9
Exemples d’utilisation d’un repère
22
Leçon
Niveau Première S, Terminale S, BTS
Prérequis définition d’un vecteur, base de la géométrie
Références [62], [62], [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69]
22.1
Définition d’un repère
22.1.1 Droite graduée
Définition 22.1 — Droite graduée. Pour graduer une droite, on prend sur cette droite un point O appelé origine et le représentant d’un vecteur #»ı passant par O qui définit l’unité : on parle du repère(O, #»ı).
Propriété 22.2 Sur une droite graduée par le repère (O, #»ı), à tout point A correspond un unique nombre x appelé abscisse de A.
On a : # » OA= x · #»ı et on note A(x). Exemple 22.3 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 A B C #» ı O
— L’abscisse du point A est2. — L’abscisse du point B est −3. — L’abscisse du point C est −1.
22.1.2 Repérage dans le plan
Définition 22.4 — Repérage dans le plan. Pour munir le plan d’un repère, on prend dans ce plan un point O appelé origine et les représentants de deux vecteurs #»ı et #» passant par O qui définissent les unités respectivement « horizontales » et « verticales ». Ainsi le triplet(O, #»ı, #») forme un repère du plan.
Propriété 22.5 Dans le plan muni du repère(O, #»ı, #»), à tout point A correspond un unique couple (x, y) de nombres appelés coordonnées de A. On a :
# »
OA= x · #»ı + y · #»
et on note A(x, y) ou A(x; y).
Définition 22.6 — Vocabulaire. — x est l’abscisse de A ; — y est l’ordonnée de A ;
— la droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses et celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées.
Exemple 22.7 −3 −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 0 A B
C — Les coordonnées de A sont (+1, +1). Son
abscisse est+1, son ordonnée est +1. On note A(1, 1).
— Les coordonnées de B sont (−2, −1). Son abscisse est −2, son ordonnée est −1. On note B(−2, −1).
— Les coordonnées de C sont(−1, 3). Son abs-cisse est −1, son ordonnée est 3. On note C(−1, 3).
Définition 22.8 — Repère orthogonal et repère orthonormal. Un repère dont les axes sont perpendi-culaires est dit orthogonal.
Un repère orthogonal tel que les normes des vecteurs #»ı et #» soient chacune égales à1 est dit orthonormé ou repère orthonormal.
22.1.3 Repère dans l’espace
Définition 22.9 — Repérage dans l’espace. Pour munir l’espace d’un repère, on prend un point O appelé origine et les représentants de trois vecteurs #»ı, #», #»k passant par O qui définissent les unités
et les directions, respectivement « gauche-droite », « avant-arrière » et « verticale ». Le quadruplet (O, #»ı, #»,#»
k) forme un repère dans l’espace.
Propriété 22.10 Dans l’espace muni du repère(O, #»ı, #»,#»
k), à tout point A correspond un unique
triplet(x, y, z) de nombres appelés coordonnées de A. On a : # »
OA= x · #»ı + y · #» + z ·#»k
et on note A(x, y, z) ou A(x; y; z).
Définition 22.11 — Vocabulaire. — x est l’abscisse de A ; — y est l’ordonnée de A ;
— z est la cote de A ;
— la droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses ; — la droite sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées ; — la droite sur laquelle on lit les cotes est appelée axe des cotes.
Exemple 22.12 x y z A B
— Les coordonnées de A sont(1, 1, 2). — Les coordonnées de B sont(−1, 2, −1).
Définition 22.13 — Repère orthogonal, orthonormal. Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal.
Un repère orthogonal dont les normes des vecteurs #»ı, #» et #»k sont chacune égales à1 est dit
orthonormé, ou repère orthonormal.
22.1.4 Compléments : base orthonormale
Définition
Définition 22.14 Soit En un espace vectoriel de dimension n, où n est un entier naturel, et B =
(#»e1,e#»2, . . . ,e#»n) une base de En. On dit que B est orthonormale si et seulement si :
— k#»e1k = ke#»2k = . . . = ke#»nk = 1 ;
— pour tout i 6= j, #»ei ⊥e#»j.
Définition 22.15 Soit Anun espace affine euclidien associé à l’espace vectoriel euclidien Enet O un
point quelconque de An, alors le repère R = (O, #»e1,e#»2, . . . ,e#»n) est dit orthonormal si et seulement
si sa base associée B = (#»e1,#»
e2,· · · ,#»
en) est elle-même orthonormale.
Calculs dans une base orthonormée
Propriété 22.16 Soit B = (#»e1,#»
e2, . . . ,#»
en) une base orthonormale de En.
1. La décomposition d’un vecteur de Endans cette base est donnée par :
∀#» x ∈ En, #»x = n X i=1 h#» ei,#»xie#»i.
2. L’expression du produit scalaire de deux vecteurs de Enest alors donnée par :
∀#» x ,#»y ∈ En, h#»x ,#»yi = n X i=1 h#» ei,#»xi he#»i,#»yi .
3. L’expression du carré de la norme d’un vecteur de Enest donc : ∀#»x ∈ En, k#»xk2 = n X i=1 he#»i,#»xi2.
Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille B = (#»
e1,e#»2, . . . ,e#»n) soit une base orthonormale de En.
Procédé de Gram-Schmidt
Théorème 22.17 — Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soit (E, h·, ·i ) un espace euclidien et (x1, . . . , xp) une famille libre de vecteurs. Alors, il existe une famille orthonormale (e1, . . . , ep)
unique telle que :
1. pour tout1 ≤ k ≤ p, Vect(e1, . . . , ek) = Vect(x1, . . . , xk) ;
2. pour tout1 ≤ k ≤ p, hek, vki > 0.
Méthode 22.18 Soit(E, h·, ·i ) un espace euclidien de dimension n, puis (x1, x2, . . . , xn) une base
de E. On va construire à partir de la famille libre(x1, . . . , xn) une famille orthonormale (e1, . . . , en)
de E qui sera donc une base orthonormale. L’algorithme est le suivant :
1. poser e1 = kxx11k ;
2. une fois les vecteurs e1, e2, . . . , ekcalculés, chercher le vecteur ek+1sous la forme : ek+1=
α1e1+ α2e2+ · · · + αkek+ βxk+1; pour trouver les constantes :
— calculer hek+1, eji = 0 pour tout 1 ≤ j ≤ k, pour obtenir αj en fonction de β ;
— calculer hek+1, ek+1i = 1 pour obtenir β2;
— prendre β >0 grâce à hek+1, xk+1i > 0 : on a β puis tous les αj.
22.2
Utilisation de repères
22.2.1 Géométrie analytique
Norme d’un vecteur, distance entre deux points
Théorème 22.19— Norme d’un vecteur. Si le vecteur #»u a pour coordonnées (x, y) dans le repère
orthonormé(O, #»ı, #») alors sa norme est donnée par : k#»
uk =qx2+ y2
Dv
• Démonstration —On appelle M le point du plan défini parOM# » = #»u. M a alors pour coordonnées(x, y) dans le repère (O, #»ı, #») (qu’on suppose orthonormé).
Soit P le projeté du point M sur l’axe Ox parallèlement à l’axe Oy et Q le projeté du point M sur l’axe Oy parallèlement à l’axe Ox.
Comme le repère (O, #»ı, #») est orthonormé, le parallélogramme OP MQ est un rectangle. Le triangle OMP est donc rectangle en P . Par conséquent, on peut appliquer le théorème de
Pythagore :
OM2= OP2+ P M2= OP2+ OQ2.
Or la distance OM est égale à la norme du vecteur #»u,OP# »= x#»ı etOQ# »= y #», ainsi on a : k#»
uk2= OP# » 2+ OQ# » 2= kx#»ık2+ ky #»k2= |x|2+ |y|2= x2+ y2
Par passage à la racine carrée, on en déduit le résultat du théorème. •
Le théorème précédent permet de calculer la distance entre deux points A(xA; yA) et B(xB; yB).
Elle est égale à la norme du vecteur
# »
AB xB− xA yB− yA
!
.
Théorème 22.20 Dans un repère orthonormé, la distance entre les points A(xA; yA) et B(xB; yB)
est donnée par :
AB= AB# » =q(xB− xA)2+ (yB− yA)2.
Formule du produit scalaire
Définition 22.21 — Produit scalaire. Le produit scalaire des vecteurs #»u et #»v est le réel note h#»u ,#»vi
et défini par : h#» u ,#»vi = 12hk#» u + #»vk2− k#» uk2− k#» uk2i
Théorème 22.22— Produit scalaire et coordonnées dans un repère orthonormé. Si les vecteurs #»u et
#»
v ont pour coordonnées respectives(x y) et
x0
y0
dans un repère orthonormé quelconque alors : h#»u ,#»vi = xx0+ yy0.
Dv
•Démonstration —Comme l’on travaille dans un repère orthonormé, on peut écrire : h#» u ,#» vi =1 2 h k#» u+ #»vk2+ k#»uk2+ k#»vk2i =12p(x + x0)2+ (y + y0)22−px2+ y22−px02+ y022 =12[(x + x0)2+ (y + y0)2− (x2+ y2) − (x02+ y02)] =1 2[x2+ 2xx0+ x02+ y2+ 2yy0+ y02− x2− y2− x02− y02] =12(2xx0+ 2yy0) =1 2 ×2 × [xx0+ yy0] = xx0+ yy0. •
Théorème 22.23 Dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»), la distance entre le point A(xA, yA) et la
droite D dont une équation cartésienne est ax + by + c = 0 est donnée par :
d(A; D) = |axA√+ byA+ c|
a2+ b2 .
Dv
•Démonstration —Soit A0le projeté orthogonal de A sur la droite D. On sait que : d(A; D) = AA0.
Si D a pour équation ax + by + c = 0 alors son vecteur normal #»n a pour coordonnées(a b).
Ce dernier vecteur est colinéaire au vecteurAA# »xA0−xA
yA0−yA
. On peut donc écrire les égalités suivantes :
D#»
n ,AA# »0E= ±[pa2+ b2] × AA0
= a(xA0− xA) + b(yA0 − yA) = axA0+ byA0− axA− byA= −[axA+ byA+ c].
On peut supprimer ± en passant par les valeurs absolues, cela donne : p a2+ b2× AA0= |axA+ byA+ c| ⇔ AA0= | axA+ byA+ c| √ a2+ b2 . •
Exemple 22.24 Soit A(−2, 4), B(5, 1) et C(2, −2) dans le repère orthonormé (O, #»ı, #»). On
cherche la distance du point C par rapport à la droite(AB).
−2 −1 1 2 3 4 5 6 −2 −1 1 2 3 4 5 0 A C B
Dv
Déterminons une équation cartésienne de la droite(AB). M(x, y) appartient à la droite (AB) si et seulement les vecteursAM# »etAB# »sont colinéaires. Ainsi, on trouve une équation cartésienne
de(AB) (en exercice) : 3x − 7y + 34 = 0. On applique la formule précédente :
d(C; (AB)) = |3xpC3− 7y2 C+ 34|
+ (−7)2 = |3 × 2 − 7 × (−2) + 34|√9 + 49 =
6 + 14 + 34
√58 = √58.54 Équation d’un cercle
Théorème 22.25 Dans un repère orthonormé, tout cercle C admet une équation cartésienne de la
forme
x2+ y2+ ax + by + c = 0
où a, b et c sont trois réels.
Dv
•Démonstration —Soit I(α, β). On considère le cercle C de centre I et de rayon r. Un point M(x, y) appartient au cercle C si et seulement si IM = r. Cela se traduit par l’équivalence suivante :
M(x, y) ∈ C ⇔ IM = r ⇔p(x − α)2+ (y − β)2= r ⇔ (x − α)2+ (y − β)2= r2
⇔ x2− 2αx + α2+ y2− 2βy + β2= r2 ⇔ x2+ y2− 2αx − 2βy + α2+ β2− r2= 0.
Si on pose a= −2α, b = −2β et c = α2+ β2− r2, on obtient une équation cartésienne du
cercle C. •
On va maintenant déterminer à quelle condition l’équation cartésienne x2+ y2+ ax + by + c = 0
se rapporte-elle à un cercle.
Dv
On appelle E l’ensemble des points M(x, y) vérifiant x2+ y2+ ax + by + c = 0.
M(x, y) ∈ E ⇔ x2+ y2+ ax + by + c = 0 ⇔ x+a 2 2 − a 2 2 +y+ b 2 2 − b 2 2 + c = 0 ⇔ x+a 2 2 +y+ b 2 2 = a42 +b4 −2 c. De là, il faut savoir si a2 4 +b 2
4 − c peut être le carré d’un rayon. Pour cela, il faut distinguer trois
— Si la quantité a2
4 +b
2
4 − c est négative alors la dernière équation devient :
M(x; y) ∈ E ⇔ IM2 = a
2
4 +
b2
4 −c <0.
Or, un carré n’est jamais négatif. Aucun point M ne peut la satisfaire. L’ensemble E se résume à l’ensemble vide.
— Si le second membre a2
4 +b
2
4 − c est nul alors l’équivalence devient :
M(x, y) ∈ E ⇔ IM2 = 0 ⇔ IM = 0.
L’ensemble E se résume au seul point I(−a
2; −b2).
— Si la quantité a2
4 +b
2
4 − c est positive alors elle est le carré de sa racine. Donc :
M(x, y) ∈ E ⇔ IM2 = a 2 4 + b2 4 −c ⇔ IM = s a2 4 + b2 4 −cou IM = − s a2 4 + b2 4 −c
Or, un la distance IM ne peut pas être négative. Ainsi, M ∈ E si et seulement si la distance entre I et M est deqa2
4 +b42 − c donc E est le cercle de centre I
−a 2; −b2 et de rayon q a2 4 +b 2 4 − c.
Théorème 22.26 Pour qu’une équation cartésienne de la forme x2+ y2+ ax + by + c = 0 soit celle d’un cercle C, il faut et il suffit que la quantité a2
4 +b
2
4 − c soit positive (ou nulle).
Le cercle C a pour centre le point I−a2; −b2et pour rayonqa2
4 +b42 − c.
22.2.2 Recherche de lieux
Exemple 22.27 Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et BC = 2. On détermine
l’ensemble E des points M du plan vérifiant l’équation :
3AM2− 4BM2+ 2CM2.
A B
C
Dv
Pour trouver l’ensemble E de manière analytique, nous allons nous placer dans le repère non or-thonormé(A,# »
A B C
Comme le repère choisi n’est pas orthonormé, la formule des normes de vecteurs ne s’applique pas. On détermine une autre formule. Si le vecteur #»u a pour coordonnées(x; y) dans le repère
(A,# »
AB,AC# ») alors :
#»
u = xAB# »+ yAC.# »
La norme d’un vecteur est égale à la racine carré de son carré scalaire. Ainsi : k#» uk =qh#» u ,#»ui =rDxAB# »+ yAC, x# » AB# »+ yAC# »E= r x2 AB# » 2+ 2xyDAB,# » AC# »E+ y2 AC# » 2 Or : kABk2 = AB2 = 16 et kACk2= AC2= 9. Reste à calculer le produit scalaireDAB,# » AC# »E:
D# »
AB,AC# »E=D−BA,# » AC# »E= −DBA,# » AC# »E
= −12 BA# »+AC# » 2− BA# » 2− AC# » 2
= −12[22− 42− 32] = −12[4 − 16 − 9] = −12(−21) = 10, 5. Ainsi, la norme du vecteur vvu(x; y) dans le repère (A;# »
AB,AC# ») est donnée par :
k#»
uk =q16x2+ 21xy + 9y2.
Soient M(x, y) et I(a, b) dans (A;# »
AB,AC# »). Le carré de la distance IM est donné par : IM2 = IM# » = k(x − a; y − b)k2
=q16(x − a)2+ 21(x − a)(y − b) + 9(y − b)22
= 16(x2− 2ax + a2) + 21(xy − bx − ay + ab) + 9(y2− 2by + b2)
Ainsi, on peut décrire tous les points M(x; y) de l’ensemble E.
M(x, y) ∈ E ⇔ 3AM2− 4BM2+ 2CM2= 26
⇔ 3 AM# » 2− 4 BM# » 2+ 2 CM# » 2= 26
⇔3(16x2+21xy+9y2−4(16(x−1)2+21(x−1)y+9y2)+2(16x2+21x(y−1)+9(y−1)2=26
⇔ · · ·
⇔ 16x2+ 86x + 9y2+ 48y + 21xy − 72 = 0.
L’équation16x2+86x+9y2+48y+21xy−72 = 0 semble être une équation cartésienne d’un
cercle. Il faut en déterminer les coordonnées du centre et son rayon. La formule donnant IM2 va nous être utile, ici.
IM2= 16x2+ 9y + 21xy + 86x + 48y − 72 = 0
= 16x2+ 9y + 21xy + (−32a − 21b)x + (−21a − 18b)y − 72 = 0
Les coordonnées(a, b) du centre I de notre cercle sont les solutions du système 2 × 2 suivant :
(
−32a − 21b = 86 −21a − 18b = 48 Après calculs, on trouve a= −4 et b = 2. Ainsi :
M(x, y) ∈ E ⇔ 16x2+ 9y2+ 21xy + 86x + 48y − 72 = 0
⇔ IM2− [16 × (−4)2+ 21 × (−4) × 2 + 9 × 22] − 72 = 0 ⇔ IM2− 124 − 72 = 0 ⇔ IM2= 196 ⇔ IM = 14.
Conclusion : l’ensemble E est le cercle de rayon 14 et de centre le point I défini par : # »
AI = −4AB# »+ 2AC.# »
22.2.3 Équations de droites, équations de plans
Colinéarité et coplanéarité
Définition 22.28 — Colinéarité. On dit que deux vecteurs #»u et #»v sont colinéaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β non tous deux nuls tels que :
α#»
u + β #»v = #»0 .
Définition 22.29 — Coplanéarité. Trois vecteurs #»u, #»v et #»wsont coplanéaires si il existe trois réels α, β et γ non tous nuls tels que :
α#»u + β #»v + γ #»w= #»0 .
Exemple 22.30 Quatre points distincts A, B, C et D appartiennent à un même plan si les vecteurs
# »
AB,AC# »etAD# »sont coplanaires.
Dv
Soit D la droite de l’espace passant par A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB). Un point M(x, y, z) de
l’espace appartient à la droite(AB) si et seulement si les vecteurs # »
AM etAB# »sont colinéaires, on obtient donc : x− xA xB− xA = y− yA yB− yA = z− zA
zB− zA (si aucun des trois réels au dénominateur n’est nul).
Si D eset donnée par un point A(xA, yA, zA) et par un vecteur directeur #»v(a, b, c), alors on
peut écrire les trois égalités suivantes :
x− xA= ka y− yA= kb z− zA= kc .
Si aucun des trois réels a, b, c n’est nul, on peut écrire :
x− xA a = y− yA b = z− zA c .
Il s’agit des équations de D lorsque cette droite n’est pas parallèle à l’un des plans de coordonnées.
Propriété 22.31 Soit D une droite de l’espace définie par un point A(xA, yA, zA) et par un vecteur
directeur #»v(a, b, c).
— Si a 6= 0, b 6= 0 et c 6= 0 alors D n’est parallèle à aucun plan de coordonnées, ses équations peuvent s’écrire : x− xA a = y− yA b = z− zA c .
— Si a = 0, b 6= 0 et c 6= 0 (il en est de même si b = 0 ou c = 0) alors D est parallèle au plan d’équation x= 0, ses équations peuvent s’écrire :
( x= xA y−yA b = z−zA c .
— Si a= 0, b = 0 et c 6= 0 (il en est de même si a = 0 et c = 0 ou b = 0 et c = 0) alors D est parallèle à l’axe Oz, ses équations peuvent s’écrire :
x= xA y= yA z= zA+ tc (t ∈ R) .
Exemple 22.32 Donner les équations de la droite D passant par A(−3, 1, 4) et B(2, 3, 1). Dv
Les équations de D peuvent s’écrire : x+ 3 5 = y− 1 2 = z− 4 −3 ou ( x+3 5 = y−12 y−1 2 = z−3−4 ⇔ ( 2x + 6 = 5y − 5 2z − 8 = −3y + 3 ⇔ ( 2x − 5y + 11 = 0 3y + 2z − 11 = 0 Équations de plans On admet que :
Théorème 22.33 Tout plan de l’espace rapport à un repère(O, #»ı, #»,#»k) admet une équation
carté-sienne du type :
ax+ by + cz + d = 0.
Méthode 22.34— Méthode d’obtention de l’équation cartésienne d’un plan. Soit un plan P défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires #»u et #»v de ce plan.
Tout point M du plan P est tel queAM# »= λ#»u + µ#»v.
Cette égalité permet en utilisant les coordonnées(x, y, z) de M, celles de A et les composantes de #»u et #»v d’obtenir trois équations.
Exemple 22.35 On cherche l’équation du plan P défini par A(1, 0, 1) et les vecteurs #»u(2, −1, 1) et
#» v(1, 1, 2). Dv L’équationAM# »= λ#»u + µ#»v donne : x− 1 = 2λ + µ (1) y= −λ + µ (2) z− 1 = λ + 2µ (3) . En additionnant(2) et (3), on obtient : 3µ = y + z − 1 ⇔ µ = 13(y + z − 1). En soustrayant(2) et (1), on obtient : 3λ = x − y − 1 ⇔ λ = 13(x − y − 1). En replaçant λ et µ par ces valeurs dans(2), on obtient :
y = 1
3(x − y − 1) +13(y + z − 1) ⇔ 3y = −x + y + 1 + y + z − 1. Ainsi : x+ y − z = 0. Cette équation est une équation cartésienne de P.
22.3
Fonctions et changement de repère
Exemple 22.36 On considère la fonction f définie par f(x) = 4x3 − 12x2+ 9x et on note C sa
représentation graphique par rapport à un repère orthonormal(O, #»ı, #»).
On note A le point de C d’abscisse 1. Démontrer qu’une équation de C dans le repère (A, #»ı, #»)
est Y = 4X3− 3X.
Dv
Calculons tout d’abord les coordonnées du point A(1, f(1)).
f(1) = 4 × 13− 12 × 12+ 9 × 1 = 1.
Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) dans (O, #»ı, #») et de coordonnées (X, Y ) dans (A, #»ı, #». On sait, d’après la relation de Chasles que :
# »
OM =OA# »+AM ,# »
on peut donc obtenir une relation entre les coordonnées de M dans (O, #»ı, #») et celles dans (A, #»ı, #») :
(
x= 1 + X y= 1 + Y
On remplaces ensuite x et y dans y = 4x3− 12x2+ 9x par leur valeur en fonction de X et Y :
1 + Y = 4(1 + X)3− 12(1 + X)2+ 9(1 + X)
⇔ Y = 4(1 + 3X + 6X2+ 3X + 1) − 12(X2+ 2X + 1) + 9 + 9X − 1 ⇔ Y = 4 + 12X + 24X2+ 12X + 1 − 12X2− 24X − 12 + 9 + 9X − 1 ⇔ Y = 4X3− 3X.
22.4
Système de coordonnées
Définition 22.37 Un système de coordonnées est une correspondance entre chaque point d’un espace à N dimensions et un N-uplet de scalaires.
L’exemple le plus connu est les coordonnées cartésiennes que l’on a vu dans toute la leçon mais il en existe plusieurs en mathématiques.
Exemples 22.38 1. Lescoordonnées polaires décrivent la position d’un point P (r, ϕ) du plan
par sa distance r par rapport à l’origine et l’angle ϕ entre l’axe des abscisses et le segment [OP ]
2. Lescoordonnées cylindriques décrivent la position d’un point P (ρ, φ, z) de l’espace par le rayon du cylindre ρ ≥ 0, la distance entre le point et l’axe des z.
3. Lescoordonnées sphériques décrivent la position d’un point P (r, ϑ, ϕ) à l’aide de r = OP ,
ϑl’angle entre l’axe polaire (axe des z positifs) et[OP ] et ϕ l’angle entre l’axe des x positifs et la projection de[OP ] sur le plan (x, y).
22.5
Coordonnées géographiques
Pour se repérer sur la Planète de Terre, les scientifiques ont inventés un système de coordonnées : — la latitude : une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d’un point sur Terre. — la longitude : une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d’un point sur
Terre.
— le niveau de la mer.
FIGURE22.1 – Latitude, longitude
22.6
Et sans repère orthonormé. . .
Que se passe-t-il pour les équations cartésiennes de droite et de cercle si le repère n’est pas ortho-normé ?
On se place dans un repère(O, #»ı, #») non orthonormé dont la norme du vecteur #»ı est 7 et celle du vecteur #» est de5. La distance OA est égale à√116 = 2√29.
22.6.1 Norme de vecteurs
Soit #»u un vecteur de coordonnées(xy), on a alors : #»u = x#»ı+y #». On développe le carré scalaire :
k#»
uk2 = h#»u, #»ui = h(x#»ı + y #»), (x#»ı + y #»)i = kx#»ık2+ 2 hx#»ı, y #»i + ky #»k2 = x2k#» ık2+ 2xy h#»ı, #»i + y2k#»k2. Calculons k#»ık2 = 72 = 49, k#»k2= 52= 25 et : h#»ı ,#»i = 1 2 k#»ı + #»k2− k#»ık2− k#»k2 = 12[√1162− 72− 52] = 12[116 − 49 − 25] = 12 ×42 = 21. On a ainsi : k#» uk2 = 49x2+ 42xy + 25y2 et en prenant la racine carrée :
k#»
uk =q49x2+ 42xy + 25y2.
La distance AB peut être calculé grâce au résultat précédent. Le vecteurAB# »ayant pour
coordon-nées(1, 1), on peut écrire :
22.6.2 Équation du cercle C
On cherche une équation du cercle C de centre B(2; 2) et passant par A(1; 1) dans le repère (O, #»ı, #»). Un point M appartient au cercle C si la distance BM est égale à AB.
M(x, y) ∈ C ⇔q49(x − 2)2+ 42(x − 2)(y − 2) + 25(y − 2)2=√116
⇔ 49(x − 2)2+ 42(x − 2)(y − 2) + 25(y − 2)2= 116
⇔ 49[x2− 4x + 4] + 42[xy − 2x − 2y + 4] + 25[y2− 4y + 4] = 116
⇔ 49x2− 196x + 196 + 42xy − 84x − 84y + 168 + 25y2− 100y + 100 = 116 ⇔ 49x2+ 25y2+ 42xy − 280x − 184y + 348 = 0.
Conclusion : une équation cartésienne du cercle C est :
49x2+ 25y2+ 42xy − 280x − 184y + 348 = 0.
On place le point D de coordonnées(3; 3). Vérifions qu’il appartient au cercle C : 49x2
D+ 25yD2 + 42xDyD− 280xD− 184yD+ 348
= 49 × 32+ 25 × 32+ 42 × 3 × 3 − 280 × 3 − 184 × 3 + 348
= 441 + 225 + 378 − 840 − 552 + 348 = 1392 − 1392 = 0. 22.6.3 Produit scalaire
On considère deux vecteurs #»u(xy) et #»v
x0 y0
dans le repère(O, #»ı, #»). On a donc les relations vectorielles suivantes :
#»
u = x#»ı + y #» et #»v = x0#»ı + y0#» .
On peut ainsi calculer le produit scalaire h#»u ,#»
vi.
h#»
u ,#»
vi = h(x#»
ı + y #»), (x#»ı + y #»)i = 49xx0+ 21xy0+ 21x0y+ 25yy0.
22.6.4 Conclusion finale
Théorème 22.39 Soit un repère(O, #»ı, #») quelconque. Notons :
a= k#»ık2, b= h#»ı, #»i et c = k#»k2.
1. L’expression de la norme du vecteur #»u(xy) est :
k#»
uk =qax2+ 2bxy + cy2
2. L’expression du produit scalaire des vecteurs #»u(xy) et #»v x0 y0 est : h#»
u ,#»vi = axx0+ b(xy0+ yx0) + cyy0.
3. Toute équation cartésienne d’un cercle est de la forme :
On retrouve les résultats précédents pour des repères orthonormés. En effet, quand un repère est orthonormé, a= c = 1 et b = 0.
22.7
Autres pistes proposées par Armelle sur LCM2013
Armelle (26/02/2013 — 19 :28 :45) Bonjour,
Je suis en train de monter la même leçon. J’avais deux idées supplémentaires derrière la tête :
— l’utilisation de repère se fait dès le collège, dès la 6è même avec les nombres déci-maux sur l’axe des abscisses ; le cercle trigo est un autre exemple de repère.
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