Requêtes complexes sur des réseaux de Croyance-Faisabilité-Désir

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Requêtes complexes sur des réseaux de

Croyance-Faisabilité-Désir

Cédric Pralet, Gerard Verfaillie, Thomas Schiex

To cite this version:

Cédric Pralet, Gerard Verfaillie, Thomas Schiex. Requêtes complexes sur des réseaux de

Croyance-Faisabilité-Désir. Premières Journées Francophones de Programmation par Contraintes, CRIL - CNRS

FRE 2499, Jun 2005, Lens, France. pp.129-138. �inria-00000053�

Requêtes omplexes sur des réseaux de Croyan e-Faisabilité-Désir Cédri Pralet 1 Gérard Verfaillie 2 Thomas S hiex 3 1

LAAS-CNRS, 7,av. du Colonel Ro he, 31077 Toulouse, Fran e 2

ONERA, Centre de Toulouse, BP 4025 , 31055 ToulouseCedex 4 3

INRA, Chemin de BordeRouge, BP27, 31326 Castanet Tolosan, Fran e

praletlaas.fr, gerard.verfaillieonera.f r, ts hiextoulouse.inra.fr

Résumé

Dans epapier,nousproposonsun adrealgébrique général dont les briquesde base sont des relations lo- ales de royan e, de faisabilitéet de désir. L'obje tif prin ipal est de onstruire un adre permettant d'uni-er de nombreux formalismes qui ont été développés pourmanipulerdes ontraintes,despréféren esoudes in ertitudes, tels que les problèmes de satisfa tion de ontraintes(dures,souples,mixtes,quantiées, sto has-tiques), les réseaux bayésiens et les réseaux de Gibbs, lesgraphes haînés, lesdiagrammesd'inuen e,les pro- essusdé isionnelsdeMarkovpartiellementou omplè-tement observables... Apartirdu adreproposé,nous pensonsqu'ilserapossibledemieux omprendrelesliens entre diérents formalismesexistants et de développer desalgorithmesgénérauxparamétrables, apablesde ré-pondreàdesrequêtes variéessurunproblèmedonné.

Abstra t

Inthispaper,weproposeageneri algebrai frame-work, the basi omponents of whi h are belief, feasi-bility,and desire lo al relations. Its rst purpose is to gather in a ommon framework numerous formalisms thatwereseparatelydevelopedtodealwith onstraints, preferen esandun ertainties,su hashard,soft,mixed, quantied,orsto hasti onstraintsatisfa tionproblems, BayesianandGibbsiannetworks, haingraphs,inuen e diagrams, ompletelyorpartiallyobservableMarkov de- isionpro ess... Onthisbasis, wethinkthatitwillbe possible to get a more thorough understanding of the links between existingframeworksandthentodevelop generi parameterizedalgorithms,abletoanswervarious queriesonaprobleminstan e.

1 Motivations

Au oursdesdernièresdé ennies,ledomainede

l'In-permettant de modéliser des ontraintes, des préfé-ren esetdesin ertitudes.

LesCSP[12℄(problèmesdesatisfa tionde ontrain-tes)ontétéintroduitspourreprésenterdesproblèmes dans lesquels des ontraintes lo ales entre variables dis rètesexprimentdesfaits ertainsoudesexigen es dures.Le adredesCSPaensuiteétéétendupour re-présenter, en plus des ontraintes dures usuelles, des ontraintes souples exprimantdes faits in ertains ou des exigen es souples, ave notamment les CSP va-lués (VCSP) et les semiring-based CSP [1℄, qui en-globent les CSP lassiques, ous, additifs, lexi ogra-phiquesetprobabilistes.LesCSPmixtes[6℄ontquant àeuxintroduitunedistin tionentrevariables ontr-lablesetvariablesin ontrlables.Demanièresimilaire, les CSP quantiés [2℄ et les CSP sto hastiques [19℄ ontfait intervenir desvariables quantiées universel-lementetaléatoirement,enplusdesvariables quanti-éesexistentiellementqui interviennentdanslesCSP lassiques.Destravauxsimilairesontégalementété a - omplisdansla ommunautédesproblèmesSAT (sa-tisabilitébooléenne)[11℄.

D'autre part,les réseaux bayésiens [14℄ ont été in-troduits pour représenter des problèmes faisant in-tervenir des dépendan es lo ales orientées entre va-riablesaléatoiresdis rètes.Lesgraphes haînés [7℄ont étendules réseauxbayésiensen ajoutant,enplusdes dépendan esorientées,desdépendan esnonorientées, omme dans les réseaux de Gibbs. Les diagrammes d'inuen e [9℄ ont quant à eux étendu le adre des réseaux bayésiens en ajoutant, en plus des variables aléatoires, des variables de dé isionnon aléatoires et desvariablesd'utilité.

Mar-desproblèmesdedé isionséquentiellesousin ertitude. LesMDPneraisonnentpassurdesvariables,maissur des états et des dé isionsagrégés. Les MDP fa tori-sés[3℄ontétendule on eptdesMDPetlesméthodes derésolutionàunereprésentationàbasedevariables. Destravauxsimilairesontégalementétéee tuésen partantdelathéoriedespossibilités[5℄,ouenutilisant lathéoriedeSpohndes royan esépistémiques[8℄.

On peut remarquer de nombreuses ressemblan es entre esformalismes:nombred'entreeux font inter-venir des variables à domaines nis et des relations lo ales entre variables; la ombinaison de toutes les relationslo alesdénitimpli itementunerelation glo-balesurtouteslesvariables;lesrelationsdebaseétant lo ales, des requêtes d'optimisation ou de omptage peuvent être résolues sans avoir à expli iter la rela-tionglobaleenquestion.Cetteidéeanotammentété utiliséepour développerdesalgorithmes généraux ef- a esindépendantsdelasémantiquedesrelationsen jeu[17, 4,10℄.Partantde e onstatetpartantde e quenous her honsàmodéliser,lesexigen essuivantes ontétéretenuesentermesdebesoindereprésentation: 1. desvariablesàdomainesnispourreprésenterles observations, les états et les dé isions, ave une distin tionentrevariablesnondéterministes(qui ontunein ertitudesurlavaleurqu'ellesprennent) et les variables déterministes (dont la valeurest xéedemanièredéterministeparunagent); 2. des relations lo ales entre variables, permettant

dereprésenterdes royan esd'unagentsurles va-riablesnon déterministes,des ontraintes de fai-sabilitésurlesdé isions,et des désirssurles va-riablesdéterministesounon;

3. desensembles ordonnés pourmesurerles royan- esetlesdésirs,ave desélémentsspé iques re-présentantl'impossibleoul'ina eptable;

4. desopérateursde ombinaisonpermettantde om-binerdesdegrésde royan eentreeux,desdegrés dedésir entre eux, et de ombiner desdegrés de royan eave desdegrésdedésir;

5. desopérateursd'élimination,pourextraireune in-formationsynthétiqued'unensemblededegrésde royan eou de désir,et pour répondreà des re-quêtessurleproblème omplet.

Nousprésentonsdans e papierun adrequi satis-fait es exigen es,et qui a pour but d'unier des ef-fortsséparés de ommunautés s ientiques distin tes pour développer des adres de représentation et des algorithmesderésolution(maisleformalismeproposé n'englobepas touslesformalismes existants: par ex-emple, lessemiring-based CSP [1℄ et lesfon tions de royan e [16℄ne sont pasin lus). Nous utilisons

éga-repas d'aaire an de les onvain re d'investir dans sonentreprise.Pierresait quesiJeanestprésentàla n du dîner, il sera d'a ord pour investir 10 ke. Le même genre de onje ture peut être faite on ernant Marie,ave unmontantde50ke.PierresaitqueJean ou Marie viendra, mais qu'ils ne viendront pas tous lesdeux(l'un d'euxdoitgarder leurls) etquele as JeanvientetMarienevientpas seproduitave une probabilité 0:6.Con ernantlemenu,Pierrepeut om-mander dupoissonoude la viandepour leplat, etdu rougeoudublan pourlevin.Cependant,ilnepeutpas ommander du poisson ave du vin rouge, ar le res-taurantlerefuse.Jeann'aimepaslevinblan etMarie n'aimepaslaviande. Silemenuneleur onvientpas, ils quitterontledîner.SiJeanvient,Pierreveut abso-lument qu'ilrestejusqu'àla n.

Notreformalismeest présentéentroistemps. Nous dénissonstoutd'aborddanslaSe tion2lastru ture algébrique sur laquelle les royan es sur lesvariables nondéterministes,lesfaisabilitéssurlesvariables dé-terministesetlesdésirssurlesdeuxtypesdevariables sontexprimés; ette stru turealgébrique fait interve-nir desensemblesordonnésetdesopérateurs satisfai-santdespropriétésalgébriquesdebase.Desproblèmes sontensuitedénissur ettestru ture ommedes en-semblesde royan eslo ales,de faisabilitéslo aleset dedésirslo aux (Se tion3). Enn,desrequêtespour répondreàdesquestionssur esproblèmessont intro-duites(Se tion4).

2 Dénition de la stru ture algébrique

Les royan es sur les variables non déterministes sont exprimées sur une stru ture appelée stru ture de royan e. Unestru turede royan eestuntuple S b =hE b ; b ; b ; b

i(b ommebelief)telque

 E b

est unensembled'élémentsappelésdegrésde royan e,totalementordonnépar

b

,etqui on-tient un élément minimum 0

b (0 b sera asso ié à l'impossibilité).   b

est un opérateur binaire los sur E b

(opéra-teurd'élimination)quiestasso iatif, ommutatif, monotone,et ave 0

b

ommeélémentneutre.

 b

est un opérateur binaire los sur E b

(opéra-teur de ombinaison) qui est asso iatif, ommu-tatif, monotone,ave unélément neutre1

b 2E

b etave 0

b

ommeélémentabsorbant.Deplus, b estdistributif parrapportà

b .

Cettestru tureestunsemi-anneau ommutatif.Dans l'exemple du dîner, les royan esseront des

probabi-b

peléemarginalisation)seferaave  b

=+.

Les faisabilités sur les variables déterministes se-ront exprimées sur une stru ture appelée stru ture de faisabilité, qui sera toujours la stru ture S

f = hftrue;falseg; f ;_;^i,où f

estl'ordretotalqui vé-rie false 

f

true: lesfaisabilitéssont ombinéespar ^(une onjon tiondedé isionsestfaisablesiet seule-ment si haque dé ision de la onjon tion l'est), et l'élimination sur les faisabilités est faite ave _ (une disjon tion dedé isionsest faisablesiet seulementsi au moins une dé ision dela disjon tion est faisable). S

f

estaussiunestru turede royan e( etteremarque nouspermettraparlasuitededénir ertainesnotions àlafoispourles royan eset pourlesfaisabilités).

Les désirs sur les variables (déterministes ou non) serontexpriméssurunestru tureappeléeune stru -ture de désir. Une stru ture de désir est un tuple S d =hE d ; d ; d ; d itelque  E d

estuneensembled'élémentsappelésdegrésde désir,totalementordonnépar

d ,etqui ontient unélémentminimum ? d (? d

seraasso ié à l'in-a eptabilité).

  d

est un opérateurbinaire los sur E d

(opéra-teurd'élimination)quiestasso iatif, ommutatif, monotone,ave unélémentneutre0

d 2E d (0 d re-présente l'indiéren e, àla frontière entre désirs positifsetdésirsnégatifs).

 d

est un opérateurbinaire los sur E d

(opéra-teur de ombinaison) qui est asso iatif, ommu-tatif, monotone,ave unélémentneutre1

d 2E

d et ?

d

ommeélémentabsorbant. Unestru turededésirS

d

estdiérented'unestru ture de royan eS

b

:parexemple0 b

estl'élémentminimum de E

b

alorsque0 d

n'estpasné essairementl'élément minimumdeE

d

.Ainsi,lastru turededésirpeutêtre bipolaire (desdésirs positifs et négatifs peuvent exis-ter).Deplus,onnesupposepasque

d

estdistributive par rapport à 

d

. Dans l'exemple du repas d'aaire, lesdésirsserontdesutilités(ougains), ombinéesave

d

=+,etunraisonnementen termesd'utilité espé-rée probabiliste(formuledutype

P i p i U i ) onduit à ombiner royan esetdésirsparleproduit,et à éli-miner surlesdésirsave 

d =+.

Dansle asgénéral,pourprendreen ompte simul-tanémentlesinformationsfourniesparles royan eset lesdésirs,nousutilisonsunopérateurde ombinai-son entre royan es etdésirs

bd :E b E d !E d (dansl'exempledudîner,

bd

=)telque:

 bd

est monotone:la ombinaisond'undegré de royan e donné ave un désir d donne un dégré de désird'autantplusélévéquedestélévé,et la ombinaisond'undegréde royan ebave un

dé-(d 1  d d 2 )!(b bd d 1  d b bd d 2 ) ((b 1  b b 2 )^(0 d  d d))!(b 1 bd d d b 2 bd d) ((b 1  b b 2 )^(d d 0 d ))!(b 2 bd d d b 1 bd d)

 lesdésirssontpondérésparles royan es(axiomes delinéarité) b 1 bd (b 2 bd d)=(b 1 b b 2 ) bd d b bd (d 1  d d 2 )=(b bd d 1 ) d (b bd d 2 ) (b 1  b b 2 ) bd d=(b 1 bd d) d (b 2 bd d) 1 b bd d=d,0 b bd d=0 d andb bd 0 d =0 d

Cesaxiomes ouvrentles adres lassiquesàbase d'uti-lité espérée et sont prin ipalement justiés par des onsidérationsalgorithmiques.

Toutes les stru tures algébriques dénies aupara-vantsontregroupéesdansunestru tureappelée stru -ture de royan e-désir: unestru turede royan e-désir est un triplet hS

b ;S d ; bd i tel que S b est une stru ture de royan e, S d

est une stru ture désir et

bd

est unopérateurde ombinaisonentre royan es etdésirs.Lastru turesurlaquellelesfaisabilitéssont déniesn'estpasrappelée, arils'agittoujoursdeS

f = hftrue;falseg;

f

;_;^i. Des stru tures de royan e-désir lassiquessatisfaisantlesaxiomespré édentssont présentées dans le Tableau 1 (dans le as de l'utilité espérée possibiliste, d'autres hoix que eux présen-tés sontpossibles). Notreproblèmedurepasd'aaire utiliselastru turedel'utilitéespéréeprobabiliste.

1 2 3 4 5 E b R + R + [0;1℄ [0;1℄ N[f1g b       b

+ + max max min

b   min min + 0 b ;1 b 0;1 0;1 0;1 0;1 +1;0 E d R[f 1g R + [0;1℄ [0;1℄ N[f1g d       d

+ + max min min

d +  min min + ?d 1 0 0 0 +1 0 d ;1 d 0;0 0;1 0;1 1;1 +1;0 bd   min max(1 b;d) +

Tab.1Stru turede royan e-désirave -1.l'utilité espérée probabiliste - 2. la satisfa tion espérée proba-biliste - 3. l'utilité espérée qualitative possibiliste ver-sion optimiste - 4. l'utilité espérée qualitative p ossi-bilisteversionpessimiste - 5.l'utilité espérée ave des royan esépistémiquesdeSpohn,ave uniquementdes désirs positifs.

Onpeutmaintenantutiliserdesstru turesde royan- e-désirpourexprimerdel'informationsurunensemble V devariablesàdomainesnis,partitionnéentreV

ndet , l'ensemble des variables non déterministes, et V

det , l'ensemble des variables déterministes. Notre but est d'exprimerundegréde royan eglobalB

V

surles va-riablesnondéterministes,undegrédefaisabilitéglobal F

V

surlesvariablesdéterministes,etundegrédedésir globalD

V

sur touteslesvariables.La premièreétape (de la dénition 1 jusqu'à la propriété 1) onsiste à fa toriser es quantités globales, pour qu'elles soient expriméesde manière on ise, omme une ombinai-sonderelations lo alesappelées fon tionàs ope(de lamêmemanièrequedansunCSP,les ontraintes lo- alesdénissentimpli itementune ontrainte globale surtouteslesvariables).

Dénition 1 (Fon tionàs ope)Unefon tionàs ope f sur un ensemble E est une paire (S;') où S = fx

j

;j2Jgestunensembledevariablesappeléles ope de f et où ' : Dom(S) ! E est une fon tion (ave Dom(S)= j2J Dom(x j ), Dom(x j )désignant le do-mainedevaleursd'une variable x

j ).

Pouruneae tationAd'unsur-ensembledeS,A[S℄ orrespond à la proje tion de A sur S et '(A[S℄) est notéf(A). Si E admet a

etn

omme élément ab-sorbantet élément neutrede son opérateur de ombi-naison,etsi'prendsesvaleursdansfa

;n g(i.e. dansf0 b ;1 b

gpourles royan es,dansffalse;truegpour lesfaisabilités, etdansf?

d ;1

d

gpourlesdésirs),alors f peut être représentée par une ontrainte dure: les tuplesinterdits re evrontlavaleur a

etlestuples au-torisés re evront la valeur n

. Une fon tion à s ope surE

b

(resp. ftrue;falseg, E d

) est appelée une rela-tionde royan e(resp.de faisabilité, de désir).

Lafa torisation de D V est D V = d D i , où lesD i sont des relations lo ales de désir. Au une ondition n'estimposée sur es désirslo aux, qui peuvent tou-jours être ombinés sans que ela génère d'impossi-bilité( ela peut seulementgénérerde l'ina eptable). La situation est diérente en e qui on erne les de-grésde royan eet defaisabilitéglobaux,quidoivent satisfairedes onditions denormalisation:

 pour B V

, la disjon tion de toutes les situations possibles est ertaine; on lui asso ie le degré de royan e1

b ;  pourF

V

,ladisjon tiondetouteslesdé isionsest faisable; e i est justié sur un plan sémantique arparexemplenerienfaireesttoujourspossible (mêmesi elapeutêtreina eptable).

Formellement, elasigniequepourtouteae tation A de V , B (A ) doit être une distribution de

ndet ndet deV ndet ,F V (A ndet

)doitêtreunedistributionde faisa-bilitésur V

det

, lesnotionsdedistributionde royan e et dedistributiondefaisabilitéétantdénies par:

Dénition 2 (Distributionsde royan e et de faisa-bilité)Soit(E b ; b ; b ; b

)unestru turede royan e. Une distributionde royan esurSV estune fon -tion S :Dom(S)!E b telleque bA2Dom(S) S (A) = 1 b

( ondition de normalisation). A partir d'une telle distribution,onpeutdénirunedistributionde royan- e

S 0

surtout S 0

S en dénissant pour tout A 0 2 Dom(S 0 ), S 0(A 0 ) =  bA 00 2Dom(S S 0 ) S (A 0 :A 00 ). Si S b

estlastru turedefaisabilité(ftrue;falseg; f

;_;^), alors onparle de distributionde faisabilitéau lieu de parlerde distributionde royan e.

Ainsi, sur l'exemple du problème du dîner, il fau-dra en fait spe ier une distribution de probabilité P(V

ndet jV

det

)desvariablesnondéterministessa hant lesvariablesdéterministes.La onditionde normalisa-tion P Vndet P(V ndet jV det

)=1doitalorsbienentendu être vériée: P(V

ndet jV

det

) est bien une distribution de royan e sur les variables non déterministes pour haqueae tationdesvariablesdéterministes.La on-ditiondenormalisationsurB

V

impliquequ'une ombi-naisonderelationsde royan enedonnepas né essai-rement une distribution de royan e, et la ondition de normalisation sur F

V

implique qu'une ombinai-son de relations defaisabilité ne donne pas né essai-rementunedistribution defaisabilité.Pourfa toriser B

V et F

V

tout en satisfaisant les exigen es de nor-malisation, on utilise les notions de royan e ondi-tionnelle,defaisabilité onditionnelle,ainsiquela no-tiond'indépendan e onditionnelle.Andedénir es notions,nousintroduisonsune hypothèse supplémen-tairesurS

b

:noussupposonsl'existen ed'unopérateur 

b

appelé opérateur de onditionnement, déni sur f(b 1 ;b 2 )2E b E b jb 1  b b 2 ;0 b  b b 2 g,etvériantles propriétéssuivantes:(b 1  b b) b (b 2  b b)=(b 1  b b 2 ) b b(linéarité),0 b  b b=0 b ,b b b=1 b ,(b 1  b b 2 ) b b 2 = b 1 et(b 1  b b) b ((b 2 b b) b b)=(b 1 b b 2 ) b b (pro-priétésdesimpli ation).Si b

peutêtredéni( equi estvraipourtousles asprésentésdansleTableau1), alorslastru turede royan eest dite onditionnable. Parexemple, 

b

orrespond àladivision dans le as desprobabilités;siS b =(ftrue;falseg; f ;_;^),alors  b

=^ onvient. Dans le as oùles royan es repré-sententdes possibilités,alors onpeutprendre

b dé-nipar: b 1  b b 2 =min(b 1 ;b 2 )si b 1 <b 2 ,1sinon(on obtientalorsune des dénitions lassiques des distri-butionsdepossibilité onditionnelles).

Dénition 3 (Distributionde royan e onditionnel-le, indépendan e onditionnelle) Soit (E ;;; )

S distribution de royan e sur S, et soient S

1 , S

2 , S

3 troisensembles disjoints de S.

La quantité S1[S3  b S3 , aussi notée S 1 jS 3 , est appelée distributionde royan e onditionnellesurS

1 sa hantS

3

;elleestdéniesurlesae tationsAtelles que

S 3

(A)6=0 b

.Onpeutmontrerque S1jS3

estune distribution de royan e surS

1

pour touteae tation de S

3

,etqu'elle vériel'équation S 1 [S 3 = S1jS3 b S 3 .SiS b

estlastru turedefaisabilité, alorsonparle de distributionde faisabilité onditionnelle aulieu de parler dedistributionde royan e onditionnelle.

Enn, S 1

et S 2

sont dits onditionnellement indé-pendants sa hant S 3 si et seulement si S1[S2jS3 = S1jS3 b S2jS3

. Autrement dit, dans e as le pro-blèmepeutêtredé omposéenune partiedépendantde S

1 [S

3

,etune autrepartiedépendantde S 2

[S 3

.

Dans le as où les royan es sont des probabilités, on retrouve la dénition des probabilités ondition-nelles:six 1 ;x 2 ;x 3

sonttroisvariablesaléatoires,alors ladistributiondeprobabilité onditionnellesurx

1 sa- hantx 3 estP(x 1 jx 3 )=P(x 1 ;x 3 )=P(x 3

)(et 'estune distributiondeprobabilitépour haqueae tationde x 3 ).Deplus,x 1 etx 2

sontdites onditionnellement in-dépendantes sa hantx 3 siP(x 1 jx 2 ;x 3 )=P(x 1 jx 3 ), e qui est équivalent à P(x

1 ;x 2 jx 3 ) = P(x 1 jx 3 ) P(x 2 jx 3

).Ladénition de l'indépendan e ondition-nelle,quisatisfaitlesaxiomesd'unsemi-graphoïde[14℄, va nous permettre de fa toriser B

V et F

V

en intro-duisantungraphe a y liqueorienté (Dire tedA y li Graph ou DAG) dé rivant les indépendan es ondi-tionnelles.De manièresimilaireà e quiest fait dans le adredes graphes haînés[7℄,soit GunDAGdont les sommets sont des ensembles de variables appelés omposantes, qui forment une partition de V et qui sonttels que haque omposante est un ensemble de variables de même nature (déterministe ou non). On note C

ndet

l'ensemble des omposantes non détermi-nistes,C

det

l'ensembledes omposantesdéterministes, et pa( ) l'ensemble desvariables qui appartiennentà une omposante parente dansGd'une omposante . Le DAG G est impli itement omposé de 2 DAGs: l'un ave des ar s orientés vers les omposantes non déterministes,noté G

b

,et l'autre ave desar s orien-tés versles omposantes déterministes,notéG

f .Une premièrefa torisation deB V et F V

peutensuite être obtenue grâ e à la proposition suivante (dont l'ana-logue pour le asréseauxbayésiensserait: sionaun DAGquireprésentedesindépendan es onditionnelles surdesvariablesaléatoiresx

1 ;:::x n ,alorsla distribu-tion de probabilité P(x 1 ;:::;x n ) se fa torise sous la formeP(x 1 ;:::;x n )= Q i2[1;n℄ P(x i jpa(x i ))). onditionnelles de B V = B V b b 0 ave b 0 = 1 b  b ( bA det 2Dom(V det ) 1 b ) 1 et F V = F V , i.e. si pour B V , toute omposante non déterministe est onditionnel-lement indépendante de ses non des endants dans G

b sa hantsesparents,etpourF

V

,toute omposante dé-terministeest onditionnellement indépendantedeses non des endants dansG

f

sa hant sesparents,alors

B V = b 2C ndet B jpa( ) F V = ^ 2C det F jpa( )

Ilest possiblede fa toriser en oreplus B V et F V , enfa torisant haqueB jpa( ) (resp. haqueF jpa( ) ) ommeune ombinaisonderelationslo alesde royan- e B

i

(resp. omme une ombinaison de relations lo- alesde faisabilitéF i ).Si (B i )= (resp. (F i )= ) représente B i est un fa teur de B jpa( )  (resp. F i estunfa teurdeF jpa( )

),alors ette se onde fa to-risation est B jpa( ) = b (Bi)= B i (resp.F jpa( ) = ^ (F i )= F i

).Onpeutmaintenantdénirdesproblèmes sansfairementiondesdistributionsglobalesde royan- eet defaisabilité.

Dénition 4 Un problème Pb sur une stru ture de royan e-désirhS b ;S d ; bd iestuntuplehV;G;B;F;Di telque:  V =fx 1 ;x 2

;:::gestunensemblenidevariables. A haquevariable x

i

estasso ié unensembleni Dom(x

i

), qui dénit son domainede valeurs. V est partitionné entreV

ndet

,l'ensemble des varia-blesnondéterministes,etV

det

,l'ensembledes va-riablesdéterministes.

 Gestungraphea y liqueorienté(DAG)dontles sommets sont appelés omposantes. Les ompo-santesformentunepartitiondeV telleque haque omposante est un ensemble de variables in lus soit dans V ndet , soit dans V det . On note C ndet (resp. C det

) l'ensemble des omposantes in luses dans V

ndet

(resp. V det

) et pour une omposante , on note pa( ) l'ensemble desvariables qui ap-partiennentà une omposante parente de dans G.

 B = fB 1

;B 2

;:::g est un ensemble ni de re-lations de royan e; haque B

i

=(S;') est as-so ié à une unique omposante 2 C

ndet notée (B

i

), telle que S  ( [pa( )). Pour tout 2 C ndet , bBi2Bj (Bi)= B i

doitêtreunedistribution de royan esur pourtouteae tation depa( ).

1.B V

estdéniàpartirdeB V

enattribuantunmêmedegré de royan eb

0

à haqueae tationdeV det

.Cettemanipulation permetd'éviter ertainsproblèmesliésàl'existen edevariables déterministes et non déterministes. De plus, onpeut montrer queB estunedistributionde royan esurV.

1 2

defaisabilité; haqueF i

=(S;') estasso ié àune unique omposante 2C

det

,notée (F i

),telleque S( [pa( )).Pourtout 2C

det ,^

Fi2Fj (Fi)= F

i doitêtreunedistributionde faisabilitésur pour touteae tation depa( ).

 D = fD 1

;D 2

;:::g est un ensemble ni de rela-tionsdedésir.

Lastru turedeDAGrendlesrelationsde royan e etdefaisabilitéimpli itementorientées(entrevariables d'une omposante etvariablesdepa( ))ounon(entre variables d'une même omposante). Notons qu'il ne peutpasexisterderelationnonorientéeentreune va-riablenon déterministe et une variable déterministe, puisque esvariablesnepeuventpasapparteniràune même omposante. Ainsi, si on a une relation entre une dé ision et l'environnement, alors soit ette dé- isioninuen e l'environnement,soit l'environnement restreintlesdé isionspossibles.On peut prouverque ledegréde royan e(resp.defaisabilité)globaldéni àpartird'unproblème ommeB

0 V = bB i 2B B i (resp. F 0 V =^ Fi2F F i

)estunedistributionde royan e(resp. defaisabilité) surV

ndet

(resp.V det

)pour toute ae -tation de V

det

(resp. V ndet

) dont des indépendan es onditionnellessontdé ritesparG

b

(resp.G f

).

Modélisationduproblèmedurepasd'aaire Le pro-blèmedurepasd'aairepeutêtremodéliséenutilisant sixvariables: deb

J et deb

M

(valeurt ouf), représen-tant laprésen e de Jean et Marie audébut, fin

J et fin

M

(valeurt ouf),représentantleurprésen eàla n, pl (valeur poisson ou viande), pour le hoix du plat,etv(valeurblan ourouge),pourle hoixduvin. pl et v sont des variables déterministes, deb

J , deb M , fin J ,fin M

sontdesvariablesnondéterministes.Une méthodepossiblepour onstruireunDAGdes ompo-santesreprésentantdesindépendan es onditionnelles onsisteàutiliser lanotion de ausalité (d'autre mé-thodessontenvisageables).Le résultatestdonnéàla Figure1a.Les omposantesnondéterministessont re-présentées par des ellipses, les omposantes détermi-nistespardesre tangles.

Con ernantles royan es,nousdevonsspé ierune distribution de royan e de haque omposante non déterministe sa hant ses parents omme une ombi-naisonderelationsde royan es.B

deb J

;deb M

peutêtre expriméenutilisantunepremièrerelationde royan e binairespé iantlaprobabilitédeprésen edeJeanet Marieaudébut:B 1 =(fdeb J ;deb M g;')ave '(deb J = t;deb M = f)= 0:6, '(deb J = f;deb M = t)= 0:4, et '(deb J = t;deb M =t)='(deb J =f;deb M =f)=0. En-suite,B fin J jdeb J ;deb M ;pl;v

peutêtreexprimé ommela ombinaisonde deux relationsde royan eB

2 et B

3 . Lapremière,B ,quivareprésenterP(fin jdeb =f),

il nesera pasprésent àla n:B 2 =(ffin J ;deb J g;') ave '(fin J =t;deb J =f)=0et '(fin J =t;deb J =t)= '(fin J =f;deb J =t)='(fin J =f;deb J =f)=1.De ma-nière équivalente, B 2

est la ontrainte (deb J = f)! (fin J =f).Lase onde, B 3 ,est(deb J =t)!((fin J = t) $ :(v= blan )). De même, B finMjdebJ;debM;pl;v peutêtreexprimé ommela ombinaisonde deux re-lations de royan eB

4 etB

5

dénies ommedes on-traintes.Notonsque ontrairementauxréseaux bayé-siensouauxdiagrammesd'inuen e,ilestpossiblede spé ier la distribution de probabilitéd'une variable sa hantsesparentsparplusieursrelations.

Au niveau des faisabilités, F pl;v

peut être spé ié par une relationde faisabilité unique,exprimant que Pierrenepeutpas ommanderdupoissonave duvin rouge:F

1

::((pl =poisson)^(v =rouge)).La des- riptiondequellerelationestae téeàquelle ompo-santeestfournieàlaFigure1a.

Quantaux désirs,une relation de désirbinaire ex-prime le fait que Pierre ne veut pas que Jean parte au ours du dîner: D 1 : (deb J = t) ! (fin J = t). Deux relationsdedésirunairesD

2 et D 3 surfin J et fin M

respe tivementspé ientlesgainsespérésdela présen ede ha undes onvivesàlandurepas:par exemple, D 2 = (ffin J g;') ave '(fin J = t) = 10, '(fin J =f)=0.

Toutes es relations sont dé rites à la Figure 1b. Les variablesnon déterministessont représentéespar des er les, les variables déterministessont représen-téespardes arrés.Chaquerelationde royan e(resp. de faisabilité,dedésir)(S;') est représentéeparune hyper-arêtedessinéeen trait ontinu(resp.endouble trait ontinu, en trait pointillé) qui lie les variables de S. Pour l'ae tation omplète A: pl = viande, v=rouge,deb J =fin J =t,deb M =fin M =f, nous avonsB V (A)=0:6, F V (A)=true etD V (A)=10. B3 B4 B2 F1 pl ;v F1 B1 B4;B5 B2;B3 B5 deb J debM fin J finM (b) (a) fin M fin J debJ;debM D3 D 2 D1 pl v B1

Fig. 1  (a) DAG des omposantes et relations ae tées aux omposantes (b) réseau de Croyan e-Faisabilité-Désir.

CSP lassique, on peut utiliser uniquement des va-riablesdéterministesetdesrelationsdedésir(àvaleur dans ftrue;falseg) qui dé rivent les ontraintes. La ombinaisondesrelationsdedésir(par^) orrespond alorsbienàla ontrainteglobaledénieimpli itement surtouteslesvariables.Onpeutenfaittoutmodéliser par des désirs ar dans le as des CSP durs, au une distin tionn'estfaiteentrelesexigen es,lesfaits er-tainsetlesdé isionsfaisables.Ilenestdemêmepour lesVCSPet lesCSPquantiés.

DanslesCSPsto hastiques,deuxtypesdevariables sont présents (les variables sto hastiques et les va-riablesdedé ision),etplusieurstypesderelationssont dénis:onadesdistributionsdeprobabilitésurles va-riables sto hastiques et des ontraintessur toutes les variables.Dansnotreformalisme,lesvariables sto has-tiques seront des variables non déterministes, les va-riablesde dé isionserontdesvariables déterministes, les distributions de probabilité sur les variables sto- hastiquesserontdesrelationsde royan e,etles on-traintesserontreprésentéespardesrelationsdedésir.

Dans unréseaubayésien,ondisposed'unensemble V de variables aléatoires et d'un DAG sur es va-riables,et ondénit pour haquevariablex

i

2V une distribution deprobabilitésur x

i

sa hantsesparents P(x

i jpa(x

i

)). On représente ainsi la distribution de probabilitéglobaleP(V)parune ombinaisondes dis-tributions onditionnelleslo ales( equipermetparla suitedefairedes al ulssansavoiràexpli iterla rela-tion globale),aumême titreque danslesCSP on re-présenteune ontrainteglobalesurtouteslesvariables par une ombinaison de ontraintes lo ales. Pour re-présenter un réseau bayésien dans notre formalisme, on modélise les variables aléatoires par des variables non déterministes, et les distributions de probabilité onditionnelles sont modélisées par des relations de royan e.Danslesdiagrammesd'inuen e,onajoute, enplusdesvariables aléatoires,des variablesde dé i-siondontonpeutxerlavaleur,ainsiquedesvariables dites d'utilité qui dé rivent les préféren es. Un dia-grammed'inuen epeutêtrereprésentédelamanière suivante:lesvariablesaléatoiressonten ore représen-tées pardesvariablesnon déterministes,lesvariables dedé isionsontreprésentéespardesvariables détermi-nistes,lesprobabilités onditionnellessurlesvariables aléatoires orrespondentauxrelations de royan eet lesvariablesd'utilitédeviennentdesrelationsdedésir. Notons quedansundiagrammed'inuen e,lanotion defaisabilitén'estpasdutoutprésente.

Lanotiondefaisabilitéestprésentesil'onveut mo-déliserunproblèmedeplani ationàlaSTRIPS:dans untelproblème,lemondeestdé ritpardesvariables,

a tions. Pour haque a tion, on donne des pré ondi-tionsd'appli ation (qui indiquent dans quels as une a tionest faisable),ainsiquel'eetdesa tionssurle monde.Enn,onspé ieunoudesétatsbuts.Ce ise traduitdelamanièresuivantedansnotreformalisme: lesvariablesquidé riventlemondesontnon détermi-nistes, les variables qui dé rivent les a tions hoisies sontdéterministes,leseetsdesa tionssurlemonde orrespondentàdesrelationsde royan e,les pré on-ditionsd'appli ationdesa tionssontreprésentéespar desrelationsdefaisabilité,etleoulesétatsbutssont modéliséspardesrelationsdedésir.

Prenonsmaintenantun adreissu delathéoriedes possibilités: elui des MDP possibilistes (à horizon ni).DansunMDPpossibiliste,l'évolutiondumonde estdé oupéeenpasdetemps.Onaunevariabled'état s

t

et une variable de dé isiond t

pour haque pasde tempst.Onspé ie l'évolutiondumondeendonnant une distribution depossibilité(s

t+1 js t ;d t ) donnant lapossibilitéd'êtredansunétats

t+1 àl'instantt+1 sa hantl'états t àl'instantt et la dé isiond t prise à l'instantt.Enn,ondonnedespréféren es(s

t ;d

t )sur haque ouple état-dé ision. Pour représenter un tel problèmedansleformalismedesréseauxde royan e-faisabilité-désir,lesvariablesd'états

t

sontmodélisées par des variables non déterministes, les dé isions d

t orrespondentàdesvariablesdéterministes,les distri-butionsdepossibilité(s t+1 js t ;d t

)sontdesrelations de royan e,et lespréféren es (s

t ;d

t

)sontdes rela-tionsdedésir.

Par ontre,un adretelque eluidessemiring-based CSP [1℄ n'estpasin lus dans notreformalisme (pour pouvoir l'englober,il faudrait que la relation d'ordre surlesdésirspuisse êtrepartielle).

4 Dénition des requêtes

Etant donnéun problème,notre obje tif est main-tenant de pouvoir formuler des requêtes sur e pro-blème.Informellement,unerequêteva orrespondreà une séquen e d'éliminations de variables, permettant derépondreàdesquestionsdutype: omment maxi-miserl'investissementespérésitoutd'abordle restau-rant hoisit le plat prin ipal et Pierre est pessimiste auniveaude e hoix, et ensuitePierre hoisit levin avant de savoir qui sera présent au début età la n (la séquen ed'élimination serahmin ;fplgi:hmax;fvgi :h d ;fdeb J ;deb M ;fin J ;fin M

gidans e as).Nous in-troduisonsd'abordunedénitionformelledesrequêtes, puisnousfournissonsdeuxdénitionsdelavaleurd'une requêteavantd'établirunthéorèmed'équivalen eentre

où

 Pb estun problèmehV;G;B;F;Di ommedéni auparavant

 Sov estune séquen ede ouples opérateur-varia-blestellequelesopérateursutiliséssontmin,max ou

d

,ettellequetoutevariableapparaît auplus une fois dans Sov. La séquen e Sov est en fait utilisée pour spé ier omment une variable est quantiée. Les variables de V qui n'apparaissent pas dans Sov sont appelées variables libres (les autressontappelées variables quantiées).

Unerequêteestdite orre te siet seulementsi:

 siunevariableestquantiée,alorsl'opérateurqui luiest appliqué vaut

d

si ettevariableest non déterministe,et minoumax si ettevariableest déterministe(adéquationentrelanatured'une va-riableetl'opérateurquiluiest appliqué)

2 ;

 pour toute paire de variables x et y de natures diérentes(l'uneestdéterministe,l'autrenel'est pas),sila omposanteàlaquellex appartientest as endante dansleDAGduproblèmedela om-posante à laquelle y appartient, alors ou bien x apparaîtàgau hedey dans laséquen e Sov,ou bienxestunevariablelibre(respe tdela ausa-lité).

Propriété 2 Dufaitdelastru turede DAG,ilexiste aumoins une requête orre te sans variable libre sur unproblème.

Sensd'une requête SoitS 1

,S 2

deuxensembles dis-jointsdeV etA 1 ,A 2 desae tationsdeS 1 etS 2 res-pe tivement.Pourdesraisonsde lartédenotation,la royan eenS 1 =A 1 sa hantS 2 =A 2 ,B S1jS2 (A 1 :A 2 ), sera aussinotée B

V (A 1 jA 2 ). De même, la faisabilité de S 1 = A 1 sa hant S 2 = A 2 , F S1jS2 (A 1 :A 2 ), sera aussinotéeF V (A 1 jA 2 )).

La réponse Ans(Q) à une requête orre te Q = hPb;Soviestdénie ommeunefon tiondesvariables libresdeQ.SoitA

0

uneae tationde esvariables.Si A

0

n'estpas faisable, i.e.si F V (A 0 [V det ℄jA 0 [V ndet ℄)= false,alors(Ans(Q))(A

0

)estnoté?(réponsevide). Si-non,siA

0

n'estpas ru,i.e.siB V (A 0 [V ndet ℄jA 0 [V det ℄)= 0 b ,laréponseest 0 d .Sinon,(Ans(Q))(A 0 )vaut B V (A 0 [V ndet ℄jA 0 [V det ℄) bd Qs(Pb;Sov;A 0 ), ave Qs déniré ursivementdelamanièresuivante:

Qs(Pb;;;A 00 )=D V (A 00 ) Qs(Pb;hop;x i i:Sov 0 ;A 00 )=

2.Une variable non déterministe peut quand même être quantiéeparminoumax, arilsepeutquel'onait

d =min ou =max. i det min a2Dom(xi);FV(xi=ajA 00 )=true Qs(Pb;Sov 0 ;A 00 :(x i =a))  six i 2V det etop=max: max a2Dom(x i );F V (x i =ajA 00 )=true Qs(Pb;Sov 0 ;A 00 :(x i =a))  six i 2V ndet et op= d :  d a2Dom(x i );B V (x i =ajA 00 ) b 0 b B V (x i =ajA 00 ) bd Qs(Pb;Sov 0 ;A 00 :(x i =a))

En d'autres termes, d'une part, haque étape où une variable non déterministeest traitée est onsidé-rée ommeune loterie[18℄ dont lesré ompensessont lesQs(Pb;Sov 0 ;A 00 :(x i

=a))et telle quela royan e attribuée à haque ré ompensevaut B

V (x i = ajA 00 ); d'autrepart,une étapeàlaquelle une variable déter-ministeesttraitéeestvue ommeuneétape d'optimi-sation parmi les dé isionspossibles. Parrapport àla théoriedesloteries,unehypothèsesupplémentaireque nous faisonsimpli itementest qu'il est possible d'as-so ier à haque royan e et haque ré ompense une ontribution élémentaire au degré de désir global. Il estpossibledemontrerquesilastru turede royan e est onditionnable(existen ede

b

),lesquantitésqui interviennentdansladénitiondesrequêtesonttoutes un sens. Lorsque l'opérateur min ou max est utilisé, onveutengénéral onnaîtreunedé isionoptimisante. Noussupposonsqu'ilestpossibledemémoriserounon etteinformation( omplètementoupartiellement)au oursdel'évaluationdelavaleurd'unerequête.

Uneautredénitiondelavaleurd'unerequête Les quantités B V (x i = ajA 00 ) et F V (x i = ajA 00 ) peuvent être oûteuses à al uler. Heureusement, il est pos-siblededonneruneautredénitiondelavaleurd'une requête, qui sera équivalente àla première, mais qui utiliseradire tementlesdonnéesduproblème, 'est-à-direquiutiliseradire tementlesrelationsde royan e, de faisabilité et dedésir exprimées.An d'introduire ette se onde dénition, nous dénissons l'opération fd : ftrue;falseg(E d [f?g)! (E d [f?g) telle que 8d2E d [f?g; true fd d=det false fd d= ?, et nous imposons ? d ? = ? et max(d;?) = min(d;?) = d 3

. La réponse Ans(Q) à une requête orre teQ=hPb;Soviest alorsdéniedelamanière suivante(A

0

estuneae tationdesvariableslibres):

(Ans(Q))(A 0 )=Qs 0 (Pb;Sov;A 0 ) (1) Qs 0 (Pb;hop;x i i:Sov 0 ;A 00 ) =op a2Dom(x i ) Qs 0 (Pb;Sov 0 ;A 00 :(x i =a)) (2) Qs 0 (Pb;;;A 00 ) =F V (A 00 ) fd (B V (A 00 ) bd D V (A 00 )) (3)

3.Imposermax(d;?)=min(d;?)=dn'estpasin orre t ar  estunordretotalsurE uniquement(etnonsurE [f?g).

problèmesontae tées,laréponseàlarequête orres-pondàla ombinaisondesdegrésglobauxde royan e, de faisabilitéet dedésir.L'équation2exprimequesi les variables ne sont pas toutes ae tées et si x

i est lapremièrevariablequantiée,ave op omme opéra-teur d'élimination, alors la réponse à la requête or-respond à une élimination sur toutes les valeurs du domainedex

i

.Lespropriétésalgébriquesd'une stru -ture de royan e-désir, la dénition des royan es et des faisabilités onditionnelles ainsi que la dénition del'opération

fd

impliquent:

Propriété 3 Si la stru ture de royan e est ondi-tionnable,alors lesdeuxdénitionsde lavaleur d'une requête orre tesontéquivalentes.

Notons que la se onde dénition s'applique même si lastru turede royan en'estpas onditionnable(i.e. même si 

b

ne peut pasêtre déni).La ontrepartie est quel'on perdlasémantiqueentermesdeloteries. Lase ondedénitionfournitunpremieralgorithme naïf de al ul de lavaleur d'unerequête orre te. Sa nature ré ursive dénit impli itement une re her he arbores ente utilisant un ordre d'élimination des va-riables xes ( elui indiqué par Sov) qui olle te les royan es,lesfaisabilitésetlesdésirsélémentairespour trouverlaréponse àlarequête.En fon tiondela na-ture de l'opérateur utilisé, haque niveau de l'arbre orrespondàl'appli ationd'unmin,d'unmaxoud'un 

d

sur les valeurs olle tées. L'utilisation simultanée d'algorithmes d'établissement de la ohéren e lo ale pour trouver des bornes, d'algorithmes traitant des ontraintes globales, de mé anismes de bran h and bound pour exploiter les bornes trouvées, ainsi que des mé anismesde mémorisation exploitant la stru -ture du problème, devrait permettre d'améliorer de façon onséquente es hémaderésolution.

Requêtes surleproblème dudîner Quelest l'inves-tissementmaximalquePierrepeutespérer(etquelle(s) dé ision(s)doit-ilprendre)s'ildoit hoisirlemenusans savoirquiseraprésentaudébutdurepas?Larequête asso iéeest: hPb;hmax;fpl;vgi:h d ;fdeb J ;deb M ;fin J ;fin M gii

La réponse vaut 6 (ke) ave f(pl = viande);(v = rouge)g. Si on sepla e maintenant dans lasituation où Pierre sait qui est présent au début, la séquen e Sov utiliséeest:

h d ;fdeb J ;deb M gi:hmax;fpl;vgi:h d ;ffin J ;fin M gi

Laréponseest 26(ke),soit ungainde20(ke) résul-tantdel'observationde laprésen edeJean et Marie audébut.Ladé isionasso iéeestf(pl=viande);(v=

ronsmaintenantlaséquen eintroduiteaudébutdela se tionsurlesrequêtes:

hmin ;fplgi:hmax;fvgi:h d ;fdeb J ;deb M ;fin J ;fin M gi Laréponsevaut? d

= 1:danslepiredes as on er-nantle hoix duplat, la situation peut être ina ep-tablequelquesoitle hoixduvin.Enn,laséquen e

h d ;fdeb J ;deb M ;fin J ;fin M gi:hmax;fpl;vgi

n'est pas orre te, ar le menu doit être hoisi avant que l'on sa he qui est présent à lan. Ces exemples montrent ommentune requêtepermet de onsidérer dessituationsvariéesentermesde omportement op-timiste, pessimiste oumoyennant,et en termes d'ob-servabilité (notons que les variables non observables apparaissentsystématiquementàland'unerequête).

Retour sur les adres existants Les requêtes las-siquesasso iéesauxCSPdursouauxVCSPimpliquent uniquement l'opérateur max: en eet, la requête de re her he d'une solutionpour unCSP peut être vue omme une requête de maximisation de la quantité donnée par la onjon tion des ontraintes. Dans les CSP quantiés, les opérateurs d'élimination min et maxsontutilisés( arils'agitde al ulerlavaleurde véritédeformulesdutype9x

1 8x 2 8x 3 9x 4 ( 1 ^ 2 ^ 3 ), lesopérateurs9 et 8 orrespondantrespe tivementà un max et un min sur les booléens). Ave les CSP sto hastiques,lesopérateursd'éliminationmaxet 

d sontutilisés(onfaitdumaxsurlesvariablesde dé i-sionetdu

d

surlesvariablessto hastiques).Ave les réseauxbayésiens,lesrequêtesde al uloudemise à jour de probabilités utilisent uniquement l'opérateur 

d

.Ave lesdiagrammesd'inuen e,l'uniquerequête (produ tion d'unepolitiquequi maximise l'utilité es-pérée)faitintervenirlesopérateursd'éliminationmax (surlesdé isions) et

d

(surlesvariables aléatoires). Enfait,dansundiagrammed'inuen e,onspé ieen durquellevariableseraobservéeàquelmoment,alors quedansnotre formalisme, elaapparaîtuniquement danslarequête:onfaitapparaîtredemanièreexpli ite quelefaitd'observertellevariableàteloutelmoment ne modie par lesrelations lo ales qui existententre lesvariables.Enn,ave lesMDPetlesPOMDPà ho-rizonni(qu'ils soient probabilistesoupossibilistes), onaune alternan ede maxsur lesvariablesde dé i-sionetde

d

surlesvariablesd'état.

5 Con lusion

Au oursdesdernièresdé ennies,denombreux for-malismespermettantderaisonnersurlesin ertitudes,

lastru ture mathématique sous-ja ente à es forma-lismes,pournalement onstruireun adreuni ateur qui ouvrelesréseauxde ontraintes,lesréseaux bayé-siens,lesdiagrammesd'inuen e,lesMDP...Notre se- ondedénitiondelavaleurd'unerequête,bien qu'ex-pononentielleen temps à al uler, est opérationnelle dans le sens où elle permet de répondre à des re-quêtesenutilisantuniquementl'informationbrute dis-ponible.Sadénitionré ursivedénitdeplusune pro- éduredere her hearbores entequipourraitêtre sim-pliée en prenant en ompte des propriétés stru tu-rellesdansunalgorithmedetypeprogrammation dy-namique.Dansle asoùplusieursopérateurs d'élimi-nationinterviennentdansunemêmerequête, e i sou-lèvedenouvellesquestions.D'autreste hniquestelles quelare her heave retourarrière,lare her heave utilisation de bornes, de ohéren es lo ales, de on-traintes globales doivent également être envisagées, tout ommelesalgorithmesd'é hantillonnagepourun al ulappro hédelavaleurd'unerequête.

Le prin ipal obje tif (à long terme) de notre tra-vail est de pouvoir résoudre des problèmes algorith-miquementparlant,etpasuniquementd'être apable de les représenter. Le but n'est pas simplement de onstruire un formalisme permettant de représenter desin ertitudes,des ontrainteset despréféren es:il s'agitderegrouperdansunmême adredenombreux formalismes qui partagent des propriétés algébriques ommunes, e qui permettra d'une part d'identier desappro hesalgorithmiquessimilairesentreplusieurs adres,etd'autrepartdefaireproterun adredonné desavan éesdesautres adres.Destravauxsimilaires existent déjà (par exemple les travaux de Shenoy et Kohlas[17,10℄),maisilsnefontintervenirqu'unseul typedevariable,qu'unseultypederelation,etqu'un seultyped'opérateurde ombinaisonetd'élimination. C'est pourquoi la onstru tion d'un nouveau forma-lismeétaitunepremièreétapené essaire.

Remer iements Le travail dé rit dans e papier a étéréalisé enrelation ave leprojeteuropéenintégré COGNIRON (The Cognitive Companion) et a été nan éparlaDivisiondelaCommissionEuropéenne FP6-IST Future and Emerging Te hnologies, sous le ontratFP6-002020.

Référen es

[1℄ S. Bistarelli, U. Montanari, F. Rossi, T. S hiex, G. Verfaillie, and H. Fargier. Semiring-Based CSPs andValuedCSPs: Frameworks,Properties

onsisten yfor Quantied Constraints. InPro . of CP-02.

[3℄ C. Boutilier, R. Dearden, and M. Goldszmidt. Sto hasti Dynami ProgrammingwithFa tored Representations. Arti ial Intelligen e, 121(1-2):49107,2000.

[4℄ R.De hter. Bu ket Elimination:aUnifying F ra-mework for Reasoning. Arti ial Intelligen e, 113:4185,1999.

[5℄ D. Duboisand H. Prade. Possibilitytheoryasa basisfor qualitativede ision theory. InPro . of IJCAI-95.

[6℄ H. Fargier, J. Lang, and T. S hiex. Mixed ConstraintSatisfa tion:aFrameworkforDe ision ProblemsunderIn ompleteKnowledge. InPro . of AAAI-96.

[7℄ M. Frydenberg. The Chain GraphMarkov Pro-perty.S andinavianJournalofStatisti s,17:333 353,1990.

[8℄ P.H.GiangandP.P.Shenoy. Aqualitativelinear utilitytheoryforspohn'stheoryofepistemi be-liefs. InPro . of UAI-00.

[9℄ R.HowardandJ.Matheson.Inuen eDiagrams. InReadingsonthePrin iplesandAppli ationsof De ision Analysis,1984.

[10℄ J.Kolhas. Information Algebras: Generi Stru -turesfor Inferen e. Springer,2003.

[11℄ M.Littman,S.Majer ik,andT.Pitassi. Sto has-ti Boolean Satisability. Journal of Automated Reasoning,27(3):251296,2001.

[12℄ A.Ma kworth.Consisten yinNetworksof Rela-tions. Arti ial Intelligen e,8(1):99118,1977. [13℄ G. Monahan. A Survey of Partially Observable

MarkovDe isionPro esses:Theory,Models,and Algorithms. Management S ien e, 28(1):116, 1982.

[14℄ J. Pearl. Probabilisti Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inferen e. Mor-ganKaufmann,1988.

[15℄ M. Puterman. Markov De ision Pro esses, Dis- rete Sto hasti Dynami Programming. John Wiley&Sons,1994.

[16℄ G. Shafer. A mathemati al theory of eviden e. Prin etonUniversityPress,1976.

[17℄ P.Shenoy. Valuation-basedSystemsforDis rete Optimization. InPro .ofUAI-90.

[18℄ J. von Neumann and O. Morgenstern. Theory of Games and E onomi Behaviour. Prin eton UniversityPress,1944.

[19℄ T. Walsh. Sto hasti Constraint Programming. InPro . ofECAI-02.