HAL Id: inria-00095492
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wetting and drying simulation
Abdou Wahidi Bello, Aurélien Goudjo, Côme Goudjo, Hervé Guillard,
Jean-Antoine Desideri
To cite this version:
Abdou Wahidi Bello, Aurélien Goudjo, Côme Goudjo, Hervé Guillard, Jean-Antoine Desideri. A
Roe finite-volume scheme for 1D shallow water flows : wetting and drying simulation. [Rapport de
recherche] RR-6046, INRIA. 2006, pp.24. �inria-00095492v3�
inria-00095492, version 3 - 6 Dec 2006
a p p o r t
d e r e c h e r c h e
9
-6
3
9
9
IS
R
N
IN
R
IA
/R
R
--6
0
4
6
--F
R
+
E
N
G
Thème NUM
Un schéma de Volumes-Finis de Roe pour les
équations de Saint-Venant 1D :
Simulation numérique des bancs-couvrants-découvrants
Abdou W. BELLO — Aurélien GOUDJO — Côme GOUDJO — Hervé GUILLARD —
Jean-Antoine DESIDERI
N° 6046
Simulation numérique des ban s- ouvrants-dé ouvrants Abdou W. BELLO
∗
, Aurélien GOUDJO∗
, C meGOUDJO∗
, Hervé GUILLARD†
,Jean-Antoine DESIDERI†
ThèmeNUMSystèmesnumériques
ProjetOpale
Rapportdere her he n°6046Septembre200624pages
Résumé: Nousprésentonsdans e rapportlarésolution, parune méthodevolumes nis,
du système des équations de Saint-Venant ave termes sour es topographiques sur des
domaines1D.Ave uneidée originaledeLeroux[1℄,lesystème deséquationsest omplété
paruneéquationtrivialesurlabathymétrie.Parun hangementdevariable,onélaboreune
formulation élérité-vitessedes équations que l'on linéarise. Nous onstruisons ensuite un
solveurde Riemannappro héqui préservelapositivité dela éléritéet qui assurelaprise
en ompte desban s- ouvrants-dé ouvrants.En n, desappli ationsnumériques surdes as
testssontprésentées.
Mots- lés: EquationsdeSaint-Venant,volumes nis,solveurdeRiemann,s hémapositif,
ban s ouvrants-dé ouvrants
∗
Universitéd'Abomey-Calavi,01BP526Cotonou,Bénin
†
Abstra t:A nite-volumemethodfortheone-dimensionalshallow-waterequations
in lud-ing topographi sour e terms is presented. Exploiting an original idea by Leroux [1℄, the
systemofpartial-dierentialequationsis ompletedbyatrivialequationforthebathymetry.
Byapplyinga hangeofvariable, thesystemisgivena elerity-speedformulation,and
lin-earized.Asaresult,anapproximateRiemannsolverpreservingthepositivityofthe elerity
anbe onstru ted,permittingwettinganddrying owsimulationstobeperformed.Finally,
thesimulationofnumeri altest asesis presented.
Key-words: Shallowwaterequations, nitevolumes,Riemannsolver,positivitypreserving
Table des matières
1 Introdu tion 4
2 Le modèlemathématique 5
3 Intégration numérique 6
3.1 Lemaillage . . . 6
3.2 Uns hémadetypeGodunov . . . 6
4 Résolution du problèmede Riemann 8 4.1 LinéarisationduproblèmedeRiemann . . . 9
4.2 SolveurdeRiemann . . . 10
4.3 SolutionsduproblèmedeRiemann . . . 12
4.4 Corre tionentropique . . . 13
4.4.1 Céléritédel'étatintermédiaire . . . 13
4.4.2 E oulementsurfondplat . . . 14
4.4.3 E oulementave topographie . . . 14
4.5 Traitementdesban s- ouvrants-dé ouvrants. . . 15
5 Résultatsnumériques 16 5.1 E oulementsnoyés . . . 16
5.1.1 Test1:E oulementsurfondplat . . . 17
5.1.2 Test2:E oulementave topographie . . . 18
5.1.3 Test3:E oulementave topographie . . . 19
5.2 Ban s- ouvrants-dé ouvrants . . . 20
5.2.1 Test4:Ban s- ouvrants-dé ouvrants . . . 21
5.2.2 Test5:Ban s- ouvrants-dé ouvrants . . . 22
1 Introdu tion
Laville deCotonouest dansune uvette einturéede plansd'eauet traverséedunord
ausudparun henal(laLagunedeCotonou)de4000mdelongsur350mdelarge,reliant
lela Nokouéàl'o éanAtlantique(Fig.1).
Lesquelquesouvragesd'assainissementdontdisposelavillesontgénéralementenbordure
desrouteset,pourlaplupart, onne tésau henal.Malheureusement, esystèmededrainage
au lieu d'aider à l'éva uation des eaux pluviales, sert plut t de ve teur àl'invasion de la
villeparleseauxde ruedu henal.
Fig.1Chenalde Cotonou
Lesé oulementsd'untelréseaud'addu tiond'eausontdesé oulementsàsurfa elibre,
eneauxpeuprofondes(shallowwater)etsontalorsrégisparunsystèmebidimensionneldes
équations deSaint-Venant. Ces équations sont obtenues àpartirdes équations de
Navier-Stokes pour un uide in ompressible en faisant l'hypothèse de pressionhydrostatique, de
vitessesuniformessuivantlaverti ale,d'unfondetd'unesurfa elibreimperméables.Onles
emploiedansdes domainesaussidiversquelaprote tiondel'environnement,le al ul des
maréeset desondesdetempête, lasédimentologie,lasimulationdesondesdesubmersion,
l'étudedes rues,et .
Dans e rapport, ommepremièreétapedanslaréalisationd'unesimulationnumérique
réaliste, nous proposons une étude du système unidimensionnel des équations de
Saint-Venantave topographie.Suivantl'idéedéveloppéedans [2,3,4℄,nousutilisons une
équations.Unetelleformulationpeut onduireàune élériténégativedel'étatintermédiaire
duproblème deRiemann y dé oulant.Notre ontribution est la onstru tion d'unsolveur
deRiemann appro héave un hoixdes vitessesd'ondesgarantissantlapréservationdela
positivitédela éléritédel'étatintermédiaire.
Ensuite,grâ eauxrésultatsde[5,6℄nousadoptonslesolveurdeRiemannappro héa n
deprendreen omptele asdesban s- ouvrants-dé ouvrants(zonesnoyées/non-noyées).Le
traitementde e typede as estessentielenvuedelasimulationnumérique desproblèmes
d'intrusiond'eaudanslavilledeCotonou.
En n,pourtesterlarobustessedenotres héma,dansunpremiertempsnousreprenons
des as-testsee tuésdans[1℄puisdansunse ondtempsdeuxderniers as-testssont
présen-téspourtesterledébordementdel'eaud'un anal(ban s- ouvrants-dé ouvrants).
2 Le modèle mathématique
En absen edes for es de frottement, le système 1D deséquations de Saint-Venant est
donnépar:
∂h
∂t
+
∂(hu)
∂x
=
0
∂(hu)
∂t
+
∂
∂x
hu
2
+
1
2
gh
2
=
−gh
∂a
∂x
, (x, t) ∈ R × R
+
(1)u(x, t)
est lavitessedel'eau,h(x, t)
lahauteurd'eau,a(x)
lahauteurdelatopographiedu sol,h + a
l'élevationdelasurfa elibredel'eau(a
eth + a
sontprisesparrapportàunplanderéféren e),
g
l'a élérationgravitationnelle.Labathymétrie
a
étantindépendantedutemps,on omplètelesystème(1)parl'équation∂a
∂t
= 0
[1℄et onobtient:
∂h
∂t
+
∂q
∂x
= 0
∂q
∂t
+
∂
∂x
q
2
h
+
1
2
gh
2
+ gh
∂a
∂x
= 0
∂a
∂t
= 0
, (x, t) ∈ R × R
+
,
(2)3 Intégration numérique
Nous présentonsdans ettese tion l'intégration deséquations parutilisation des
te h-niquesdevolumes nisetdesolveursdeRiemann.
3.1 Le maillage
On onsidèreuné oulementunidimensionnel surunelongueur
L
.L'intervale
[0, L]
estsubdiviséenN
segmentsdemêmeamplitude∆x =
L
N
.Onobtientalorsunesuitedepoints
(x
j
)
j∈J={0,...,N }
dé nispar:x
j
= j∆x
.Onpose
x
j+
1
2
=
1
2
(x
j
+ x
j+1
), j ∈ {0, 1, . . . , N − 1}
C
j
=
i
x
j−
1
2
; x
j+
1
2
h
, j ∈ {1, . . . , N − 1}
C
0
=
i
x
0
; x
1
2
h
C
N
=
i
x
N −
1
2
; x
N
h
(3)C
j
x
j
x
j+
1
2
x
j−
1
2
x
j−
3
2
x
j+
3
2
xj−1
xj+1
x
Fig.2Dis rétisationspatiale
Pourladis rétisationtemporelle,onsedonneunpasdetemps
∆t
etunesuited'instantst
n
= n∆t, n ≥ 0
.
3.2 Un s héma de type Godunov
Latopographie
a
duproblème(2)estappro héepardesvaleursdis rètesa
j
, j ∈ J
:a
j
≈
1
∆x
Z
C
j
a(x)dx.
(4) En posant:a
∆
(x) =
X
a
j
χ
j
(x),
(5)ave
χ
j
(x) = 1
six ∈ C
j
etχ
j
(x) = 0
sinon,lesystème(2) estappro hépar:
∂h
∂t
+
∂q
∂x
= 0
∂q
∂t
+
∂
∂x
q
2
h
+
1
2
gh
2
+ gh
∂a
∆
∂x
= 0
∂a
∆
∂t
= 0
, (x, t) ∈ R × R
+
(6) Posonsw =
h
q
a
∆
. La solutionw
du problème (6) est appro hée par des valeursdis rètes
w
n
j
, j ∈ J, n ∈ N
:w
j
n
≈
1
∆x
Z
C
j
w(x, t
n
)dx.
(7)Puisque, sur haque ellule
C
j
,∂a
∆
∂x
= 0
, l'intégration de (6) surC
j
× [t
n
, t
n+1
]
nous donne:Z
t
n+1
t
n
Z
C
j
∂w
∂t
+
∂F
(w)
∂x
dxdt
=
0
Z
C
j
w(x, t
n+1
) − w(x, t
n
) dx +
Z
t
n+1
t
n
n
F(w(x
−
j+
1
2
, t
)) − F (w(x
+
j−
1
2
, t))
o
dt
=
0
,
oùF (w) =
q
q
2
h
+
1
2
gh
2
0
;x
−
etx
+
désignantrespe tivementleslimitesàgau heet à
droitede
x
.Lapremièreintégralede ettedernièrerelationestappro héeenutilisant(7).Ilrestera
alorsl'approximationnumérique deladeuxièmeintégrale.
Laméthodedesvolumes nisreposesurlefaitqu'àtoutinstant,lasolution
w
eston-stantepar ellule.Ainsi,partantdelasolution
w(x, t
n
)
àl'instantt
n
,le al uldew(x
−
j+
1
2
, t)
et
w(x
+
j−
1
2
, t)
pourt ∈
t
n
, t
n+1
estdonnéparlarésolutionduproblèmedeRiemann
suiv-ant:
∂h
∂t
+
∂q
∂x
=
0
∂q
∂t
+
∂
∂x
q
2
h
+
1
2
gh
2
+ gh
∂a
∆
∂x
=
0
∂a
∆
∂t
=
0
w(x, t
n
) =
w
L
,
six < x
j+
1
2
w
R
,
six > x
j+
1
2
,
(8) oùw
L
= w
n
j
etw
R
= w
n
j+1
. Désignonsparw
n
j+1/2
(x/t; w
L
, w
R
)
lasolutionautosimilairede(8).Ondé nit deux ux
F
j+
n,−
1
2
= F (w
n
j+1/2
(0
−
; w
L
, w
R
))
etF
n,+
j+
1
2
= F (w
n
j+1/2
(0
+
; w
L
, w
R
))
orrespondantà haque tédel'interfa ede
x
j+
1
2
.Onobtientalorsle s hémanumérique
suivant:
w
n+1
j
= w
j
n
−
∆t
∆x
F
j+
n,−
1
2
− F
n,+
j+
1
2
(9)4 Résolution du problème de Riemann
Ilvientde equipré èdequel'implémentationnumériquedeséquationsdeSaintVenant
résideenlarésolution,à haqueinterfa e,duproblèmedeRiemann(8);puisque 'est ette
résolutionquifournirales uxnumériquesàutiliser.
En posant
c =
√
gh
, à haque interfa ex = 0
et en dehors des zones sè hes, (8) est
∂(2c)
∂t
+ u
∂(2c)
∂x
+ c
∂u
∂x
=
0
∂u
∂t
+ c
∂(2c)
∂x
+ u
∂u
∂x
+ g
∂a
∆
∂x
=
0
∂a
∆
∂t
=
0
w(x, 0) =
w
L
,
six < 0
w
R
,
six > 0
(10) En posantY (w) =
2c
u
a
∆
,onobtient nalement:
∂Y
∂t
+ A(Y )
∂Y
∂x
= 0
Y (x, 0) =
Y
L
,
six < 0
Y
R
,
six > 0
(11) aveA(Y ) =
u
c
0
c
u g
0
0
0
.4.1 Linéarisation du problème de Riemann
A haqueinterfa e,onrésoutlesystème linéairesuivant:
∂Y
∂t
+ A( ˆ
Y )
∂Y
∂x
= 0
Y (x, 0) = Y
0
(x) =
Y
L
,
six < 0
Y
R
,
six > 0
(12)où
Y = ˆ
ˆ
Y (Y
L
, Y
R
)
estunétatmoyendépendantuniquementdesétatsY
L
etY
R
;Y
ˆ
doitenplusvéri erla onditionde onsistan e
Y (Y
ˆ
∗
, Y
∗
) = Y
∗
.Un hoixpossibleest don :
ˆ
Y =
Y
R
+ Y
L
4.2 Solveur de Riemann
A( ˆ
Y )
admettroisvaleurspropresquisont:ˆ
λ
0
= 0, ˆ
λ
1
= ˆ
u − ˆc, ˆλ
2
= ˆ
u + ˆ
c,
(14)Sousl'hypothèseque
|ˆu| 6= ˆc
etendehorsdeszonessè hes,lestroisvaleurspropressontdeuxàdeuxdistin teset
A( ˆ
Y )
est diagonisable.A haquevaleurpropre
λ
ˆ
k
,nousasso ionsunve teurpropreàdroiter
k
∈ R
3
:
A( ˆ
Y )r
k
= ˆ
λ
k
r
k
(15)etunve teurpropreàgau he
t
l
k
:t
l
k
A( ˆ
Y ) = ˆ
λ
k
t
l
k
(16) Proposition 4.1t
l
j
r
k
= 0, ∀j 6= k.
Preuvet
l
j
A = ˆ
λ
j
t
l
j
=⇒ (
t
l
j
A) r
k
=
ˆλ
j
t
l
j
r
k
=⇒
t
l
j
(Ar
k
) = ˆ
λ
j
t
l
j
r
k
=⇒
t
l
j
(ˆ
λ
k
r
k
) = ˆ
λ
j
t
l
j
r
k
=⇒
ˆλ
k
− ˆλ
j
t
l
j
r
k
= 0
=⇒
t
l
j
r
k
= 0, ∀j 6= k.
Remarque4.1•
t
l
j
r
k
= l
j
· r
k
.
•
Sir
estunve teurpropredelavaleurpropreλ
ˆ
,alorspourtoutα 6= 0
,αr
estégalementun ve teur propre de
ˆ
λ
. On peut don hoisir les bases (r
0
, r
1
, r
2
) et (l
0
, l
1
, l
2
) telles quel
j
· r
j
= 1
,∀j = 0, 1, 2.
• r
0
=
g(ˆ
λ
2
−ˆ
λ
1
)
2
−
g(ˆ
λ
2
+ˆ
λ
1
)
2
ˆ
λ
2
ˆ
λ
1
,r
1
=
−1
1
0
,r
2
=
1
1
0
. et• l
0
=
0
0
1
ˆ
λ
2
λ
ˆ
1
,l
1
=
−
1
2
1
2
g
2ˆ
λ
1
,l
2
=
1
2
1
2
g
2ˆ
λ
2
.(12)étantstri tementhyperbolique,alors
(r
0
, r
1
, r
2
)
est unebasedeR
3
.
En désignantpar
Y
∗
lasolutionde(12),onpeutalorsé rire:
Y
∗
(x, t) = α
0
(x, t)r
0
+ α
1
(x, t)r
1
+ α
2
(x, t)r
2
etY
∗
0
(x) = α
0
0
(x)r
0
+ α
0
1
(x)r
1
+ α
0
2
(x)r
2
∂Y
∂t
+ A( ˆ
Y )
∂Y
∂x
= 0
⇔
2
X
i=0
∂α
i
∂t
r
i
+
A( ˆ
Y )r
i
∂α
i
∂x
= 0
⇔
2
X
i=0
∂α
i
∂t
r
i
+
ˆλ
i
r
i
∂α
i
∂x
= 0
⇔
2
X
i=0
∂α
i
∂t
+ ˆ
λ
i
∂α
i
∂x
r
i
= 0
⇔
∂α
∂t
i
+ ˆ
λ
i
∂α
i
∂x
= 0, ∀i = 0, 1, 2
D'aprèslaproposition4.1,ona:α
0
i
(x) =
1
r
i
· l
i
Y
∗
0
(x) · l
i
= Y
0
∗
(x) · l
i
=
α
L
i
= Y
L
· l
i
,
six < 0
α
R
i
= Y
R
· l
i
,
six > 0
Maispour haque
i
,l'équationd'adve tion
∂α
i
∂t
+ ˆ
λ
i
∂α
i
∂x
= 0
α
0
i
(x) =
α
L
i
,
six < 0
α
R
i
,
six > 0
(17)admetpouruniquesolution:
α
i
(x, t) =
α
L
i
,
six
t
< ˆ
λ
i
α
R
i
,
six
t
> ˆ
λ
i
AinsilasolutionduproblèmedeRiemann (12)est:
Y
∗
(x, t)
=
Y
L
+
X
x/t>ˆ
λ
k
(α
R
k
− α
L
k
)r
k
=
Y
R
−
X
x/t<ˆ
λ
k
(α
R
k
− α
L
k
)r
k
4.3 Solutions du problème de Riemann
Nous présentonsdans e paragraphelestrois as possiblesde solutiondu problèmede
Riemann (12) dansle plan
(x, t)
. OndésigneY
∗
(0
−
, t)
etY
∗
(O
+
, t)
parY
∗
l
etY
∗
r
respe -tivement.x
t
Y
L
Y
R
Y
∗
l
Y
r
∗
ˆ
u − ˆc
ˆ
u + ˆ
c
(a)x
t
Y
L
Y
R
Y
∗
l
Y
r
∗
ˆ
u + ˆ
c
ˆ
u − ˆc
(b)Fig.3E oulementtorrentiel
(a)
:
Y
l
∗
= Y
r
∗
− (α
R
0
− α
L
0
)r
0
Y
∗
r
= Y
R
;
(b):
Y
l
∗
= Y
L
Y
∗
r
= Y
l
∗
+ (α
R
0
− α
L
0
)r
0
x
t
Y
L
Y
R
Y
∗
l
Y
r
∗
ˆ
u + ˆ
c
ˆ
u − ˆc
Y
∗
l
= Y
L
+ (α
R
1
− α
L
1
)r
1
Y
∗
r
= Y
R
− (α
R
2
− α
L
2
)r
2
4.4 Corre tion entropique
Le solveurde Roe peut onduire à une élérité négative faisant ainsi exploser
l'implé-mentationnumérique.
Parexemple,prenonsuné oulementsurfondplat(
a(x) ≡ 0
)aveu
L
= −
3
2
ˆ
c
,u
R
=
5
2
c
ˆ
. Onaalors((13)et(14)):ˆ
λ
1
= −
1
2
ˆ
c < 0
;λ
ˆ
2
=
3
2
ˆ
c > 0
.L'é oulementlo alestdon uvial.Déterminonsla omposante
2c
∗
l
deY
∗
l
(voirFIG.4):2c
∗
l
=
2c
L
+ (α
R
1
− α
L
1
)r
1
1
(aver
1
1
,première omposanteder
1
)=
2c
L
−
−
1
2
(2c
R
− 2c
L
) +
1
2
(u
R
− u
L
)
=
2c
L
−
−
1
2
(2c
R
− 2c
L
) +
1
2
× 4 ×
2c
R
+ 2c
L
2
=
−(c
R
+ c
L
) < 0
4.4.1 Céléritéde l'état intermédiaire
En reprenantlestrois on gurationsdelase tion-4.3,onobtient:
Cas(a):
2c
∗
l
= 2c
R
−
g(a
R
− a
L
)(ˆ
λ
2
− ˆλ
1
)
2ˆ
λ
2
ˆ
λ
1
2c
∗
r
= 2c
R
(18) Cas(b):
2c
∗
l
= 2c
L
2c
∗
r
= 2c
L
+
g(a
R
− a
L
)(ˆ
λ
2
− ˆλ
1
)
2ˆ
λ
2
λ
ˆ
1
(19) Cas( ):
2c
∗
l
=
1
2
2(c
R
+ c
L
) − (u
R
− u
L
) −
g(a
R
− a
L
)
ˆ
λ
1
2c
∗
r
=
1
2
2(c
R
+ c
L
) − (u
R
− u
L
) −
g(a
R
− a
L
)
ˆ
λ
2
(20)4.4.2 E oulementsur fond plat
Proposition 4.2 [4 ℄Si
u
R
− u
L
< 2(c
R
+ c
L
)
(21)alors l'étatintermédiaire
Y
∗
admetune élérité positive.
Preuve
La preuve est immédiate; en eet, i i
a
R
− a
L
= 0
. Par suite, la élérité de l'étatintermédiaire
Y
∗
estpositived'après18,19et20.
Si la ondition(21)est violée,onpose[4℄:
c
∗
r
= c
∗
l
= 0
.4.4.3 E oulementave topographie
On hoisitalorsd'agirsurlesvitessesd'ondes
λ
ˆ
del'étatintermédiaireY
∗
;onnotera
λ
lesnouvellesvitessesde
Y
∗
quiserontutiliséesdansl'implémentationnumérique.
Proposition 4.3 Onsuppose
u
R
− u
L
< 2(c
R
+ c
L
)
;siˆ
λ
1
< 0 < ˆ
λ
2
,le hoix
λ
1
= ˆ
λ
1
λ
2
= max
ˆ
λ
2
,
g(a
R
− a
L
)
2(c
R
+ c
L
) − (u
R
− u
L
)
,
sia
R
> a
L
et
λ
1
= min
ˆ
λ
1
,
g(a
R
− a
L
)
2(c
R
+ c
L
) − (u
R
− u
L
)
λ
2
= ˆ
λ
2
,
sia
R
< a
L
permetl'obtentiond'unétat intermédiaire
Y
∗
à élérité positive.
Preuve
Lapreuveest immédiated'après20.
Si la ondition(21)est violée,onpose:
c
∗
l
= −
g(a
R
− a
L
)
4ˆ
λ
1
c
∗
r
= 0
,sia
R
> a
L
et
c
∗
l
= 0
c
∗
r
= −
g(a
R
− a
L
)
4ˆ
λ
2
, sia
R
< a
L
Proposition 4.4 Si
λ
ˆ
2
< 0
,le hoix
λ
1
= ˆ
λ
1
λ
2
= min
ˆ
λ
2
, −
g(a
R
− a
L
)ˆ
λ
1
4c
R
ˆ
λ
1
− g(a
R
− a
L
)
!
,
sia
R
> a
L
etλ
1
= ˆ
λ
1
λ
2
= ˆ
λ
2
,
sia
R
< a
L
permetl'obtentiond'unétat intermédiaire
Y
∗
à élérité positive.
Preuve
Lapreuveest immédiated'après18.
Proposition 4.5 Siλ
ˆ
1
> 0
,le hoixλ
1
= ˆ
λ
1
λ
2
= ˆ
λ
2
,
sia
R
> a
L
et
λ
1
= max
ˆ
λ
1
, −
g(a
R
− a
L
)ˆ
λ
2
4c
L
λ
ˆ
2
− g(a
R
− a
L
)
!
λ
2
= ˆ
λ
2
,
sia
R
< a
L
permetl'obtentiond'unétat intermédiaire
Y
∗
à élérité positive.
Preuve
Lapreuveest immédiated'après19.
4.5 Traitement des ban s- ouvrants-dé ouvrants
On sesituei i dansle as oùla hauteurdel'état
w
R
ou elle dew
L
est nulle. Pourladétermination de l'état intermédiaire
Y
∗
, nous utilisons les résultats de [5℄ basés sur une
nouvelleestimation desvitessesd'onde
λ
1
etλ
2
:Uneondede détenteest générée du téh
R
> 0
h
L
= 0
h
L
> 0
h
R
= 0
λ
1
= u
L
− c
L
λ
2
= u
L
+ 2c
L
λ
1
= u
L
− 2c
L
λ
2
= u
L
+ c
L
Fig.5ban s- ouvrants-dé ouvrants 5 Résultats numériques 5.1 E oulements noyésLa longueurdudomainede al ul est
L = 25m
,le nombredepointsdumaillageN =
1000
;laduréetotaled'observationestT = 1.2s
;les onditionsinitialessont:0 ≤ x ≤ 12.5 12.5 ≤ x ≤ 25
h(x, t = 0)
3
4
5.1.1 Test1: E oulementsur fondplat
a(x) = 0, ∀x ∈ [0; 25]
;CF L = 0.8
.Fig.6Test1(t=0s)
5.1.2 Test2: E oulementave topographie
a(x) = 2
sur[0; 12.5]
eta(x) = 0
sur[12.5; 25]
;CF L = 0.8
.Fig.8Test2(t=0s)
5.1.3 Test3: E oulementave topographie
a(x) = 4
sur[0; 12.5]
eta(x) = 0
sur[12.5; 25]
;CF L = 0.6
.Fig.10Test3(t=0s)
5.2 Ban s- ouvrants-dé ouvrants
Lalongueurdudomainede al ulest
L = 25m
,lenombredepointsdemaillageN = 500
;laduréetotaled'observationest
T
;les onditionsinitialessont:Test 4
0 ≤ x ≤ 12.5 12.5 ≤ x ≤ 25
h(x, t = 0)
1.5
0
u(x, t = 0)
0
0
Test 50 ≤ x ≤ 7.5 7.5 ≤ x ≤ 10.5 10.5 ≤ x ≤ 14.5 14.5 ≤ x ≤ 25
h(x, t = 0)
1
0.1 − a(x)
0
0.1 − a(x)
u(x, t = 0)
0
0
0
0
5.2.1 Test4: Ban s- ouvrants-dé ouvrants
a(x) = 0
sur[0; 12.5]
eta(x) = 1
sur[12.5; 25]
;T = 2s
;CF L = 0.4
.Fig.12Test4(t=0s)
5.2.2 Test5: Ban s- ouvrants-dé ouvrants
a(x)
(voir gure);T = 3s
;CF L = 0.4
.Fig.14Test5(t=0s)
6 Con lusion
Exploitantlesrésultatsde[2,3,4℄,nousavonsprésentéuneformulation élérité-vitesse
deséquationsdeSaint-Venant.LaméthodeVFRoe onduitàlarésolution,parinterfa edu
maillage spatial,d'un problème deRiemann. Notre ontributiona été, en agissantsur les
vitessesd'ondes, la onstru tiond'unsolveurde Riemannappro hégarantissantla
préser-vation delapositivitéde la éléritéde l'étatintermédiaire dansla résolutionduproblème
deRiemann.L'exploitationdesrésultatsde[5,6℄nousaensuitepermisd'adapterlesolveur
a ndeprendreen omptelasimulationnumériquedesban s- ouvrants-dé ouvrants.
LesolveurdeRiemannappro héprésentédans erapportpermetd'ee tuerdes
simula-tionsnumériquesdeséquationsdeSaint-Venant,mêmeenprésen edehauteursd'eaunulles
(re ouvrement,dé ouvrement).Lapro haineétapedenotretravail onsisteraàl'extension
Référen es
[1℄ Ashwin CHINNAYYA, Alain-Yves LEROUX, and Ni olasSEGUIN. Awell-balan ed
numeri als heme fortheapproximationofshallow-waterequationswithtopography:
theresonnan ephenomenon. InternationalJournalonFiniteVolume,1-1:133,2004.
[2℄ ThierryGALLOUET, Jean-Mar HERARD,andNi olasSEGUIN. Someapproximate
godunovs hemesto omputeshallow-waterequationswithtopography. Computerand
Fluid ,2001.
[3℄ ThierryGALLOUET,Jean-Mar HERARD,andNi olasSEGUIN. Somere ent nite
volume s hemes to omputeeulerequations using real gaseos. InternationalJournal
ForNumeri alMethods InFluids,39:10731138,2002.
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