Le œlcut appliqué au traçage
Coude conique en plusieurs pièces
A u c u n e science véritable ne s a u r a i t se dispenser de l'emploi des m a t h é m a t i q u e s . Le calcul a r i t h m é -tique et le calcul algébrique sont susceptibles d'ap-porter a u dessin et a u x t r a c é s de tôlerie la préci-sion et la certitude qui leur m a n q u e n t assez sou-vent. L a construction d'un coude conique simple n o u s servira d'exemple.
On s a i t qu'il est possible de réaliser économi-q u e m e nt un coude coniéconomi-que en plusieurs pièces p a r découpage a u c h a l u m e au d'un t r o n c de cône de révolution. Les sections obliques à p r a t i q u e r d a n s ce t r o n c de cône doivent ê t r e telles que la h a u t e u r m o y e n n e des pièces i n t e r m é d i a i r e s soit double de celle des pièces e x t r ê m e s pour que les orifices du coude r e s t e n t des cercles faciles à raccorder. L e s sections i n t e r m é d i a i r e s sont alors des ellipses.
Si l'on désigne p a r n le n o m b r e de pièces, p a r R le r a y o n moyen fictif d ' u n coude et p a r a l'angle des bases d'une pièce d'extrémité, la longueur l d u t r o n c de cône nécessaire. à la construction est :
l = 2 (n — 1) R tg a
(Ajouter les p e r t e s occasionnées p a r le p a s s a g e de la flamme qui dépendent de l'épaisseur de la tôle.)
Cette formule s'obtient en observant sur la figure 1 le t r i a n g l e r e c t a n g l e CDE, d a n s lequel
CD
tg a — .
D E
Ainsi, pour n = 3 pièces, R = 500 m m et <T = 22° 30'.
I = 2 X 2 X 500 X 0,414 = 828 m m . II f a u t p a r t a g e r la longueur l e n - q u a t r e p a r t i e s égales pour obtenir u n coude en trois pièces, en six pour q u a t r e pièces, en huit pour cinq pièces, en
2 — 1) pour n pièces.
Le r a y o n moyen fictif sera choisi suffisamment g r a n d pour p e r m e t t r e la libre circulation du fluide d a n s la canalisation. E n ventilation, on peut adopter
comme r a y o n fictif moyen la somme des d i a m è t r e s des orifices du coude.
L ' a n g l e des bases d'une pièce e x t r ê m e devra per-m e t t r e le plus g r a n d n o per-m b r e possible d'ouvertures de coudes. L e s valeurs habituelles de a sont 7 ° 3 0 \ 10°, 15° et 22° 30'. L ' a n g l e de 7° 30' est t r è s pratique, c a r il f o u r n i t u n coude de 30° en trois pièces, u n coude de 45° en q u a t r e pièces, u n coude de 60° en cinq pièces, u n coude de 75° en six pièces et u n coude de 90° en sept pièces. Nous retiendrons ici l'angle de 22° 30' p a r c e qu'il donne au jeune d e s s i n a t e ur u n coude à 90° en trois pièces, moins long à t r a c e r et à calculer, m a i s le procédé reste utilisable pour u n coude composé d ' u n plus g r a n d n o m b r e de pièces.
Le t r a ç a g e des sections sur le tronc de cône initial p e u t se f a i r e , soit a u t r u s q u i n sur le m a r b r e en inclinant, d'un côté, puis de l'autre, ce tronc de cône ; soit à l'aide de la pointe à trace r ordi-n a i r e eordi-n a p p l i q u a ordi-n t sur le t r o ordi-n c de côordi-ne les p a t r o ordi-n s découpés, en m é t a l mince, des différente s pièces.
Si le t r o n c de cône n ' é t a i t p a s réalisé, on t r a -cerait, à p l a t sur la tôle, les t r a n s f o r m é e s des sections du côté extérieur du développement.
Lorsque les trois pièces du coude, pris comme exemple, sont découpées, il suffit de f a i r e tourne r de 180° a u t o ur de son axe la pièce intermédiair e et de m e t t r e en r e g a r d les ellipses des sections pour obtenir le coude simple (fig. 2).
Observer sur cette figure l'inégalité des cotes de m o n t a g e M et N. Cette r e m a r q u e a pour but de faciliter le dessin du coude p a r t r i a n g u l a t i o n. Il ne f a u t p a s vouloir, comme nous l'avons f r é -quemment constaté,. f a i r e concourir les t r a c e s des plans de jonction a u même point. R e g a r d e r les distances e / et / g grossies à t r a v e r s la loupe.
On doit réduire, a u t a n t que possible, la largeur des coupes pour atténuer l'inégalité des ellipses en r e g a r d . Les différences c o n s t a t é e s sont d ' a u t a n t plus petites que le sommet du cône est plus éloigné. Pour avoir des sections égales, il f a u d r a i t découper 41
Figure 1
La similitude des triangles rectangles G H P et SDF donne :
828 x
— , d'où x = 828 X 3 = 2.484 mm.
50 150
2° Distances au sommet h et h' des coupes obliques.
La hauteur du tronc de cône étant divisée en quatre parties égales :
h = 2.484 — 207 = 2.277 m m ; h' = 2.484 — 621 = 1.863 mm. 3° Décalages ef et fg (fig. 2).
Considérons le cône de sommet S (fig. 3) coupé par le plan de bout AB et déterminons les segments AC et CB en fonction du demi-angle au sommet a , de l'inclinaison du plan sécant par rapport à l'axe p et de sa distance au sommet du cône SC = h.
L'angle SBA = <3 — x
et l'angle SAB = 180° — {3 — a .
Dans le triangle quelconque SBC, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
BC h '' sin a
= ~ TJj 7 , d'où BC = h X -T-7Ô :
sin a sin (|i -— 2) sin ( p — a)
De même, dans le triangle quelconque SCA
A C h
: d'où AC — h =
Figure 3 les pièces d'un seul coude dans deux troncs de
cônes identiques, mais le procédé ne serait pas économique.
Calculs utiles.
1° Distance du sommet à la grande base du tronc de cône x (fig. 1).
Lorsqu'on amène par retournement le triangle SAB en S'AB, le point C vient en C', tel que C'B = AC et le décalage de l'axe CC' = BC — AC. Pour l = 828 mm, R = 150 mm et r — 100 mm, 50 tga = — t - = 0,06038, 828 d'où a = 3° 27' et sin a = 0,0602. Mais ^ = 67° 30', d'où (3 — a — 64° 3' et sin ( p — a ) = 0,8991 ; sin (180° — S — 2) = sin 109° 3' = 0,9452. P a r suite : «in g _ 0 , 0 6 0 2 _ sin et sin ( ï — a ) ~ 0,8991 - ' C' sin (180° - jî — a ) = 0 , 0 6 3 6 ; Figure 2
D'où BC = 2.277 X 0,067 = 152,5 mm ; AC == 2.277 X 0,0636 = 144,8 mm ; B'C' = 1.863 X 0,067 = 124,8 m m ;' A'C' = 1.863 X 0,0636 = 118,5 mm. E t finalement : e / — BC — AC = 7,7 mm / — B'C' — A'C' 6,3 mm.
4° Cotes de montage M et N (fig. 2).
Les valeurs précédentes permettent de calculer les cotes M et N :
M = 500 + 7,7 cos 22° 30' + 6,3 sin 22° 30'
= 500 + (7,7 0,92388)+ (6,3 0,38268)=509,5 m m N = 500 — 7,7 sin 22° 30' — 6,3 cos 22" 30'
_ 500 — (7,7 0,38268)—(6,3 0,92388)=491,2 m m Développement du tronc de cône.
Nous envisagerons d'abord le développement du tronc de cône, puis la détermination par points des transformées des sections.
Le sommet du cône é t a nt éloigné, nous calcule-rons les cotes nécessaires au tracé de la portion de couronne ou trapèze à bases circulaires (fig. 4) :
t k o
Tv
C
v
\ r > . , c. 0)-Vf
\ M
X-Figure 41° La génératrice du tronc de cône g. Dans le triangle rectangle a t e :
g = ^/P + (R — r y — x/ 8 2 82 + 50' = 829,5 mm. 2° Les rayons des arcs de cercles n et m. L a similitude des triangles rectangles e o s et a t e donne : 829,5 X 100 n r 9 r , d'où n = g R — r R — t 150 — 100 - 1.659 mm, et, par suite :
m = g + n = 829,5 + 1.659 = 2.488,5 mm.
3" L'angle au centre du développement A° :
360 R 360 X 150 A = = = 21" 42'. m 2.488,5 4° Les cordes C et c : A C = 2 m sin = 4.977 sin 10° 51' 2 = 4.977 X 0,18824 - - 936,8 mm ; A et c = 2 n sin — = 3,318 X 0,18824 = 624,5 mm. 2 5° Les flèches F et / : A F = m (1 — cos — ) = 2.488,5 (1 — 0,98212) 2 = 44,4 mm ; A / = n (1 — cos —) = 1.659 X 0,01788 = 29,6 mm. 2
6° La hauteur du trapèze rectiligne isocèle (g + f — F ) .
829,5 + 29,6 — 44,4 = 814,7 mm. Ces valeurs permettent de fixer les sommets du développement, puis de déterminer par points les arcs de cercles, soit par la méthode des ordonnées, soit par la méthode des cordes et des flèches. Cette dernière offre l'avantage de fournir des points éga-lement espacés qui facilitent le tracé de généra-trices équidistantes.
Les transformée s des ellipses de section peuvent être déterminées et cotées par points en coordonnées polaires.
On a, en effet : g
± tg a tg p cos ( C)
rr a Distance d'un point de la transformée au sommet du cône (pôle).
g Longueur de la génératrice du cône de hau-teur h.
a Demi-angle au sommet du cône,
p Angle d'inclinaison du plan sécant par rapport à la base du cône.
w Angle variable f a i t par le rayon tournant s n (fig. 6) avec le rayon initial s a (axe polaire).
Dans l'exemple choisi
lg
* = Ire •
tg
ï = Z •
d
'
où 18 ats?:=
°'
025
-Nous prendrons comme valeurs successives de co : 22° 30', 45°, 67° 30', 90°... (angles qui corres-pondent à la division de la circonférence de base en seize parties égales).
La similitude des triangles rectangles fournit la génératrice du cône de hauteur h.
g 2.488,5
2.277 X 2.488,5 d'où g = = 2.281,1 m m ; 2.484 P a r suite : 2.281,1 r,, = = 2.225,4 m m , 1 + 0,025 X 1 2.281,1 / 2.281,1 1 + 0,025 cos 22° 30' 1 + 0,0231 == 2.229,5 m m , 2.281,1 2.281,1 1 + 0,025 cos 45° 1 + 0,0176 — 2.241,6 m m , 2.281,1 2.281,1 r3 =
—
1 + 0,025 cos 67° 30' 1 + 0,0095 = 2.259,6 m m , 2.281,1 = 2.355 m m , etc... 1 — 0,0231 E n r e t r a n c h a n t de la g é n é r a t r i c e du cône de h a u t e u r x ces différentes valeurs, on obtient les cotes d e la figure 5.2.488,5 — 2.225,4 = 263,1 m m , 2.488,5 — 2.229,5 = 259,4 m m , etc...
Ces calculs peuvent p a r a î t r e longs, m a i s ils sont élémentaires et susceptibles d'être confiés à u n jeune dessinateur a i m a n t les chiffres. Ils p e r m e t t e n t , en tous cas, d'établir a u b u r e a u de dessin des patrons de traçage en m é t a l mince, ou en papier f o r t, qui r é d u i s e n t le rôle du t r a c e u r d'atelier à u n simple décalque et a s s u r e n t u n e exécution des pièces plus r a p i d e et plu s sûre.
Figure 5
Equation de la transformée de la sec-tion elliptique d'un cône de révolusec-tion.
Il s ' a g i t de trouver l'équation po-laire de la t r a n s f o r m é e p a r dévelop-p e m e n t de l'ellidévelop-pse de section, c'est-à-dire la valeur d'un r a y o n quelconque du développement en fonction de l'angle variable 0 .
P r e n o n s le s o m m e t du cône pour ori-gine des coordonnées. L a g é n é r a t r i c e sn, s'n' (droite qui passe p a r l'origine) a pour équation cartésienne :
h
y — ± X x
r cos co
(w angle que f a i t la g é n é r a t r i c e avec le r a y o n ini-h
tial s a, pent e de la g é n é r a t r i c e considérée, r cos w
le signe d é p e n d a n t de la position m o n t a n t e ou descendante de cette g é n é r a t r i c e ).
D'où x — r cos co y
On connaît la distance h mesurée sur l'axe du s o m m e t du cône au plan s é c a n t (fig. 6), l'inclinaison 3 de celui-,ci par rapport à la base, le r a y o n r du cône de h a u t e u r h, p a r suite la g é n é r a t r i c e g de ce cône et son demi-angle au s o m m e t a .
Voici pour t e r m i n e r la f a ç o n d'obte-nir la f o r m u l e (1).
L a trace du plan sécant a, de son côté, pour équation cartésienne y — tg $ x + h
(tg S pente de la trace du plan, h ordonnée à l'ori-gine).
D'où x — y — h tg
Les abscisses du point d'intersection m' des droites définies par les équations précédentes sont égales : y — h r c o s a y tgrfi h y h — — t r tg p costo y ou y (h ± r tg p cos w) = h, h d'où y h ± r tg p cos to
Mais la similitude des triangles rectangles s ' a ' / ' et s'm' e' donne :
s'm', y
- ou s m \ g ~ h
et en remplaçant y par sa valeur g h 5 m i 1 ± r tg $ cos w 1 ~h : tg i tg p cos tu puisque tg i j=. - ; h
s' m', est la vraie grandeur de la génératrice cherchée.
Les arcs a n de la circonférence de base en vue de dessus (fig. 6) et A N du développement (fig. 7) ont la même longueur rectifiée :
g i t»J = g 0 d'où O) = — 0
P a r suite S M = 1 ni: tg x ig ii cos g 6
En posant SM = ; et j = le, on a finalement
1 ± tg a tg rp cos k fl
î Rayon polaire ou distance du point quelconque M au pôle S.
g Génératrice du cône de hauteur h.
fc — g Rapport de la génératrice au rayon du r
cône de hauteur h.
0 Angle f a i t par le rayon considéré avec l'axe polaire SA.
g Le rayon polaire m a x i m u m — et le rayon polaire minimum
"l — tg a tg i g ' + tg a tgp
Figure 7
