de

l'état)atteint

A

entemps ontinuniouinni(demêmequenousenvisageronsplusbas la as

de systèmes non-linéaires ontrlables en temps ni ou inni). Dans le as présent la notion

de stabilité asymptotiqueest la suivante:

Dénition 1.4

 L'ensemble

A

est stable pour le système hybride (

H

) si pour tout

ε > 0

il existe

δ > 0

tel quetoute solution

(x, q)

de (

H

), ave

|x(0, 0)|

A

≤ δ

, satisfait

|x(t, j)|

A

≤ ε

pour tout

(t, j)

∈ dom(x, q)

.

 L'ensemble

A

est attra tif pour le système hybride (

H

) s'il existe

δ > 0

tel que

 pour tout

(x

0

, q

0

)

∈ O × Q

ave

|x

0

|

A

≤ δ

, il existe une solution de (

H

) ave

(x, q)(0, 0) = (x

0

, q

0

)

;

 pourtoute solution

(x, q)

de (

H

) ave

|x(0, 0)|

A

≤ δ

nous avons

|x(t, j)|

A

→ 0

lorsque

t

_{→ sup}

_t

(dom(x, q))

.

 L'ensemble

A

est asymptotiquement stable, si

A

est à la fois stable et attra tif. Son

bassind'attra tion, noté

B

A

, est l'ensembledes points

x

0

∈ O

telsquepour tout

q

0

∈ Q

, il existe une solution de (

H

) ave

x(0, 0) = x

0

,

q(0, 0) = q

0

, et toutes les solutions ainsi obtenues satisfont

|x(t, j)|

A

→ 0

lorsque

t

→ sup

t

(dom(x, q))

.



A

est (globalement) asymptotiquement stable sur

O

si

A

est asymptotiquement stable

et si

B

A

=

O

.

1.3 Feedba k hybride pour les systèmes asymptotiquement

ontrlables

Pour l'ouvert

O

e

, et le ompa t

A ⊂ e

O

, onsidérons un ensemble ompa t de ontrles

admissibles

U

⊂ R

m

, une fon tion lo alementLip hitz

f : e

O × U → R

n

, et le système

non-linéaire

˙x(t) = f (x(t), u(t)), u(t)

_{∈ U,}

pour tout

t

≥ 0.

(1.9)

Introduisons pré isément lanotion de ontrle hybride.

Dénition 1.5 Un feedba k hybride sur

O

onsiste en

 un ensemble totalement ordonné

Q

,

 pour haque

q

∈ Q

,

 des ensembles

C

q

⊂ O

et

D

q

⊂ O

,

 une fon tion

g

q

: D

q

→

→ Q

.

Dans la dénition pré édente la notation

→

→

signie que

g

q

peut prendre ses valeurs dans

les sous-ensembles de

Q

(voir [110℄). La fon tion

k

q

, en bou le fermée ave

(

1.9

)

, détermine

l'entrée de la dynamique ontinue, tandis que

g

q

dé rit le saut de la variable dis rète. Nous

disons que le ontrleur hybride rend

A

asymptotiquement stable sur

O

e

pour

(

1.9

)

si

A

est

asymptotiquement stable sur

O

pour le système hybride (

H

f eed

) résultant de la dénition

F

q

(x) = f (x, k

q

(x))

et

G

q

(x) = g

q

(x)

, 'est-à-dire lesystème hybride :

(

˙x = f (x, k

q

(x)) x

∈ C

q

,

q

+

_{∈ g}

q

(x)

x

∈ D

q

,

(1.10)

Dans tout e qui suit, les erreurs de mesure admissibles et les perturbations extérieures

admissibles sont des fon tions

ξ

et

ζ

qui vérient

ξ(

_{·, ·, ·), ζ(·, ·, ·) ∈ L}

∞

_loc

(

_{O × [0, +∞) × N; R}

n

),

ξ(

_{·, t, j), ζ(·, t, j) ∈ C}

0

(

_{O, R}

n

),

_{∀(t, j) ∈ [0, +∞) × N.}

(1.11)

Engénéralleserreursquenous onsidéronsdépendentuniquementde

x

et

t

(etsont onstantes

en

j

), mais nous onsidérons aussi le as où les erreurs hangent pendant le saut. Comme

remarqué dans [76, Remark 1.4℄, à ause de la présen e de

ζ

et de la ontinuité de

f

par

rapportà

u

,nous pouvons omettrelaréféren eexpli iteauxerreursd'a tionneur( 'est-à-dire

en remplaçant

k

q

par

k

q

+ e

a

dans (1.10) où

e

a

est une petite erreur d'a tionneur). De plus

ommel'ensemble

Q

estdis ret,nousne onsidéronspasle asd'erreurssurlavariabledis rète.

Considérerdes erreursde mesureetdes perturbationsextérieures nous obligeà onsidérer des

systèmes hybrides instationnairesqui peuvent être représentés par

(

˙x = f (x, k

q

(x + ξ)) + ζ x + ξ

∈ C

q

,

q

+

_{∈ g}

q

(x + ξ)

x + ξ

∈ D

q

.

(1.12)

Nous noterons e système par (

H

ξ,ζ

f eed

). Les solutions de e système sont dénies de façon

analogueaux solutionsdu système (1.8) (voirla dénition 1.3).

Etant donnés

ξ

et

ζ

, nous pouvons dénir la notion de stabilité asymptotique de

A

sur

O

pour le système (

H

ξ,ζ

f eed

) de manière analogue à la dénition 1.4 (mais en onsidérant les

solutionsde(

H

ξ,ζ

f eed

)àlapla edessolutionsde (

H

)).Parailleursnous introduisons(voir[R5℄)

lerayonde perturbations admissible ommeétantune fon tion ontinue

ρ :

O → R

>0

telle que

x + ρ(x)B

⊂ O

pour tout

x

∈ O

(

B

est laboule unitéfermée de

R

n

).

Dénition 1.6 Unfeedba khybride sur

O

rend

A

asymptotiquementstablesur

O

e

pour

(

1.9

)

,

robustement aux bruits de mesure, aux erreurs d'a tionneur et aux perturbations extérieures

s'il existe un rayon de perturbations admissible

ρ :

O → R

>0

tel que pourtout bruit de mesure

admissible

ξ

et pour toute perturbation extérieure admissible

ζ

satisfaisant

sup

_(t,j)∈R

_≥0

_×N

_{|ξ(x, t, j)| ≤ ρ(x),}

A

est asymptotiquement stable sur

O

pour le système hybride (

H

ξ,ζ

f eed

).

Nous pouvons maintenanténon er lerésultat prin ipalde [R18℄ (voiraussi [R5℄) :

Théorème 1.7 Si le système

(

1.9

)

est asymptotiquement ontrlable sur

O

e

en

A

, alors il

existe un feedba k hybride sur

O

ave

Q

⊂ Z

(muni de la relation d'ordre naturelle) qui rend

A

asymptotiquement stable sur

O

pour le système

(

1.9

)

, robustement aux bruits de mesure,

aux erreurs d'a tionneur et aux perturbations extérieures.

Ce résultat généralise la onstru tion faite ave Alessandro Astol du ontrle hybride

pourlessystèmes haînésave deux ommandes(voir[R2℄,etlessimulationsnumériquesdans

[C6℄ ).

Pourdémontrerlethéorème1.7nous onstruisonsd'abordun feedba k hybride stabilisant

le système nominal(

H

f eed

).Ensuite nous établissons un résultat de robustesse de la stabilité

des systèmes hybrides. Ce dernier résultatde robustesse est intéressant en lui-mêmepuisqu'il

utilise uniquementles propriétés de la lasse de systèmes hybrides onsidérés. C'est pourquoi

nous le présentons dans le paragraphe1.4 suivant.

Le feedba k hybride onstruit dans [R18℄ rée une hystérésis entre diérents feedba ks

lo aux. Un liennaturel entre ette onstru tion et lesfon tions de Lyapunov est donné dans

[R26℄, où à partir d'une famille de fon tions de Lyapunov assignables (Control Lyapunov

Fun tions,CLF)ave une propriétéd'ordre,nous onstruisonsun feedba khybride stabilisant

asymptotiquement. Dans [R26℄, nous établissons aussi la ré iproque : à partir du feedba k

hybride stabilisant,nousprouvonsl'existen e d'unefamilleordonnéede CLF.Voir[R26℄ pour

plus de détails.

1.4 Robustesse intrinsèque des systèmes hybrides

Nousallons maintenanténon er un résultatde robustessepour tout systèmehybride

(

1.8

)

quiestasymptotiquementstableetdontlesdonnéesvérient ertainespropriétésderégularité.

Ce résultat généralise e qui est onnu par ailleurs pour les systèmes lassiques non-linéaires

(voir [38℄ et [76℄). Ce travail est prometteur. Il permet en eet de systématiser l'utilisation

de ommandes hybrides pour la stabilisation de systèmes non-linéaires, e qui peut servir

pour obtenir des résultatsde performan e (par exemple pour ontrler un système en temps

minimal, ommedansle hapitre2).Avanttout,dénissonslanotionderobustesseparrapport

aux perturbationsstationnaires.

Dénition 1.8 L'ensemble

A

est asymptotiquementstablesur

O

pourlesystème(

H

),

robus-tement aux perturbations stationnaires, s'il existe un rayon de perturbations admissible

ρ

tel

que, pour le système (

H

ρ

) donné par

(

˙x

∈ F

ρ

q

(x), ˙q = 0

x

∈ C

q

ρ

,

q

+

_{∈ G}

ρ

q

(x), x

+

= x x

∈ D

ρ

q

,

(1.14)

ave les dénitions

F

ρ

q

(x) := con F

q

((x + ρ(x)B)

∩ C

q

) + ρ(x)B,

G

ρ

_q

(x) := G

q

((x + ρ(x)B)

∩ D

q

),

C

_q

ρ

:=

{x ∈ O | (x + ρ(x)B) ∩ C

q

6= ∅},

D

q

ρ

:=

{x ∈ O | (x + ρ(x)B) ∩ D

q

6= ∅},

(1.15)

l'ensemble

A

est asymptotiquement stable sur

O

.

En e qui on erne (

H

), nous supposerons que les propriétés de régularité suivantes sont

satisfaites :

(A0)

O ⊂ R

n

est ouvert,

A ⊂ O

est ompa t,

Q

⊂ Z

n

q

;

et pour tout

q

∈ Q

,

(A

q

1)

C

q

et

D

q

sont relativement fermés dans

O

;

(A

q

2)

F

q

:

O →

→ R

n

est semi- ontinuextérieurement et lo alementborné, et

F

q

(x)

est onvexe

non-vide, pour tout

x

∈ C

q

;

(A

q

3)

G

q

:

O →

→ Q

estsemi- ontinuextérieurementet lo alementborné,et

G

q

(x)

estnon-vide

pour tout

x

∈ D

q

.

Rappelons que la fon tion (à valeur ensembliste)

F

q

:

O →

→ R

n

est dite semi- ontinue

extérieurement (outer semi ontinuous, os ) si pour toute suite onvergente

x

i

→ x ∈ O

et

y

i

∈ F

q

(x

i

)

ave

y

i

→ y

,ona

y

∈ F

q

(x)

. Lafon tion

F

q

estdite lo alementbornéesipourtout

ompa t

K

⊂ O

, il existe un ompa t

K

′

_{⊂ R}

n

tel que

F

q

(x)

⊂ K

′

pour tout

x

∈ K

. Pour

plus de détailset des formulations équivalentes voir [110, Chapitre 5℄.

Les hypothèses pré édentes sur les données du système hybride (

H

) sont elles suggérées

dans [55℄ et étudiées plus parti ulièrement dans [56℄. En parti ulier elles nous permettent de

prouver l'existen e de solutions (pour toute ondition initiale dans

(C

q

∪ D

q

)

× Q

), et pour

satisfaire la onvergen e graphique des solutions(voir[56℄ pour plus de détails).

Pour le résultat de robustesse qui nous intéresse i i, nous avons besoin des hypothèses

supplémentaires suivantes :

(A4) La famille

{C

q

}

q∈Q

est une famille lo alement nie revouvrant

O

;

(A5) Les fon tions

G

q

:

O →

→ Q

sont lo alement bornées en

x

uniformément par rapport à

q

;

(A6) Pour tout

q

∈ Q

,

C

q

∪ D

q

=

O

.

Rappelons que la famille

{C

q

}

q∈Q

est une famille lo alement nie re ouvrant

O

si

O =

S

q∈Q

C

q

etsi pour tout ompa t

K

⊂ O

, il n'y a qu'un nombre ni d'indi es

q

tels que

C

q

a

uneinterse tionnon videave

K

.Direque

G

q

est lo alementbornéuniformémentparrapport

à

q

signie que pour tout ompa t

K

⊂ O

il existe un ompa t

K

′

_{⊂ Q}

tel que

G

q

(K)

⊂ K

′

Remarque 1.9 Grâ e à (A

q

1), (A

q

2), (A

q

3), pour tout

q

, et à (A6), on déduit que pour

toute ondition initiale dans

O × Q

, il existe une solution (non triviale) de (

H

). Et don

ave [56, Proposition 2.1℄, nous pouvons dire que toute solution maximale

(x, q)

de

(

1.8

)

est soit omplète, soit

|x(t, j)| → ∞

ou

x(t, j)

→ ∂O

lorsque

t

→ sup

t

dom(x, q)

(et

j

→

sup

_j

dom(x, q)

).

Nous pouvons maintenanténon er lerésultat prin ipalde e paragraphe:

Théorème 1.10 Supposons quelesystème hybride (

H

) satisfasse (A0),(A4), (A5),(A6), et

(A

q

1), (A

q

2), (A

q

3) pour tout

q

dans

Q

. Si

A

est asymptotiquement stable sur

O

pour

(

1.8

)

alors

A

est robustement asymptotiquementstable.

Ce dernierrésultatpeut êtreutilisé pour diérentsproblèmes de ontrle, ommele al ul

deretoursdesortiehybrides( ommedans[C35℄),oupourdesobje tifsdeperforman e omme

lastabilisationen tempsminimal.C'estjustement et obje tifde performan equenousallons

Contrle optimal et robuste

Présentons maintenant nos résultats en ontrle optimal de systèmes non-linéaires. La

synthèse de ommande optimale est un problème où les ommandes sont naturellement

dis- ontinues même pour des systèmes linéaires (voir par exemple [24℄ pour des problèmes en

ontrle optimal ave des ontraintes sur l'état). Le problème de la synthèse de ommande

optimale est très important pour de nombreuses appli ations ( itons [125℄), et il faut tenir

omptedes ontraintes sur le ontrle ousur l'état ommedans [27℄.Aussileur sensibilitépar

rapportauxperturbationsdoitêtre priseen omptelorsde lasynthèse, pour pouvoirmesurer

la dégradation de la performan e en présen e de bruits. Nous allons voir que le adre des

ontrleshybrides (oumixtes, ave unedynamiquedis rèteet ontinue) estnatureletpermet

de résoudre leproblème de la synthèse d'une ommande quasi-optimale ontrainteet robuste

aux perturbations.

Soient

m

et

n

deux entiers. Considérons lesystème de ontrle suivant sur

R

n

˙x(t) =

m

X

i=1

u

i

(t)f

i

(x(t)),

(2.1)

où

f

1

, . . . , f

m

sont des fon tions analytiquessur

R

n

, etoùle ontrle

u(

·) = (u

1

(

·), . . . , u

m

(

·))

doit satisfaire la ontrainte

m

X

i=1

u

i

(t)

2

≤ 1.

(2.2)

Notons que (2.1) est ane par rapport à la ommande et sans dérive. Soit

x

¯

∈ R

n

. Pour

résoudre le problème de stabilisation de (2.1) vers

x

¯

ave la ontrainte (2.2), nous allons

onsidérerla lassedes ommandeshybridesdé ritedansle hapitre1qui, ommenousl'avons

vu, permet de onsidérer une lasse de solutions plus large que elle ave les retours d'états

lassiquesdis ontinus( ommedans[5,36,123℄).Nousallons her herà al ulerune ommande

hybride optimale( 'est-à-dire en temps minimal ave la ontrainte(2.2) qui soit robuste aux

perturbations). L'étudedes systèmeshybrides dans un ontexte de ommandes optimalesest

optimal,qui soitréguliersur une partiede l'espa e d'état,à uneautre ommande, déniesur

le omplémentaire de l'ensemble de régularité de la ommande optimale, an d'exhiber un

ontrle quasi-optimal et robuste en dénissant une loi de ommutation entre les diérentes

omposantes de ommande.Grossomodo, ettepropriété de quasi-optimalitésigniequel'on

peut appro her la synthèse optimale ave une pré ision aussi grande que l'on veut ( ette

pré ision est donnée par la quantité

ε

dans la dénition 2.5 i-dessous). Le ontrle hybride

résoudra une propriété de temps quasi-minimal(par e quepas exa tement égal àla synthèse

optimale a priori dis ontinue, don ertainement sensible aux perturbations), mais robuste

aux (petits) bruits de mesure,aux erreurs d'a tionneuret auxperturbationsextérieures.

Pluspré isémentdansunepremièrepartienous onsidéronsleproblèmedu ontrlesousla

ontrainte(2.2)dusystème(2.1)verslepoint

x

¯

,entempsminimal.Ceproblèmeaunesolution

sous une ondition de ontrlabilité en temps ni. Comme le système (2.1) est ane par

rapport au ontrleet sans dérive,si lerang de l'algèbrede Liepour lesve teurs

(f

1

, . . . , f

m

)

estplein,alorsonala ontrlabilitéentempsni(voir[34,107℄ou[43℄pouruneréféren eplus

ré ente). Biensûr ilest di ilede al ulerexpli itementlefeedba k temps minimal.De plus

la onditiondeBro kett[23℄impliquequ'engénéral ette ommandeoptimaleest dis ontinue.

La régularité de la fon tion temps minimal (et don de la ommande optimale)a été étudiée

dans [126℄. Pour les systèmes anes en la ommande omme (2.1), il est prouvé dans [1, 2℄

que la fon tion temps minimal est sous-analytique

1

, pourvu qu'il n'existe pas de traje toire

singulièreminimisantenon trivialepartant de

x

¯

. Cettehypothèse est vraiegénériquementdès

que

m

≥ 3

(voir [33℄). En parti ulier ette fon tion est analytique à l'extérieur d'une

sous-variétéstratiée

S

de

R

n

,de odimensionsupérieureouégale à

1

(voir[127℄).Par onséquent,

à l'extérieur de ette sous-variété, il est possible de al uler un ontrleur temps minimal

analytique pour le système ave la ontrainte (2.2). En bou le fermée ave ette ommande

optimale,les traje toires ne oupent jamais

S

.

Dans un voisinage de

S

, nous pouvons prouver l'existen e d'un ensemble de ontrleurs

satisfaisantla ontrainte(2.2)quifontsortirlessolutionsdusystème(2.1)horsde

S

entemps

petit.

Enn, pour résoudre le problème de stabilisation robuste en temps minimal, nous réons

une hystérésis, et nous dénissons une loi de ommutation,et don une ommande hybride,

entre le retour d'état temps minimal et les autres ontrleurs dénis au voisinage de

S

. Le

système hybride a la propriété intuitive suivante : si l'état est pro he de la sous-variété

S

,

alors le feedba k éloigne l'état de

S

, en temps petit; si l'état n'est pas pro he de

S

, alors le

feedba k fait onverger lessolutionsvers

x

¯

en temps minimal.Par onséquent lastabilisation

est quasi-optimale et robuste.

Nous voyons ainsi quenous résolvons dans [R12℄la onje ture [17,Conj. 1,p.101℄ dans le

1

Ondit qu'unensemble estsous-analytiquesilo alementil peutêtredé rit ommeune interse tion

d'en-sembles de zéros et d'ensembles de niveau de fon tions analytiques. Voir [63, 66℄ pour une dénition plus

ontexte des feedba ks ave une dynamique mixte dis rète/ ontinue (voir aussi la remarque

2.7 i-dessous). Deplus nous estimonsladégradation de laperforman e optimaleen présen e

de perturbations.Cette onje ture a ensuiteété résoluedans la lassedes feedba k onstants

par mor eaux (pat hy feedba ks) dans [6℄ ré emment.

Dans le paragraphe 2.1 nous étudions le as parti ulier de l'intégrateur de Bro kett et

nousexpli itonsun ontrle hybride quasi-optimaletrobustepar rapportauxpetits bruitsde

mesures et erreursde modélisation. Dans le paragraphe 2.2 nous généralisons ette appro he

à tout système linéaire par rapport à la ommande. Nous donnons quelques éléments de la

démonstrationde erésultatgénéraldansleparagraphe2.3.Le al ulnumériquedelafon tion

temps-minimalest étudiédans le paragraphe 2.4.

2.1 Cas parti ulier de l'intégrateur de Bro kett

L'étude de la stabilisation en temps optimal de l'intégrateur de Bro kett (1.5) par un

ontrlehybrideafaitl'obje tdelapubli ation[R7℄ o-é riteave EmmanuelTrélat,université

d'Orléans.

Signalonsque pour e as parti ulier ilexiste d'autres appro hes possibles pour la

stabili-sation sous-optimale omme [3,105℄.

Dans e as iln'existe pas de traje toire singulièrenon-triviale,et lavariété

S

est

exa te-mentl'axe

(0x

3

)

.Ilfautalorsdénirun ontrlequipermetdefairesortirtouteslestraje toires

hors d'un voisinage de l'axe

(0, x

3

)

en temps ni ( 'est le ontrle que nous dénirons ave

(2.8) i-dessous).

La fon tion temps minimal

T

pour joindre une ondition initiale

x

à

0

ave un ontrle

satisfaisantla ontrainte(2.2)peut être al uléeexpli itement ommeindiquédanslerésultat

suivant (voir [13℄).

Proposition 2.1 La fon tion temps minimal

T (x)

pour atteindre

0

à partir d'une ondition

initiale

x = (x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

pour le système (1.5) ave la ontrainte (2.2) est égale à

T (x

1

, x

2

, x

3

) =

θ

p

θ + sin

2

θ

_{− sin θ cos θ}

q

x

2

1

+ x

2

2

+ 2

|x

3

|,

(2.3)

où

θ = θ(x

1

, x

2

, x

3

)

est l'unique solution dans

[0, π)

de

θ

_{− sin θ cos θ}

sin

2

_θ

(x

2

1

+ x

2

2

) = 2

|x

3

|.

(2.4)

De plus, la fon tion

T

est ontinue sur

R

3

, et est analytique hors de l'axe

(0, x

3

)

.

Introduisons lafon tion

g : [0,

∞) → [0, ∞)

, déniepar

g(θ) =

θ

− sin θ cos θ

pour

θ

∈ [0, π)

,etpar

g(0) = 0

.C'estunebije tionstri tement roissantede

(0, π)

sur

(0,

∞)

.

Remarque 2.2 Lelong de l'axe

(0, x

3

)

, nous avons

T (0, 0, x

3

) =

p

2π

_|x

3

|.

L'ensemble des points oùla fon tion

T

n'est pas diérentiable est l'axe

(0, x

3

)

.

Pourtout

x

3

6= 0

,ilexisteuneinnitédetraje toiresoptimalesquipermettentderejoindre

l'origineà partir de

(0, 0, x

3

)

. Ces traje toiressont données par (voir essentiellement [13℄)

x

1

(t) =

r

|x

3

|

2π

(sin(2πt + ϕ)

− sin ϕ),

x

2

(t) =

r

|x

3

|

2π

(cos(2πt + ϕ)

− cos ϕ),

x

3

(t) =

−x

3

t

−

|x

3

|

2π

sin(2πt),

(2.6) pour

t

∈ [0, 1]

et

ϕ

∈ [0, 2π]

.

Lesensemblesdeniveaudelafon tion

T

, 'est-à-direl'ensemble

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

_{| T (x}

1

, x

2

, x

3

) =

r

_}

, pour un

r > 0

, ont l'allure de l'ensemble dé rit sur la gau he de la gure 2.1. C'est un

ensemble de révolution autour de l'axe

(0, x

3

)

.

–1

–0.5

0

0.5

1

–2

–1

1

2

Fig. 2.1  Un ensemble de niveau

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

_{| T (x}

1

, x

2

, x

3

) = r

}

àgau he, et à droite

une interse tion d'un ensemblede niveau ave un plan verti al.

Les interse tions de es ensembles de niveau ave les plans ontenant l'axe

(0, x

3

)

sont

dessinées sur ladroite de la gure 2.1.

En utilisant le prin ipe du maximum et la théorie d'Hamilton-Ja obi (voir par exemple

[104℄) on peut vérier que le ontrle optimal pour ramener un point

x = (x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

à

l'origine en temps minimal est donné par la formule suivante (en notant

f

1

(x) = (1, 0,

−x

2

)

′

et

f

2

(x) = (0, 1, x

1

)

)

u

1

(x) =

−h∇T (x), f

1

(x)

i = −

∂T

∂x

1

+ x

2

∂T

∂x

3

,

u

2

(x) =

−h∇T (x), f

2

(x)

i = −

∂T

∂x

2

− x

1

∂T

∂x

3

,

(2.7)

pour tout

x

tel que

T

est

C

1

(et don à l'extérieur de l'axe

(0, x

3

)

). Plus pré isément nous

pouvons al uler le ontrle optimal dans le as parti ulier de l'intégrateur de Bro kett. En

eetnous avons, pour tout

x = (x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

tel que

x

2

1

+ x

2

2

6= 0

,

∂T

∂x

i

= cos θ

p

x

i

x

2

1

+ x

2

2

, i = 1, 2,

∂T

∂x

3

=

− sin θ

sign

(x

3

)

p

x

2

1

+ x

2

2

,

où

θ = θ(x

1

, x

2

, x

3

)

est la solutionunique dans

[0, π)

de (2.4).

Par onséquent le ontrle optimal

u

opt

pour rejoindretout point

x = (x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

tel

que

x

2

1

+ x

2

2

6= 0

àl'origine en temps minimalest donnépar

u

opt1

(x) =

−

x

1

p

x

2

1

+ x

2

2

cos



g

−1



2

_|x

3

|

x

2

1

+ x

2

2

 

+

sign

(x

3

) x

2

p

x

2

1

+ x

2

2

sin



g

−1



2

_|x

3

|

x

2

1

+ x

2

2

 

,

u

opt2

(x) =

−

x

2

p

x

2

1

+ x

2

2

cos



g

−1



2

|x

3

|

x

2

1

+ x

2

2

 

−

sign

(x

3

) x

1

p

x

2

1

+ x

2

2

sin



g

−1



2

|x

3

|

x

2

1

+ x

2

2

 

,

oùla fon tion

g

est dénie par (2.5).

A l'extérieur de l'axe

(0, x

3

)

, le ontrle optimal est régulier et don , à l'extérieur d'un

voisinagede l'axe

(0, x

3

)

, nous avons une robustesse naturellede la stabilité.Pour pré iser e

voisinage,nous introduisons, pour tout

M > 0

et

r > 0

,l'ensemble

Ω

M,r

=

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

| x

2

1

+ x

2

2

≤ min(r, M|x

3

|)},

etnous notonsle fermé de son omplémentaire dans

R

3

par

Γ

M,r

:

Γ

M,r

= clos(R

3

\ Ω

M,r

) .

Au voisinage de l'origine,

Ω

M,r

est un ne, et plus loin, 'est un ylindre autour de l'axe

(0, x

3

)

(voirla gure2.2).

Une propriété intéressante de

Γ

M,r

est la suivante (voir le lemme 2 de [R7℄ pour plus de

pré isions):pourtous

M

0

> 0

et

r

0

> 0

susammentpetits,l'ensemble

Γ

M,r

est positivement

invariant pour le ontrle optimal

u

opt

, et en utilisant la régularité de

u

opt

sur et ensemble,

nous avons une robustesse naturellepar rapport aux petites erreursde mesure,et auxpetites

erreurs de modélisation. C'est une ontinuité des solutions par rapport aux perturbations.

Plus pré isément le temps où les solutionsperturbées arrivent à l'origine dépend de la taille

des perturbations, mais si les perturbations sont petites alors le temps pour arriver à

0

est

Ω

M,r

x

1

x

2

x

3

Fig.2.2  Allurede

Ω

M,r

.

Maintenantnousintroduisonsunautre ontrlequiseraréguliersur

Ω

M,r

.Ce ontrlesera

noté

u

g

( omme ommande globale) et sera tel que toute solution sortira de

Ω

M,r

en temps

ni etpetitsi

Ω

M,r

a une taillesusammentpetite(voirlelemme 4de [R7℄). Ce ontrle est

déni par, pour tout

x

∈ R

2

,

u

g

(x) = (u

g1

(x), u

g2

(x)) = (1, 0) .

(2.8)

Une stratégie de ommutation est proposée pour dénir un ontrle quasi-optimalet

in-sensibleauxpetites perturbations.Pour ladénir,numérotons les ontrles ainsi:

u

a

= u

g

,et

u

b

= u

opt

ave l'ordre lexi ographique

a < b

. Introduisons lesensembles suivants:

C

a

= Ω

M,r

, C

b

= Γ

M

′

_,r

′

,

D

a

= Γ

M

′

_,r

′

, D

_b

= Ω

_M,r

,

où

M > M

′

et

r > r

′

sont des réels susamment petits. Nous pouvons omprendre l'idée

intuitivede l'introdu tionde es ensembles delafaçonsuivante:lelieuoùle ontrle optimal

est intéressant est

C

b

'est-à-dire

Γ

M

′

,r

′

,tandis quele ontrle

u

a

est pertinentsur

Ω

M,r

( 'est

le plus gros voisinage de l'axe

(0, x

3

)

entre

Ω

M,r

et

Ω

M,r

). Les ensembles

D

a

et

D

b

sont les

ensembles oùlavariabledis rète

q

∈ {a, b}

doit ee tuer un saut de

a

à

b

(respe tivement de

b

à

a

). Maintenant dé rivons le ontrle hybride proprement dit(en suivant les notations de

la dénition 1.5) :

Q =

{a, b} ; {C

a

, C

b

} ; {D

a

, D

b

} ; {u

a

, u

b

} ;

g

a

(x) = b , g

b

(x) = a .

(2.9)

Nous pouvons démontrer que les solutions de l'intégrateur de Bro kett (1.5) en bou le