ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le mécanisme de peaucellier

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Synthèse par M. LETOURNEAU Du 29 Février 2000 au 12 novembre se tient au PALAIS de LA DECOUVERTE à Paris, une exposition dont le thème est :AU DELA DU COMPAS: La géométrie des courbes.

On y trouve un ensemble de réalisations et de maquettes expérimentales toutes issues du com-pas ! Un parcours préférentiel est proposé ainsi que des fiches techniques très claires et bien illustrées.

Comme il est notifié « ... avec la règle on peut tracer une droite, ce qu'on ne peut faire avec/e seul compas. Par conséquent, il faut faire une réserve : avec le seul compas, on peut faire tout ce qu'on peut faire avec la règle, excepté tracer des droites »

Des exemples: Réflexions et échos (ellipses ••• ); Miroirs ardents (antennes paraboliques, paraboles ... ); Ellipses (équipements routiers, jardins ... ) ; Ponts suspendus (chaînette ... ) ; Origines de la géométrie ...

Puisse la géométrie être réintroduite dans les cursus scolaires et à nouveau faire valoir ses principes fondamentaux ainsi que ses capacités de formation ... A vos compas ...

Un des problèmes qui a longtemps oc-cupé les ingénieurs de la fin du

xvm

ème et du début du XIX ème siècles était celui de trouver un système capable de régler l'axe du piston de la machine à vapeur selon un mou-vement rectiligne alterné. Sans ce mécanisme, en effet, la bielle AB, qui joint l'axe du piston et la roue qui convertit le mouvement, pousse-rait cet axe hors de la verticale, endomma-geant très vite la boucle S du cylindre. (fig. 1) Pour beaucoup d'autres machines égale-ment, il faut qu'un point donné se déplace en ligne droite avec le minimum de frottement ; ce qui justifie l'intérêt porté au problème de tracer une droite au moyen d'un système d'axes articulés.

En 1784, Watt l'inventeur de la machine

à vapeur, mit au point une solution, toutefois encore approximative. Elle consiste en une combinaison de trois axes reliés par des char-nières, deux desquels AD et BC sont de même longueur, et un AB est beaucoup plus court. (fig. 2)

Si C et D sont des points fixes (à des hauteurs distinctes), l'axe AB décrit en son

A a.l.e du piston

t

s

_.,,

,

l'

.

..

' i '• JÏ cylindre Î!

i.t

'1•

li!

1'

1!

fig.

1

point moyen P un mouvement rectiligne verti-cal sur un trajet assez considérable. En vérité, le mouvement complet du système articulé fait décrire au point P une courbe en forme de huit.

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Même si la solution de l'illustre ingé-nieur répondait suffisamment aux nécessités techniques de l'époque (encore qu'elle soit encore adoptée de nos jours), nombreux furent ceux qui cherchèrent en vain de trouver une solution exacte au problème. Celle-ci fut trou-vée en 1864 par A Peaucellier.

Le mécanisme inventé par Peaucellier est constitué de sept axes reliés par des char-nières. Quatre d'entre eux forment un lo-sange ; deux plus longs sont attachés à deux extrémités opposées du losange, et également entre eux en un point fixe 0 ; le septième axe contraint le point P à se mouvoir sur une cir-conférence passant par O. Quand P se déplace sur la circonférence, le point Q décrit une

1 ... -...

...-+---\ ₀ fig. 3

c

fig.2 droite. (fig. 3)

li est évident que les points P, 0, Q sont · toujours .align~s qu~lle que soit la position de

P

sur la circonférence qui passe par 0.

Démontrons maintenant la relation OP . OQ

=

OA2 _- _AP2 _{= constante}

Appelons C le point de rencontre des diagonales PQ et AB du losange APBQ.

Les deux diagonales se divisent récipro-quement en deux. En outre l'angle ACP est droit. Puisque 0, P, Q sont alignés, on a:

on a: OP=OC -PC OQ =OC+ CQ =OC+ PC Ainsi: OP . OQ = OC2 - PC2

Mais en vertu du théorème de Pythagore OC2 _{= OA}2_-AC2

PC2

=

_AP2

- AC2

Donc:

OP . OQ = OA2_- _AP2

=

_{constante K}

Après ces prémisses, démontrons que quand P décrit la circonférence passant par 0,

le point Q décrit une droite .

Soit C le point de la circonférence dia-métralement opposé à 0, et soit

1?

un point gé-nérique de la circonférence différent de C et

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.... 1

Après avoir placé les 39 mots suivants dans le tableau ci-contre, il vous restera de la place pour un mot mystère répondant à la définition : 11

Nécessaire en

été, pour repartir d'un bon pied! ... ,

Chaque mot peut être placé horizontalement, verticalement ou en diagonale, de gauche à droite ou de droite à gauche, de haut en bas ou de bas en haut Certaines lettres peuvent être utilisées plusieurs fois. ABER ADRET BASSIN BOIS CALDEIRA CAMPAGNE CHAMP CLAIRIERE COLLINE -CORDILLERE - CUVETTE - DELTA DEPRESSION DESERT DUNE ESTUAIRE FJORD FORET GEYSER GOUFFRE GROTTE JUNGLE LAGON LLANOS MER MESA MONTAGNE PAMPA PLAINE -PRAIRIE - PRE - SAY ANE - SIERRA S1EPPE TAIGA TALUS TOUNDRA VERSANT -

VOLCAN-SOLUTION DU MOT MYSTÈRE DU N° 84 : ALCOOL

de O.

Appelons Q et D les positions que pren-nent une extrémité du losange (du

u

I p 0 1 R H A E 1 I R I T N E R

v

G

s

c

E R T

s

E N D E

s

E R T

c

u

v

E T T E E R I A

u

T

s

E

nisme ), quand 1 'extrémité opposée coïncide respectivement avec Pet C. (fig.4)

En raison de ce qui a été observé aupa-ravant, on peut écrire :

OC.OD=K OP. OQ=K

Considérons les triangles OPC et ODQ : ils sont semblables et donc, puisque 1 'angle OPC est droit, l'angle PDQ l'est aussi. Puis-que le point P a été arbitrairement choisi sur une circonférence passant par 0, ce qui vient d'être dit est vrai pour n'importe quel point du cercle. Ainsi, quand P change de position sur la circonférence, ·le point Q se déplace le long d'une droite.

0

M.L.

- - - A.tlp ll'rl info-N°85 Sept. Oct. 2000