Approximation biharmonique et morphismes biharmoniques

NIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc

Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

N° d’ordre 2350

THÈSE DE DOCTORAT D’ETAT

Présentée par

Mustafa CHADLI

Discipline : Mathématiques pures

Spécialité : Théorie du Potentiel

Titre :

APPROXIMATION BIHARMONIQUE

ET

MORPHISMES BIHARMONIQUES

Soutenue le 13 Juillet 2007

Devant le jury

Président :

Awatif SAYAH

Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat.

Examinateurs :

Mohamed EL KADIRI

Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat.

Belmesnaoui AQZZOUZ

Professeur à la Faculté des Sciences

Economiques, Juridiques et Sociales, Salé.

Hassan EL AMRI

Professeur à l’Ecole Normale Supérieure,

Casablanca.

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Avant Propos

Cette thèse a été effectuée au sein de Département de Mathématiques et Informatique de la Faculté des Sciences de Rabat, sous la Direction du Professeur Mohamed EL KADIRI.

Au terme de ce travail je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon Directeur de thèse Monsieur M. El KADIRI, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat, Université Mohamed V, Agdal. Sa compétence, sa disponibilité et ses qualités humaines ont été d'une grande importance pour la définition et l'orientation de cette thèse.

J'adresse mes vifs remerciements à Madame A. SAYAH, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat, Université Mohamed V, Agdal de m'avoir fait l'honneur de présider mon jury de thèse.

Tous mes remerciements vont aussi à Monsieur B. AQZZOUZ, Professeur à la faculté des Sciences Juridiques, Sociales et Economiques de Salé, d'avoir accepté d’être mon rapporteur de thèse, aussi de m'avoir honoré par sa présence parmi les membres de jury.

Que Monsieur H. EL AMRI, Professeur à l'Ecole Normale Supérieure de Casablanca, trouve ici l'expression de ma gratitude pour l'intérêt qu'il a porté à ma thèse et de son accueil toujours chaleureux.

Je remercie Z.E. ABDELLAH, Professeur Habilité à la faculté des Sciences de Rabat, Université Mohamed V, Agdal de m'avoir honoré par sa présence parmi les membres de jury.

Je dédie ce travail à la mémoire de Mon Père Feu Hadj CHADLI SALAH

IBN BATTOUL.

Tables des Matières

Avant propos

Introduction

Chapitre 1 : Problème d’élasticité

1 Problème spatial………2

2 Problème plan………...3

3 Flexion de lames………...6

4 Equilibre de la plaque encastrée……….10

5 Conclusion………..11

6 Référence………12

Chapitre 2 : Fonctions Polyharmoniques Classiques

2 Propriétés locales……….3

2.1 Généralisation du théorème de Gauss et sa réciproque……….3

2.2 Formule d.Almansi………8

2.3 Fonctions sousharmoniques et surhamoniques………10

3 Domaines non bornés……….12

3.1 Inégalités fondamentales……….12

3.2 Suites de fonctions polyharmoniques………..15

3.2.1 Propositions préliminaires………15

3.2.2 Extension du premier théorème de Harnak………...15

3.2.3 Extension des théorèmes de M.Paul Montel……….16

4 Les problèmes de frontière pour les fonctions polyharmoniques………...17

4.1 Formule généralisée de Green………..17

4.2 Formule de Boggio………...18

4.3 Problème de Riquier……….19

4.4 Fonction de Green d.ordre p de second espèce………20

4.5 Cas des boules………..22

4.5.1 Cas biharmonique………..22

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Chapitre 3 : Espace Harmonique et Espace Biharmonique

1 Axiomatique des fonctions harmoniques………..2

1.1 Les axiomes. Fonctions harmoniques………2

1.2 Quelques conséquences de l.axiome de convergenc (3) de M. Brelot...3

1.3 Applications………...4

2 Axiomatique des fonctions biharmoniques………...6

3 Fonction hyperharmonique pure d’ordre 2………...9

4 Références………...10

Chapitre 4 : Approximation Uniforme Des Fonctions Continues sur un

Ensemble Compact K de R

Par Des Fonctions

Biharmoniques auVoisinage de K

2 Mesures biharmoniques………2

3 Fonctions .nement biharmoniques………5

4 Approximation des fonctions continues par des fonctions biharmoniques……..7

5 Remarques et conclusion………10

6 Références………..11

Chapitre 5 : Approximation Biharmonique Globale dans

un Ouvert de R

d’une Fonction Biharmonique au

Voisinage d’un Compact

2 Polynômes harmoniques homogènes et fonctions harmoniques dans une intersphère………... 2

3 Polynômes biharmoniques et fonctions biharmoniques dans une intersphère…. 4 4 Approximation par une fonction biharmonique globale………...7

5 Références...………..9

Chapitre 6 : Morphisme Biharmonique

2 Résultats préliminaires………..3

3 Morphisme biharmonique……….7

4 Caractérisation des morphismes biharmoniques propres………10

5 Morphisme biharmonique entre les variétés Riemanniennes………..15

INTRODUCTION

La théorie du potentiel faisait au début partie de la physique mathématique; elle regroupait les études sur l’attraction newtonienne et l’électrostatique.

Sa liaison avec les équations aux dérivées partiellees remonte à Laplace qui a montré qu’en déhors de masses la fonction potentielle (Lagrange, 18e siècle), d’où découlent les forces attracives, satisfait à l’équation di¤érentielle qui porte son nom.

Depuis, elle a exercée une in‡uence profonde sur plusieurs branches des mathé-matiques en posant et résolvant des problèmes di¢ ciles et en suscitant l’introduction ou le perfectionnement des méthodes nouvelles (méthodes variationnelles de Gauss-Dirichlet-Hilbert, balayage de Poincaré, distributions de Schwartz, capacité et théorie des éléments extrémaux de Choquet, etc.

On distinguera en gros deux grandes étapes :

1. Théorie classique

1 Le problème de l’équilibre, consistant de trouver sur un conducteur S (fron-tière d’un ouvert borné !) la distribution d’une masse donnée pour que le potentiel soit constant sur S; elle correspond sur un minimum d’énergie. 2 Le problème de balayage, qui consiste à partir de masses sur ! à en trouver

d’autres sur S engendrant le même potentiel dans le complémentaire de !. Il traduit le phénomène d’in‡uence électrostatique, où des masses intérieures à un conducteur relié au sol font apparaitre sur le conducteur des masses dont le potentiel à l’extérieur annule celui des masses intérieures.

3 Le problème de Dirichlet, qui consiste à chercher dans ! une fonction har-monique h, c’est-à-dire h = 0dans ! où est le laplacien, prenant sur la

Cependant, si l’équation u = 0 est liée à la théorie classique du problème du potentiel, l’équation 2_{u = 0 (dite équation biharmonique) est liée aux prblèmes}

de l’elasticité, qui consiste à déterminer en tout point d’un domaine occupé par un corps élastique le vecteur déplacement lors de la déformation de ce corps, comme celui des ‡exion des lames.

Cela nous a incité à présenter dans le chapitre 2 un résumé sur les résultats classiques sur les fonctions harmoniques et leurs extensions au cas des fonctions ployharmoniques tout en insistant sur le cas biharmonique.

Remarquant que les principaux résultats du cas harmonique ont été général-isé au cas polyharmoniques et plus particulièrement au cas biharmonique, notre ré‡exion s’est orienté, dans le cadre classique, au problème d’approximation bi-harmonique.

L’introduction de la topologie …ne dans la théorie du potentiel a permis un développement considérable de la théorie du potentiel et plus particulièrement à la théorie des fonctions …nement harmoniques.

En e¤et, la théorie des fonctions …nement harmonique due à B. Fuglede [5] a été introduite moyennant la notion du balayge des mesures sur un espace harmonique, cette dernière qui a permis de dé…nir la mesure harmonique !

x relative à un ouvert

…n et un point x 2 !. Cette mesure n’est rien d’autre que la balayée de la mesure de Dirac "x sur le complémentaire de !:

L’intérêt de cette théorie apparaît aussi dans le problème d’approximation des fonctions continues sur un compact K de Rn. Le premier travail réalisé dans ce cadre a été réalisé par Débiard et Gaveau [3] :

2. Théorie axiomatique

La théorie classique du potentiel a permis de dégager trois principes de base desquels on peut déduire une grande partie des résultats connus : le problème de Dirichlet, le principe du minimum et la propriété de convergence. Ces principes sont véri…és aussi par d’autres équations comme celles de la solution de l’équation de la chaleur ou encore par les équations linéaires du second ordre elliptiques ou paraboliques. Ainsi, on est arrivé à développer une théorie axiomatique du poten-tiel (M. Brelot, H. Bauer, C. Constantinescu-A. Cornea) qui, grâce à leur général-ité, nous permettent d’aller plus loin dans l’étude des équations aux dérivées partielles et d’approfondir di¤érents résultats et aussi d’en découvrir d’autres.

2.1. Théorie axiomatique des fonctions harmoniques

Si l’équation u = 0est liée à la théorie classique du potentiel, des développe-ments analogues peuvent être associés à des équations de type plus général. Cette idée a donné naissance aux théories axiomatiques du potentiel qui permettent de retrouver des résultats connus et de poser et résoudre des problèmes nouveaux.

En 1949, C. Tautz a pensé à étendre l’intégrale de Poisson et les fonctions har-moniques et surharhar-moniques dans un cadre général, mais il s’est contenté d’utiliser la topologie euclidienne.

En 1954; J. L. Doob a repris cette idée de façon plus générale par une approche probabiliste en vue d’appliquer la théorie aux équations elliptiques et paraboliques.

En 1957-58, M. Brelot, modi…ant et restreignant les axiomes de Doob a développé une théorie ne s’appliquant plus à l’équation de la chaleur, mais permettant des développements considérables complétés et poursuivis par R. M. Hervé. C’est à partir de ce moment que s’ouvre une période très active et riche en résultats et liaisons diverses.

D’autre part, H. Bauer reprit en 1962 la question en vue d’une synthèse plus large comprenant les bases des théories précédentes. C’est un progrès important mais elle ne peut aller aussi plus loin que la théorie de M. Brelot, vu les di¤érences essentielles entre le cas elliptique et le cas parabolique, en particulier pour la convergence.

2.2. Théorie axiomatique des fonctions biharmoniques

Ces axiomatiques, ayant été inspirées par les équations linéaires du second or-dre ne s’appliquent pas à des équations simples d’oror-dre plus élevé comme l’équation classique biharmonique 2_{u = ( u) = 0:}

En e¤et, considérons le problème de Riquier du cas classique suivant : 8 < : 2_{u = 0} u = f1 sur @! u = f2 sur @!

S’il existe un couple (u1; u2) dans ! tel que

u1 = u2; u2 = 0 dans ! (1)

et lim

!3x!yuj(x) = fj(y); 8y 2 @! (j = 1; 2);

alors la solution u du problème de Riquier relative aux données frontières f1, f2

est la fonction u = u1.

On est donc amené à considérer les couples (u1; u2) satisfaisant le système (1);

remarquons que ces couples sont compatibles dans le sens que si u1 est nul dans

un ouvert alors u2 l’est aussi.

Ceci a mené E. P. Smyrnelis à développer et étudier dans [7] et [8] une théorie axiomatique des fonctions biharmoniques s’appliquant à des équations du type L1L2u = 0; où L1 et L2 sont des opérateurs di¤érentiels du second ordre,

ellip-tiques ou paraboliques.

Une notion importante introduite par ce même auteur par analogie avec la théorie des fonctions harmoniques est la notion de balayée d’un couple de mesures sur un espace biharmonique et par la suite a donnée naissance à une nouvelle théorie dite théorie des fonctions …nement biharmoniques. En e¤et, M. El Kadiri [4]_{, en se plaçant dans un domaine fort de R}n _{(n 2) et moyennant la notion de}

balayée d’un couple de mesures, introduit et dé…nit la notion de couples …nement biharmoniques. Il établit ensuite les principales propriétés comme, le principe du minimum et le problème …n de Riquier par analogie avec le problème de Dirichlet …n.

L’objet, donc, de cette thèse est d’apporter une contribution à l’étude classique et axiomatique, des fonctions biharmoniques. (On rappelle qu’une fonction u sur un ouvert est dite biharmonique si elle véri…e l’équation 2u = 0):

Bien que les recherches actuelles, de plus en plus actives, puisent leur richesse surtout dans les multiples points de vue et méthodes de la théorie classique, qu’il paraît donc nécessaire de connaitre en gros avant d’aborder les axiomatiques mod-ernes. Cela nous a incité à présenter dans le chapitre 2 un résumé sur les résultats classiques sur les fonctions harmoniques et leurs extensions au cas des fonctions ployharmoniques tout en insistant sur le cas biharmonique qui a attiré de bonnes heures l’attention des chercheurs vu son application à la théorie d’élasticité (voir Chapitre 1). L’intérêt de ce chapitre est d’éclaircir le passage du cas harmonique au cas polyharmonique d’une part et du classique aux axiomatiques d’autre part.

Ainsi, en s’inspirant du cas harmonique, on établit dans le chapitre 4 un théorème analogue à celui donné par Debiard et Gaveau [3]. Plus précisement, soit BH(K) l’ensemble restreint à K (K un compact de IRn_{) des fonctions}

bi-harmoniques au voisinage de K muni de la norme :

kfk = sup

x2Kjf(x)j + supx2Kj f(x)j

alors nous montrons que le complété de BH(K) sous la norme k:k est exactement l’espace des fonctions continues sur K qui sont …nement biharmoniques dans K0_et

dont le Laplacien …n dans K0 (K0 étant l’intérieur …n de K ) peut être prolongé continuement à K.

Dans le chapitre 5, nous poursuivons l’étude de ce type d’approximation en vue d’obtenir des résultats plus généraux analogues à ceux du cas harmonique. En e¤et, en ce qui concerne l’approximation harmonique, il est bien connu que tout fonction harmonique au voisinage de K est limite uniforme sur K de fonctions harmoniques sur si _{n K est connexe, où} = _{[ f<g, < étant le point} à l’in…ni du compacti…é d’Alexandro¤ de Rn_{. Ce résultat fut obtenu par J. L.}

Walsh [9] en 1929 dans le cas où _{= R}n_{, et par S. J., Gardiner [6] pour un}

domaine quelconque de Rn. Nous allons établir un résultat analogue dans le cadre des fonctions biharmoniques. Nous obtenons l’approximation uniforme sur K de la fonction biharmonique au voisinage de celui-ci et aussi l’approximation de son Laplacien de la fonction approximante.

Le chapitre 6 a pour but d’étendre la notion des morphismes harmoniques à la la théorie axiomatique des fonctions biharmoniques. Nous rappellons que la théorie axiomatique des fonctions biharmoniques est inspirée de l’équation bihhar-monique 2_{u = 0 a été développé par E. P. Smyrnelis dans [7] et [8] et peuvent}

s’appliquer plus généralement aux équations du type L1L2u = 0, où L1 et L2 sont

ouvert de Rn. Plus précisement nous étudions la notion des morphismes bihar-moniques qui préservent les structures biharbihar-moniques. Nous allons prouver que les morphismes biharmoniques (X; H) et (X0_{; H}0_{) sont exactement des morphismes}

harmoniques associés entre les espaces (X; H) et (X0; H0) et qui agissent conven-ablement sur les noyaux de couplage. A la …n de ce chapitre nous allons donner une caractérisation des morphismes biharmoniques dans le cas classique pour un ouvert de Rn et entre les variétés Riemaniennes.

Aussi, on peut démontrer, selon Bouleau [1] et [2] qu’un espace biharmonique fort est associé un couple de deux processus de di¤usion (Xt)et (Yt)qui sont

eux-même associés aux semi-groupes (Pt) et (Qt). Cette réalité nous permet de

pro-jeter, à l’avenir, une caractérisation stochastique des morphismes biharmoniques.

3. Référence

[1] N. Bouleau, Espaces biharmoniques et couplages de processus de Markov, J. Math. Pures Appl. 58 (1979), 187-204.

[2]N. Bouleau, Thèse de Doctorat d’Etat ès Sciences, Université de Paris VI, 1979.

[3]A. Debiard et Gaveau, Potentiel …n et Algèbre de Fonctions Analytiques, I. J. Funct. Annal 16 (1974), 289-304.

[4]M. El Kadiri, fonctions …nement biharmoniques, Rend Accd Sci XL Mem. Math.Appl (5) 24 (2000) 43-62.

[5] B. Fuglede, Finely harmonic functions, Lectures Notes in Math. 289, Springer, Berlin Heidelberg-New York, 1972.

[6] S. J. Gardinier, Harmonic Approximation, London Mathematical Society, Lecture Note Series 221, Cambridge Unversity Press, 1995.

[7] E;P. Smyrnelis, Axiomatiques des fonctions biharmoniques, 1er section, Ann. Inst. Fourier, 25, 1, (1975) 35-97.

[8] E;P. Smyrnelis, Axiomatiques des fonctions biharmoniques, 2ème section, Ann. Inst. Fourier, 26, 3, (1976) 1-47.

[9] J. L. Walsh, The approximation of harmonic functions by harmonic poly-nomials and harmonic rational functions, Bull. Amer. Math.Soc.(2) 35 (1929), 499-544.

CHAPITRE 1 : PROBLEME

D’ELASTICITE

Table des matières

1 Problème spatial . . . 2

2 Problème plan . . . 3

3 Flexion de lames . . . 6

4 Equilibre de la plaque encastrée. . . 10

5 Conclusion . . . 11

Historiquement, les fonctions biharmoniques classiques (i.e. les solutions de l’équation aux dérivées partielles 2_{u = 0) ont été intéressantes dans l’étude des}

problèmes de l’élasticité [2] qui consiste à déterminer en tout point p d’un corps élastique occupant un domaine D un vecteur u caractérisant un petit déplacement de ce point au cours de la déformation de ce milieu. Dans ce chapitre nous donnons trois exemples expliquant comment ces fonctions apparaissent dans l’étude de ces problèmes et motivant leur étude.

1. Problème spatial

Supposons qu’un corps élastique occupe dans l’espace à trois dimensions un do-maine D délimité par une surface fermé S. Si ce dodo-maine est …ni, nous le noterons D+_{, s’il est illimité, D :}

La résolution du problème de la théorie de l’élasticité consiste à déterminer en tout point x (de coordonnées cartésiennes x1; x2; x3) un vecteur !u (de coordonnées

cartésiennes u1; u2; u3) caractérisant un petit déplacement de ce point au cours de

la déformation du milieu.

Le champ vectoriel !u (x) dé…nit dans le corps le tenseur de petites déforma-tions "ij = 1 2 @ui @xj + @uj @xi (i; j = 1; 2; 3) (1.1)

Ces déformations à leur tour dé…nissent les composantes du tenseur des con-traintes, lesquelles en vertu de la loi de Hooke et dans le cas d’un milieu isotrope peuvent être représentées sous la forme:

ij = ij + 2 "ij; = div!u (1.2)

où et sont les constantes physiques du milieu dites constantes de lamé. Les composantes du tenseur des contraintes véri…ent les équations d’équilibre

@ ij

@xj

= 0 (i; j = 1; 2; 3) (1.3)

On suppose ici que les forces de masse sont absentes.

Substituant dans (1.3) aux contraintes les dérivées du déplacement conformé-ment à la loi de Hooke, nous obtenons les équations dites équations de lamé:

u = u + ( + )grad divn = 0 (1.4) Comme les déformations (il y en a six) représentent les dérivées de trois fonc-tions scalaires, elles sont liées entre elles par les six relafonc-tions di¤érentielles suiv-antes, appelées conditions de compatibilité de Saint-Venant :

8 > > > > < > > > > : 2 @ 2_" ij @xi@xj = @ 2_" ii @x2 j + @ 2_" ii @x2 i (j _{6= i)} @2"ii @xj@xk = @ @xi ( @"jk @xi +@"ji @xk + @"ik @xj ) (i_{6= j 6= k)} (1.5)

2. Problème plan

Considérons le cas où toutes les composantes des contraintes et des déplacements dépendent de deux coordonnées x1 = x et x2 = y seulement, et le déplacement

u3 = w = 0: Il découle immédiatement des égalités (1.1) et (1.2) que les

défor-mations "13 = xz; "23 = yz; "33 = "z et les contraintes 13 = xz; 23 = yz

sont nulles. La troisième équation d’équilibre (1.3), est automatiquement véri…ée, alors que les deux premières prennent la forme

@ x @x + @ xy @y = 0; @ y @y + @ xy @x = 0 (2.1)

Quand "z = 0, la loi de Hooke donne lieu à l’égalité

z = =

2( + )( x+ y): Les relations entre déformations et contraintes deviennent

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : x = ( @u @x + @v @y) + 2 @u @x y = ( @u @x + @v @y) + 2 @v @y xy = ( @u @y + @v @x) (2.2) 3

Toutes les équations de compatibilité des déformations (1.5) sont véri…ées au-tomatiquement. La troisième équation, elle, conduit à la forme

( x+ y) = 0; =

@2 @x2 +

@2

@y2 (2.3)

Considérons un plan dont la normale n soit située dans le plan xy. Les con-traintes sollicitant ce plan seront alors

8 < : xn = xcos(n; x) + xycos(n; y) yn = ycos(n; y) + xycos(n; x) zn = 0 (2.4)

Cet état est réalisé dans les corps cylindriques s’étendant indé…niment dans le sens de l’axe z quand les contraintes extérieures xn et yn ou les déplacements u

et v à la surface sont constants le long des génératrices. Dans le cas d’une étendue …nie le long de l’axe z il faut absolument que le déplacement w et les contraintes tangentielles xz et yz soient nuls sur les bords.

Il est naturel de chercher la solution des problèmes de ce genre dans une section transversale quelconque seulement. Nous introduisons la notation D pour le domaine occupé par la section, celle de L pour le contour délimitant ce domaine. L’état que l’on a décrit s’appelle déformation plane.

Considérons à présent un autre état, dit état plan de contraintes. Soit un cylindre de faible épaisseur. Choisissons les axes de coordonnées de sorte que le plan xy coïncide avec le plan médian du cylindre que nous appellerons dans ce qui suit lame. Supposons que les bords soient libres de contraintes ( z = xz = yz =

0); et que la résultante des contraintes sur la génératrice soit située dans le plan xy. En vertu du principe de Saint-Venant nous admettrons que les contraintes et les déplacements loin du bord se comportent comme si les contraintes xn et yn

étaient distribuées uniformément suivant la hauteur, et les contraintes zn = 0:

Les hypothèses faites permettent de considérer approximativement les con-traintes x; y et xy et les déplacements u et v fonctions des coordonnées x et

y seulement et les contraintes z, xz et yz nulles. Il est évident qu’alors les

équations d’équilibre coïncideront avec les équations (2.1) et les relations entre déplacements et contraintes prendront la forme

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : x = ( @u @x + @v @y) + 2 @u @x y = ( @u @x + @v @y) + 2 @v @y xy = ( @u @y + @v @x) (2.5) avec = 2

+ 2 ; en vertu de quoi l’équation de compatibilité des déforma-tions coïncidera avec l’équation (2.3). Par conséquent, l’état plan de déformation et l’état plan de contrainte se décrivent par les mêmes équations di¤érentielles, di¤érant uniquement par les relations entre contraintes et déformations. C’est pourqoui, par la suite, leur étude sera conduite simultanément (sans préciser le cas).

Donc, la résolution du problème plan se ramène à la résolution du sytème d’équations (2.1) et (2.3). Introduisons la fonction d’Airy U (x; y) au moyen de laquelle les composantes des contraintes s’expriment de la manière suivante :

x = @2_U @y2; y = @2_U @x2; xy = @2_U @x@y (2.6)

Par substitution immédiate nous nous assurons que les deux premières équa-tions du système deviennet identité, alors que la troisième se ramène à l’équation biharmonique @2 @x2 + @2 @y2 2 U (x; y) = 2U = 0 (2.7)

Par conséquent, le problème plan de l’élasticité se ramène à la résolution de l’équation biharmonique (2.7). En vertu de la formule de Coursat (cf. N. Muskhe-lishvili [3]), une fonction biharmonique quelconque dans un domaine D peut être exprimée au moyen de deux fonctions analytiques dans le même domaine :

U (x; y) = Re [z'(z) + (z)] ; (z = x + iy) (2.8) où '(z) et (z)sont des fonctions analytiques dans D.

3. Flexion de lames

Considérons maintenant un corps élastique ayant la forme d’un cylindre de faible épaisseur h. Choisissons comme auparavant le système de coordonnées cartési-ennes x; y; z de telle sorte que les axes x et y soient situés dans le plan médian.

Nous allons faire l’étude d’un cas spécial de déformation de ce corps. Sup-posons l’hypothèse des sections planes réalisée (cf. A. E. H .Love [1] ; [2]). Exam-inons un élément de section de la lame,

parallèle au plan xz (…g 1). Prenons les points A et B disposés sur une même normale au plan médian non déformé, le point A étant situé sur le plan médian même, le point B à la distance z de celui-ci. Ecrivons les déplacements du point B dans les directions des axes x et y :

u = z@w

@x; v = z @w

où w est la dé‡exion du plan médian (et par conséquent ne dépend pas de z). Les déplacements des points du plan médian dans les directions des axes x et y étant exclus, les expressions des déformations (1.1) deviennent :

"x = z @2_w @x2; "y = z @2_w @y2; xy = 2z @2_w @x@y (3.2) Admettons z; yz; xz petites, nous parvenons à la représentation des

com-posantes des contraintes par les dérivées du déplacement w uniquement : 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : x = EZ 1 2 @2_w @x2 + @2_w @y2 y = EZ 1 2 @2_w @y2 + @2_w @x2 xy = EZ 1 + 2 @2_w @x@y (3.3)

Partant de ces relations on peut déterminer les moments de ‡exion et de torsion par unité de longueur d’une section parallèle au plan xz ou yz.

Mx = Z h 2 h 2 xz2dz = E 1 2 Z h 2 h 2 @2_w @x2 + @2_w @y2 zdz (3.4)

Comme w est la dé‡exion du plan médian, nous pouvons ramener l’expression (3.4) à la forme Mx = D @2_w @x2 + @2_w @y2 (3.5) où la constante D = Eh 2

12(1 2₎ est appelée rigidité cylindrique. D’une façon

analogue on obtient 8 > > > > > < > > > > > : My = Z h 2 h 2 yz2dz = D @2w @x2 + @2w @y2 Mxy = Z h 2 h 2 xyz2dz = D (1 ) @ 2_w @x@y: (3.6) 7

Remarquons que les bords de l’élément (Fig.2) sont sollicités par les forces Qx

et Qy déterminées à l0aide des contraintes zx et zy

Qx = Z h 2 h 2 zxdz; Qy = Z h 2 h 2 zydz: (3.7)

La condition d’égalité à zéro de toutes les forces dans la normale entraîne @Qx

@x + @QY

@y + q = 0; (3.8)

où q est la charge transversale. Il résulte par ailleurs de la condition d’égalité à zéro des moments par rapport aux axes x et y les relations

@Mx @x @Myx @y Qx = 0; @Mxy @x @My @y + Qy = 0: (3.9) Des équations (3.9) découlent les représentations des forces tranchantes pour le déplacement w(x; y) : Qx = D @ @x @2_w @y2 + @2_w @x2 ; Qy = D @ @y @2_w @y2 + @2_w @x2 : (3.10)

Portant ces expressions dans l”équation (3.8) nous obtenons pour le déplace-ment w une équation di¤érentielle qui est l’équation fondadéplace-mentale de la théorie des plaques minces en ‡exion, dite équation de Sophie Germain :

2_{w =} q

D (3.11)

Par conséquent, l’absence de charge transversale (q = 0) la résolution du prob-lème de la ‡exion se ramène à une équation biharmonique :

2_{w = 0:}

Il est évident que, dans le cas général également, une solution particulière de l’équation non homogène étant connue, nous sommes conduits à la résolution du problème homogène. Notons w1_{(x; y) la solution particulière correspondante de}

l’équation non homogène et w0(x; y)la solution générale du problème du problème

biharmonique. En vertu de la formule (3.8), représentons la fonction w0(x; y) au

moyen de deux fonctions analytiques '(z) et (z) dans le domaine D occupé par le plan médian de la plaque :

U (x; y) = Re [z'(z) + (z)] ; (z = x + iy)

Utilisons les formules précédentes, nous obtenons la représentation des mo-ments de ‡exion Mx; My; du moment de torsion Mxy; des forces tranchantes Qx

et Qy et des déplacements u et v au moyen des fonctions '(z) et (z):

4. Equilibre de la plaque encastrée.

Le problème de l’équilibre de la plaque encastrée est encore un problème équivalent au point de vue analytique, au problème biharmonique plan [2]. Si l’on désigne par (u; v; w) le déplacement d’un point du plan médian, les conditions de la limite sont

u = 0; v = 0; w = 0; @w @n = 0: Elles donnent

u = 0; v = 0; w = f (x; y);

où f (x; y) est une fonction connue. Il s’agit donc, analytiquement, de déterminer une fonction w, véri…ant l’équation 2_{w = f à l’intérieur d’un domaine D plan,}

de frontière @D, et les conditions

w = @w @n = 0

sur @D. C’est un problème que la formule (41) de Boggio (voir Chap 2) permet de résoudre immédiatement. On obtient

w(x; y) = 1 8

Z

G2(x; y; ; )f ( ; )d d

Le problème de la plaque encastrée se réduit donc à la détermination de la fonction biharmonique particulière u0 pour le domaine considéré.

Au problème de la plaque encastrée se rattache une remarquable intérprétation physique, donnée par T. Boggio à la propriété de symétrie de la seconde fonction de Green. Supposons que la plaque (horizontale) soit soumise à une seule force verticale F , appliquée en un point quelconque P ( ; ) de cette plaque. T. Boggio

montre que le déplacement w; en un point quelconque (x; y) de la plaque, est donné par la formule très simple

w(y) = 1

8 G2(x; y; ; ):F

La propriété de symétrie de G2 conduit donc au résultat suivant :

Le déplacement du point M (x; y), produit par un poids F appliqué en un point P ( ; ); est égal au déplacement du point P , produit par le même poids appliqué au point M .

5. Conclusion

Bien que dans le problème plan une solution a été présentée moyennement la for-mule (2.8), mais elle reste limitée dans le plan et pour des cas particuliers. Cepen-dant, l’évolution rapide du calcul électronique a accru brusquement l’intérêt des chercheurs envers les méthodes numériques universelles destinées à la résolution des problèmes de la théorie de l’élasticité. Outre les méthodes universellement admises en mécanique des milieux continues et dans des calculs d’ingénieurs telles que les méthodes éléments …nis et des di¤érences …nies, celle qui o¤re le plus de perspectives et qui a déjà fait ses preuves est la méthode du potentiel, qui ramène les problèmes aux limites à des équations intégrales correspondantes [1].

L’avantage essentiel de cette méthode réside dans la réduction de la dimension des problèmes considérés. C’est le cas par exemple de l’équilibre de la plaque encastrée exposée ci-dessous et dont la solution repose e¤ectivemment sur une représentation intégrale d’une fonction biharmonique basée sur la formule de T. Boggio (voir Chap 2 suivant).

6. Référence

[1]EL Kadiri M., Représentation intégrale dans le cadre de la théorie axiomatique des fonctions biharmoniques, Rev. Roumaine Math. Pures, Appl.42 (1997), 7-8, 579-589.

[2]A. E. H. Love, The mathematical theory of Elasticity, Cambridge, 1927. [3]A. E. H. Love, A treatise on the mathematical theory of elasticity, Ch. 12, Ed. Dover, (1944)

[4]N. Muskhelishvili. Some basic problems of the mathematical theory of elas-ticity. North-Holland, Amsterdam, (1963).

[5] M. Nicolesco, Les Fonctions Polyharmoniques, Actualités Scienti…ques et Industrielles, IV, Paris, Hermann (1936).

CHAPITRE 2 : FONCTIONS

POLYHARMONIQUES CLASSIQUES

Table des matières

1 Notations . . . 2 2 Propriétés locales . . . 3 2.1 Généralisation du théorème de Gauss et sa réciproque . . . 3 2.2 Formule d’Almansi . . . 8 2.3 Fonctions sousharmoniques et surhamoniques . . . 10 3 Domaines non bornés . . . 12 3.1 Inégalités fondamentales . . . 12 3.2 Suites de fonctions polyharmoniques . . . 15 3.2.1 Propositions préliminaires . . . 15 3.2.2 Extension du premier théorème de Harnak . . . 15 3.2.3 Extension des théorèmes de M.Paul Montel . . . 16 4 Les problèmes de frontière pour les fonctions polyharmoniques . . . 17 4.1 Formule généralisée de Green . . . 17 4.2 Formule de Boggio . . . 18 4.3 Problème de Riquier . . . 19 4.4 Fonction de Green d’ordre p de second espèce . . . 20 4.5 Cas des boules . . . 22 4.5.1 Cas biharmonique . . . 22 5 Réferences . . . 23

L’objet de ce chapitre est de généraliser les principaux résultats connus dans le cas harmonique aux cas des fonctions polyharmoniques [2]. Ainsi, et a…n de mettre en évidence cette généralisation, nous allons à chaque étape rappeler le cas harmonique.

1. Notations

Dans Rn_{;on note}

B(x; R) =_{fy 2 R}n;_kx y_k R_{g boule fermé de centre x et de rayon R;} V (R) le volume de B(x; R)

B(x; R) boule ouvert de centre x et de rayon R;

S(x; R) =_{fy 2 R}n;_kx y_{k = Rg sphère de centre x et de rayon R;}

n(R) surface de S(x; R) n la surface de la sphère unité

D _{un domaine (ouvert) de R}n; @D sa frontière (x) = d(x; @D) On posera 0 _{= 1; =} n X i=1 @2 @x2 i ; :::::::::; ¨ p = ( p 1); p = 1; 2; ::::

Dé…nition 1.1. u_{une fonction dé…nie dans D à valeurs dans R: u est dite} fonc-tion polyharmonique d’ordre p (ou tout simplement foncfonc-tion p-harmonique), si u_{2 C}2p(D)et pu(x) = 0_{pour tout x 2 D:}

Si p = 1, on dit que u(:) est harmonique Si p = 2, on dit que u(:) est biharmonique On note

H(D) l’ensemble des fonctions harmoniques sur D et BH(D) l’ensemble des fonctions p-harmoniques sur D:

2. Propriétés locales

2.1. Généralisation du théorème de Gauss et sa réciproque

Le premier résultat à généraliser est le théorème de la moyenne périphérique et sa réciproque. En e¤et, ce théorème est parmi les premiers outils importants du cas harmonique puisque il permet d’une part : de caractériser une fonction har-monique par une représentation intégrale et d’autre part de faire sortir d’autres résultats plus importants comme le principe de minimum et les inégalités de Har-nack.

Théorème 2.1 (de Gauss: formule de la moyenne périphérique). 8u 2 H(D); on a :

u(x) = 1

nRn 1

Z

S(x;R)

u(y)d (y) = ₀(u; x; R) (2.1)

8B(x; R), B(x; R) D:

On note cette moyenne par 0(u; x; R)

De même on a une variante de cette formule, à savoir la moyenne sur les boules donnée par :

u(x) = n

nRn

Z

B(x;R)

u(y)d (y) = ₁(u; x; R) (2.2)

8B(x; R), B(x; R) D:

on la note par 1(u; x; R)et on a la relation suivante entre 1 et 0 :

1(u; x; R) = n Rn Z R 0 rn 1 ₀(u; x; r)dr ,

qui permettra de dé…nir par récurrence la moyenne d’ordre k; k 2 N par

k(u; x; R) = n Rn Z R 0 rn 1 _{k 1}(u; x; r)dr

Dans le cas de la continuité M.Blaschke donna une condition su¢ sante moins restrictive qui suit:

Théorème 2.2. La fonction u(x) étant supposé continue dans D, si l’on a

Lim

R!0

1

R2 [ 0(u; x; R) u(x)] = 0 8x 2 D (2.3)

alors u 2 H(D):

En d’autre termes, il su¢ t que la relation (2.1) de Gauss soit véri…ée à la limite avec une certaine vitesse, pour conclure à l’harmonicité de u(x):

Aussi, on doit à M.Volterra le résultat suivant :

Théorème 2.3 ([1] [2]). Si D est un domaine de Dirichlet et si la fonction u(x); continue dans D, est égale, en chaque point x, à la moyenne des valeurs sur une seule boule centrée en x et contenue dans D;cette fonction est harmonique dans D:

Nous allons voir, maintenant, comment ces résultats se généralisent dans le cas ployharmonique. Pour celà, nous allons d’abord dé…nir la moyenne d’ordre k à partir de la relation qui existe entre 0 et 1 par :

k(u; x; R) = n Rn Z R 0 rn 1 _{k 1}(u; x; r)dr

et qui constituera le point de départ vers la généralisation. En e¤et Pizetti a démotré le résultat suivant :

Lemme 2.4. _{Soit u : D ! R possédant des dérivées partielles continues jusqu’à} l’ordre 2p. Alors on a : k(u; x; R) = u(x)+ p 1 X i=1 an;i n n + 2i k R2i iu (x)+an;p n n + 2i k R2p( pu) (y) (2.4) où y 2 B(x; R) et an;i = 1 2i_{:i!n(n + 2):::::::(n + 2p 2)}

L’idée essentielle de la démonstration de ce résultat est la formule de Taylor écrite sous la forme suivante :

u(y) = u(x) +R 1 du dn (x) + R2 2! d2_u dn2 (x) + + Rp 1 (p 1)! dp 1_u dnp 1 (x) où R = ky x_ket du

dn désigne la la dérivée normale de u dans la direction xy. Il su¢ ra d’appliquer l’opération ₀ aux membres de cette série et de tenir du fait que la moyenne des dérivées d’ordre impair est nulle, tandis que la moyenne de la dérivée d’ordre 2k est égale, à un facteur numérique près, k_u:

Si u est p-harmonique la formule (2.4) se réduit à :

k(u; x; R) = u(x) + p 1 X i=1 an;i n n + 2i k R2i iu (x); k = 0; : : : ; p 1 (2.5)

et on se trouve devant un système linéaire dont la résolution conduit à la solution u(x) = Det( (u; x; R); n n + 2; n n + 2p 2) Det(1; n n + 2; ; n n + 2p 2) (2.6) où; Det (u; x; R); n n + 2; n n + 2p 2 = 0 1 : : : 1 1 n+2n : : : n n+2p 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : p 1 n+2n p 1 : : : _{n+2p 2}n p 1 et 5

Det(1; n n + 2; n n + 2p 2) = 1 1 : : : 1 1 _n+2n : : : _{n+2p 2}n : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 n n+2 p 1 : : : n n+2p 2 p 1

C’est e¤ectivement le deuxième membre de l’égalité (2.6) qui va jouer le rôle de la moyenne pour les fonctions p-harmoniques. On la notera donc par M(P )(u; x; R):Et on

a alors la généralisation du théorème de Gauss suivante :

Théorème 2.5. Soit u une fonction polyharmonique dans D: Alors

u(x) = M(P )(u; x; R) _{8B(x; R); B(x; R)} D: (2.7) Dans le cas harmonique, on trouve M(P )_{(u; x; R) =}

0:

Dans le cas biharmonique, on trouve

u(x) = 1 jBj Z ud R 2 2(n + 2) u(x)

pour toute boule ouverte B(x; R); B(x; R) D;_{où jBj est le volume de la boule} B [1] :

Ce résultat admet une réciproque :

Théorème 2.6. Supposons la fonction u(x) bornée et intégrable dans D: Si la relation (2.7) est véri…ée pour tout point x intérieur et pour tout R (x);la fonction u(x) est polyharmonique d’ordre p dans D:

Démonstration. La démonstration de ce théorème se fait en deux étapes. On montre, tout d’abord que la fonction u(x) possède des dérivées partielles de tout ordre dans D. C’est une conséquence immédiate du lemme suivant :

Lemme 2.7. _{Toute fonction u : D ! R bornée intégrable satisfaisant à une} équation fonctionnelle de la forme

u(x) = A0 Z S(x;r) u(y)d (y)+XAi Z R 0 f1(r1)dr1 Z r1 0 f2(r2)dr2 Z ri 1 0 fi(ri)dri Z B(x;ri) u(y)d (y)

L’existence des dérivées partielles de tout ordre pour u(x) étant établie, donc le dernier terme de la relation (2.4) peut sécrire sous la forme :

p_{u(y) =} p_{u(x) + "}p

k(r) avec lim_r!0" p

k(r) = 0

d’où le système perturbé :

8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > :

0 = u(x) + an;1R2 u(x) + + an;p 1R2(p 1) (p 1)u(x) + an;pR2p pu(x)

+ an;pR2p"p0(R)

1 = u(x) + an;1(_n+2n )R2 u(x) + + an;p 1_{n+2(p 1)}n R2(p 1) (p 1)u(x)

+ an;p(_n+2pn )R2p pu(x) + an;pR2p" p 1(r)

.. .

p 1 = u(x) + an;1R2 u(x) + + an;p 1(_{n+2(p 1)}n )p 1R2(p 1) (p 1)u(x)

+ an;p(_n+2pn )p p"p0(R) + an;pR2p"pp 1(r) En posant : rp(u; x; R) = u(x) V (u; x; R); n n + 2; n n + 2p 2 V 1; n n + 2; ; n n + 2p 2 (2.8) On aura rp(u; x; R) = ( 1)pcn;pR2p pu(x) + R2p"L(R) (2.9) avec lim R!0"(R) = 0, L …ni pour R = 0 8x 2 D; 8R (x); cn;p = an;p V n n + 2; n n + 2p 2 V 1; n n + 2; ; n n + 2p 2 Si rp(u; x; R) = 0 (condition de l’énoncé) alors p_{u(x) = 0}

, 8x 2 D donc u est polyharmonique.

Remarque 2.8. Il résulte de la démonstration de la condition su¢ sante qu’une fonction p harmoniquepeut être caractérisée par :

rp(u; x; R) = 0 _{, u(x) =} V ( (u; x; R); n n + 2; n n + 2p 2) V (1; n n + 2; ; n n + 2p 2)

L’intérêt de cette caractérisation provient du fait que rp(u; x; R) est dé…nie pour toute fonction intégrable. Aors que p_{u(x) exige que u}

possède des dérivées partielles jusqu’à l’ordre 2p: D’où

Dé…nition 2.9. _{Soit u : D ! R intégrable. On dé…nit le Laplacien généralisé} d’ordre p de u par : p_{u(x) = lim} R!0 ( 1)p cn;p r p_{(u; x; R) (2.10)}

Dans le cas de la continuité on trouve l’extention du résultat de M. W. Blaschke:

Théorème 2.10. Si u est continue dans D; alors pour que u(x) soit p-harmonique dans D, il su¢ t que l’on ait

lim R!0 1 R2Pr p (u; x; R) = 0;_{8x 2 D} 2.2. Formule d’Almansi

Théorème 2.11. _{Soit u : D ! R p-harmonique (régulière). Alors il existe u}1₁; u2

1; ; u

p

1 harmoniques dans D telle que

u(x) = r2(p 1)u1₁(x) + r2(p 2)u2₁(x) + r2up 1₁ (x) + up₁(x) (2.11)

Dans le cas biharmonique on a la conséquence suivante : Si

u : D _R2 _{! R} est biharmonique alors

8 < : u0 _{: D ! R} (x; y)_{7! (x}2_{+ y}2_{) u} x x2_{+ y}2; y x2_{+ y}2 est biharmonique

Preuve. D’après Almansi on a,

u(x; y) = x2+ y2 g(x; y) + h(x; y) g et h harmoniques En posant: x = x 0 x02_{+ y}02; y = y0 x02_{+ y}02 on aura: (x02+y02)u( x 0 x02_{+ y}02; y0 x02_{+ y}02) = g( x0 x02_{+ y}02; y0 x02_{+ y}02)+(x 02_+y02_)h( x0 x02_{+ y}02; y0 x02_{+ y}02)

avec g et h harmoniques, d’après Almansi alors

(x; y)_{7! (x}02+ y02)u( x 0 x02_{+ y}02; y0 x02_{+ y}02) est harmonique

Le procédé peut être généralisé et conduit au résultat suivant :

Théorème 2.12. Si u(x1; x2; : : : ; xn) est une fonction p-harmonique, il en sera

de même pour la fonction

u(x) = 1 rn 2pu( x1 r2; x2 r2; ; xn r2) où r2 ₌ Pn i=1 x2 i: 9

2.3. Fonctions sousharmoniques et surhamoniques

Dé…nition 2.13. _{Soit u : D ! R une fonction bornée intégrable. On dit que} u(:)est sousharmonique d’ordre p si

u(x) V ( (u; x; R); n n + 2; n n + 2p 2) V (1; n n + 2; ; n n + 2p 2) (2.12)

pour R su¢ samment petit (i.e : pour R ; étant su¢ samment petit)

Remarque 2.14. Avec les notations introduites, cette inégalité peut s’écrire

rp(u; x; R) 0; pour R su¢ samment petit.

Supposons que u(x) possède des dérivées partielles continues des 2p premiers ordres. Alors on a d’après la formule (2 9)

rp(u; x; R) = ( 1)p_c

n;pR2p pu(x) + R2p"L(R)

et comme les coe¢ cients cn;psont positifs, il en résulte que la condition (2 12)

est équivalent à la suivante :

( 1)p pu(x) 0 (2.13)

En particulier pour p = 1 on obtient la dé…nition et une propriété connue des fonctions sousharmoniques.

En e¤et, le principal résultat sur les fonctions sousharmoniques a été énoncé par M.Riez :

Théorème 2.15. _{Soit u : D ! R sousharmonique et v : D ! R tel que u(x) =} v(x) sur @D: Alors u(x) v(x) sur D (ce qui explique leur dénomination).

De plus si il existe x0 2 D tel que u(x0) = v(x0) alors u(x) = v(x) sur D:

Théorème 2.16. _{Soit u : D ! R sous harmonique d’ordre p, possédant des} dérivées partielles jusqu’à l’ordre 2p et v : D ! R une fonction p harmonique telle que

u(x) = v(x); u(x) = v(x); : : : ; p 1u(x) = p 1v(x);_{8x 2 @D} Alors

u(x) v(x);_{8x 2 D}

Si il existe x0 2 D tel que u(x0) = v(x0) alors u(x) = v(x) sur D

Exemple 2.17. Si la fonction dé…nie par : f : C _{! C}

z _{7! f(z) = (x; y) 7! +iv(x; y)} est analytique, alors

jfj2 = [(x; y)]2+ [v(x; y)]2

est sousharmonique de tous les ordres impaires et surhamonique de tous les ordres pairs [ ].

Une classe spéciale est constituée par les fonctions u(x) p harmonique; véri…-ant dans D les inégalités

( 1)i iu(x) 0; i = 0; 1; : : : ; p 1; ( 0 = 1)

On peut les appeler complètement sousharmoniques. Les relations

( 1)i i_{u(x) 0; i = 0; 1; : : : ; p 1} p_{u(x) = 0}

caractériseront les fonctions p-harmonique, complètement sousharmoniques. Si u(x) est complètement sousharmonique, u(x) et u(x) sont complètement sousharmoniques. Si up(x) est complétement sousharmonique, up(x) et up(x)

sont complétement surharmonique. Les coe¢ cients du développement d’Almansi d’une fonction polyharmonique, complétement sousharmonique, jouissent d’une remarquable propriété :

Soit

up(x) = p

X

k=1

r2p 2kuk₁(x)

Le développemen d’almansi d’une fonction polyharmonique d’ordre p, autour d’un point x0 quelconque de D. Si u(x) est complèment

soushar-monique dans D, les fonctions uk1(x); k = 1; : : : ; p sont

alternative-ment négatives et positives dans l’étoilé de centre x0 inscite dans D:

3. Domaines non bornés

3.1. Inégalités fondamentales La relation (2.6) peut s’écrire

u(x) =

p 1

X

k=0

ck k(u; x; r)

En multipliant par rn 1 et intégrant de zéro à R,

u(x) = p X k=1 ck 1 k avec k(u; x; r) = nk 1 Rn n Z R 0 dr1 r1 Z r1 0 dr2 r2 Z rk 2 0 drk 1 rk 1 Z Brk 1 u(x)d (y):

où n est le volume de la boule unitaire.

On en déduira, par une formule de dérivation sous le signe d’intégration due à M.J.Hadamard [],

@ _k @xi = n k 1 Rn n Z R 0 dr1 r1 Z r1 0 dr2 r2 Z rk 2 0 drk 1 rk 1 Z B1 u id!; (i = 1; 2; : : : ; n)

i étant les cosinus directeur du rayon de la boule unitaire aboutissant à

l’élément d!: En posant L = sup D ju(x)j on obtient @ _k @xi ( n n 1) k n vn L R; (i = 1; 2; : : : ; n et k = 1; 2; : : : ; p) En posant H_np = n vn p 1 X k=0 ( n n 1) k jckj on obtient @u @xi H_npL R d’où @u(x) @xi H_np L (x) (3.1)

Ces formules sont valables quelque soit le domaine D, borné ou non, à condition que sa frontière possède des points à distance …nie et que u(x) soit bornée dans D:

Elles montrent que, si une fonction polyharmonique est bornée dans un domaine D;ses dérivées partielles du premier ordre seront bornées dans D:

Si l’on applique les mêmes formules aux fonctions @u @xi

qui sont polyharmoniques du même ordre p;on trouvera que les dérivées partielles du second ordre sont bornées dans D et ainsi de suite. De là on déduira les deux résultats suivants généralisant ceux établis dans le cas harmonique:

Proposition 3.1. Toute fonction polyharmonique est analytique

Aussi on a le résultat suivant généralisant les théorèmes de Liouville et Picard :

Proposition 3.2. Toute fonction polyharmoque, bornée dans tout l’espace, se ré-duit à une constante.

En e¤et, D’après (3.1) et si L est borné, on aura @u @xi

= 0, d’où u est constant. Plus généralement, si la fonction polyharmonique u(x) croît mons vite que rk

cette fonction se réduit à un polynôme de degré k 1 au plus. Ilen résulte, en particulier , que cette u(x) se réduit encore à une constante, si elle croît moins vite qu r:

Considérons maintenant une fonction polyharmonique, complètement sous har-monique dans tout l’espace. Les coe¢ cients du développement d’Almansi de ce cas seront des fonctions harmoniques de signe constant dans tout l’espace, ce seront donc des constantes, et l’on peut énoncer le résultat suivant :

Proposition 3.3. Une fonction p-harmonique u(x), complètement sousharmonique dans tout l’espace, est nécessairement de la forme

u(x) =

p

P

k=1

ckr2(p k)

où les ck(k = 1; : : : ; p) sont des constantes alternativement négatives et

3.2. Suites de fonctions polyharmoniques 3.2.1. Propositions préliminaires

Les deux propositions suivantes sont d’un usage fréquent dans la théorie des suites suites de fonctions polyharmoniques :

Proposition 3.4. SoitPuk(x) une série uniformément convergente sur @D d’un

domaine de Dirichlet, de fonctions possédant un Laplacien aux dérivées partielles du premier ordre continues.

Si la série P uk(x) converge uniformément dans D vers une fonction aux

dérivées partielles du premier ordre continues, la série Puk(x) converge

unifor-mément dans D et

P

uk(x) =

P uk(x)

Proposition 3.5. La somme d’une série de fonctions polyharmoniques d’ordres p, uniformément convergente dans un domaine quelconque, est une fonction polyharmonique d’ordre p [].

Preuve :

Le premier résutat est l’analogue du théorème sur la dérivabilité terme à terme des séries uniformément convergentes. Il se démontre facilement, en partant de la formule uk(x) = 1 (n 2) n R DG(x; y) uk(y)d (y) + hk(x)

où, hk(x) est une fonction harmonique prenant les mêmes valeurs que uk(x)

sur @D; et G(x ; y) la fonction de Green pour D:

Le second résultat est une conséquence du théorème fondamental n 4. Le cas particulier p = 1 est bien connu.

3.2.2. Extension du premier théorème de Harnak

L’inégalité de Harnack est un outil bien plus puissant que le principe de max-imum comme vont le montrer les deux propositions sur les séries de fonctions harmoniques dû à Harnack. D’ailleurs l’inégalité de Harnack implque le principe de maximum.

Proposition 3.6. La convergence uniforme d’une série de fonctions harmoniques sur la frontière d’un domaine entraîne sa convergence à l’intérieur.

Proposition 3.7. La convergence d’une série de fonctions harmoniques positives, en un point intérieur du domaine, entraîne sa convergence uniforme dans tout le domaine.

Les deux propositions s’étendent aux fonctions polyharmoniques :

Théorème 3.8. Si une série de fonctions polyharmoniques d’ordre p, converge uniformément sur la frontière d’un domaine borné de Dirichlet, et s’il en est de même des séries des Laplaciens de divers ordres, ces séries convergent uniformé-ment, dans l’intérieur de D vers une fonction polyharmonique d’ordre p et ses Laplaciens successifs.

Théorème 3.9. Soit Puk une série de fonctions polyharmoniques d’ordre p;

complétement sousharmonique dans un domaine D. Si cette série converge en p points du domaine, intérieurs au plus grand domaine convexe contenu dans D, elle converge uniformément dans D; vers une fonction polyharmonique d’ordre p[].

La démonstration du premier théorème se fait par récurrence, en utilisant les deux propositions du n précédent. Le second théorème se démontre aussi par récurrence, en utilisant les propriétés des fonctions polyharmoniques, compléte-ment sousharmoniques. La condition imposée à la position des p points de con-vergence dans D; est due aux conditions de validité du développement d’Almansi.

3.2.3. Extension des théorèmes de M.Paul Montel

D’après les inégalités(3:1), si une fonction p-harmonique est bornée dans un do-maine, borné ou non, mais ayant au moins un point frontière à distance …nie, toutes les dérivées partielles d’un même ordre k seront bornées en module, par un même nombre, dans D: Comme k est arbitraire, on peut énoncer :

Proposition 3.10. Si des fonctions polyharmoniques d’ordre p, sont également bornées dans D, elles sont également continues dans D , et les dérivées partielles d’un même ordre sont aussi également continues [ ].

On peut appliquer à ces fonctions un théorème général dû à M.Montel pour obtenir le théorème :

Théorème 3.11. Soit (un)n2N une suite de fonction polyharmoniques d’ordre

p, également bornées dans D:

Si cette suite est convergente dans D, elle converge uniformément dans D vers une une fonction u(x), polyharmonique d’ordre p: De plus, toute dérivée partielle de u(x) convergera uniforément vers la dérivée partielle de même rang de u(x): En d’autres termes 8x 2 D; un(x) ! n!1u(x) =) @k_u n(x) @xk i ! k!1 @k_u(x) @xk i dans D; (k = 0; 1; : : :)

Ces deux résultats ont été donnés, pour les fonctions harmoniques, par M.Montel dans sa thèse [ ].

4. Les problèmes de frontière pour les fonctions

polyhar-moniques

4.1. Formule généralisée de Green

Soient u et v deux fonctions dé…nies dans le domaine D: on a la formule de Green pour les fonctions polyharmoniques suivant:

Z D (u v v u)dy = Z @D (udv dn v du dn)d n étant la normale extérieure.

Remplaçons, dans cette formule, d’abord u par u, ensuite v par v et ajou-tons. On obtient la formule

Z D (u 2v v 2u)dy = Z @D (ud v dn v d u dn )d Z @D ( udv dn v du dn)d (4.1) En répétant ce procédé, on obtient la formule

Z D (u pv v pu)dy = p 1 X i=1 Z @D ( iud p i 1_v dn i_vd p i 1u dn )d (4.2) Cette formule, due à A.Gutzmer [ ], joue un rôle fondamental dans les prob-lèmes de frontière concernant les fonctions polyharmoniques.

4.2. Formule de Boggio

Si u(x) est une fonction polyharmonique d’un certain ordre, la fonction r2_u(x);où

r = _kx x0k, x0 étant un point …xe de l’espace, est une fonction polyharmonique

d’ordre s + 1:

Donc, en partant de la fonction harmonique élémentaire

v1 =

1 rn 2

on trouve, pour n impair, ou pour n pair 2p (cas non logarithmiques), la fonction p-harmonique élémentaire :

vp =

1 rn 2p

Si n est pair 2p (cas logarithmique), en posant n = 2m, et en remarquant que la fonction

vm = log

1 r

est m-harmonique, on trouve la fonction p-harmonique élémentaire suivante :

vp = r2(p m)log

1 r Dans le premier cas, on trouve

p 1_v

p = ( 2)p 1(n 4)(n 6) : : : (n 2p)(p 1)!v1

Dans le second cas, on a [ ]

p 1_v

p = ( 1)m 1

22p 1_{(p 1)!(m 2)!(p m)!}

Maintenant, prenons x0 dans D; et considérons la boule B(x0; "): Appliquons

la formule (4.2) dans le domaine D nB(x0; ")aux fonctions u et vp tout en tendant

" vers 0; on obtient la formule

u(x0) = 1 Kn;p n p 1 X i=1 Z @D ( iud p i 1_v dn p i 1 vd i_u dn )d (4.3) où Kn;p= ( 2)p 1(n 4)(n 6) : : : (n 2p)(p 1)!

dans le cas non logarithmiques

Kn;p = ( 1)m 1

22p 1_{(p 1)!(m 2)!(p m)!}

m ; dans le cas logarithmiques

Si x0 2 D; on aura= 0 = p 1 X i=1 Z @D ( iud p i 1_v dn p i 1 vd i_u dn )d (4.4)

D’où la proposition suivante :

Proposition 4.1. Si u est une fonction p-harmonique dans chacun des domaines D et D1 ayant une portion de frontière commune, sur laquelle elle possède des

dérivées partielles continues des 2p 1 premiers ordres, alors u est p-harmonique dans D [ D1:

4.3. Problème de Riquier Posons

u = u1; u1 = u2; : : : ; up 2= up 1 (4.5)

Il en résulte, si u(x) est p-harmonique, up 1 = 0: Cette dernière équation

montre que si la fonction up 1(x)est donnée sur @D, elle sera connue à l’intérieur.

La dernière équation (4.5) montre alors que up 2 sera déterminée par les valeurs

prises sur @D, et ainsi de suite. Or

up 1= p 1u; up 2= p 2; : : : ; u1 = u

On a donc résolu, pour un domaine de Dirichlet, le problème suivant de fron-tière :

Déterminer une fonction p-harmonique dans un domaine D, connaissant les valeurs prises sur la frontière de D par la fonction et ses Laplaciens successifs.

En d’autres termes le problème suivant : 8 < : T rouver u_{2 C}2p_{(D) :} p_{u = 0 sur D} s_{u = u} s; s = 1; : : : ; p 1 sur @D

La solution du problème est évidemment unique.

4.4. Fonction de Green d’ordre p de second espèce

On sait que l’intérêt principal de la fonction de Green réside dans la formule de la représentation intégrale des solutions du problème P (D; '; f ) :

P (D; '; f ) : u = f sur D u = ' sur @D

où; ' dé…nit sur @D et f dé…nt sur D (D étant un ouvert de Rn):

On peut présenter, aussi, la solution du problème de Riquier sous une forme synthétique, par l’introduction de la fonction de Green correspondante. G(x; y) étant la fonction de Green pour le domaine D et le point intérieur x: Pour cela, on dé…nit la suite de fonctions G1 _{= G; G}2_{; G}3_{; : : : ; G}k_{; : : :}

par la relation de récurrence

Gk(x; y) = Z

D

G(x; z)Gk 1(z; y)dz; (k = 2; : : : ; p) (4.6)

La fonction Gk(x; y) est, suivant la terminologie de M.Volterra, la k-ieme puis-sance de composition de second espèce de G(x; y), relativement au domaine D: On peut l’appeler fonction de Green d’ordre k, de second espèce. Elle possède les propriétés suivantes :

1) Elle est continue sur D par rapport à x sauf au pont x = y; 2)8k; Gk_{(x; y) = 0 sur @D} 3) 8k; Gk_{(x; y) = G}k 1_{(x; y)} d’où k 1_Gk_{(x; y) = G(x; y); x} 6= y

Cela étant, si dans la formule fondamentale (4.2), écrite pour le domaine obtenu D en enlevant une petite boule, de rayon " et de centre x, on pose v = GP(x; y); on obtient pour u(x) la formule:

u(x) = p 1 X i=0 Z @

i_u(y)dGi+1(y; x)

dn d + Z

Gp(x; y) pu(y)dy (4.7)

Dans le cas harmonique (i.e. p = 1) on retrouve la formule

u(x) = Z @ u(y)dG(y; x) dn d + Z G(x; y) u(y)dy

Pour une fonction u p-harmonique, on aura

u(x) = p 1 X i=0 Z @ i u(y)dG i+1_{(y; x)} dn d (4.8)

Cette formule donne la solution du problème intérieur de Riquier. Si x est extérieur, le second membre de (4.8) est nul.

Dans le cas biharmonique, le du problème de Riquier : 8 > > < > > :

Trouver u 2 H2_{( ) telle que} 2_{u(x) = 0 sur} u(x) = f (x) sur @ u(x) = g(x) sur @ sera alors, u(x) = Z @ f (y)dG(y; x) dn d + Z @ g(y)dG 2_{(y; x)} dn d (4.9)

Remarque 4.2. L’extension du théorème de Riesz aux fonctions sousharmonique résulte des formules (4.7) et (4.8):

En e¤et, si u est sousharmonique d0ordre p; avec iv = iu; i = 0; : : : ; p 1 on en déduira

v(x) u(x) = Z

Gp(x; y) pv(y)dy

D’après l’hypothèse, p_{v a le signe de ( 1)}p 1 _{et G}p _{a, dans ; le signe de}

( 1)p_{: Donc}

v(x) u(x)

l’égalité n’a eu lieu en x que si l’on a, dans ; p_{v = 0; c’est-à-dire v = u:}

4.5. Cas des boules Dans ce cas G(x; y) = 1 n 2 R 1 n 2 où

1 = kx x1k, x1, étant l’image du point x par rapport à la boule et =

kx y_{k :}

Et le problème de Riquier peut donc être considéré comme résolu e¤ectivem-ment.

4.5.1. Cas biharmonique

Dans ce cas, on peut résoudre le problème de Riquier sans passer par la fonction de Green, et ce moyenemment la formule d’Almansi :

u(x) = (r2 _R2_{)'(x) + (x); ' et étant deux fonctions harmoniques dans}

B0 = B(0; R), qu’il s’agit de déterminer. le problème de Riquier devient :

8 < : u(x) = 2n'(x) + 4r@'_@r sur B0 (x) = f (x) sur @B0 2n'(x) 4Rd'_dn = g(x) sur @B0

La première donne au moyen de la formule de Poisson. La seconde constitue un problème particulier de la chaleur. Finalement, la solution sera donc

u(x) = R 2 _r2 R nr n 2 Z @B0 g(y)d (y) Z r 0 (R2 _r2_)r n 2 1 n dr + R2 _r2 R n Z @B0 f (y) n d (y) (4.10)

5. Réferences

[1] W. Hansen and N. Nadirashvili, A converse to the mean value theorem for harmonic functions, Acta Math. 171 (1993), 139-163.

[2] W. Hansen and N. Nadirashvili, Mean values and harmonic functions, Math. Ann. 297 (1) (1993), 157-170.

[3]M. Nicolesco, Les fonctions polyharmoniques, Hermann, 1936, Paris.

CHAPITRE 3 : ESPACE

HARMONIQUE ET ESPACE

BIHARMONIQUE

July 24, 2007

Contents

1 Axiomatique des fonctions harmoniques . . . 2 1.1 Les axiomes. Fonctions harmoniques . . . 2 1.2 Quelques conséquences de l’axiome de convergenc (3) de M. Brelot. 3 1.3 Applications . . . 4 2 Axiomatique des fonctions biharmoniques . . . 6 3 Fonction hyperharmonique pure d’ordre 2 . . . 9 4 Reférences . . . 10

Les résultats les plus importants de la théorie classique du potentiel ont été systématiquement axiomatisés donnant ainsi naissance à diverses théories ( locales ). Pour éclairer sous un a

utre angle certains aspects, des liaisons approfondies ont été faites avec la théorie des probabilités, les équations aux dérivées partielles, etc.

De toutes ces axiomatiques, les plus connues sont : l’axiomatique de M. Brelot [6] ; l’axiomatique de H. Bauer [1] et l’axiomatique de C. Constantinescu et A. Cornea [8] :

Dans ce chapitre, on rappelle les dé…nitions d’un espace harmonique, un espace biharmonique et de la topologie …ne en théorie du potentiel classique ainsi que ses extensions au cadre d’un espace harmonique et biharmonique. On rappelle également des résultats de la théorie des fonctions …nement harmoniques dont le rôle est si essentielle en théorie des couples …nement biharmoniques.

1. Axiomatique des fonctions harmoniques

1.1. Les axiomes. Fonctions harmoniques

Comme dans ce travail nous utiliserons souvent des résultats de [1] ; nous donnons ci-après un aperçu de ces axiomes. Soient un espace localement compact, à base dénombrable et U ( resp. Uc) l’ensemble des ouverts non vides ( resp. des ouverts

non vides relativement compacts ) de : _{A chaque ouvert U 2 U est associé un} ensemble H(U) formant un sous espace vectoriel de C(U) (ensemble de fonctions réelles …nies continues dans U ) dites harmoniques dans U et satisfont aux axiomes suivants inspirés du cas classique.

Axiome 1.1 (de faisceau). Toute fonction harmonique dans U est harmonique dans tout ouvert partiel et toute fonction dans un ouvert U de qui est har-monique dans un voisinage ouvert de chaque point de U est harhar-monique dans U.

Dé…nition 1.1. _{Un ouvert ! 2 U}c avec @! 6= ; est dit régulier si : i) pour tout

f _{2 C(@!) il existe une seule fonction de H(!); notée H}!

f;telle que lim !3x!zH ! f(x) = f (z) 8z 2 @! ii) 8f 2 @!; f 0_{) H}! f 0 dans ! 2

Grâce à l’unicité, pour chaque x 2 !; l’application f ! Hf(x)est une forme

linéaire positive (voir [5]) sur l’espace C(@!): Autrement dit, f 7 ! H!

f(:) dé…nit

une mesure positive de Radon sur @!; notée !

x;dite mesure harmonique relative

à ! et x: On peut donc écrire :

H_f!(x) = Z

f (y)d !_x(y) ou Z

f d !_x

Axiome 1.2. ( de résolutivité locale du problème de Dirichlet ). Les ouverts réguliers forment une base pour la topologie de ::

Théorème 1.2. [] : _{Soit U 2 U et h 2 C(U): Alors les conditions suivantes sont} équivalentes

i) h est harmonique dans U ; ii) h(x) =

Z

hd !_x; _{8! ouvert régulier, !} U;_{8x 2 !:}

Axiome 1.3. (de convergence ). Pour toute suite croissante (hn)de fonctions

harmoniques dans U 2 U, on a : sup

n

hn 1 sur un ensemble dense de U ) sup n

hn2 H(U):

1.2. Quelques conséquences de l’axiome de convergenc (3) de M. Brelot. Proposition 1. Toute fonction harmonique 0 dans un domaine D est partout

0 ou partout = 0;

Théorème 1.3. (en suppsant les axiomes I et 2), les assertions suivantes sont équivalentes:

i) axiome 3.

ii) pour tout domaine D, pour tout compact K D et tout x0 2 D, il existe

un nombre positif K tel que,

Sup

K

u Ku(x0) ( inégalité de Harnack)

pour tout fonction harmonique u 0 dans D:

Théorème 1.4. (En suppsant les axiomes I et 2), les assertions suivantes sont équivalentes:

i) axiome 3,

ii) pour tout domaine régulier ! et toute fonction numérique f dé…nie sur @!; si, pour un point x0 2 !, f est !x0 integrable; alors f est

!

x integrable pour

toute x 2 ! et la fonction x 7 ! Z

f d !

x est harmonique dans !.

Axiome 1.4. ( de séparation ) :Les fonctions hyperharmoniques séparent forte-ment _{( pour tout x; y 2 ; x 6= y; il existe u; v hyperharmoniques dans} telles que u(x)v(y) 6= u(y)v(x) ). De plus, pour tout U 2 Uc; il existe h 2 H(U)

strictement positive.

On rappelle qu’une fonction u sur un ouvert U de est dite hyperharmonique si u est semi-continue inférieurement à valeurs dans ] 1; +1], et si pour tout ouvert régulier ! ! U _{et pour tout x 2 ! on a}

u(x) Z

ud !_x

Dé…nition 1.5. Un espace harmonique de Brelot (Bauer, Doob) est un couple ( ;_H)où est un espace localement compact connexe (resp. localement compact) muni d’un faisceau H des fonctions continues véri…ant les axiomes 1, 2 et l’axiome de convergence de Brelot (rep. Bauer, Doob).

1.3. Applications

1) _{sera l’espace euclidien R}n_{; x = (x}

1; : : : : : : ; xn)2 Rn:

a- n = 1: Pour tout ouvert connexe U ;_{H(U) sera l’ensemble des fonctions} a¢ nes linéaires (convexes) sur U solutions de l’équation d

2_u

dx2 = 0:

Les intervalles ouverts ]a; b[ avec ₁ a b +_{1 sont réguliers, d’où} l’axiome 2.

L’axiome 3 est évident.

b- Soit n 2: Pour tout U ouvert de _{, H(U) sera l’ensemble des solutions} classiques dans U de l’équation u = 0:

L’intégrale de Poisson, nous permet de voir que toute boule ouverte B = B(x0; r) est un ouvert régulier. O naura donc, pour tout f 2 @B, que

H_fB(x) = Z @B P (x; z)f (z)d B(z) 8x 2 B où P (x; z) = Px(z) = rn 2 r 2 _{kx x} 0k2

kx zkn est le noyau de Poisson (P : B @B !

R+) et B la mesure de Lebesgue normalisée sur @B:

La mesure harmonique relative à B et x est

B

x = Px B

L’axiome 3 résulte des inégalités de Harnack (p. 188-189, [7] ou du théorème de convergence de Harnack p. 191-192 ):

c- Soit _{un domaine de l’espace R}n _{(n 2) et L un opérateur di¤érentiel}

linéaire du second ordre de type elliptique :

L = n X i;j=1 aij(x) @2 @xi@xj + n X i;j=1 bi(x) @ @xi + c(x) avec aij = aji et n X i;j=1

aij(x) i j 0 pour tout vecteur non nul ( 1; : : : ; n) et

tout x = (x1; : : : ; xn)2 :

On suppose que les aij; bi;c sont localement lipschitziens.

Pour tout ouvert U ; _{H(U) sera l’ensemble des solutions de Lu = 0 dans} U;_{c’est-à-dire les fonctions u 2 C}2(U ) satisfaisant à cette équation.

Madame Hérvé a montré dans sa thèse [10] que ( ; H) est un espace har-monique au sens de Brelot.

Les diverses axiomatiques des fonctions harmoniques, ayant été inspirées par les équations linéaires du second ordre ne s’appliquent pas à des équations simples d’ordre plus élevé comme l’équation classique biharmonique 2_{u = ( u) =}

0: D’ailleurs c’est ce problème qui a permis de dégager une axiomatisation des fonctions biharmoniques.

En e¤et, considérons le problème de Riquier du cas classique pour 2_{u = 0 :}

Soit ! un ouvert borné de Rnavec ”frontière assez bonne”et f1; f2 2 @!: Trouver

u dans ! tel que 2_{u = 0 et que u , u admettent sur @! des limites égales}

respectivement aux fonctions données f1; f2: