Polynˆomes orthogonaux
Nicolas RAYMOND
25 mai 2012
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Vous avez dit base hilbertienne ?
Int´egrales `a param`etre holomorphe
Th´eor`eme 1.1 Soit I un intervalle de R. Soit Ω un ouvert non vide de C. Soit une fonction f sur I × Ω `a valeurs dans C et qui v´erifie :
– t 7→ f (t, z) mesurable,
– z → f (t, z) holomorphe sur Ω,
– ∀K ⊂ Ω compact, il existe gK ∈ L1(I) telle que : |f (t, z)| ≤ gK(t) pour tout t ∈ I
etz ∈ K.
Alors, si on pose, pourz ∈ Ω :
F (z) = Z
I
f (t, z)dt,
on d´efinit une fonction holomorphe sur Ω et on peut d´eriver sous le signeR .
La preuve est ´el´ementaire. La fonction est d´ej`a clairement d´efinie sur Ω. Soit z0 ∈ Ω. Soit
D(z0, R) ⊂ Ω avec R > 0. On a, par holomorphie, pour z ∈ D(z0, R/2) :
F (z) = Z I +∞ X n=0 fz(n)(t, z0) n! (z − z0) ndt. Il s’agit de majorer : fz(n)(t, z0) n! (z − z0) n .
Nous utilisons les in´egalit´es de Cauchy : fz(n)(z0) n! (z − z0) n ≤ R−nkfzk∞C(z0,R)(R/2) n ≤ 2−n gK(t) ∈ L1.
Un exemple de base hilbertienne
Soit w une fonction continue sur R telle qu’il existe α > 0 et c > 0 tels que : 0 < w(x) ≤ Ce−α|x|. On d´efinit : L2w = {f ∈ L2(R) : Z R |f |2w(x)dx < +∞}.
On d´efinit un produit scalaire :
(f, g) = Z
R
f gwdx.
On d´efinit la suite (Pn) (normalis´ee) des polynˆomes orthogonaux pour ce produit scalaire
(obtenue par le proc´ed´e d’orthonormalisation standard). Montrons que cette suite est une base hilbertienne. Cette suite est orthonorm´ee par construction. Montrons qu’elle est totale. Soit f ∈ L2w et supposons que :
Z
R
f Pnwdx = 0, ∀n ∈ N.
Il est ais´e d’obtenir par r´ecurrence que : Z
R
f xnwdx = 0, ∀n ∈ N.
On reconnaˆıt alors une transform´ee de Fourier. Introduisons en effet :
F (ξ) = Z
R
f (x)w(x)e−ixξdx.
F est bien d´efinie sur
B = {ξ : |=(ξ)| ≤ α 4}. On a en effet la majoration :
|f (x)w(x)e−ixξ| ≤ |f (x)|eα|x|/2ex=(ξ)−α|x|/2. Il vient alors :
ex=(ξ)−α|x|/2 ≤ e−α|x|/4. Ainsi, pour ξ ∈ B, on a :
f (x)w(x)e−ixξ ∈ L1
(R).
On vient de majorer la fonction par une fonction ind´ependante de ξ et int´egrable. Cette fonction est holomorphe dans la bande B, il s’ensuit que F est holomorphe sur B et qu’on peut d´eriver l’int´egrale :
F(n)(ξ) = Z
R
Il vient :
F(n)(0) = 0.
Le th´eor`eme du prolongement analytique (B est connexe) impose donc F = 0. On trouve en particulier que :
F (f w) = 0. On en conclut que f w = 0 et donc f = 0.
On conclut par un exemple. On prend w(x) = e−x2 et on pose fn = Pne−x
2/2
. Il est clair que (fn) est une base hilbertienne de L2(R).
2
Polynˆomes de Laguerre et d’Hermite
Nous allons appliquer le r´esultat de la section pr´ec´edente `a la r´esolution de probl`emes spectraux.
2.1
Polynˆomes d’Hermite
Avant de faire connaissance avec l’op´erateur qu’on veut examiner, introduisons le in-formellement. Nous aimerions trouver les λ pour lesquels il existe une fonction ψ non nulle et dans L2 telle que :
(−∂x2 + x2)ψ = λψ.
Il se trouve que ψ(x) = e−x2/2 fonctionne avec λ = 1. Une id´ee simple est alors de consid´erer le conjugu´e de l’op´erateur (c’est `a dire faire un changement de fonction incon-nue) :
ex2/2(−∂x2+ x2)e−x2/2= 1 + 2(−∂x2+ 2x∂x).
On va donc ´etudier :
H = −∂2
x+ 2x∂x
sur L2(e−x2/2dx). H a un avantage : il pr´eserve R
N[X] pour une raison ´evidente. De plus,
si on munit R[X] du produit scalaire naturel : (P, Q) =
Z
R
P Qe−x2dx,
on constate que H est sym´etrique. C’est une cons´equence simple de :
h(−∂x2+ x2)ψ, φiL2 = hψ, (−∂x2+ x2)φiL2
quand ψ et φ sont dans S(R). H est un endomorphisme sym´etrique de RN[X], il est donc
diagonalisable. Soit (λ, P ) une paire propre avec P de degr´e n. On r´esout :
L’identification des termes dominants contraint : λ = n et, cette condition ´etant satisfaite, cela d´etermine tous les coefficients modulo le coefficient dominant. Sur RN[X] le spectre
est donc 0, 1, 2, · · · , N et chaque valeur propre est simple. On note (n, Hn) les paires ainsi
trouv´ees avec Hnnormalis´ee pour la norme naturelle et avec coefficient dominant positif.
Nous venons de mettre en ´evidence une famille de paires propres pour l’op´erateur ini-tial : (2n + 1, Hn(x)e−x
2/2
). Il se trouve, par un argument d’alg`ebre lin´eaire ´el´ementaire, que les Pn sont deux `a deux orthogonaux (associ´es `a des valeurs propres distinctes) ou de
fac¸on ´equivalente : hHn(x)e−x
2/2
, Hm(x)e−x
2/2
i = δnm. La section pr´ec´edente montre que
cette famille est totale dans L2(R).
2.2
Polynˆomes de Laguerre
De la mˆeme fac¸on, faisons connaissance avec un autre probl`eme quantique. Nous ai-merions trouver les valeurs propres de l’oscillateur harmonique radial 2D :
(−∆ + kxk2)ψ = λψ.
Il est tr`es ais´e de trouver que les valeurs de λ qui conviennent puisque nous avons un produit tensoriel : elles sont de la forme 1 + 2n + 1 + 2m = 2 + 2(n + m) et on obtient tous les entiers pairs `a partir de 2. Ici, pourtant, nous avons une sym´etrie et nous pourrions l’exploiter pour expliciter un peu les fonctions propres.
`
A cette fin, on passe en coordonn´ees polaires et nous trouvons l’op´erateur :
−∂2 ρ − ρ
−1
∂ρ− ρ−2∂θ2+ ρ2
agissant sur L2(ρdρ). Par d´ecomposition en s´erie de Fourier, nous sommes amen´es `a l’´etude de :
−∂2 ρ− ρ
−1
∂ρ+ ρ−2m2+ ρ2,
sur L2(ρdρ) avec m ∈ Z. Sortons de l’espace `a poids en posant t = ρ2 et on trouve
l’op´erateur suivant :
−4t∂t2− 4∂t+
m2
t + t, sur L2(R+, dt).
Faisons une remarque pr´eliminaire. Pour m = 0, on observe que (2, e−t/2) est une paire propre.
Pour m quelconque, on peut essayer tαe−t/2 et trouve que (2 + 2m, tm/2e−t/2) fonc-tionne.
On applique la mˆeme id´ee que dans la section pr´ec´edente et on examine le conjugu´e :
t−m/2et/2 −4t∂2 t − 4∂t+ m2 t + t tm/2e−t/2 = −4t∂t2−4(m+1−t)∂t= 4Lm+2m+2,
o`u :
Lm = −t∂t2− (m + 1 − t)∂t.
Cet op´erateur se traite de fac¸on compl`etement identique `a celui de la section pr´ec´edente ; il est sym´etrique sur RN[X] pourvu qu’on y mette le produit scalaire :
(P, Q) = Z +∞
0
P Q tme−tdt.
Ses valeurs propres sont les entiers. De mˆeme que pr´ec´edemment, on en d´eduit une famille de paires propres (n, L(m)n ) de sorte que les L(m)n sont deux `a deux orthogonaux. Ainsi, les
fonctionstm/2L(m) n e−t/2
n∈N
forment une famille totale dans L2(R +, dt).
Dans les coordonn´ees polaires initiales, la famille s’´ecrit :
ρmL(m)n (ρ2)e−ρ2/2eimθ.
En notation complexe, cela donne :
