Les prépotentiels de variétés de Frobenius de dimension trois et quatre

Les p ré p o te n tie ls de variétés de F ro b en iu s de d im e n s io n tro is et

q u a tre

par

Miguel CUTIMANCO

mémoire présenté au Département de mathématiques

en vue de l’obtention du grade de m aître ès sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

1+1

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Le 23 mai 2013

le j u r y a accepté le mémoire de M o n s ie u r M ig u e l A lfre do Cutimanco P anduro dans sa version finale.

M em bres du ju ry

Professeure V irg in ie Charette D irectrice de recherche Département de mathématiques

Professeure V a silisa Shramchenko C odirectrice de recherche Département de mathématiques

Professeur Tom asz K aczynski Évaluateur interne Département de mathématiques

Professeur Jean-M arc B elley Président rapporteur Département de mathématiques

SOMMAIRE

Les variétés de Frobenius ont été in tro d u ite s par B. D u b ro v in dans les années 1990. Ces variétés sont en b ije c tio n avec les solutions du système d ’équations d ifférentielles de W itte n -D ijk g ra a f-V e rlin d e -V e rlin d e (W D V V ) q u i est apparu dans l ’étude des déform a­ tions des théories de champs conformes en deux dim ensions. Les structures d ’une variété de Frobenius ont été trouvées dans plusieurs contextes, en p a rtic u lie r, sur les espaces de H u rw itz (les espaces de fonctions m érom orphes sur des surfaces de R iem ann). Ces dernières structures, appelées les variétés de H u rw itz -F ro b e n iu s , présentent des exemples très intéressants de variétés de Frobenius. L ’aspect le plus intéressant c ’est que nous p ou­ vons é tu d ie r tous les objets liés à la variété de la façon e xp licite en u tilis a n t la théorie des fonctions sur les surfaces de Riem ann. Le b u t de ce m ém oire est de calculer e x p lic ite ­ ment les solutions du système W D V V , appelées prépotentiels, qui correspondent à tro is variétés de H u rw itz-F ro b e n iu s particulières.

REMERCIEMENTS

Je voudrais d ’abord rem ercier mes deux directrices de recherche : Vasilisa Shram chenko p ou r son soutien et le tem ps q u ’elle a consacré à la conduite de m a recherche. E lle é ta it to u jo u rs disponible à répondre à mes questions, ses observations m ’o n t grandem ent stim ulé et V irg in ie C h a rette p ou r ses observations e t encouragements, chacun de ces échanges m ’a aidé à l ’é la boration de ce m émoire. Je le u r suis très reconnaissant.

Je remercie Jean-M arc B elley qui a accepté de présider le ju r y de m on m ém oire et à Tomasz K aczynski q u i a accepté de faire p a rtie du ju ry .

Mes remerciements vo nt également au personnel et les professeurs d u D é p arta m e n t de M athém atiques.

Je remercie l ’In s titu t des Sciences M athém atiques (IS M ), le départem ent de m athém a­ tiques de l ’U niversité de Sherbrooke ainsi que m a d ire ctrice de recherche V asilisa S hram ­ chenko p ou r les bourses qui m ’ont offertes.

E nfin , je souhaite rem ercier ma femme S ilv ia pour sa patience et son a p p u i et m a fille V aleria p o u r son sourire de tous les m atins, elles m ’ont encouragé au cours de la ré a lisa tion de ce mémoire mais aussi Johanne M a rtin p o u r son app u i en français.

M ig u e l C u tim a n co Sherbrooke, m a i 2013

TABLE DES MATIÈRES

S O M M A I R E i i i R E M E R C I E M E N T S i v T A B L E D E S M A T I È R E S v L I S T E D E S F I G U R E S v i i I N T R O D U C T I O N 1 C H A P I T R E 1 — L e s fo n c tio n s d e W e ie r s tr a s s 3

1.1 Les fonctions e llip tiq ue s ... 3

1.2 La fo n ctio n p de W e ie rs tra s s ... 6

1.3 Les fonctions t h ê t a ... 8

1.4 Les fonctions Ç et cr de W e ie r s tr a s s ... 12

1.4.1 L a fo n ctio n ( de W e ie rs tra s s ... 12

1.5 Une form ule p our 20

C H A P I T R E 2 — L e p r é p o t e n t ie l d a n s u n e v a r ié t é d e F r o b e n iu s d e d im e n ­

s io n t r o is 2 4

2.1 Le système d ’equations différentielles de

W itte n -D ijk g ra a f-E .V e rlin d e -H .V e rlin d e ... 25 2.2 Surfaces de R ie m a n n ... 26 2.3 Revêtements ram ifiés et espaces de H u rw itz ... 28

2.4 S tructures de Frobenius - D u b ro v in sur l ’espace 31

2.5 “ Doubles réels” sur l ’espace CKf; 1 ... 37

C H A P I T R E 3 — L e p r é p o t e n t ie l d a n s u n e v a r ié t é d e F ro b e n iu s d e d im e n ­

s io n q u a tr e 4 3

3.1 Un recueil de form ules p ré lim in a ire s ... 44 3.2 S tructures de Frobenius - D u b ro v in sur l ’espace 3 f i ;0,o de dim ension qua tre 47

C O N C L U S I O N 6 4

LISTE DES FIGURES

2.1 Sphère à une anse ... 27 2.2 Sphère à deux anses ... 27 2.3 D iagram m e de H u rw itz de la surface £ ... 30

INTRODUCTION

Les variétés de Frobenius ont été in tro d u ite s par B. D u b ro v in dans les années 1990. Ces variétés sont en b ije c tio n avec les solutions du système d ’équations diffé re n tielles aux dérivées partielles de W itte n -D ijk g ra a f-V e rlin d e -V e rlin d e (W D V V ) q u i est apparu dans l ’étude des déform ations des théories de champs conformes en deux dim ensions. Les stru c­ tures d ’une variété de Frobenius ont été trouvées dans plusieurs contextes, en p a rtic u lie r, sur les espaces de H u rw itz (les espaces de fonctions m érom orphes sur des surfaces de R ie­ m ann). Ces dernières structures, appelées p ar la suite les variétés de H u rw itz -F ro b e n iu s , présentent des exemples très intéressants des variétés de Frobenius. Dans le cas de ces exemples, tous les ingrédients de la variété de Frobenius (la m étrique pla te , les coordon­ nées plates, les coordonnées canoniques, les constantes de la stru ctu re de l ’algebre de Frobenius correspondante, etc.) peuvent être représentés p a r des fon ctio ns et des diffé­ rentielles sur la surface de R iem ann sous-jacente. Cela perm et d ’étu d ie r les propriétés de la variété de Frobenius de façon e x p lic ite et de calculer les solutions du système W D V V q u i correspondent à ces variétés.

Les premières variétés de H u rw itz-F ro b e n iu s ont été construites p ar B . D u b ro v in ; ces variétés ont la même dim ension que les espaces de Hurw dtz sous-jacents. E nsu ite les structures appelées “ doubles réels” des variétés H urvdtz-F robenius de D u b ro v in ont été trouvées ; la dim ension de ces variétés de Frobenius sur les espaces de H u rw itz est deux

fois la dim ension de l ’espace de H u rw itz sous-jacent. O r, nous avons deux stru cture s de variétés de Frobenius p o u r chaque espace de H u rw itz .

Le b u t de ce m émoire est de calculer e xp lic ite m e n t les solutions du système W D V V q u i correspondent à deux espaces de H u rw itz p articu lie rs. La solution du système W D V V correspondant à une variété de Frobenius s’appelle p ré p o te n tie l de la variété. P our les variétés de H u rw itz-F ro be n iu s les prépotentiels sont donnés par des form ules générales en termes de fonctions et différentielles définies sur les surfaces de R iem ann sous-jacents à l ’espace de H u rw itz . Le p ré po ten tie l est une fo n ctio n des coordonnées dites plates de la variété de Frobenius. Ces coordonnées sont aussi données par des form ules générales (applicable à to u t espace de H u rw itz ).

Dans ce m ém oire nous considérons l ’espace de H u rw itz des fonctions de degré deux sur les surfaces de genre un. I l y a deux cas différents : les espaces de H u rw itz de dim ension tro is et quatre. Comme il y a deux variétés de Frobenius p o u r chaque espace de H u rw itz , il y a quatre prépotentiels q ui correspondent à ces deux cas : ces prépotentiels sont des fonctions de 3 et de 6 variables et fonctions de 4 et de 8 variables, respectivem ent. Nous avons calculé explicitem ent les tro is prem iers de ces prépotentiels. Nous avons également calculé e xplicitem ent les coordonnées plates et exprim é les prépotentiels obtenus en termes des coordonnées plates.

Nous avons donc obtenu tro is solutions du système W DVV". Ces tro is solu tion s (sans preuve) peuvent être trouvées dans les références [Dub96], [Shr05] et [Dub09] (Table 1). Comme prochaine étape, nous planifions de calculer le quatrièm e p ré po ten tie l, la fonction de 8 variables. C ette fo n c tio n n ’a pas encore été calculée ; nous allons donc tro u ve r une nouvelle solution du système W D V V .

CHAPITRE 1

Les fonctions de Weierstrass

1.1

Les fonctions elliptiques

Les fonctions e lliptiques in te rvie n n e n t dans des domaines divers des m athém atiques no­ tam m e nt l ’analyse, la physique m a thé m a tiq ue et la théorie des nombres. N o tre b u t ic i est de m o n tre r quelques résultats sur ces fonctions et de les appliquer dans les sections suivantes. Les théorèmes et corollaires avec dém onstrations de cette section peuvent être trouvés dans [W W 27].

Soient cji et ui2 deux nombres complexes non nuls tels que p o u r r = ^ on a I m r > 0. O n considère le réseau

A := { z = 2muJi + 2nüj2; m . n G Z } .

Le réseau A est un sous-groupe a d d itif de C ; il subdivise le plan en parallélogram m es. Considérons le plan complexe com pactifié p ar un a jo u t d ’un p o in t d it “ à l ’in fin i” : C P 1 = C U {o c }.

D é f in it io n 1.1 Une fo n c tio n elliptique p ou r le réseau A est une fo n c tio n méromorphe

/ : C —> C P 1

et doublement périodique, c ’est-à-dire

f ( z + 2^ i ) = f ( z ) , f ( z + 2u}2) — f ( z ) .

Le q u o tie n t de C par la re la tio n d ’équivalence déterm inée p a r A :

Zi, z2 G C, Z\ ~ z2 m od A < = > z\ — z2 € A

est un tore noté C /A .

Soit 7T : C —v C / A la p ro je ctio n canonique ir(z ) = [z]. Si z i ~ z2 m od A alors f ( z \ ) =

f ( z 2) donc i l existe une unique fo n ctio n / : C / A —>• C P 1 définie par f ( [ z ] ) — f { z ) te l que

le diagram m e

C — ^ C P 1

C / A est c o m m u ta tif.

A in s i, une fu n c tio n e llip tiq u e / : C —>• C P 1 p e u t être considérée comme une fo n c tio n / définie sur le tore. C ette fon ctio n sera aussi notée / .

D é f in it io n 1 .2 On appelle parallélogramme fondam ental l ’ensemble El := { z — 2 a u i + 2( i u 2: a, ft G [0 ,1 ]}.

Chaque p o in t de C / A a un représentant dans le parallélogram m e fondam ental El et deux p o ints z \ , z 2 G f i fo n t p artie de la même classe d ’équivalence dans C / A si et seulement

s’ils coïncident ou ils se tro u ve n t sur la fro n tiè re de I I de façon que zx — z2 = ± 2 où i — 1 ou 2. Le tore est obtenu par recollem ent des côtés opposés de EL Les segments

[0, 2 u x] et [0, 2w2] deviennent des cycles fermés sur le tore. O n les note respectivem ent, a et

b. N otons que le tore étant une surface orientable, son groupe de l ’hom ologie / / i( C / A , Z )

est un groupe abélien libre, donc on peut p a rle r de sa base. E n effet, les cycles fermés a et b engendrent le prem ier groupe de l ’hom ologie / ^ ( C / A . Z ) du tore.

T h é o rè m e 1 .3 Toute fo n c tio n elliptique f n ’ayant pas de pôles est constante.

C o r o lla ir e 1 .4 Une fo n c tio n elliptique non constante possède au moins un pôle dans le

parallélogramme fondamental.

T h é o rè m e 1 .5 La somme des résidus de pôles d ’une fo n c tio n elliptique contenus dans

le parallélogramme fondam ental est zéro.

Le résidu d ’un pôle sim ple est to u jo u rs d iffé re n t de zéro. S’i l e xistait exactem ent un seule pôle d ’ordre un, la somme des résidus ne s’a n n u le ra it pas, d ’où le co rollaire suivante :

C o r o lla ir e 1 .6 Une fo n c tio n elliptique ne peut pas a v o ir exactement un pôle simple dans

le parallélogramme fondamental.

T h é o rè m e 1 .7 Le nombre de zéros d ’une fo n c tio n elliptique non constante est égal au

nombre des pôles dans le parallélogramme fondam ental, les zéros et pôles étant comptés avec multiplicité.

D é f in it io n 1.8 Le degré d ’une fo n c tio n elliptique est le nombre des pôles dans le paral­

T h é o rè m e 1.9 Une fo n c tio n elliptique non constante f de degré d prend dans le paral­

lélogramme fondam ental, chaque valeur complexe exactement d fois, tenant compte des multiplicités.

D é f in it io n 1 .1 0 Si a\, a2, ■ ■ ■ ,o ^ sont les zéros d ’une fo n c t io n elliptique non constante

f dans le parallélogramme fon d am en ta l FI, tenant compte des multiplicités, la somme des zéros est définie comme a\ + a2 + . . . + a/,. Si bi, b2, ■ ■ ■, bh dénote les pôles de f dans I I la somme des pôles est définie de manière semblabe comme b\ ■+ b2 + ■ , ' +

bh-T h é o r è m e 1.11 La somme des zéros d ’une fo n c tio n elliptique non constante

paralelogramme fondam ental diffère de la somme des pôles p a r un valeur dans

(a i + ü2 + ■ ■ ■ + ah) — (bi,b2, • ■ ■ , bh) € A.

1.2

La fonction

p

de W eierstrass

L a m atière de cette section avec dém onstrations peut être trouvée dans [W W 2 7 ]. D ’après le C o ro lla ire 1.6 une fon ctio n e llip tiq u e ne p e u t a v o ir qu’un pôle sim ple dans le parallélogram m e fondam ental comme sin g ula rité . E lle d o it avoir au m oins deux pôles simples o ii au moins un pôle m u ltip le dans le parallélogram m e fondam ental. Est-ce q u ’il existe une fon ctio n ayant exactem ent un pôle double dans le parallélogram m e fondam en­ ta l? La réponse est donnée par la fo n ctio n e llip tiq u e p de Weierstrass : une fo n c tio n e llip tiq u e avec un pôle d ’ordre deux à l ’origine.

Par la suite, on notera le tore C / A p ar C / { 2 ^ i , 2lü2}.

L a fon ctio n p de W eierstrass est une fon ctio n définie sur le to re C/{2u,'i, 2u>2} p ar la série

p(z; 2u q .2u;2) = - + { + 2m ^ + 2nu, ^ 2 ~ + 2 nuj2)2 } ' (L 1 )

m , n € Z \ { 0 }

/ dans le

La série (1.1) converge u niform ém ent dans C / { 2 w i, 2ui2}.

Nous allons écrire p (z ) au lieu p (z; 2uii. 2ui2) si les param ètres 2u)X et 2lu2 sont clairs d u

contexte.

P r o p o s it io n 1.1 2 La fo n c tio n p (z ) est une f o n c tio n elliptique de périodes 2ojx et 2ui2. Ses pôles sont donnés p a r z = 2mujx + 2nu;i. Elle a aussi les propriétés suivantes :

1. La partie principale de p (z ) en z = 0 est ; 2. p (z ) = p ( - z ) ; 3- p ' ( - z ) = - p ' ( z ) . R e m a rq u e 1 .1 3 Si À G C , A ^ 0, alors p(Xz; Xu>i, \ u i 2) — ~ ^ p ( z ] u)x, u 2); (1.2) p " ( \ z ; \u)i,Xlü2) — — p " ( z ] u x, lj2). (1.3) (1.4)

L e m m e 1 .1 4 Les zéros de la fo n c tio n p ’ ( z ) dans le parallélogramme fon d a m e n ta l sont

donnés p a r z — uix, ui2, uix + uj2.

P r o p o s it io n 1 .1 5 La fo n c tio n p (z ) satisfait l ’équation différentielle

( p 'O )) 2 = 4 (p (z ) - p ( u 0 ) ( p ( z ) - p ( u 2)) {p (z ) ~ p ( v 1 + uj2)) . (1.5)

I l est possible d ’e xprim er p (u + v ) en termes de p (u ), p ( v ) et ses dérivées grâce au théorème suivant, connu comme le théorème d ’a d d itio n .

T h é o rè m e 1 .1 6 (T h é o r è m e d ’ a d d it io n ) Si zx n ’est pas congruent à z2 modulo

{2ojx,2uj2} nous avons

1.3

Les fonctions th ê ta

Soient a, (i, r G C avec I m r > 0. La fon ctio n 9 de caractéristiques et. f i est définie par

9[a. fi}(v; r ) : = e . r p f n i r f m + et)2 + 2 m {r n + et)(t; + f i ) } .

m €'£

E n prenant et = 0 = ^ nous obtenons la fo n ctio n im p a ire (comme fo n ctio n de v)

@i{v\ t) := - 9 [ ^ } {v;t).

R e m a rq u e 1 .1 7 I I est facile à v é rifie r les propriétés suivantes de la f o n c tio n 9y[v\ r ) :

1. 9x(v + 1;t ) = —6\{v, r ) ; 2. Ofiv + r ; r ) = — e~mT~27Tlv9x(v, r ) ; 9[(v + 1 ;r ) = 9'x{v,t) _ 9 i{v + l \ r ) 9x{v, t) ’ 9'fiv + t ; r ) _ _ 9 [ ( v , r ) 9 \{v + r ; r ) 9x(v,t) '

Nous allons écrire 9 \{ v ) au lieu de 9x(v, r ) si r est c la ire du contexte.

P r o p o s it io n 1.18 E n termes de la fo n c tio n 9X la f o n c tio n p de Weierstrass s ’écrit

comme

r)2 1

4^ ~ ) = - ^ l o g ( » i ( « ) ) + 3 ^ ( 1-6 )

Z OU v = - — .

D é m o n s t r a t io n . Considérons le changement de variable v — ^ q u i envoie le parallé­ logram m e C / { 2 u i , 2uj2} sur le parallélogram m e C / { 1 , r } . Com m e 9x(v) est une fo n c tio n

entière im paire et # i(0 ) = 0 le dévelopement de T a y lo r donne pour v près de zéro f t W = e'1«».. + i 0 r '( o ) v 3 + . . .

alors, 9 , . . . e [ { v ) 1 i 0 f ( o ) a ï log<#l(l,)) ~ W ) ~ v + 3 e u o f + et d 2 , ,a / xx 1 1 0 ,r(O ) d v 2 O S ^ lC 1' ) ) - „ 2 + 3 0 / ( 0 ) + • • •

D ’après la tra n s fo rm a tio n 2 = 2o/iü on a

1 1 1 p ( 2aqu) - + 2 ^ /o,.,, , 9 rm . , + ( 2u j i v) 2 ^ ( 2u j v + 2 m w i + 2 n i ü 2 ) 2 ( 2 m w i + 2 n u i 2 ) 2 m,n€Z\{ 0} 1 ^ î _________ î _______ (:2lüi)2(v) 2 ^ \ { 0} (2w i) 2(v + m + r n ) 2 + (2c j!) 2(m + r n ) 2. De façon équivalente, 4w ip ( 2u/iü) = 3 + y : Donc, v2 H- m + r n )2 (m + r r r ) 2. m , n G Z \ { 0 } v > \ > 8 2 1 4 w fp(2a;1u) + ^ l o g ^ v ) ) = g + <*!*> + a2v2 +

L a fon ctio n 4ojfp(2cJiv) + J ^ lo g ( 0 i( u ) ) est holom orphe dans un voisinage de zéro, donc elle est holom orphe p a rto u t puisque p et log(é?i) ont des pôles en zéro seulement. E lle est

1 o'"(o)

aussi doublem ent périodique donc elle est constante et donc égale à | (une fo n ctio n entière doublem ent périodique est constante).

F inalem ent, on a

f)2 1 0"'(Q)

4 ^ ( 2 ^ ) = - ^ l o g («l W ) + 3

Grâce a l ’équation (1.6) nous pouvons tro u v e r la valeur de l ’in tég ra l de la fo n c tio n p sur les cvcles fermés non triv ia u x du tore :

p x + & j j \ P X o + i I p ( z ) d z = I p(2uji v)2ujidv J X J Xq

-

r à ( - ë * ... 1 ( 9 , . . . 1 0iw(O) N 10+1 lo g (^ i(u )) + r- S T T r rV 2u j i\ dv ov v " 3 0i(O) 1 0"'(O) 6^ « i( 0 ) zo (1.7) et p X - t Z U )2 f X Q + T

/

p{z)dz = I

p{2ujiv)2uiidv

J X J X o 2u/i c/i/ xo 4 w f V ... - ... 3 01(0 ) / 1 / 9 , 10J"(O) x *0+T = 2 ü ^ v — ^ i ( v ^ 3 v = J _ f 2 lri + l w i T 2w i V 3 6^ ( 0 ) 7TZ C^2 ^l'(O ) /, on Wl 6a;? 0'(O ) ' 1 J

La p ro po sitio n suivante exprim e de façon différente l ’equation différentielle (1.5) à laquelle sa tisfa it la fo n ctio n p. C ette p ro p o sitio n sera u tile p our tro u v e r une re la tio n entre les intégrales de la fon ctio n p sur les cycles a et b.

P r o p o s it io n 1.1 9 ( [ W W 2 7 ] ) La fo n c tio n p satisfait à l ’équation différentielle

' { p ' { z ) f = 4 p 3(z) - g2p (z ) - m (1.9)

1 . V - 1

ou 02 = 60 —--- rr et g3 = 140

(2mijü\ + 2 na/’2)4 (2müJ\ -f- 2nui2

En dérivant l ’équation (1.9) par ra p p o rt â 2 on o b tie n t A lo rs 2P ( Z) p " ( Z) = ^ P 2( Z) P '( Z) ~ S2p '(z ). 2 p ” (z) = 12 p \ z ) ~ g 2 et donc P2(z) = p " ( z ) , 92 6 12

En u tilis a n t la dernière égalité, nous pouvons calculer les périodes de p 2 l ’in té g ra l sur le cycle a :

f.

x+2u;ip 2(z)dz

“

' « . s »

f C

6 12 x+2wi ü l 1 2' 2>uj\ 92

et l ’in té g ra l sur le cycle 6 :

ox+2lü2 r 2- 2/ w r x+2“ 2 ( p ” ( z ) ^ 9 2 \

L

p{z)dz = L

{— +w

p '( z ) x+2uj2 , 92 0 + ü 2uj2 92 -U!

2-D ’où la re la tio n entre les deux périodes :

x+2uji \ -j p 2(z)dz ) — = J Wl X + 2 ùJ2 \ 1 2 / ' ’ ' A lc>2 rx+2uj\ px+'Zu 2 ^'2 / p 2(z)dz = u)i P2(z)d, J X J X x+2w2 d z , c ’est-à-dire, (1.10)

1.4

Les fonctions

(

et

cr

de W eierstrass

1.4.1

L a fo n c tio n C de W e ie rs tra s s

La m atière des sous-sections 1.4.1 et 1.4.2 avec d ém onstrations peut être trouvée dans [W W 27].

Soient uq et lü2 deux nombres complexes non nuls tels que p o u r r = ^ on a I m r > 0. L a

fon ctio n Ç de W eierstrass est une fon ctio n définie p o u r 2 G C par la série

c\ \ i \ ^ • r i i -2

( z , 2 u i . lo2 ^ + 2_^ z — (2muii + 2nüj2) ) ^ ' 2 m u i i + 271^2^ (2mu!i + 2nüü2)2

m , n € Z \ { 0 }

( 1.11) La série (1.11) converge uniform ém ent dans le cercle \z\ < R où R > 0 fin i après la suppression d ’un nom bre fin i des termes de la série, n ota m m e n t les termes correspondants

k m , n tels que \2muii + 2ma;2 | <

R-Nous allons écrire Ç(z) au lieu de Ç(z; 2uq, 2cj2) si les param ètres 2uji et 2oj2 sont clairs

du contexte.

La fo n ctio n Ç(z) est une fo n ctio n holom orphe sauf p o u r les points 2 = 2?™^! + 2n u 2

m , n £ Z ou elle a des pôles simples avec résidu 1. E lle n ’est pas une fo n c tio n e llip tiq u e

dans le réseau défini par {2lüi, 2u;2} parce q u ’elle a exactem ent un pôle sim ple avec résidu

1 dans le parallélogram m e fondam ental (v o ir le C o ro lla ire 1.6).

suivantes

C (z ) = - p ( z ) ;

C(2 + 2wi) = eO) + 277i>

m = C(^’i);

( ( z + 2 U2) = ( ( z ) + 2î]2, 7 7 2 = C ( ^2) ;

Ç(z + 2u>3) = C(z) + 2î]3, t]3 = Ç(üj3):

O Ù U l 3 = U l \ + i ^ '2 , 7 /3 = 7 /1 + 7 /2

-R e m a rq u e 1 .2 1 Si X € C, A ^ 0, a/ors

C(Az; A2Wi, A2w2) = 2üh, 2w2)- (1.12)

A

Le théoèreme suivant m ontre la re la tio n entre les constants 77!, 772 et les périodes de la fonction p de Weierstrass connu comme l ’id e n tité de Legendre.

T h é o rè m e 1.22 Soient 2ui\,2ui2 des périodes de la f o n c tio n p de Weierstrass, tel que

I m — > 0 , alors

“ 1

7XI

7/1^2 - 772CJ1 = (1.13)

1 .4.2

L a fo n ctio n

a

de W e ie rs tra s s

La fon ctio n a de W eierstrass est une fo n ctio n définie sur C p a r le p ro d u it

a( z- , 2ü ü i, 2üj2) = z T l - —^ e i + 2(i )2 (1-14)

uÿéO ' u '

où uj = 2müü\ + 2iilü2 et m, n G Z.

Nous allons écrire a (z ) au lieu de a (z: 2uq, 2ui2) si les param ètres 2cji et 2u>2 sont clairs

du contexte.

La fonction a (z ) est une fon ctio n entière non constant donc d ’après le Théorèm e 1.3 elle n ’est pas e llip tiq u e .

P r o p o s it io n 1 .2 3 La fo n c tio n a (z ) est une fo n c tio n entière impaire de z. Elle a des

zéros extactement sur les points z — 2mu>i -f- 2nu>2 , c ’est-à-dire sur les périodes de p {z ). Elle a les propriétés suivantes :

C (z ) =

<r(r) ’

a {z + 2uq) = - a {z )e 2in{z+uli);

<t(z + 2lü2) = - < r ( z ) e 2r» {z+ua)\

a (z + 2lü3) = - a { z ) e 2ri3{z+U3)-,

OÙ Ul3 = L>1 + U>2, ??3 = ?7l +

V2-R e m a rq u e 1 .2 4 Si À € C , A f-- 0, alors

a^Xz'j \ 2lJ \ , À2CJ2) ~ Acr(zj 2cuj. 2^ 2)■

Le théroèreme suivant m ontre que to u te fo n ctio n e llip tiq u e p e u t être exprim ée en term es de la fon ctio n a de W eiertrass.

T h é o rè m e 1 .2 5 Soit f ( z ) une fo n c tio n elliptique avec des périodes 2u i,2ui2. Soient a i , a 2, ■ ■ ■ , a n et b\, b2, . . . , bn les zéros et les pôles de f { z ) , respectivement, dans le pa­ rallélogramme fondam ental comptés avec leurs ordres de m u ltip lic ité alors,

a {z - a i ) a ( z - a2) . . . a (z - an) a (z - bx) a {z - b2) . . . a (z - bn ) où c est une constante.

L e m m e 1 .2 6 On a

D é m o n s t r a t io n . Par d é fin itio n

lim —q—^ = 1- (1.16) 0 h

n(>~)

2 \ i. 1 1 f £\2e^ + 2^ J u^O où lü = 27710»! + 2 no»2 et m, n G Z. Donc, rr(h \ -w r- / ù. \ >^^2'-^) = 1. lim ^ = lim T T ( \ - - ) e h—> 0 n /i—>0 A A V UJ J ÜJ^O x 7

C o r o lla ir e 1 .2 7 Nous avons les form ules suivantes : / \ / \ a ( u + v ) a ( u - v )

p ( u ) - p (v ) = — a I ( u W { v ) ; (1-17)

p'(l,>

= ( ( u - t , ) - C ( « + 0 + 2C(«);

(i-is)

p (u ) - p (v )

✓ < *) = (1.18)

D é m o n s t r a t io n . Nous allons dém ontrer la form ule (1.17).

Si u où v est une période de p donc les deux parties de la form ule (1.17) sont in fin is donc on a l ’égalité.

Si v n ’est pas une période de p, d ’après le théorèm 1.25 avec a i = v, a2 = —v, bi — 0,62 = 0 la fon ctio n

a ( u + v ) a ( u — v) a 2(u)

de variable u est une fon ctio n e llip tiq u e qui a les mêmes zéros et pôles que la fo n c tio n e llip tiq u e

donc

•, X / ^ <r{u + v)cr{u - v) p (u ) - p ( r ) = - 5^

---M a in ten a nt on va tro u v e r la constante c :

■2' * a { u + v ) a { u — f ) 1 = lim u 2(p (u ) - p ( v ) ) u —>0 lim u 2 c u-+o a z(u) = c a ( v ) a ( —v) lim

(

«->o \ a ( u )

D ’après l ’équation (1.16) la dernière ligne devient c a ( v ) a ( —v ) donc 1 = — c a 2( v) , alors 1 a 2( v ) ’ d ’où a ( u + v ) a ( u - v) p ( u ) - p { v ) = --- . a 2{ u ) a 2(v)

P our dém ontrer la form ule (1.18), nous allons prendre le logaritm e à l ’é quation (1.17) et dériver le ré s u lta t par ra p p o rt a u :

, / ^ ( '*\ i ( cr(u + v) a ( u - v ) \

io g (p ( u ) - e ( v ) ) = Îo g ^ - a { u ) a ( v ) a ( u ) < y ( v ) j

= lo g ( _ 4 î i + ! i ' ) + l o g /'

a { u ) a ( y ) ) \ a ( u ) c r { v )

— lo g (—<t(u + v)) — log (cr(u)cr(v)) + lo g ((j(u — v) — log ( a ( u ) a ( v ) )

p ' ( u ) —a ' ( u + v ) a ( v ) a ' ( u ) a ' { u — v) a { v ) < j ' ( v ) p ( u ) — p ( v ) —a ( u

+

v a ( v ) a ( u ) a ( u — v a ( v ) a ' ( u )

cr'(u

+

v) cr'i n) cr'(u — v) c r \ u ) a { u

+

v a ( u ) a ( u — v) a ( u )

p '( v ) cr'i/tL + v) | a ' ( v — u) 2 ° ’' ^ p ( v) — p (u ) a ( u + v ) a (v — u) a (v) ■ a '( v — u ) c r ' ( - ( u - v ) ) M ais — - = — = ( ( - ( u - v)) = - Ç ( u - v) a ( v — u) a ( — (u — v)) et donc on o b tie n t p '(v ) c r ' ( u - v ) a '( u + v ) ^ '{y ) ~i £ " p (u ) — p ( v) a ( u — v ) a ( u + v) a(v) ou de façon équivalente

^ = Ç(u — v) — Ç(u + v) + 2 Ç(u).

p {u ) - p (v )

M a in te ta n t on va dém ontrer la form ule (1.19). En prenant u = v + h d a n s .l’équation (1.17)

cr(2u + h) a (h)

p ( v + h ) ~ p (v ) = jy- ' v ; a 2(v + h ) a 2(v)

et en m u ltip lia n t par L on o b tie n t

lim j- ( p ( v + h) - p (v ) ) = lim - i +

h -> o h K J h^o h a 2(v + h ) a 2(v) ° (2V) lim L ( h ) .

a 2( v ) a 2(v) h-yo h

D ’après l ’équation (1.16) on a finalem ent

a (2 v ) p '{ v ) =

-a 4(v)

Théorème 1.28

Nous avons

a (u ; 2u;i. 2uj2) = ^ - e ^ T u 9X ( 1.2 0 )

où {2uji,2u}2} sont les périodes de la fo n c tio n p (u ), r = 771 = C (^'i) et 9[ := 9 [ ( 0 ;t) est la dérivée de 9 i ( v ; r ) p a r rapport à v en v = 0 .

Remarque 1.29

E n fa is a n t le changement de variable v = dans (1.20) on obtient la relation entre les fonctions a et 9\ définies par rapport au réseau { 1 , t }

<’ ("••) = ( 1-2 1 )

Corollaire 1.30

Soit v dans le parallélogarmme d éfin i par { 1 . t } , v 7^ m + n r . m, n S Z alors

= 2(< ( - ) ( 1 2 2 )

a ( v ) O ^ v ) U 2 j ’ 1 '

Démonstration.

E n dérivant lé q ua tio n 1.21 on o b tie n t

A ” ) = + ^ i > 2e[{v)

ce q ui c o n d u it d irectam ent au ré su ltat. ■

Corollaire 1.31

Soit v ^ ± w m o d { l, r } alors

lQg = C ( v - ^ ) - C ( w + ^ ) + 4m C(^)- (1-23)

Démonstration.

E n prenant la dérivée de log on o b tie n t

log

81 (î;+uj)

9 \ ( v — w ) \ ' 9 [ ( v — w ) 6 \ { v - \ - w ) i ( v + w ) J 9 i ( v — w ) 0 \ { v - \ - w )

D ’après l’équation (1-22) 6 [ { v - w ) 9 [ (v + w) _ ( ^ v - w ) _ 2 (u _ u;) C( I ) 9

i(r

— w) 9

i(t>

+ w) \ a ( v — w) 2 a '( v + w) n . . , , 1 . - 2 ( u + w ) C ( - ) a (v + w ) 2 a ' ( v - w ) a '( v + w) A 1 S —r---r 7 f + 4 w C( ^) a (v — w) cr(v + w ) 2

ce qui grâce à la p ro p o s itio n 1.23, donne

Ç(v - w) ~ ( ( v + w) + 4w Ç ( ^ ).

C o r o lla ir e 1.3 2 Soit v ^ ± w m o d {l , r } alors

, 9 i { v . ~ w ) \ ' p '{ w ) , ^ . 1 . log J 7 — -T ) = “ 7 1 ---~ + 0 i ( u + w ) / p ( v ) - p ( w ) 2 D é m o n s t r a t io n . D ’après l ’équation(1.18)

C ( u - u > ) - Ç ( u + it>) =

, f ^

W \

. ~ 2 C ( w )

-p (v ) - -p ( w )

Donc, d ’après l ’équation (1.23),

0 1

(u

- w ) Y p '( w )

( log . f Ü L - 2 c (tt,) +

1.5

U ne formule pour , , >-1

,

••2

■ 1 { p { u ) - p { w ) Y

N o tre o b je c tif ici est d ’e xprim er . . -—-— ;—— en termes de ( p ( u ) — p ( w ) ) . C ette expres-(p (« ) - P W r

sion sera u tile p o u r tro u ve r une re la tio n entre les intégrales de la fonction ■; ■■■■— --- -— —

( p ( u ) - p ( w ) ) 2

sur les cycles a et b.

O n va commencer par exprim e r p " { u ) et p '( u ) 2 en termes de (p {u ) — p { w ) ) , où u et w se tro u v e n t dans le parallélogram m e { 2üJi,2ui2} et w fixe.

Les équations ( 1.5) et (1.9) vont nous aider à tro u v e r la réponse; les vo ic i :

p ' W f = 4 (p (u ) - e i) ( p ( u ) - e2)( p ( u ) - e3); (1.24)

P ( u f ■ = 4p ( u ) 3 - g2p ( u ) - g3; (1.25)

où ei := p ( u i ) , e2 := p(u>2) et e3 := p(uq + w2). Soit

q (p (u )) = (p (u ) - e i) ( p ( u ) - e2)(p (u ) - e3)

le polynôm e de degré 3 par ra p p o rt à p (u ). D ’après le théorème de Taylor,

q ( p ( u ) ) = q ( p ( w )) + q '( p ( w ) ) ( p ( u ) - p ( w )) + Ç - p ( w ) ) 2 q " '( p ( w ) ) , 3 + --- ^ --- (p (« ) - P(w )) p o u r un ce rta in w. D ’après l ’équation (1.24) on a = ?(*>(«)) (1-26)

En prenant la dérivé par rapport à u dans l’équation (1.26), on obtient

donc

d ’où

^ p " ( u ) = q '{ p ( u ) ) (1.27)

g (p (w )) = — .... ■

En prenant, encore une fois, la dérivé par ra p p o rt à u dans l ’équation (1.27), on o b tie n t I p ,/;(u) = < / '( p (u ))p '( u ) (1.28) donc 1 p " ' { u ) q " { p { u ) ) 4 p '{u ) 2! d ’où 1 p " ' { w ) __ q " { p { w ) ) 4 p '{w ) 2!

E n prenant la dérivé de l ’équation (1.25) nous obtenons 2p '{ u ) p " { u ) = 12( p ( u ) ) 2p '(u ) —

g2p '(u ) alors, p " ( u ) = 6 p { u ) 2 - \ g 2 donc,

p " '( u ) = 12 p ( u ) p '( u ) .

E n su b s titu a n t ce ré s u lta t dans l ’équation (1.28), on obtie n t

q”{p(™))

3 p (w ) =

2 !

P ar d é fin itio n q est un polynôm e de degré 3 de coefficient p rin cip a l 1 ; ce q ui donne

T

q"'(pM)

3! A lors, nous avons le lemme suivant :

Lemme 1.33

La fo n c tio n p (u ) de Weierstrass sa tisfa it l ’équation différentielle

p '( u ) 2 = p ' { w ) 2 + 2 p " { w ) ( p { u ) - p ( w ) ) + 1 2 p ( w ) ( p { u ) - p ( w ) ) 2 + 4 ( p ( u ) - p ( w ) ) ' i (1.29)

où w est fixe dans le tore.

Lemme 1.34

La fo n c tio n p " { u ) s ’éxprime en termes de p ( u ) — p (w ) comme

p " ( u ) = p " { w ) + 12p ( w ) ( p ( u ) - p ( w ) ) + 6 (p (w ) - p ( w ) ) 2. (1.30)

Dém onstration.

En prenant la dérivée p ar ra p p o rt à u dans l ’équation (1.29) nous obtenons

2 p ( u ) p " ( u ) = 2 p " { w ) p \ u ) + 24p ( w ) ( p ( u ) - p ( w ) ) p ' ( u ) + 12{p (u ) - p ( w ) ) 2p '( u )

d ’où le ré su ltat. ■

Proposition 1.35

On peut exprimer -—— —-—-—r—r en termes de p (u ) — p ( w ) comme

(p ( u ) - p { w ) Y

______ 1_______ = 1 d / p \ u ) \ p "{w ) ________1

(p (u ) - p ( w ) f f ( p ' M ) 2 du V ( p { u ) - p ( w ) ) ) ( p '( w )) 2 ( p ( u ) - p ( w ) )

+ w h ÿ (p<n) ~ p ( w ) ) ■ (L 3 1 )

Démonstration.

Calculons d ’abord la dérivée

~ ( ^ p ' ( u ) ( p ( u ) - p { w ) Y ^ = p " ( u ) ( p ( u ) - p ( w ) Y l - p '{ u ) 2{p ( u ) - p ( w ) ) ~ 2.

En rem plaçant p " ( u ) et p ' ( u )2 à p a r tir des équations (1.29) e t (1.30) on o b tie n t

^ ( p ' ( u ) ( p { u ) - p ( u > ) r ^ = - p ' { w ) 2{p { u ) - p ( w ) Y 2 - p ''( w ) ( p ( u ) - p ( w ) ) ~ l + 2 (p ( u ) - p ( w ) )

donc 1 p '( w ) 2 du p ( u ) ( p ( u ) - p ( w )) ^ = ( p ( u ) - p { w ) ) 2 + % $ { * { * ) ~ p f (w) 2 ( p ( u ) - p (w )) 02 d ’où le ré su ltat. p ( w ) ) ~ l

CHAPITRE 2

Le prépotentiel dans une variété de

Frobenius de dimension trois

Sur les espaces de H u rw itz sont définies les stru cture s de variété de Frobenius. P ou r chaque espace de H u rw itz il y a deux types de variétés de Frobenius - celles définies p ar B. D u b ro v in (dont la dim ension coïncide avec la dim ension de l ’espace de H u rw itz ) et leurs “doubles réels” (dont la dim ension est deux fois la dim ension de l ’espace de H u rw itz correspondant). À chaque variété de Frobenius de dim ension n on associe une fo n c tio n de n variables d ite le prépotentiel. C ette fo n ctio n est donnée par une form ule générale en termes de différentielles définies sur la surface de R iem ann associée. M o n b u t ic i est de calculer cette fon ctio n e xp licitem en t dans le cas de l ’espace de H u rw itz de dim ension trois.

2.1

Le systèm e d ’equations différentielles de

W itten-D ijkgraaf-E.V erlinde-H .V erlinde

Le système d ’équations différentielles de W itte n - D ijk g ra a f - E .V erlinde - H .V erlin de (W D V V ) est apparu dans l ’étude de deform ations des théories de champs conformes topologiques en deux dimensions. Ce système a été in tr o d u it dans les articles [W it9 0 ] et [D V V 91].

Le système W D V V est un système d ’équations différentielles aux dérivées p artielles q u i consiste à tro u v e r une fo n ctio n F : C n —» C de n variables complexes . . . , t n q u i sa tisfait aux tro is conditions suivantes :

• Pour i, j = 1, 2 , . . . , n,

FiF ^ Fj = F j F ^ F i .

où Fi est la m atrice n x n don t les coefficients sont donnés p a r les dérivées de troisièm e ordre :

g 3 F

<F'),m =

at,amm

• Quasi-hom ogénéité (à termes q uadratique près) : I l existent des nom bres V\, . . . un . uF tels que p ou r to u t k non zéro on a

F ( k l/1t i , . . . , k Unt n ) = k Up F ( t i , .. . , t n) + termes quadratiques.

• N orm a lisatio n : F\ est une m a trice constante non dégénérée.

Pour la d é fin itio n complète d ’une variété de Frobenius nous référons à [Dub96]. Nous in tro d u iro n s plus ta rd quelques éléments de cette s tru c tu re d o n t nous aurons besoin. L a propriété p rin cip ale des variétés de Frobenius est donnée par le théorèm e suivant é ta b li par D u b ro vin . Le théorème m ontre la re la tio n entre les structures de variétés de Frobenius et l ’ensemble des solutions du système W D V V .

T h é o rè m e 2.1 ( [D u b 9 6 ]) Les variétés de Frobenius sont en bijection avec les solutions

du système W D V V .

Variétés de Frobenius | y-* ^ Solutions du système W D V V

D é f in it io n 2 .2 Le prépotentiel d ’une variété de Frobenius est la solution du système

W D V V qui correspond à la variété de Frobenius p a r la bijection du Théorème 2.1

Dans les sections suivantes 2.2 et 2.3 nous voulons décrire l ’espace de H u rw itz avec lequel nous avons tra vaillé .

2.2

Surfaces de Riem ann

Une surface de Riem ann est une variété complexe orientée de dim ension com plexe 1. On va considérer des surfaces de R iem ann compactes. Le théorème su iva nt donne une classification fondam ental p ou r les surfaces de R iem ann compactes.

T h é o rè m e 2 .3 ( [ B o b l l ] ) Toute surface de R iem ann compacte est homeomorphe à

une sphère à g anses.

Les figures 2.1 et 2.2 donnent des exemples de sphères à une anse et deux anses, respec­ tivem ent.

Le nom bre g G N donné par le théorème précédent est appelé genre de la surface. S oit £ une surface de genre g. Pour deux cycles fermés q u i s’intersectent en un p o in t l ’indice

d ’intersection est égal à 1 si le repère form é par les cycles au p oint d ’in tersectio n est

Figure 2.1 Sphère à une anse

Figure 2.2 - Sphère à deux anses

Remarquons que comme £ est une surface orientable, son groupe de l ’hom ologie I I i ( £ , Z ) est un groupe abélien lib re et donc on peut p a rle r de sa base. Une base canonique de cycles est une base de l ’hom ologie / / j . ( £ , Z ) don t les indices d ’intersection sont donnés par

m o bj — 6ij, o.i o cij — 0, bi o bj — 0, i, j — 1, . . . , g

où Sij est le symbole de Kronecker.

Supposons que tous les cycles d ’une base canonique passent par un p o in t P de £ . Ils form ent donc l ’ensemble de générateurs du groupe fon d am en ta l de la surface basé en P : I I i ( £ , P ) . Ces générateurs vérifient une re la tio n : . . . agbgO^bÿ1 = 1. C ette re la tion indique q u ’en coupant la surface le long des cycles Oj et 6* on o b tie n t un dom aine sim plem ent connexe. Ce dom aine est appelé le polygone fondam ental £ . Dans le cas d u tore, une surface de genre 1, le polygone fondam ental est u n parallélogram m e d o n t les côtés coïncident avec les cycles a et b.

2.3

R evêtem ents ramifiés et espaces de H urwitz

Dans cette section nous allons parler des revêtem ents ram ifiés de C P 1, la sphère de Riemann. L a sphère de Riem ann est une surface de R iem ann de genre 1. O n peu t la v o ir aussi comme le plan complexe com pactifié p ar un a jo u t d ’un p o in t d it “ à l ’in fin i” : C P 1 = C u { o c } .

La d é fin itio n suivante d ’un revêtem ent ra m ifié de C P 1 su it l ’exposition de [Lan02|.

D é f in it io n 2 .4 Soit £ une surface de R iem ann compacte de genre g. Une application A : £ —> C P 1 qui préserve l ’o rie nta tio n est un revêtement ra m ifié si

• i l existe un ensemble f i n i { A j . . . . , An} C C P 1 tel que A est un revêtement de C P 1 \ ( A i , . . . , A „ } ;

• p o u r tout p o in t Ai G { A i , . . . , An }, i l existe un voisinage Up pour tout P G A” 1 (A^) et

une coordonnée complexe z dans Up telle que l ’application A s ’écrit dans Up comme

A(z) = zk, p o u r A; G N.

Si A : £ —» C P 1 est un revêtem ent ram ifié, p a rto u t F G £ il existe un voisinage de P où nous pouvons in tro d u ire une coordonné complexe z de te l façon que A s’é c rit localem ent comme A (z) = zk, p o u r k G N. Le nombre k est déterm inée de façon unique p o u r chaque p o in t P G £ , on appelle ce nom bre l ’ordre du p o in t P p a r ra p p o rt à l ’a p p lic a tio n A. L ’ordre d ’un p o in t F G £ est égal au nom bre de préimages, proches de F , d ’ un p o in t

y G C P 1 proche de A (F ) . L ’ordre d ’un p o in t est égal à 1 si et seulement si la re s tric tio n de A à un voisinage d ’un te l p o in t est un hom éom orphism e. U n p oint d ’ordre plus grand que 1 est appelé p oint critique ou p oint de ram ification. L ’indice de ra m ific a tio n est égal à l ’ordre du p o in t m oins 1. L ’image d ’un p o in t de ra m ific a tio n par A est appelé p o in t de

branchement. Le nom bre de points de ra m ific a tio n est fin i. E n effet, d ’après le deuxième

ensemble com pact £ est fin i.

Les points de ra m ific a tio n Pj G £ p o u r j = 1, 2 , . . . n peuvent être caractérisés comme les points où la dérivée de la fo n ctio n A s’annule. Les p o in ts de branchem ent correspondants seront notés X3 := A ( P j ) .

Dans le cas d ’un revêtem ent ram ifié A : £ —» C P 1, la somme des ordres des préimages d ’un p o in t dans C P 1 est le même p o u r to u t p o in t de C P 1. Ceci nous mène à la d é fin itio n suivante,

D éfinition 2.5

Soit A : £ —» C P 1, le degré de A est la somme des ordres des préimages d ’un point de C P 1.

Le degré de A coïncide avec le nom bre des préimages, te n a n t compte des m u ltip ic ité s , d ’un p o in t de C P 1 ( [B o b ll]) .

Considérons m aintenant, £ une surface de R iem ann com pacte de genre g et A : £ —>• C P 1 une fon ctio n mérom orphe de degré d.

D éfinition 2.6

Le couple (£ , A) est appelé revêtement ra m ifié à d feuillets.

O n va dessiner £ comme un'revêtem ent du C P 1 au moyen d ’un diagram m e de H u rw itz où les lignes horizontales représentent des copies de C P 1 appelées des feuillets, et les lignes verticales décrivent la p o sition des p oints de ra m ific a tio n q u i appartiennent à plusieurs feuillets. Le dessin est m ontrée dans la Figure 2.3.

Ce diagram m e représente la surface £ et la p ro je c tio n vertica le sur la base du revêtem ent C P 1 qui est donnée par la fon ctio n A. C ’est-à-dire, les préimages d ’un p o in t Ao G C P 1 sont représentées sur le diagram m e p ar des p o ints q u i se p ro je tte n t sur

CP

CP X

I CP

CP

Figure 2.3 - D iagram m e de H u rw itz de la surface £

rêvetements ( £ , À). Soient £ et £ deux surfaces de R iem ann d u même genre ; A : £ —»• C P 1 et A : £ —> C P 1 deux fonctions m érom orphes du même degré.

Deux revêtements (£ , A) et (£ . À) sont d its équivalents s’il existe une a p p lic a tio n biholo- m orphe h : £ —>■ £ telle que \

o

h = A. “ Ê tre équivalents” est une re la tio n de équivalence

dans l ’ensemble de revêtements.

D éfinition 2.7

L ’espace de H u rw itz 'K * est l ’ensemble des classes d ’équivalence des re­ vêtements ramifiés ( £ , A ) , où £ est une surface de Riem ann de genre g et X est une fo n c tio n méromorphe de degré d sur £ .

O n va considérer seulement des revêtements ram ifiés définis p a r A qui soient simples, c’est- à-dire, chaque Pj , p o in t de ra m ific a tio n , a p p a rtie n t seulement à deux feu illets. Dans ce cas la coordonnée locale dans une voisinage de Pj est z f i P ) = y j A ( P ) — Xt .

Nous allons considérer, aussi, deux types d ’espaces de H u rw itz de revêtem ents A : £ —> C P 1 de degré 2 . Les rêvetements du prem ier type ont la ra m ific a tio n au p o in t oo° € £ , le pôle des fonctions A. L ’espace de H u rw itz de tels revêtem ents est noté p a r (H 2g.l . L ’indice

1 signifie l ’indice de ra m ific a tio n au p o in t oo° G £ . L ’espace de H u rw itz de deuxième type, noté 0 est un espace de revêtem ents A ayant deux pôles, oc° G £ et oo1 G £ .

Les revêtements de ce ty p e n ’ont pas de ra m ific a tio n aux pôles de A. U n ensemble de coordonnées dans le deux espaces de H u rw itz est donné par les points de branchem ent

{ A J

-2.4

Structures de Frobenius - Dubrovin sur l ’espace

q r 2

1;1

Une surface de Riem ann de genre 1 (u n tore) peut être représentée comme le q u o tie n t

£ — C /{2 a q , 2ui2} o ù € C. L ’espace de H u rw itz est composé des revêtem ents

de C P 1 à deux feu illets de genre 1. O n peut d é fin ir tels revêtements p ar la fo n ctio n

A(ç) = p (ç ) + c (2 .1)

où c est constant p ar ra p p o rt à c et p est la fo n c tio n e llip tiq u e de W eierstrass

p ^ C P 1

(V o ir C h a p itre 1).

Considérons la fon ctio n (2.1). Les p o ints de ra m ific a tio n de cette fo n c tio n sont les zéros de sa dérivée. Grâce au lem me 1.14 ce sont les p o ints ç = uq, uq, w3 où ca3 = aq + oj2.

D ’après n otre n o ta tio n , les p o ints de branchem ent sont A i = A(uq) = + c = t \ + c A2 = A(u/’2) — p(co 2) + c = e 2 + c

A3 = A(co>3) = p(cu3) + c = e3 + c.

La s tru ctu re complexe sur le tore £ correspondante à la fo n c tio n A (2.1), c ’est-à-dire, la stru ctu re complexe, par ra p p o rt à laquelle la fo n c tio n A est m érom orphe est donnée par les param ètres locaux suivants :

i. près d ’un point régulier <,0 G £ , le param ètre local est ,r(ç) = A(<,) — A(<,0) ;

ii. près d ’un p o in t de ra m ific a tio n Ui. i — 1, 2, 3 le param ètre local est = y/A(<,) — A, ; iii. près du p o in t c, = 0 (également noté oc°), le param ètre lo ca l est = -L - = .

V A(ç)

Considérons l ’espace de H u rw itz 3-Cf;1 m uni d ’une m étrique diagonale a, c ’est-à-dire une 2-form e b ilin é a ire , non dégénérée, sym é triq u e et plate, e xplicitem en t,

3

a —

i = 1

ÿ 2 a ^ dXù 2 i 2-2)

où les coefficients a xl sont des fonctions de { A ! , A 2, A 3} , les coordonnées canoniques de r \ r

2

J t 1;1 .

&ii = i, A2, A3).

Pour deux vecteurs tangentes à u = X ) L i u $ \ et v = Y 2 = i vi 9 \ t on a

3

a ( v ,u ) — a i l dXl ( v ) d \ l (u)

1=1

dXl (d Xj) = ôij d \ { u ) = ut.

D é f in it io n 2 .8 La m étrique o est plate si et seulement s ’i l existe un système de co­

ordonnées { t i , <2-. ^3} sur JCf.i p a r rapport auxquelles a est représentée p a r une m a trice constante [a\.

Plus précisém ent a = .i= l r)apdtadtj3 et

( r)n r) 12 7713 \

o-\ r/.3i ïl:v2 r)3 3 /

Telles coordonnées { t i - h P s } s’appellent coordonnées plates p ou r a.

Considérons la différentielle cj>, la seule (à une constante m u ltip lic a tiv e près) d iffé re n tielle holom orphe sur le tore

2u)l

Nous voulons exprim e r 0 en termes de A. Comme A = p (ç ) + c donc dX = p'(ç)dç. A lo rs, dç 2uJi dX 2w ip '( ç ) 1 dX

4cji y /(X — A ;)(A — A2XA — A3)

Développons la différentielle (f) près de oo° € -C en param ètre local z — A '

- 1 dz~2

<j>{ X)

Soit f ( z )

2lüi y j \ — (3 c)z2 + (A 1A2 + Al A3 + A2A 3)z 4 — (AiA2A3) z 6

1

y / \ — (3 c)z2 + (A1A2 + A1A3 + A2A 3) 24 — ( AiA2A3) 26

0( A) = D ’où, alors, <p(A) = - — (1 + f ( 0 ) z H — z -h .. .)dz. ■ Ziü\ z (2.3) — 1 V ^ = + ~~2z2 + 0 ( z 2))dz. (2.4)

Notons les coefficients de <f) comme : 0 (o o°) = <p'(oc°) = 0, è " { oo°) =

Définissons une fo n ctio n m u ltivo qu e p sur le tore, p ( P ) , où P £ £ , p ar

p ( P ) := ( / F 0). (2.5)

Considérons la différentielle m u ltivo qu e p (P )d X — (J'^o 0 )dX et son développem ent près de oc° :

(

+ c + 0 ( z ) ) d z .

2cÜ\ 6 (2.6)

Définissons une m étrique diagonale

3

o 4, = ^ é 2{Pi ){dXi ) 2 (2.7) i = 1

où Pi — Wi, i = 1. 2 ,3.

C ette m étrique diagonale peu t être exprim ée en term es des coordonnées canoniques { A i , A2, A3, } de 3-Cf;1 comme (v o ir [Shr05])

La m étrique (2.7) est plate et ses coordonnées plates sont données par (v o ir [D ub96]) (2.8)

t 2 ■= re s z=0—i=pdX

V A

où a et b sont les générateurs du prem ier groupe d ’hom ologie.

où 7 signifie la fo n ctio n suivante de la période t = ^ du tore

7(r)

1 ; r )

37t ï ^ (O ; r ) (2.9)

La fo n ctio n 7 sa tisfa it l ’équation de Chazy (v o ir [Dub96])

7

'"

= 6 7 7 " — 9 7 /2.

Calculons F en u tilis a n t le développement donné par (2.6) en param ètre local z — A“

t 2 = r e s z==0—7zzpd\

v A

= re s z=0( — + O (z ) jd y - i _

U>1 '

P our calculer

t3

il fa u t se rappeler de la d é fin itio n de la différentielle

4>

donnée p ar (2.3)

‘3 = S r i / . *

i f

2™

J x rx+2^ dç 2tïi J x 2 w i 1 ui2

27T‘i Cü

1 1 2 i ï i - r .

La form ule in tro d u ite par D u b ro v in ( [Dub96] ou [Shr05] page 651) p o u r le calcul du pré po ten tie l, apliquée à la différentielle pdX où la fo n c tio n p est définie dans (2.5), p ro d u it le ré su ltat suivant p o u r le pré po ten tie l :

F = _{2 t l + h , ( ~ T iC XpdX ^ XpdX t (p pdX (p}

J a Jb

pdX (2.10)

h-,h-L ’in té g ra tio n par parties donne

(j)

XpdX = — j ) ^ À 2é; (j) XpdX — — j ) - X 2(p:

et la d é fin itio n de 4> (2.3) et A (2.1) donnent p o u r les intégrales précédentes

( ' X + 2 u ) i ( f XpdX - - ( f \ x24> = - X2dq = - [ 7 ~ - ( p ( ‘0 + c)2dç (2.11) J a J a -2 J a M J x 4wj r r x +2uJ2 j ® XpdX — - / - — (p (ç ) + c)2dç. (2.12) J b J x 4ù j i

D ’après les équations (2.11) et (2.12) nous pouvons réécrire (2.10)

F = î

1 f X + l U ) 1 1 f X + 2 U 2 1 /* \ 1

(2.13) D ’après léquation (1.10) nous obtenons

-i / * x + 2 u / i i p x +2w2

ï ^ h L

p2w * = °

et des équations (1.7) et (1.8) nous obtenons

-i r - x + 2 u i i i p x +2w2

— U l (2c p M + c2) * - — 2 ( 2c p M + c2 ) * =

Donc,

F = 1(1'"

+f5‘3)

où C = t i

-F inalem ent, on o b tie n t le p ré po ten tie l (2.10) sous la form e

2.5 “D oubles réels” sur l’espace

Jî\.A

M a in te n a n t nous voulons considérer l ’espace de H u rw itz réel <K 2.j des revêtem ents ram ifiés

(£ , A) où £ = C / { 2 w i , 2o>2} et la fo n c tio n A est donnée par (2.1). Les coordonées locales sur cet espace de H u rw itz sont données par les points de branchem ent { A ] , A2, A3} et leurs conjugués complexes { A ! , A 2, A3}. Ces coordonnées sont les coordonnées canoniques des variétés de Frobenius “ doubles réels” construites sur Oif-i considérée comme une variété réelle (v o ir [Shr05]).

Considérons la différentielle sur le tore ( r =

* = + (2-14) T — T 2cüi T — T 2CJ1 Les diférentielles ^(i.o ) := =--- 7— (2-15) r — t 2lüi et __

*<«> :=

v h Ê k

( 2 ' 1 6 )

sont d its p a rtie holom orphe et p a rtie antiholom orphe, respectivement, de la d iffé re n tielle

<ï>.

Le développement de $ près de oo° G £ en param ètre local z — A~2 est donné d ’après (2.4) par :

— 1 V — 1 3r

$ = — ^(1 + ^ z 2 + 0 ( z 2))dz + — (1 + ~ z 2 + 0 ( z 2))dz. (2.17)

2üJ\ 2 2lü\ 2

Définissons deux fonctions m ultivoques i/j, p o u r 2 = 1 ,2 sur le tore, 'ipi(P) où P € £ par p '01 ( P ) [ «>(1,0) J oo° et rP $ ( 0,1) M P ) := r J 3 0 °

Considérons la diffé re n tielle m u ltivo qu e

$ ( ^ ) ~ ( [ 3>(l,0 )^d A + f f $ (0.1)

\ Joc° / V Joo°

d \

et son développem ent près de oc o .

1 / r 1 1

+

\ T — T J Z 2 2l)x \ T — T + 0 { z ) dz

+

Uy’i \ T — T / Z=2 + C^ = - \2cüi \ T — T

+

0

(

2

)

dz.

Définissons une m étrique

où Pj = i ü i , i — 1 , 2 ,3.

C ette m étrique p e u t être exprimée en termes des coordonnées canoniques {A i A i , A 2,A3} de comme (v o ir [Shr05]) (7$ ( d \ ! ) 2 (A i — A2)( Ai — A3) (^A3) 2 (A3 — Ax)(A3 (2.18) (2.19) (2.20) 1 a 2, a 3, ( 2.21)

L a m étrique (2.20) est p late et ses coordonnées plates sont données p a r (v o ir [Shr05]) r x + 2

1

R I ( p ( ç ) + c ) - Ç | h h u T 1 r — r u) 1 T T 2771 T — T

{

— r x + 2 u j 2

^ r l

*

R c < ( - / ( p ( s ) + c ) ^ j 15 h 1 r t*6 27ri r — r

Nous rem arquons que r = f - , T = et que p o u r la so lu tio n de l ’é q u a tion de C hazy (2.9) nous avons q ( r ) = —y ( —r ) .

L a form ule in tro d u ite p ar Shramchenko ( [Shr05] page 662) p ou r le calcul du p ré p o te n ­ tie l, apliquée à la différentielle 'L définie dans (2.18), p ro d u it le ré su ltat su iva nt p ou r le p ré po ten tie l :

—1 \ + —'t \ + - —: ( — (p — r X ' i l ’ i d X + (p ---— rA r/^d A + 2 2 2 m

V

J a T - T J a T - T

( f z i——X 'ip id X — ® —^— z X ^ d X — t \ ® ip i d X + t 4 <p t p id X j

J b J b J b J a J

N o tre b u t est de réécrire F sous la form e d ’une fo n c tio n de £1; t 2, h , £4, t 5 et £6. L ’in té g ra tio n par parties donne

y X ip id X = - j> ^ A 2<Î>(1>o)

et la d é fin itio n de $(i,o) (2.15) et A (2.1) donnent p o u r 1’ intégrale précédente

i ~ “ -

- K i h y i è ,

f

t

\

1

rx+2uJi

■ = - ( --- l --- I (p(ç) + c)2dç.

Donc, r x + 2 u / i j ) _ T ^ rX i/jid X = - T ^ r 4~ ^ J (p (^ ) + CY ^ - (2.23) De m anière semblable, — ^ t A ifj2d \ = - ( — r - 4 r

f

( p (ç ) + c f d q (2.24) J a T ~ T \ T - T J

4cJl

J x

i r j x

(pw+c)2*

<2-25>

i ^

AlMA = - ( r b ) s b /

(*

jm

+c)2*

(2-26)

ll ^ ldX = ~t l{ y ^ r ) ^ h J

(p (ç ) + c)2d<, (2.27) t 4 j ) îl>id\ = - U J (p (ç ) + c)2dç. (2.28)

D ’après les équations (2.23). à (2.28) nous pouvons réécrire (2.22) comme

Y + C

2tl + h { { r = i ) Té - f

+ m

T \ 2 1 r x+2u,i t -T — -T J 4i -i r x + Z u i i - / < * ) + «)’ ■j rx+-ZUJi ________ = / ( P(s) + c) dç -’W 1 v / x

(

r \ 2 1 f x +2ui2 / _ \ 2 1 r x + 2 u J 2______________„

— r )

4 Ï

J,

<•*> + *>’* + ( t = t ) ^

l

<*> + ') *

r A 1 rx + 2 u > 2 t x [ = - r ) —

J

(p (ç ) + c)2* + T — T J 2u)\ -r \ I /■X+20J1 \ • ' ' ' ° ' (2.29) n r x + l u i i J - . / , ( ^ ) + ' ) “ *

D ’après la p ro p o sitio n 1.20 / — p ( z ) d z = 2 t ) i J a et / - p ( z ) d z = 2772 Jb

où rji =

C('!x;i)

et V2 =

C(w

2

) et

grâce à l ’é quation (1.10) et l ’id e n tité de Legendre (Théorème 1.22) nous pouvons réécrire (2.29)

F _{1^2 "t” z h T Tr- .} C o C 9 1

4 4 27rz — — - —: ^4^2^71 + t 4l§C2i t i

(2.30)

En considérant r t \ — t 4 nous pouvons e xp rim e r c en termes de coordonnées plates, en effet, r t i t i = t 2 Vi r - r w i

+

t t r/i _m r t ]2

1

---T C r T UJi T Uli T OJ j d ’où , . U , t m , r 771 c — — F + — + = --- 1--- --- 1 m r 1 772 r t — t lu1 t — t üj1 r — t c j i t — t r = - h + t 4 T 1 + t 2 r ? i + t 5 r ç i - t 2 T 1 ? 7 2 - 1 » 7 2 -(2.31) (2.32)

La valeur de l ’intégrale de la fon ctio n p sur les cycles fermés non triv ia u x est donnée p ar les équations (1.7) et (1.8), donc