Optimisation stochastique sous contrainte de risque et fonctions d'utilité

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fonctions d’utilité

Babacar Seck

To cite this version:

Babacar Seck. Optimisation stochastique sous contrainte de risque et fonctions d’utilité. Mathematics

[math]. Ecole des Ponts ParisTech, 2008. English. �pastel-00004576�

présentée pour l'obtention du titre de

Do teur de l'É ole nationale des Ponts et Chaussées

Spé ialité : Mathématiques et Informatique

par

Baba ar SECK

Sujet : Optimisation sto hastique sous ontrainte de risque

et fon tions d'utilité

Soutenan e le 24Septembre 2008 devant lejury omposé de :

Rapporteurs : AlainChateauneuf UniversitéParisI

André De Palma ENS Ca han

Examinateurs : Frédéri Bonnans INRIA

Pierre Carpentier UMA-ENSTA

Laetitia Andrieu Éle tri ité de Fran e Jean-François Delmas ENPC

Table des matières

Remer iements vii

Avant-Propos ix

Résumé xi

Extended Abstra t xiii

Introdu tion 5

I Le as statique 5

1 Mesures de risque et dé ision dans l'in ertain 7

1.1 Préliminaires . . . 8

1.1.1 Risque etin ertitude . . . 8

1.1.2 La dominan e sto hastique . . . 8

1.1.3 Rappelssur lesrelationsde préféren e . . . 10

1.2 Mesures de risque . . . 11

1.2.1 Quelques mesures de risque usuelles . . . 11

1.2.2 Axiomatique des mesures de risque . . . 14

1.2.3 Ensembles a eptables . . . 17

1.3 Les modèlesé onomiques de dé isiondans l'in ertitude etle risque. . . 18

1.3.1 Dé ision dans le risque . . . 19

1.3.2 Dé ision dans l'in ertain . . . 21

1.4 Mesures de l'aversion aurisque . . . 27

1.4.1 Équivalent ertain . . . 27

1.4.2 Prime de risque . . . 28

1.4.3 Cas de l'utilitéespérée . . . 28

2 Formulation é onomique d'un problème d'optimisation sous ... 31

2.2 La lasse des mesures de risque de l'inmum espéré . . . 32

2.2.1 Dénition etexemples . . . 32

2.2.2 Liens entre lesmesures de risque ohérentes etla lasse ... . . . 34

2.3 Mesures de risque etfon tions d'utilité . . . 35

2.3.1 Théorème d'équivalen eentre un problème d'optimisation... . . 35

2.3.2 Dis ussion é onomique . . . 38

2.3.3 Optimisation sto hastique sous une ontraintede la lasse ... . . 42

2.4 Appli ationà un problème élémentaire de nan e . . . 43

2.4.1 Optimisation sous ontrainte de Conditional Value-at-Risk . . . 43

2.4.2 Conditional Value-at-Risk et aversion auxpertes. . . 44

II Le as dynamique 47 3 Formulation é onomique d'un problème d'optimisation sous ... 49

3.1 Un problème d'optimisationdynamique sous ontraintes de risque . . . 49

3.2 Mesures de risque etfon tions d'utilité . . . 51

3.3 Programmationdynamique sto hastique et ontraintes de risque . . . . 54

3.3.1 Diérentes ontraintes de risque statiques . . . 54

3.3.2 Modèle de ommande optimalesto hastique sous ontraintes ... 55

4 Gestion de la produ tion de l'éle tri ité à l'horizon moyen terme 59 4.1 Gestion dynamiquede produ tion . . . 60

4.1.1 Portefeuille"physique"de produ tion . . . 60

4.1.2 Les mar hés de l'éle tri ité . . . 61

4.1.3 L'équilibre ore-demande. . . 62

4.1.4 Prise en omptedu risque nan ier . . . 62

4.2 Formulationmathématique . . . 65

4.2.1 Mise sous forme anonique . . . 65

4.2.2 Méthode de résolution. . . 66

4.3 Résultatsnumériques . . . 69

4.3.1 Problèmesans ontrainte de risque . . . 69

4.3.2 Problèmeave ontraintes de risque . . . 69

4.3.3 Problèmed'optimisation ave une des fon tionsd'utilité ... . . . 70

4.3.4 Problèmed'optimisation ave une fon tion d'utilité... . . 71

Con lusion et perspe tives 74

C Quelques ompléments sur le problème de gestion de produ tion 85

D Rappels d'optimisation et d'analyse onvexe 89

Bibliographie 95

Remer iements

Jeremer ied'abord mondire teur de thèse Mi helDeLara quiaa epté de suivre ette thèse. Sa rigueurs ientique etses nombreuses remarques m'ont été d'un grand apport. Qu'il trouve en es quelques mots toute mare onnaissan e.

Jeremer ie Laetitia Andrieu,ingénieur et her heur à EDFRe her he et Dévelop-pement. Elle a proposé et suivi ette thèse ave intérêt et rigueur. Sa ollaboration a beau oup guidé lesthèmes abordés dans e manus rit.

Je remer ie Alain Chateauneuf et André De Palma d'avoir a epté d'être rappor-teurs de ettethèse.Parailleurs,lesnombreux é hangesquej'ai eus, durantmathèse, ave Alain Chateauneuf ont été d'un apport important. Je lui en suis re onnaissant. Mes remer iements haleureux vont aussi à tous les autres membres du jury de ma thèse : Frédéri Bonnans,Pierre Carpentier et Jean-FrançoisDelmas.

Je remer ie très haleureusement Fabio Ma heroni qui a toujours été disponible pour dis uter de ses travaux.

Je remer ie toute l'équipe SOWG (System Optimisation Working Group) dirigée par Mi hel De Lara et omposé de Pierre Carpentier, Jean-Philippe Chan elier, Guy Cohen, Pierre Girardeau et Jennis Lioris. Les en ouragements, l'aide et la gentillesse de Pierre Carpentier m'ont beau oup marqué. Les onseils et les remarques de Jean-PhilippeChan helieretde GuyCohenm'ontaidéàbien erner ertainssujets quej'ai abordé lorsdes réunions hebdomadairesde l'équipeSOWG.Etenn, aux ollèguesde bureau et thésards Pierre Girardeau et Jennis Lioris, je dois une bonne ambian e de travail durant mes trois années de thèse.

Par la même o asion, je remer ie très haleureusement Kengy Barty, Anes Dallagi et Cyrille Strugarek. Ils m'ont soutenu et en ouragé durant les moments di iles de mathèse. Mesremer iementsvont aussi àtous lesmembresdu laboratoireCERMICS etparti ulièrementaux thésards etpost-do torantPierre So hala, AmélieDeleuren e, Sébastien Boyaval, Ismaela Dabo etj'en passe.

Unebonne partie de ette thèse s'est déroulée dans leslo aux d'EDF. Je remer ie François-RégisMon larquim'adonnél'o asiondefaireunstagede DEAdurantl'été

qui a o-dirigé ave Laetitia Andrieu e stage. Ses onseils et ses remarques m'ont beau oup aidé lors de mes premiers pas dans le monde de la re her he. Je témoigne ma re onnaissan e à mon hef de projet Xavier Warin et à Wim van A kooij. Ils ont suivi ave intérêt les appli ations que j'ai faites durant ette thèse. Leurs onseils et suggestions m'ont permis de bien omprendre ertaines problématiques de la gestion de laprodu tionde l'éle tri ité. Je remer ie aussi tous lesmembres du groupe gestion des risques etvalorisation,leur onvivialité y faitrégner une bonne ambian e.

Jepense aussi àmes amarades thésards : ArnaudLenoir, GrégoryEmiel etMarie Berhnart.

C'estàmafamillequejedoisla on rétisationdetantd'annéesd'études.Jeremer ie du fond du ÷ur mon père, qui m'a in ulqué dès le bas âge le goût de l'eort et le sens du sa ri e, etsa femme née Marie Dabo qui n'a ménagé au uneort pour nous éduquer.Àmesfrèresets÷urs,j'adressemessin èresremer iementspourleurae tion, leurs en ouragements et leur soutien.Je pense à ma se onde famille,la famillePouye is à Bagneux et parti ulièrement à Souleymane Diagne et à mes amis de Bargny, parti ulièrementà Ismaela Fall.

Je remer ie ave beau oup de respe t mes ompagnons et frères Ousmane Sall, Dame Diop, Couly Diop, feuMa tar Séne, Diamadi, Chérif et j'enpasse.

Enn, je nis par remer ier Diakhou Thiam pour m'avoir en ouragé, soutenu et supporté durant es trois dernières années. Quelques mots ne suront pas pour lui témoigner toute magratitude.

Avant-Propos

Cettethèses'estdéroulée onjointementaulaboratoireCERMICS

1

del'É ole Natio-naledesPontsetChausséesdansl'équipeOptimisationetSystèmeetàEDFRe her he etDéveloppementdanslegroupe"Gestiondes risquesetvalorisation"du département OSIRIS.

2

PourEDF,auxproblématiqueshistoriquesdegestiondeprodu tionde l'éle -tri ité s'ajouteaujourd'hui laprise en omptedu risque nan ier lié àl'émergen edes mar hés de l'énergie permettant ainsi des é hanges physiques et nan iers autour de l'éle tri ité. C'est dans e ontexte que s'ins rit ette thèse : nous étudions diérentes façonsd'in orporerlerisquedansdesproblèmesd'optimisationsto hastique.L'obje tif est de proposer des modèles mathématiquesetdes outilsinformatiques permettantde gérer onjointement l'amont (par de produ tion de l'éle tri ité, ontrats d'approvi-sionnement d'éle tri ité, et .) et l'aval ( ontrats de fourniture, ventes sur les mar hés de l'énergie, et .).

1

Centred'Enseignementet deRe her heenMathématiqueset Cal ulS ientique. 2

Résumé

Dansun ontexted'ouvertureàla on urren eetd'émergen edesmar hésde l'éner-gie,laprodu tiond'éle tri itéestae téepardenouvellessour esd'aléas;lesvariations de prix sur les mar hés de l'énergie. Ces sour es d'aléas induisent un nouveau risque, le risque de mar hé. Nous étudions la possibilité d'introduire des ontraintes, expri-mées par des mesures de risque, dans le pro essus d'optimisation de la produ tion de l'éle tri ité lorsque des ontrats nan iers sont é hangés sur les mar hés de l'énergie.

Dans e travail,pour e qui est du risque, nous distinguons l'appro he ingénieur (priseen omptedurisquepardesmesures derisque)del'appro heé onomiste (prise en ompte du risque par des fon tions d'utilité). Un aperçu global de es diérentes appro hes est donné au Chapitre 1 dans un adre statique. Les mesures de risque asso ient à une variable aléatoire réelle un s alaire. L'axiomatique des mesures de risque monétaires permet d'interpréter e s alaire ommeun apital. On asso ie alors auxmesuresderisquedesensemblesde positionsa eptables 'est-à-direnené essitant pasde apitalsupplémentairepourse ouvrir ontre lerisque.D'unautrepointdevue, les modèles de dé ision en é onomie traduisent les préféren es d'un dé ideur fa e au risque (modèlesde dé isiondans lerisque) ouàl'in ertitude(modèlesde dé isiondans l'in ertain). Desindi es d'aversion aurisque (ou auxpertes)permettent de mesurer la per eptiondurisqueoudel'in ertitudedudé ideuraprèsavoirmodélisésespréféren es par un ertainnombre d'axiomes.

Ces deux points de vue sont rappro hés dans le Chapitre 2. Nous donnons une for-mulation é onomique (à la Ma heroni) à un problème d'optimisation statique sous ontrainte de risque lorsque la mesure de risque s'é rit sous la forme d'un inmum espéré omme lavarian e,la Conditional Value-at-Risk et . Cetteformulationpermet d'atta her une lasse de fon tions d'utilitéà une mesure de risque. Nous introduisons la notion de prime de ontrainte de risque englobant équivalent ertain et niveau de ontrainte asso ié à une mesure de risque. Une appli ation à un problème de nan e relativement simple est présentée pour lore e hapitre; nous y illustrons le lien qui existe entre laConditional Value-at-Risk etla notiond'aversion auxpertes.

Lerésultatd'équivalen eobtenudansleChapitre2estétenduàun adred'optimisation dynamique sous ontraintes de risque dans le Chapitre 3. Il faut alors onsidérer une

aux ontraintesderisqueetlesvariablesauxiliairesservantàé rirelesmesuresderisque sous laformed'uninmumespéré.Ce résultats'obtientà onditionqueles ontraintes de risque soient multi-périodes et que la mesure de risque onsidérée s'é rive sous la forme d'un inmum espéré.

Uneappli ationnumériquede ette appro he est présentée pour résoudre un problème de gestion de produ tion de l'éle tri ité sous ontrainte de Conditional Value-at-Risk à l'horizon moyen terme; 'est l'objet du Chapitre 4. La résolution ave toute autre mesure de risque s'é rivant sous la forme d'un inmum espéré est également faisable. Une des ription su inte du problème réel onsidéré est présentée : la produ tion de l'éle tri ité (les moyens de produ tionetlesaléas d'indisponibilité,de demandes etde prix) et les a hats/ventes sur les mar hés de l'énergie ( ontrats à terme ou future et ontrats spot).

Nousidentionsparlasuitelesdi ultéste hniques liéesàlarésolutionnumériquede eproblème.Lapriseen omptedurisqueparfon tiond'utilitéestaussiexpérimentée: ellepermetd'intégrerdes ontraintes de risque dire tementdans le ritèreàoptimiser.

Dans le as de la Conditional Value-at-Risk, les fon tions d'utilité obtenues ex-priment de l'aversion aux pertes, ette dernière pouvant être déterminée empirique-ment. Nousproposons d'in orporer le risque par une fon tion d'utilitéane par mor- eaux exhibantan rage et aversion auxpertes,pluttque par ontraintede risque.

Mots lés :mesures derisque,fon tionsd'utilité, théoriede lanonexpe ted utility, max-min,programmation dynamique, ConditionalValue-at-Risk,aversionauxpertes

Extended Abstra t

Taking risk into a ount in de ision problems in a mathemati al formal way is more and morewidespread fore onomi reasons. Forinstan e, liberalizationof energy markets displays new issues for ele tri al ompanies whi h now have to master both traditionalproblems (su h asoptimization ofele tri al generation)and emerging pro-blems (su h as integration of spot markets and risk management, see e.g. [22℄). The histori al issue whi h onsisted in managing the ele tri al generation at lowest ost evolved: liberalization of energy markets and introdu tion of spot markets may now lead to onsider a problem of revenue maximizationunder earning at risk onstraint, be ause nan ialrisks are now added tothe traditionalrisks.

Letusnowbeslightlymoreformal.Considerade isionmaker(DM)whomaximizes themathemati alexpe tationoftherandomreturnofhisportfolio

J(a, ξ)

withrespe t to a de ision variable

a

(the random variable

ξ

stands for the un ertainties that an ae t the return). The question of howto take risk intoa ount in addition has been studied sin e long.

On the one hand, the DM may maximizethe expe tation of

J(a, ξ)

under expli it risk onstraints

R

3 :

sup

a

_∈A

E



J(a, ξ)



s.t.

R − J(a, ξ)
≤ γ,

(0.1) where 

A ⊂ R

n

is a set of a tions,or de isions;



ξ

is a random variable dened on a probability spa e

(Ω, F , P)

, with values in

R

p

;



J : R

n

× R

p

→ R

is a mapping, su h that for any a tion

a

∈ A

, the random variable

J(a, ξ)

representsthe prospe t(prot,et .)ofthe de isionmaker(DM); 

R

is the risk measure onloss

−J(a, ξ)

, together with the level onstraint

γ ∈ R

,

su h asvarian eor ConditionalValue-at-Risk.

Theriskmeasure

R

asso iatestotherandomloss

L = −J(a, ξ)

arealvalue

R L

.Ifthe risk measure

R

has a monetary interpretation,the quantity

R L

makesthe position

R L

+ L

a eptable. We shall oin this pra ti e as belonging to the engineers or

pra titioners world. The advantage of this approa h is an expli it formulation of risk onstraints whi h answers to e onomi regulation requirements (Basel 1 and 2 for example).But risk onstraints maynot be easytointegrateinreal problem(ele tri al portfoliomanagementforexample).The hallengeisto hoose anadapted formulation tothe problemwhi his onsideredand ane ient algorithmfor numeri alresolution.

On the other hand, the DM may maximize the expe tation of

U(J(a, ξ))

sup

a

_∈A

E



U J(a, ξ)



where

U

is a utilityfun tion. (0.2)

Then the utility fun tion aptures more or less risk aversion (in the so alled expe -ted utility theory, or more general fun tionals); this is the world of e onomists. The advantage of this approa h is there are no additional onstraints to integrate risk in sto hasti optimizationproblem.NowtheDM hasto hoose oneutilityfun tionwhi h expresses his riskaversion.

Formulations(0.1)and(0.2)arestati .Inpra ti e,de isonsmaytakea ount informa-tion availableduringtimes (forinstan e selling orbuying ontra tsonenergy market) and problems are dynami .A dynami extension of (0.1) an be expressed as

sup

ˆ

A

(·)

E

h

T

−1

X

t=t

0

J(X(t), A(t), W(t)) + K(X(T ))

i

,

(0.3a)

where

ˆA(·)

isa sequen e

(ˆA(t

0

, ·), . . . , ˆA(T − 1, ·))

of feedba ks, subje t todynami onstraints

X(t + 1) = f (X(t), A(t), W(t)) ,

(0.3b)

A

_{(t) = ˆA(t, X(t)) ,}

(0.3 )

and risk onstraints

R (−J(X(t), A(t), W(t))) ≤ γ(t) , t = t

0

, . . . , T − 1 .

(0.3d)

Dierents ways to formulate risk onstraints (0.3d) are possible. We will dis uss it in Chapter 3. Dynami formulationof (0.2)may be

E

h

T

_X

−1

t=t

0

U

t

J(X(t), A(t), W(t))

+ U

T

K(X(T ))

i

(0.4)

where risk is aptured by utility fun tions

U

t

.

E onomi de isionmodelsintendtondnumeri alrepresentationsofthe preferen esof a DM, satisfying given axioms. The basi models are the expe ted utility model (von Neumann and Morgenstern [72℄) in risk ontext and the subje tive expe ted utility model(Savage [66℄)inun ertainty ontext(makingdistin tionbetweenriskand un er-tainty wasdis ussedby Knightin[44℄).Thereareothersde isionmodelswhi hextend thesetwomodelsandare allednonexpe tedutilitymodels:therank-dependent expe -ted utility(Quiggin[57℄),the Choquetexpe tedutiliy(S hmeidler[67, 68℄),the multi-prior model (Gilboa and S hmeidler [34℄), the multi-utility model (Ma heroni [46℄), the umulative prospe t theory due toKahneman and Tversky [42℄, et .

These two points of view of risk (formulations0.1 and 0.2) are linked in Chapter 2 in the following sense:

(

sup

a

_∈A

E



J(a, ξ)



s.t.

R − J(a, ξ)

≤ γ

⇐⇒

(a,η)∈A×R

sup

inf

U∈U

E



U J(a, ξ), η



(0.5)

where the set

U

of utility fun tions depends onthe risk measure

R

. Given a onstraintlevel

γ

,weobtainthe optimalde ision

a

♯

γ

. We introdu ethe notion

of monetarypremium

π(γ)

atta hed tothe onstraintlevel

γ

,dened by thedieren e

π(γ) := E



J(a

♯

∞

, ξ)



− J

♯

c

(γ) ,

(0.6) where

J

♯

c

(γ)

denotes a ertainty equivalent (see Subse tion 1.4.1)

4

.

π(γ)

measures a monetary equivalent of the loss on the mean return without onstraint at optimum

E



J(a

♯

∞

, ξ)



due to the introdu tion of the risk onstraint. The monetary premium an bede omposed in two non negativeterms

π(γ) = E



J(a

♯

∞

, ξ)

 − E J(a

♯

γ

, ξ)



|

{z

}

loss of optimality

+ E



J(a

♯

γ

, ξ) − J

♯

c

(γ)

|

{z

}

risk premium

≥ 0 ,

(0.7)

a

♯

∞

isthesolutionof (0.1)wherethereisnorisk onstraint,supposedtobeunique.The rst term,thatwe allloss ofoptimality andwhi hhas noe onomi ontent,measures the de rease on the mean return without onstraint at optimum

E



J(a

♯

∞

, ξ)



due to the introdu tionofthe risk onstraint.The se ondtermisknown asrisk premium and is well known to bea non negativemeasure of risk aversion, see Pratt [56℄.

Numeri alappli ation ispresented when the riskmeasure isthe Conditional V alue-at-Risk. This risk measure suggest a lass of utilityfun tions expressing lossaversion:

U(x) = x + η + (1 − θ)(−x − η)

+

(0.8)

where

θ

is a loss aversion parameter and

−η

a threshold whi h separates losses from gains.

4

TheDMisindierentbetweentherandomreturn

J

(a

♯

γ

, ξ)

andthe ertaintyequivalent

J

♯

c

(γ)

.

The equivalen e result obtained in Chapter 2 is extended to the dynami ase (Chap-ter 3). Problem(0.3)is equivalentto

sup

(ˆ

A

(·),η(·))

inf

(U

_t0

,...,U

T −1

)∈U

T −t0

E

h

T

−1

X

t=t

0

U

t

J(X(t), A(t), W(t)), η(t)

+ K(X(T ))

i

(0.9)

where

U

isinterpretedasasetofutilityfun tions.Afterintrodu ingafamilyofBellman fun tions, we show how the problem(0.3) may be theoreti ally solved by means of a family of sto hasti dynami equations. We take inspiration from this prin iple to solvenumeri allyan ele tri alportfolioproblem subje t to Conditional Value-at-Risk onstraint(Chapter 4).Utilityfun tionsdened in(0.8)are alsoexperimented totake risk into a ount.

Key Words:riskmeasures,utilityfun tions,nonexpe tedutilitytheory,maxmin, dyna-mi programming, Conditional Value-at-Risk, lossaversion

Introdu tion

La prise en ompte d'un terme de risque dans des problèmes d'optimisation sto- hastique permetd'intégrer de nouvelles onsidérations liées

•

soit à des dispositifs réglementaires externes (a ords de Bâle 1 et 2

5

, a ords de Solven y

6

, et .); 'est un niveau ma roé onomique;

•

soit à des dispositifs internes en a ord ave la politique de l'entreprise onsidé-rée ou aux préféren es d'un dé ideur (aversion au risque, environnement so io-é onomique, et .); 'est un niveau mi roé onomique.

Ave l'ouvertureàla on urren e etl'émergen edes mar hés del'énergie, EDFdispose de nouveaux outilsde ouverturepourassurerl'équilibreore-demande.Maisenmême temps, EDFs'expose àun nouveau typede risque :le risque de mar hé (risque liéaux variationsdeprix).Noustentonsdans etteétuded'intégrer erisque danslepro essus d'optimisationde laprodu tion de l'éle tri ité.

Nous nous fo alisons sur deux façons d'in orporer le risque :

1. le premierpointde vue,que nous qualions d'appro he ingénieur, est basé sur la notionde mesures de risque;

2. le deuxième point, de vue que nous qualions d'appro he é onomiste, est basé sur lanotion de fon tion d'utilité.

Dansl'appro he ingénieur on her he par exempleà maximiserun ertain ritère sous une ontrainte

7 de risque :

sup

a

_∈A

E



J(a, ξ)



s. .

R − J(a, ξ)
≤ γ,

(0.10) où



J(a, ξ)

est une variablealéatoire à valeurs réelles qui dépend de la dé ision

a

et

d'un aléa

ξ

dénisur un espa e de probabilité

(Ω, F , P)

;

5

Dispositifsréglementairesvisantàassurerlastabilitédusystèmeban aireinternationalpourles banquesd'investissement.

6

mêmedispositifsqueBâledansledomainedel'assuran e. 7



R

mesure le risque asso ié aux pertes

−J(a, ξ)

auquel on asso ie un niveau de ontrainte

γ

;



A

est un ensemblede dé isionsadmissibles.

L'avantage de ette appro he est la formulationexpli ite du risque qui, dans ertains as, répond à des normes réglementaitres.Par ontre, la ontrainte peut être di ile

 à traiter numériquement en e qui on erne le type d'algorithme à mettre en ÷uvre;

 oumêmeàformuler dansdesproblèmesd'optimisationdynamique(lalittérature dans e domainen'étant pas aussi omplète et mature).

Dans l'appro he é onomiste on her he à maximiser l'espéran e d'utilité d'un ertain ritère; par exemple

sup

a

_∈A

E



U J(a, ξ)



,

où

U

est une fon tion d'utilité. (0.11)

Lespropriétésdelafon tiond'utilitétraduisentalorsimpli itementlanotionderisque. Par exemple, que l'espéran e

E[G]

du prot aléatoire

G

est préférée à

G

se traduit par la on avité de lafon tion d'utilité

U

. Ainsile dé ideur averse aurisque aura une fon tiond'utilité on ave,ledé ideurayantlegoûtdurisqueauraunefon tiond'utilité onvexeet ledé ideur neutre aurisque aura une fon tion d'utilitélinéaire.L'avantage de ette appro he est qu'elle ne né essite pas de ontrainte pour traiter le risque ar le risque est pris en ompte via une fon tion d'utilité; la di ulté est alors de hoisir une fon tion d'utilitéqui traduise bien l'aversion au risque du dé ideur.

Les formulations(0.10)et (0.11)sont statiques.Enpratique, bonnombre de dé isions sont dynamiquesetsontréajustées aufuret àmesurequel'informationest disponible au ours du temps (arrêts/démarrage d'a tifs de produ tions, a hats/ventes sur les mar hés nan iers, et .).

Par exemple, dans un adre dynamique le problème (0.10) peut être formulé de la manière suivante

sup

ˆ

A

_(·)

E

h

T

−1

X

t=t

0

J(X(t), A(t), W(t)) + K(X(T ))

i

,

(0.12a)

où

ˆA(·)

désigne une suite

(ˆA(t

0

, ·), . . . , ˆA(T − 1, ·))

de feedba ks sous les ontraintes

dynamiques

X(t + 1) = f (X(t), A(t), W(t)) ,

(0.12b)

A

(t) = ˆA(t, X(t)) ,

(0.12 )

et sous les ontraintes de risque

R (−J(X(t), A(t), W(t))) ≤ γ(t) , t = t

0

, . . . , T − 1 .

(0.12d)

Pourobteniruneformulationdynamiqueduproblèmeé onomique(0.11)onpeut onsi-dérer la formulation(0.12) etrempla er la fon tion obje tif par

E

h

T

−1

X

t=t

0

U

t

J(X(t), A(t), W(t))

+ U

T

K(X(T ))

i

(0.13)

puis supprimer les ontraintes de risque (0.12d) puisque le risque est maintenant pris en omptevia lesfon tions d'utilité

U

t

.

L'étude de la prise en ompte du risque dans des problèmes dynamiques ne sera pas abordée dans e manus rit.

Ce manus rit est diviséen deux parties.

Danslapremièrepartie,nouspassonsen revuelesdiérentes représentationsdurisque dansle as statique(Chapitre1).Dansl'appro he ingénieur,onasso ieàunevariable aléatoire

G

lerisque

R(G)

;lafon tion

R

est appeléemesurede risque (parexemplela varian e,laValue-at-Risk,laConditionalValue-at-Risk,et .).Desaxiomesde ohéren e oude onvexitépermettent alors de mieux appréhender lerisque. Dans lemême ordre d'idées, onasso ieaux mesures de risque des ensembles

C

R

=

n

variablesaléatoires

G

telles que

R(G) ≤ 0

o

(0.14)

permettant de distinguer les positions a eptables des positions risquées. Dans l'ap-pro he é onomiste, on étudie des modèles de dé ision dans le risque ou dans l'in- ertitude. En situationrisquée, on ompare des loteries (modèles de von Neumann et Morgenstern) ou des variables aléatoires dis rètes (modèle de l'utilité espérée dépen-dant du rang). En situationd'in ertitudeon ompare des variables aléatoires(modèle d'utilité àla Choquet etmodèles multi-prior)ou des loteries (modèlesmulti-utilité). Un autre point de vue distingue les gains des pertes par une même fon tion d'uti-lité, 'est la umulative prospe t theory. Sous un ertain nombre d'hypothèses, nous montrons que les deux formulations (formulation ingénieur (0.10) et formulation é o-nomiste (0.11))sont en rapport au sens suivant:

(

sup

a

_∈A

E



J(a, ξ)



s. .

R − J(a, ξ)

≤ γ

⇐⇒

(a,η)∈A×R

sup

inf

U∈U

E



U J(a, ξ), η



(0.15)

où

U

est un ensemble de fon tions (d'utilité), (Chapitre 2). À une dé ision optimale

a

♯

γ

pour un niveau de ontrainte

γ

on asso ie une prime monétaire de ontrainte de risque :

π(γ) = E



J(a

♯

∞

, ξ)



− E



J(a

♯

γ

, ξ)



|

{z

}

perte d'optimalité

+ E



J(a

♯

γ

, ξ)



− J

♯

c

(γ)

|

{z

}

prime de risque

≥ 0 ,

(0.16) où

a

♯

∞

va orrespondreàladé isionoptimalelorsqu'iln'yapas de ontraintederisque et

J

♯

de ontrainte peut permettre de mesurer l'impa t du niveau de ontrainte sur le gain moyen sans ontraintede risque.

Une appli ation numérique en nan e est présentée lorsque la ontraintede risque est expriméeparlaConditional Value-at-Risk.Laformeparti ulièredesfon tionsd'utilité de l'ensemble

U

nous suggère de onsidérer des fon tions d'utilitéde laforme

U(x) = x + η + (1 − θ)(−x − η)

+

(0.17)

où

θ

est interprété ommeun paramètred'aversionauxperteset

−η

unseuil (an rage) permettant de distinguer les pertes des gains.

Dans la deuxième partie le résultat d'équivalen e du Chapitre 2 est étendu au as dynamique (Chapitre 3).On obtient que(0.12) est équivalent à

sup

(ˆ

A

(·),η(·))

inf

(U

_t0

,...,U

T −1

)∈U

T −t0

E

h

T

_X

−1

t=t

0

U

t

J(X(t), A(t), W(t)), η(t)

+ K(X(T ))

i

(0.18)

où

U

est un ensemblede fon tions(d'utilité).Nousdonnons par lasuiteun algorithme permettant de résoudre le problème (0.12) en introduisant une famille de fon tions Bellman.Ennnousprésentonsuneappli ationengestiondeprodu tiondel'éle tri ité à l'horizonmoyen terme (Chapitre 4).Une des ription su inte permet d'identier les di ultés numériquesliées

 àlaprise en omptedes mar hés de l'énergie(lesto k de haque type de ontrat forward onstitue un nouveau état),

 àl'in orporationdes ontraintes de risque de mar hé du typeConditional V alue-at-Risk.

Ce problème de gestion de la produ tion de l'éle tri ité sous ontrainte de risque se formule naturellement sous la forme (0.12). Lors de la résolution numérique, l'ap-pro he par des fon tions d'utilité est aussi implémentée ave des fon tions d'utilité de laforme(0.17).

Chapitre 1

Mesures de risque et dé ision dans

l'in ertain

Dans e hapitre,nous allonspasser en revue deux grandes appro hes du risque :  les mesures de risque;

 les théoriesé onomiques de dé isiondans l'in ertain etle risque.

Dans les deux as, les in ertitudes sont représentées par un ensemble

Ω

(muni d'une tribu)eton onsidèredesvariablesaléatoiresréelles(fon tionsmesurables

X

de

Ω

dans

R

). L'ensemble

Ω

peut représenter des s énarios d'aléasnan iers, limatiques,et . et une variablealéatoire

X

peut être une perte, un prot,et .

Unemesurederisqueasso ieuns alaire

R(L)

àunevariablealéatoire

L

.L'axiomatique des mesures de risque monétaires permet d'interpréter

R(L)

omme un apital : si

L

représente une perte et si e apital lui est ajouté,

R(L) + L

devient a eptable. L'axiomatique des mesures de risque ohérentes ajoute des exigen es pour satisfaire des propriétés de diversi ation fa e aurisque.

Les théoriesé onomiquesde dé ision dansl'in ertain etlerisque formalisent essentiel-lementles hoix entre variables aléatoiresouentre loteries(loisde variablesaléatoires dis rètes), en étudiant diérentes axiomatiques sur des relations de préféren e et en proposantdes représentations numériques de es dernières.

En ontextederisque(laloideprobabilitédel'aléaest onnue),lemodèledominantest lemodèledevonNeumannetMorgenstern[72℄:larelationdepréféren eestreprésentée par l'espéran e d'une fon tion  dite d'utilité  de variables aléatoires. Cependant la doubleinterprétationdela on avitéde lafon tiond'utilitéaversionpourlerisqueet dé roissan edel'utilitémarginaleenfon tiondelari hesseetlalinéaritéparrapport aux probabilités en onstituent une limite. Le modèle de l'utilité espérée dépendante du rang, développépar Quiggin[57℄et Yaari[75℄permetde s'aran hirde lalinéarité par rapportauxprobabilités. Dans e modèle onévalue d'abord l'utilitéminimaleque l'on est sûr deper evoiretonpondèrelesa roissementspossiblesparune fon tionde déformation de la loi de probabilité appelée fon tion de distorsion. Tous es modèles

En ontexte d'in ertitude (sans loi de probabilité), la théorie de l'utilité espérée sub-je tivede Savage[66℄restelemodèlede référen e.Parsonaxiomatique,Savageramène le problème de dé ision dans l'in ertain à un problème de dé ision dans le risque, e qui lui permet de représenter les préféren es par une utilité espérée. Par la suite, des modèlesplus générauxontété proposés pour mieuxrendre omptedes omportements observésdans ertainsproblèmes de dé ision: lemodèlede l'utilitéespérée"àla Cho-quet" développé dans des arti les diérents par Gilboa[33℄ et S hmeidler [67, 68℄, le modèle multi-priorde GilboaetS hmeidler[34℄etlemodèlemulti-utilitéintroduit ré- emmentpar Ma heroni dans[46℄etdéveloppédans[32℄.LaSous-se tion1.3.2donne plus de pré isions sur les modèles évoqués i-dessus.

1.1 Préliminaires

1.1.1 Risque et in ertitude

Le hoix dans le risque se distingue du hoix dans l'in ertain. Plusieurs auteurs ave diérents on epts ont formalisé ette distin tion. Dans [44℄, Knight distingue ainsilerisquede l'in ertitudepar lefaitquedanslapremièresituationonpeut ae ter aux états de la nature une distribution de probabilité obje tive alors que, dans la se onde situation il est impossible de le faire. Pour d'autres, de Finetti et Savage (voir [20℄ et [66℄) par exemple, les distributions de probabilité obje tives ne peuvent exister puisqu'elles dépendent des onnaissan es du dé ideur. Dans tous es modèles, la per eption des aléas lorsde l'évaluation de onséquen es (prix d'una tif risqué par exemple) doit guider le hoix d'un modèle oud'un ritère de dé ision.

Les in ertitudes sont représentées par un ensemble

Ω

, muni d'une tribu d'événements

F

.Siune loide probabilitéobje tive

P

est donnée,onest en situationde risque, sinon on est en situationd'in ertitude. Pour une dis ussion plus détaillée,on peut onsulter les travaux de Knight [44, 43℄ oude de Finetti[20℄.

Une variablealéatoire réelleest une fon tion mesurablede

Ω

dans

R

. On note par

ψ

X

la fon tion de répartition de la variablealéatoire

X

,i.e.

ψ

X

(η) := P{X ≤ η} ,

∀η ∈ R .

(1.1)

Lafon tion

ψ

X

est roissanteet ontinue àdroite.Danslasuite,une variablealéatoire

L

représentera une perte ouun oût, alors que

G

désignera un gain.

1.1.2 La dominan e sto hastique

Dominan e sto hastique à l'ordre 1. Une manière naturelle de omparer deux variablesaléatoiresest de omparer leur fon tionde répartition. Ce ritère orrespond en é onomie àla notion de dominan e sto hastique àl'ordre

1

,notée

DS1

.

Dénition 1.1 On dit qu'une variablealéatoire

X

dominesto hastiquement une va-riable aléatoire

Y

à l'ordre

1

si

∀ η ∈ R,

ψ

X

(η) ≤ ψ

Y

(η) .

Le ritère de la dominan e sto hastique à l'ordre

1

est un ritère très fort puisqu'il né essite que les fon tions de répartition des variables aléatoires ne se oupent pas. Dans le as oùlesfon tionsde répartitionse oupent (Figure1.1),onpeut utiliserdes ritères de dominan e sto hastique à l'ordre

k, k ≥ 2

.

Fon tionderépartionde

Y

η

1

Ψ

X

Ψ

Y

Fon tionderépartionde

X

Fig. 1.1 Dominan esto hastique à l'ordre1 non vériée

Dominan e sto hastique à l'ordre 2. À partir de la fon tion de répartition

ψ

X

, on dénitla fon tion

ψ

2

X

:

∀ η ∈ R,

ψ

_X

2

(η) :=

Z

η

−∞

ψ

X

(u)du .

(1.2) La fon tion

ψ

2

X

est ontinue, onvexe, positive et roissante. Elle orrespond à l'aire

sous lafon tion de répartition.

Dénition 1.2 Une variable aléatoire

X

domine sto hastiquement à l'ordre

2

une variablealéatoire

Y

si

∀ η ∈ R,

ψ

_X

2

(η) ≤ ψ

_Y

2

(η) .

(1.3)

Side plus lesvariablesaléatoires

X

et

Y

ontlamêmeespéran ealorsonditque

X

est un étalement à moyenne onstantede

Y

. Dans e as la varian e de

X

est supérieure ou égale à la varian e de

Y

. La Proposition 1.3 donne une ara téristique de deux

Proposition 1.3 Soient

X

et

Y

deuxvariablesaléatoires demême moyenneet

Z

une variable aléatoire telle que

E[Z | Y ] = 0

presque partout, alors lesassertions suivantes sont équivalentes:

1.

X

est un étalement à moyenne onstante de

Y

;

2.

X

a lamême loi de probabilité que lavariable aléatoire

(Y + Z)

.

La ara térisation

2

dit simplement que

X

est un étalement à moyenne onstante de

Y

lorsque

X

peut être obtenue en ajoutant à

Y

un "bruit".

Dominan e sto hastique à l'ordre k. Plusgénéralement,onpeut dénirles fon -tions

ψ

k

X

, k ≥ 2

pourdesvariablesaléatoiresappartenantà

L

k−1

_{(Ω, F , P)}

delamanière suivante :

∀η ∈ R,

ψ

k

X

(η) :=

Z

η

−∞

ψ

_X

k−1

(u)du ,

(1.4)

auxquelles onasso ie ladominan e sto hastique à l'ordre

k

.

Dénition 1.4 On ditqu'une variablealéatoire

X ∈ L

k−1

_{(Ω, F , P)}

domine sto hasti-quement une variable aléatoire

Y ∈ L

k−1

_{(Ω, F , P)}

à l'ordre

k

si

∀η ∈ R,

ψ

k

X

(η) ≤ ψ

k

Y

(η) .

(1.5)

Remarquons que la dominan e sto hastique à un ordre

k

entraîne la dominan e sto- hastique à tous les ordressupérieurs.

1.1.3 Rappels sur les relations de préféren e

Soit

E

un ensemble quel onque. On appelle pré-ordre sur

E

une relation binaire réexive et transitive. Un pré-ordre antisymétrique est appelé relation d'ordre. Une relationsur

E

est dite totale si tous lesélementsde

E

sont omparables.Silarelation n'estpas totale,elleestdite partielle.Unerelationde préféren e estun pré-ordretotal. On appelle relation d'équivalen e tout pré-ordre symétrique. Soit

<

un pré-ordre sur un ensemble

E

. À partir de la relation

<

, on peut dénir une relation d'équivalen e notée

≡

, de la manièresuivante:

∀ X, Y ∈ E, X ≡ Y

⇐⇒ X < Y

def

et

Y < X .

Aversion pour le risque

La notion d'aversion au risque permet de ara tériser le omportement d'un dé i-deur. Nous distinguonsl'aversion faiblepour lerisque de l'aversion forte.

Dénition 1.5 Undé ideur

Mo

(derelationde préféren e

<

Mo

)est ditplusaverseau risque qu'un dé ideur

Le

(de relation de préféren e

<

Le

)si etseulement sipour toute variablealéatoire

X

, ona

∀x ∈ R ,

x <

Le

X ⇒ x <

Mo

X .

(1.6)

L'interprétation est la suivante : si le dé ideur

Le

préfère un gain ertain à un gain aléatoire,alors le dé ideur

Mo

aussi.

Un dé ideur est ditneutre au risque si sarelation de préféren e est donnée par

X <

RN

Y ⇐⇒ E

P

[X] ≥ E

P

[Y ] ,

(1.7)

pour toutes variablesaléatoiresintégrables. On ditalors qu'une relation de préféren e

<

présente de l'aversion faible au risque si

X <

RN

Y ⇒ X < Y .

(1.8)

Undé ideurfaiblementaverseaurisque estplusaverseaurisque qu'undé ideurneutre au risque. Un dé ideur a de l'aversion forte pour le risque (voir Roths hild et Sti-glitz [63℄)si

X ≡

RN

Y

et

Y <

DS2

X

⇒ X < Y .

(1.9)

1.2 Mesures de risque

Les mesures de risque asso ient à une variable aléatoire réelle un s alaire. Depuis quelques années la littérature dans e domainene esse de s'enri hir. Nous renvoyons aux travaux de Föllmer et S hied [31℄ ou de Delbaen et oauteurs [5℄ pour de plus amples informationsà e sujet.

1.2.1 Quelques mesures de risque usuelles

Nousrappelons i-dessous quelques mesures de risque lassiques.

La varian e

La varian e est une mesure de dispersion d'une variable aléatoire autour de sa moyenne.Si

L

est unevariablealéatoirede arréintégrable, savarian eest déniepar

var

L

:= E



(L − E[L])

2



.

(1.10)

Elle peut se réé riresous la formed'un inmum :

var

L

= inf

η

∈R

E



(L − η)

2



.

(1.11)

La réé riturede la varian esous laforme(1.11)nous sera utile pour montrer l'équiva-len e entre un problème d'optimisation sto hastique sous une ontrainte de risque et

La Value-at-Risk

On dénit la Value-at-Risk de la variable aléatoire

L

pour un niveau

p ∈ [0, 1]

donné ommeétant leplus petit

p

-quantilede

L

:

V aR

p

(L) := min {η ∈ R : ψ

L

(η) ≥ p} ,

∀ p ∈ [0, 1] .

(1.12)

Ce minimum est atteint ar lafon tion

ψ

L

est roissanteet ontinue àdroite.Lorsque la fon tion

ψ

L

est ontinue et stri tement roissante, alors

η = V aR

p

(L)

est l'unique solutionde

ψ

L

(η) = p

.Autrement, ettedernièreéquationpeutnepasavoirdesolution (lorsqu'il existe une masse atomique de probabilité, omme pour le point

p

3

sur la Figure1.2) ouune innitéde solutions(lorsque ladensitéde probabilité estnullepour une plage de valeurs ( ommepour lepoint

p

2

sur la Figure1.2).

η

p

3

p

2

p

1

1

ψ

L

Fig. 1.2 Fon tionde répartition dis ontinue

À titre d'illustration, dire que la

VaR

99%

d'un portefeuille vaut

100

signie que la perte maximale de valeur du portefeuille est inférieure à

100

ave une probabilité de

99%

. La Value-at-Risk est une mesure de risque répandue. En

1995

les dix premières banques de l'Europe de l'Ouest (Comité de Bâle I) re ommandent l'utilisation de la

VaR

pourmesurer lerisque nan ier;le omité deBâle II en afaitune norme.La

VaR

est un quantilequi ne prendpas en onsidérationl'ampleurdes événements extrêmes. La Value-at-Risk est monotone par rapport à la dominan e sto hastique à l'ordre

1

: pour deux variables aléatoires

L

1

et

L

2

L

1

<

DS1

L

2

⇒ VaR

p

(L

1

) ≥ VaR

p

(L

2

) .

(1.13)

La Conditional Value-at-Risk

La Conditional Value-at-Risk, pro he de la

VaR

, permet de palier les limites de ette dernière. Dans le as où

L

admet une densité, on dénit la

CVaR

asso iée à la

variablealéatoire

L

ommel'espéran ede

L

onditionnellementauxvaleurssupérieures à

V aR

p

(L)

:

CVaR

p

(L) := E



L | L ≥ V aR

p

(L)



.

(1.14)

Le théorèmesuivant permetd'é rirela

CVaR

ommelasolution d'unproblème d'opti-misation.En notant

x

+

= max(x, 0)

, ondénit

F

p

(L, η) = E



η +

1

1 − p

(L − η)

+



,

(1.15)

pour toute variablealéatoire

L

. Le théorème suivantest un résultat de [61℄.

Théorème 1.6 Pourtoutevariablealéatoire

L

intégrable,lafon tion

F

p

(L, ·)

est onvexe, ontinûment diérentiable et on a

CVaR

p

(L) = min

η

∈R

F

p

(L, η) .

(1.16)

L'ensemble des valeursde

η

qui réalisent le minimum,

A

p

(L) = argmin

η

∈R

F

p

(L, η)

(1.17)

est nonvide,fermé et borné(éventuellementréduità un singleton).De plus l'extrémité de lafrontière à gau he de

A

p

(L)

est atteinte en

VaR

p

(L)

.

En parti ulier on a toujours

V aR

p

(L) ∈ argmin

η

∈R

F

p

(L, η)

et

CVaR

p

(L) = F

p

L, V aR

p

(L)

.

Grâ e à e théorème, il est possible de déterminer la Conditional Value-at-Risk sans avoir besoin de al uler préalablement la Value-at-Risk. La Conditional Value-at-Risk est alors solution d'un problème d'optimisation onvexe. Ce i nous sera utile pour l'intégrer omme ontrainted'un problème d'optimisation.

Si on onsidère des gains au lieu de pertes, la Conditional Value-at-Risk est plutt appelée extremeEarnings-at-Risk (

eEaR

) :

eEaR

p

(G) = −CVaR

p

(−G) = −E[G | G ≤ VaR

1−p

(G)] ,

(1.18)

où

VaR

1−p

(G)

esttelleque

P(G ≤ VaR

1−p

(G)) = 1−p

.EnsebasantsurleThéorème1.6, on peut exprimer l'

eEaR

de lafaçon suivante :

eEaR

p

(−L) = − inf

η∈R

n

η +

1

1 − p

E



(−L − η)

+

o

.

(1.19)

La Conditional Value-at-Risk est monotone par rapport à la dominan e sto hastique àl'ordre

2

(afortiori par rapportà ladominan esto hastique àl'ordre

1

):pour deux variablesaléatoires

L

1

et

L

2

intégrables

La lasse des downside-risk measures

La lasse des downside-risk measures englobe un ertain nombre de mesures de risque. Cette lasse de mesures de risque est baséesur une interprétationdes moments partiels introduits dans [8℄

et permet de mesurer le risque au delà d'un seuil de référen e.

La lasse des downside-risk measures, notée

R

τ,η

est dénie de la manièresuivante:

R

τ,η

(L) := E



(η − L)

τ

+



,

ave

τ > 0 .

(1.21)

Le s alaire

η

représente un rendement de référen e. Si le paramètre

τ = 1

,

R

1,η

est appeléexpe tedshortfall etsi

τ = 2

onobtientladownside-varian e.Le asoù

τ → +∞

orrespond aurisque asso iéauxpiress énariospossibles.Etenn,la

VaR

p

orrespond à lavaleur

η(p)

ˆ

telle que

R

1,ˆ

η(p)

(L) = p

.

La Weighted mean deviation from a quantile

LaWeightedmeandeviationfromaquantileaétéintroduiteparOgry zaket Rusz -zynski dans [52℄. À partir de la fon tion de répartition

ψ

L

, on dénit la fon tion

ψ

−1

L

par

∀ p ∈]0, 1],

ψ

−1

L

(p) := inf



η ∈ R : ψ

L

(η) ≥ p

.

(1.22)

Pour toute variable aléatoire

L

,on dénitégalement

ψ

−2

L

par

∀ p ∈]0, 1],

ψ

_L

−2

(p) :=

Z

p

0

ψ

−1

_L

(η)dη .

(1.23)

CommeillustrésurlaFigure1.3,legraphedelafon tion

ψ

−2

L

estl'ar reliantlespoints

(0, 0)

et

1, E[L]

.

On dénitla Weighted mean deviation from a quantile par :

∀ L ∈ L

1

(Ω, F , P),

WMd

p

(L) = pE[L] − ψ

_L

−2

(p) .

(1.24)

La

WMd

estunemesurederisquedualebaséesuruneinterprétationgraphiquede

ψ

−2

L

.

Elle orrespond audiamètreverti alde l'espa e omprisentre ladroitepassant parles

points



(0, 0)

,

1, E[L]



etlegraphede

ψ

−2

L

,appeléespa ededispersiondual, omme

le montre laFigure 1.3.

La

WMd

peut être réé rite de la façonsuivante:

WMd

p

(L) := min

η

∈R

E

h

max p(L − η), (1 − p)(η − L)

i

.

(1.25)

On montre que e minimum est atteint pour tout

p

-quantile.

1.2.2 Axiomatique des mesures de risque

On appelle mesure de risque toute fon tion

ρ

dénie d'un ensemble de variables aléatoires

X

déniesur

(Ω, F )

à valeurs dans

R ∪ {−∞} ∪ {+∞} = R

.

Moyenne

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

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.

_.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

_.

.

.

_.

.

.

Espace de dispersion

_dual

Wmd

p

Fig. 1.3 Graphiquede

ψ

−2

L

Mesures de risque monétaires

Soit

X

un ensemblede variablesaléatoiresà valeurs réelles telque :

∀ G ∈ X , ∀ m ∈ R,

G + m ∈ X .

(1.26)

Dénition 1.7 Une mesure de risque

R

est dite monétaire si elle vérie les deux propriétés suivantes :

P1. Monotoni ité :

∀ G

1

, G

2

∈ X , G

1

≥ G

2

⇒ R(G

1

) ≤ R(G

2

)

, P2. Équivarian e par translation :

∀ m ∈ R, R(G + m) = R(G) − m

.

Lamonotoni itésigniequesiun portefeuillerapportetoujours plus qu'unautre alors il est moins risqué. L'équivarian e par translation signie que disposer d'une réserve d'argent diminue d'autant lerisque; en parti ulier on a

R(G + R(G)) = 0

.

Mesures de risque ohérentes

Dans ettepartie,nousrappelonslespropriétésfondamentalesdesmesuresderisque àtraverslanotiondemesure derisque ohérenteintroduiteparArtzner,Delbaen,Eber et Heath dans [5℄.

Pour une mesure de risque

R

donnée, onsidérons lespropriétés suivantes : P3. Sous-additivité :

∀ G

1

, G

2

∈ X

,

R(G

1

+ G

2

) ≤ R(G

1

) + R(G

2

)

, P4. Positive homogénéité : si

k > 0

et si

G ∈ X

alors

R(kG) = kR(G)

.

La propriété de sous-additivité garantitla diminutiondu risque par diversi ation du portefeuille;lapropriétédepositivehomogénéitésigniequelerisqueestproportionnel

Dénition 1.8 Une mesure de risque est dite ohérente si elle vérie les propriétés

P 1

,

P 2

,

P 3

et

P 4

.

Remarque 1.9 La Value-at-Risk, bien que très largement utilisée en nan e, n'est pas une mesure de risque ohérente ar ellen'est pas sous-additive; de même pour la varian e.Par ontre la

CVaR

est une mesurede risque ohérente.

Théorèmes de représentations des mesures de risque ohérentes

Il existe plusieurs théorèmes de représentations des mesures de risque résultant de l'analyse onvexe. On peut iter les représentations proposées par Artzner, Delbaen, Eber etHeath dans[5℄,par FöllmeretS hied dans[31℄ouplus ré emment par Rusz -zynski etShapiro dans [64℄.

Soit

M

l'ensemble des fon tions niment additives

Q : F → [0, 1]

normalisées, i.e

Q(Ω) = 1

. LeThéorème 1.10 est proposé par FöllmeretS hied [31, 30℄.

Théorème 1.10 Soitlafon tionnelle

R : X −→ R

. Alors

R

estune mesurederisque ohérente si et seulement si

∃ Q ⊆ M

telle que

: R(G) = sup

Q∈Q

E

Q

[G], ∀ G ∈ X .

Les mesures de risque onvexes

Nousintoduisonsi iunerelaxationdelapropriétéde ohéren e.Eneet, dansbien des as, la propriété d'homogénéité positive n'est pas vériée autrement dit le risque ne roît pas de manière linéairepar rapportà latailledu portefeuille.

Dénition 1.11 Unemesurede risque

R

dénied'unensemblede variablesaléatoires onvexe

X

à valeur réelleest dite onvexesi ellevérie lespropriétés de monotoni ité, d'équivarian epar translationet lapropriété suivante : pour tout

G

1

, G

2

∈ X ,

Convexité:

∀ η ∈ [0, 1],

R(ηG

1

+ (1 − η)G

2

) ≤ ηR(G

1

) + (1 − η)R(G

2

) .

(1.27)

Lapropriétéde onvexité ditquela position

ηG

1

+ (1 − η)G

2

est moinsrisquée que les positions

ηG

2

et

(1 − η)G

2

prises individuellement.Lorsque la mesure de risque

R

est normalisée(i.e

R(0) = 0

)etqu'ellevérie lapropriété d'homogénéitépositivealors la propriété de onvexitéest équivalente à lapropriété de sous-additivité.

Théorèmes de représentation des mesures de risque onvexes

Théorème 1.12 Toute mesure de risque onvexe

R

dénie de

X

à valeurs dans

R

peut s'é rire sous la forme :

∀ G ∈ X ,

R(G) = sup

Q∈M

(E

Q

[−G] − α

min

(Q)) .

(1.28)

La fon tion de pénalité

α

min

est la transformée de Fen hel de la fon tion de risque

R

. Le le teurintéressé pourrase référerà [64℄ sur lesdétailste hniques pour la dénition de l'espa edual approprié.

1.2.3 Ensembles a eptables

Soit

R : X → R

une mesure de risque monétaire. On asso ie à la fon tion

R

un

ensemble

C

R

, appeléensemble a eptable, dénide lamanière suivante:

C

R

:= {G ∈ X | R(G) ≤ 0} .

(1.29)

L'ensemble

C

R

peutêtreinterprété ommeétantl'ensembledespositionsnené essitant pas de positions supplémentaires pour se ouvrir ontre lerisque

1

.Lespropriétés de la fon tion

R

setraduisentalorsnaturellementsur l'ensemblea eptable orrespondant.

Proposition 1.13 Supposons quelamesure derisque

R

est monétaire.On aalors les propriétés suivantes.



C

R

est non vide et vérie les propriétés :

inf{m ∈ R | m ∈ C

R

} > −∞ ,

(1.30a)

∀ G

1

∈ C

R

, ∀ G

2

∈ X ,

G

2

≥ G

1

⇒ G

2

∈ C

R

.

(1.30b)

 À

C

R

donné, on retrouve la mesure de risque

R

asso iée par la relation

R(G) = inf{m ∈ R | m + G ∈ C

R

} .

(1.31)



R

est onvexe siet seulement si l'ensemble a eptableasso ié

C

R

est onvexe. 

R

est une mesure de risque ohérente si et seulement si l'ensemble a eptable

asso ié

C

R

est un ne onvexe.

1

DansleThéorème1.12lafon tiondepénalité(quin'estpasexa tementlebidualvoir[31℄)s'é rit enfon tiondel'ensemblea eptable

C

R

asso iéàlamesurederisque

R

:

∀ Q ∈ M,

α

min

(Q) := sup

G∈C

R

Démonstration.Lespropriétés énon éesen(1.30)sontfa ilesàmontrer.Montronsd'abord lapropriété énon ée en(1.31)

inf{m ∈ R | m + G ∈ C

R

} = inf{m ∈ R | R(m + G) ≤ 0},

= inf{m ∈ R | R(G) ≤ m},

= R(G) .

Nousmontrons simplement quesi

R

est onvexealors ilenestdemêmepour

C

R

.L'autre sens semontrede lamême manière. Supposonsque

R

est onvexe.Alorson a

∀ G

1

, G

2

∈ X , ∀ η ∈ [0, 1],

R(ηG

1

+ (1 − η)G

2

) ≤ ηR(G

1

) + (1 − η)R(G

2

) .

Supposons que

G

1

, G

2

∈ C

R

.Par dénition

R(G

1

) ≤ 0

et

R(G

2

) ≤ 0 .

D'où

R(ηG

1

+ (1 − η)G

2

) ≤ 0

.Par onséquent

ηG

1

+ (1 − η)G

2

∈ C

R

.D'où

C

R

onvexe.

Montrons maintenant que

R

est positivement homogène si etseulement si

C

R

est un ne. Supposons que

R

estpositivement homogène. Soit

G

∈ C

R

et

k >

0

.

R(kG) = kR(G) ≤ 0,

ar

G

∈ C

R

.

D'où

kG

∈ C

R

. On montre que si

C

R

est un ne alors

R

est positivement homogène en

utilisant lamême te hnique que pré édemment.

2

Delamêmemanière,en partant d'unensemblede positionsa eptables

C ⊂ X

,on peut dénirle risque asso iéà toute variable aléatoire

G ∈ X

par :

R

C

(G) := inf{m ∈ R | m + G ∈ C} .

(1.32)

Ainsi, onvérie assez fa ilement que

R

C

R

= R

.

1.3 Les modèles é onomiques de dé ision dans

l'in- ertitude et le risque

Dans ette se tion nous étudions l'appro he é onomiste qui formule des axiomes portant sur des relations de préféren e

 entre loteries : lemodèle de l'utilitéespérée obje tive etle modèle multi-utilité  ou entre variables aléatoires (à valeurs réelles ouloteries) : lemodèle de l'utilité

espéréedépendantdu rang,lemodèlede l'utilitéespérée subje tive,lemodèlede l'utilité espérée àla Choquet etenn le modèle multi-prior.

L'obje tif est de déduire de es modèles d'éventuelles représentations numériques. Le adre axiomatique sur lequel repose es modèles est mis en Annexe A. On appelle représentation numérique d'une relationde préféren e

<

une fon tion

V

telle que

1.3.1 Dé ision dans le risque

Dans ette sous-se tion nous rappelons diérents modèles de dé ision en ontexte de risque. On se pla e ainsi dans une situation oùle dé ideur est supposé disposer de la loiobje tive de probabilité des aléas.

Le modèle de l'utilité espérée obje tive

Nous présentons i i le modèle dominant de dé ision dans le risque : le modèle de l'utilité espérée de von Neumann etMorgenstern. Ce modèle permet de omparer des loteries sur

R

par l'évaluationde l'intégraled'une fon tionde préféren e appelée fon -tion d'utilité.Le adreaxiomatiquesurlequelrepose e modèleest donnéenAnnexe A.

Dénition 1.14 On dénit par

P

d

(R)

l'ensembledes lois de probabilité dis rètes sur

R

.Toutélémentde

P

d

(R)

est ditloterie etestnotépar

s = (x

1

, p

1

; . . . ; x

n

, p

n

)

:les s a-laires

p

i

représententlespoidsasso iésaux onséquen es

x

i

,i iévaluéesmonétairement (ri hesse).

(a) Représentation des préféren es. Le théorème de représentation des préfé-ren esde vonNeumannetMorgenstern [72℄ onstitue labaseaxiomatiquedes modèles de dé ision.

Théorème 1.15 Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)

(P

d

(R), <)

satisfait aux onditions de préordre total, de ontinuité et

d'indépen-dan e;

(ii) il existe une fon tion d'utilité

U : R → R

roissante, ontinue et dénie à une transformation ane roissante près

2 telle que

∀ s, q ∈ P

d

(R)

s < q ⇐⇒

Z

R

Uds ≥

Z

R

Udq ,

(1.33) où

Z

R

Uds =

n

X

i=1

p

i

U(x

i

)

.

Autrement dit, si la relation de préféren e satisfait aux axiomes ités i-dessus, la loterie

3

s

est préférée àlaloterie

q

sietseulementsi l'espéran e d'utilitésous

s

est su-périeureàl'espéran ed'utilitésous

q

.Ainsile omportementd'undé ideurquisatisfait

2

C'est-à-direquetoutefon tion

u

= aU + b

ave

a >

0, b ∈ R

estégalementadmissible. 3

Lethéorèmerestevraisiontravailleave desloisdeprobabilité ontinuesmoyennantunaxiome dedominan esto hastiqueàl'ordre

1

.Onpourra onsulterJensen[40℄pourunedémonstrationde e

aux axiomes de préordre total, de ontinuité et d'indépendan e est entièrement ara -térisé par une fon tiond'utilité

U

.Sur un espa e de probabilités

(Ω, F , P)

,l'espéran e d'utilité induitune relation de préféren e entre variables aléatoires:

G

1

<

G

2

⇐⇒ E

P

[U(G

1

)] ≥ E

P

[U(G

2

)] .

(1.34)

(b) Lien entre dominan e sto hastique et utilité espérée. Il existe des liens entre la dominan e sto hastique et les fon tions d'utilité, voir [45℄ ou [58℄. Soient

G

1

et

G

2

deux variables aléatoires. On a équivalen eentre lesdeux assertions suivantes.

1.

G

1

<

DS1

G

2

.

2.

E[U(G

1

)] ≥ E[U(G

2

)]

pour toutefon tion

U

roissantedénie sur

R

.

La relation d'ordre

<

DS2

est également liée à la théorie de l'utilité espérée omme l'illustre l'équivalen e entre les deux assertions suivantes.

1.

G

1

<

DS2

G

2

.

2.

E[U(G

1

)] ≥ E[U(G

2

)]

pour toutefon tion

U

roissanteet on ave déniesur

R

.

( ) Double interprétation de la on avité de la fon tion d'utilité. Si les valeursd'uneloterieontuneinterprétationmonétaire,alorsla roissan edelafon tion d'utilité

U

s'interprète omme un goût pour la ri hesse. Si

U

est on ave, e i reète deux propriétés :

 l'aversion pour le risque :

E[G] < G

ar



U E[G]

≥ E



U(G)



;

 la dé roissan e de l'utilité marginale de la ri hesse : la dérivée de la fon tion d'utilitéest dé roissante.

(d) Avantages et limites de l'utilité espérée obje tive. Le modèle de l'utilité espérée obje tive permet une représentation simple de l'attitude du dé ideur vis-à-vis du risque et des rendements ertains à travers une fon tion d'utilité. Ce modèle sé-pare don les royan es sur les sour es d'aléa (loi de probabilité de l'aléa) de l'utilité des rendements. De plus e modèle présente une propriété fondamentale lorsque les dé isionssontprisesdans un adre dynamiqueàsavoirlapropriété de ohéren e dyna-mique.Dans[36,37℄ Hammondmontrequetouteviolationde l'axiomed'indépendan e onduit àla violation du prin ipe de ohéren e dynamique.

La double interprétation de la on avité de la fon tion d'utilité onstitue une limite de ette appro he soulevée pour la première fois par le paradoxe d'Allais dans [2℄. Ce paradoxe montre que, en général, les omportements observés des dé ideurs sont en ontradi tion ave l'axiome d'indépendan e. Le le teur intéressé pourra onsulter la partie Annexe A pour l'énon é détaillé de e paradoxe. Pour palier les limites du modèle de von Neumann et Morgenstern (et dé rire ainsi un plus grand nombre de omportementsé onomiques)des extensions de e modèleontété proposées,telquele

Le modèle de l'utilité espérée dépendante du rang (RDEU)

Lathéoriede l'utilitéespéréedépendantedurangaétédéveloppée pourlapremière fois par Quiggin dans [57℄ sous l'appellation de l'utilité anti ipée; dans e modèle on ompare des variables aléatoires. L'axiome prin ipal du modèle de l'utilité espérée dépendante du rang est l'axiome de la hose sûre omonotone dans le risque (voir Annexe A). Cet axiome onstitue une relaxation de l'axiome d'indépendan e pour remédier à la linéarité des onséquen es par rapport aux probabilités ette dernière étantpurementetsimplementrejetéepar ertains,parexempleparMa hinadans[47℄

.

Représentation des préféren es dans le RDEU. Sous l'axiomede la hosesûre omonotone dans le risque et sous un ertain nombre d'axiomes essentiellement te h-niques, les préféren es du dé ideur peuvent être représentées par une fon tionnelle

V

dénie, pour une variablealéatoire

G

nie, sous la formesuivante

V(G) = U(g

1

) + ϕ



_X

n

i=2

p

i

h

U(g

2

) − U(g

1

)

i

+ · · · +

(1.35)

ϕ



n

X

i=j+1

p

i

h

U(g

j+1

) − U(g

j

)

i

+ · · · + ϕ(p

n

)

h

U(g

n

) − U(g

n−1

)

i

,

ave

G(Ω) = {g

1

, . . . , g

n

}

,

g

1

< · · · < g

n

et

p

i

= P(G = g

i

),

pour

i = 2, . . . , n

.

La fon tion

U

est une fon tion d'utilité de

R

dans

R

roissante et on ave, dénie à une transformationane roissanteprès; lafon tion

ϕ

est une fon tionde distorsion

4

et joue le rle de transformation des probabilités. L'expression de la fon tionnelle

V

s'interprèteassezfa ilement.Ledé ideurrationnel ommen eparévaluerl'utilité mini-malequ'ilestsûr deper evoiretpondèrelesa roissementspossiblesdeson utilitépar une déformation

ϕ(v

j

)

de laprobabilité

v

j

=

P

n

i=j

p

i

d'avoir aumoins

g

j

. De manière générale la fon tionnelle

V

s'exprime de la façonsuivante:

V(G) = −

Z

+∞

−∞

U(g)dϕ



P(G > g)



= −

Z

+∞

−∞

U(g)dϕ



1 − ψ

G

(g)



.

Le modèle de l'utilité espérée est un as parti ulier du modèle de l'utilité espérée dépendante du rang. Il sut de prendre

ϕ(v) = v

pour retrouverle modèle de l'utilité espérée. Du point de vue opérationnel, le modèle de l'utilité espérée dépendante du rang adéjà faitl'objet d'études pratiquesdans ledomainedu risque industrielausein d'EDF R&D, voir[9℄.

1.3.2 Dé ision dans l'in ertain

Nous nous plaçons maintenant dans une situation d'in ertitude 'est-à-dire que le dé ideur ne peut pas dénir de manière obje tive une loi de probabilité

P

sur

Ω

.

4

Onappellefon tiondedistorsiontoutefon tion

f

déniede

[0, 1]

dans

[0, 1]

telleque

f

(0) = 0

et