Chemins confinés dans un quadrant

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Chemins confinés dans un quadrant

Kilian Raschel

To cite this version:

Kilian Raschel. Chemins confinés dans un quadrant. Mathematics [math]. Université Pierre et Marie

Curie - Paris VI, 2010. English. �tel-00539964�

É ole Do torale de Paris Centre

Thèse de do torat

Dis ipline : Mathématiques

présentée par

Kilian Ras hel

Chemins onnés dans un quadrant

dirigée par Irina Kurkova

Soutenue le 24 novembre 2010 devant le jury omposé de :

M. Philippe Biane Université de Marne la Vallée examinateur M. Philippe Bougerol Université Pierre et Marie Curie examinateur M. Nathanaël Enriquez Université Paris Nanterre examinateur M. Guy Fayolle INRIA Paris Ro quen ourt examinateur M. Philippe Flajolet INRIA Paris Ro quen ourt rapporteur M. Wolfgang König WIAS Berlin rapporteur M

me

Irina Kurkova Université Pierre et Marie Curie dire tri e M. Mar Peigné Université de Tours examinateur

Laboratoire deProbabilités et ModèlesAléatoires Case ourrier 188

4,Pla e Jussieu 75252 Paris Cedex05

É oleDo torale deParis Centre Case ourrier188

4,Pla eJussieu 75252 Paris Cedex05

Remer iements

Mes remer iements s'adressent tout naturellement d'abord à ma dire tri e de thèse, Irina Kurkova. Je souhaite la remer ier pour son a ompagnement onstant, son soutien sansfaille et sesen ouragementspermanents.Son expérien e, ainsiquela générositéave laquelle elle m'a fait proter de ses qualités s ientiques, ont été pour moi une immense han e; ette thèse luidoit beau oup.

J'exprime maprofondegratitudeàPhilippe Flajolet etWolfgangKönigpourletemps onsa réà rapporter ette thèse,pour leurs appré iationsen ourageantes et inspiratri es, ainsiquepourleur a ueil haleureuxdurant desvisitesàl'INRIA Paris-Ro quen ourtet au WIASBerlin.

Je suis extrêmement re onnaissant à Philippe Biane, Philippe Bougerol, Nathanaël Enriquez, Guy Fayolle et Mar Peigné d'avoir a epté de faire partie de mon jury. Je remer ie d'abord Philippe Biane pour l'intérêt qu'il a porté envers mon travail ainsi que pourlesdis ussionsenri hissantesdontj'aieuleplaisirdebéné ier.Je suistrèsredevable àPhilippeBougerolpoursabienveillan e etpouravoirinspirél'étudede ha une desdeux parties de ma thèse.Je suis aussi re onnaissant à Nathanaël Enriquez de sadisponibilité et de l'intérêt qu'il a manifesté à l'égarddes méthodesd'analyse utilisées dans mathèse. Je remer ieégalementGuy Fayolle pour nosdis ussions siagréablesautourdupetit livre jaune ainsiquepour notre ollaborationfru tueuse. J'exprimeennmagratitudeàMar Peigné poursabienveillan e et sona ompagnement, depuismaintenant plusdesept ans. Lesdeuxannéespasséesàl'UniversitédeToursont étédéterminantesdansmavolonté depoursuivrel'étudedesmathématiques. Aussijeremer ietouslesenseignants- her heurs que j'aieu la han e et leplaisir de roiser durant ette période, et tout parti ulièrement Marie-FrançoiseBidaut-Véron pour ses en ouragements et l'intérêt qu'ellem'atémoigné.

Tout au long de mes années de thèse, j'ai été parti ulièrement sensible au fait que des enseignants- her heurs prennent le temps de parler de mathématiques ave moi  si inexpérimenté! ,et parfoismême me proposent des ollaborations, ou en ore m'invitent quelques jours dans leur université. Aussi en sais-je profondément gré à Ivo Adan, Nils Berglund, AlinBostan, OnnoBoxma,Frédéri Chyzak,RodolpheGarbit, Barbara Gentz, IrinaIgnatiouk-Robert,PaulineLatte-Godillon,JohanvanLeeuwaarden, ThomasSimon, Chi Tran et Wolfgang Woess.

Je mesure la han e d'avoir ee tué ma thèse au sein du Laboratoire de Probabilités et de Modèles Aléatoires, et je remer ie haleureusement tous ses membres pour leur a ueil et leur a ompagnement pendant ma thèse. Ces trois années se sont déroulées dansl'ambian ejoyeuserégnante auseindesdo torants,et j'adressemesamitiésàAbass, Alexander,Assane,Clément,David,Dominique,Elie,Emmanuel,Eri ,Fernando,François C., François S., Gilles, Guanying, Joa him, Joseph, Manon, Mathieu, Ni olaos, Noufel, Pas al, Raoul, SophieD., SophieL., Stavros, ThanhMai, Thomaset Vin ent.

Je suiségalement re onnaissantàAurélieet Mathieupour leuramitié etleura ueilsi haleureux lors de mes séjours à Paris. Je salue aussiami alement Ludovi et Benjamin, mes an iens olo ataires, pour les deux années agréables passées au Pré; je remer ie e même Benjaminpour les dis ussionsvariéesquej'ai eu leplaisir departager ave lui.

Enn, jetiens à remer iersin èrement ma famille,d'abord pourleur présen eet leurs en ouragements, aussi pour leur grande aide en allemand et en anglais, enn pour avoir rendu le hoix d'un do toratsi naturel.

En toutdernier lieu,je remer ie Gaëlle pour saprésen etoujours rassurante, enri his-sante et porteused'espoirs, au-delà de es troisannéesde thèse.

Résumé et mots lés

Résumé : Les thèmes abordés dans le adre de la thèse Chemins onnés dans un qua-drant se on entrent autourdesmar hesàpetitssauts( 'est-à-direauxhuitpluspro hes voisins) onnées dansunquart de plan.

Tout d'abord, nous onsidérons le problème ombinatoire onsistant à ompter les heminsduplanqui,sedéplaçantselonunensemblexédesauts,restentdansunquadrant. Nousnousfo alisons surles questionssuivantes :

 expli iter la série génératri e des nombres de hemins partant de l'origine et se terminant en un ertain point en untemps xé;

 analyserlafaçondont ettefon tiondépenddel'ensembledesauts,etenparti ulier étudier sanature(rationnelle, algébrique,(non) holonome).

Ensuite,nousexaminonsleproblèmeprobabilistedesmar hesaléatoiresàvaleursdans un quadrant, homogènes à l'intérieur et tuées au bord. Nous nous intéressons alors aux questionssuivantes :

 expli iterlesprobabilitésd'absorption enun ertainpointdubordenuntempsxé, et enparti ulier les probabilitésd'absorption en un ertainsite dubord;

 trouver l'asymptotiquede esprobabilités;

 expli iter lesprobabilités quelepro essussetrouve enun ertainpoint intérieur au quadrant en un tempsxé, et les fon tionsde Green;

 al ulerl'asymptotiquepré isede esfon tionsdeGreenlelongdetoutesles traje -toires;

 obtenir toutes les fon tionsharmoniques positivesou nulles ainsique la ompa ti- ation deMartin;

 analyserletempsd'absorptionsurlesaxes,etnotammentl'asymptotiquedesaqueue dedistribution.

Les méthodes que nous utilisons pour répondre aux questions i-dessus font appel à l'analyse omplexe.

Mots lés : Mar hes aléatoires tuées; Fon tions de Green; Probabilités d'absorption; Frontière deMartin; Énumération des mar hes duplan; Sériesgénératri es; Algébri ité; Holonomie; Problèmes frontière; Surfa es de Riemann; Uniformisation; Représentations onformes

Abstra t and keywords

Abstra t : ThePhD thesisPaths onned toa quadrant dealswith two dierent aspe ts of the walks with small steps (i.e. to the eight nearest neighbors) that are onned to a quarterplane.

First, we study the ombinatori s of ounting the planar walks whi h, while moving a ording to agivenstep set,remainin a quadrant. Wethen on entrate on the following problems :

 to make expli itthe generatingfun tion ofthe numbers ofsu htraje tories;  toanalysethe fashioninwhi hthatseriesdependsonthestepset, andinparti ular

itsnature (rational,algebrai , (non-)holonomi ).

Se ond, we studythe random walkswith values in aquadrant,whi h aretaken homo-geneous inside and killed at the boundary. For these pro esses, we are interested in the following probabilisti problems :

 to make expli it the absorption probabilities at a xed time in a ertain site of the boundary, and in parti ular the absorption probabilities in some point of the boundary;

 to ndthe asymptoti behaviorof theseprobabilities;

 tomakeexpli itthe probabilitiesthatthepro ess,ataxedtime,isina ertainsite belonging to the interior ofthe quadrant,and in parti ular the Green fun tions;  to ompute the pre iseasymptoti sof theseGreen fun tions alongall traje tories;  toobtainallnon-negativeharmoni fun tions,aswellastheMartin ompa ti ation;  to analyse the hitting time of the axes, and in parti ular evaluating its asymptoti

tail distribution.

Themethodsthatweuseinordertosolvetheseproblemsarepartiallybasedon omplex analysis.

Keywords:Killedrandomwalks;Greenfun tions;Absorptionprobabilities;Martin boun-dary; Enumeration of the planar walks; Generating fun tions; Algebrai ity; Holonomy; Boundaryvalueproblems; Riemann surfa es; Uniformization; Conformal mappings

I Introdu tion 11

1 Appro he analytique . . . 14

1.1 Prin ipe de l'appro he . . . 14

1.2 Problèmes de Riemann-Carleman et ollage onforme. . . 18

1.3 Cal ul desasymptotiques . . . 21

2 Énumération des hemins . . . 23

3 Mar hestuées . . . 30

3.1 Résultats expli ites . . . 35

3.2 Asymptotique des fon tions de Green et des probabilités d'absorp-tiondansle as d'un driftnon nul . . . 37

3.3 Asymptotique des fon tions de Green et des probabilités d'absorp-tiondansle as d'un driftnul . . . 39

3.4 Asymptotique de laqueue de distribution du temps d'atteinte d'un desaxes . . . 43

4 Correspondan e desprin ipaux résultatsde l'introdu tion . . . 46

5 Perspe tives . . . 47

6 Notations . . . 47

II Énumération des hemins 49 A Gessel's walk 51 A.1 Introdu tion and main results . . . 51

A.2 Studyof the onformalgluing fun tions . . . 60

A.2.1 Uniformization . . . 60

A.2.2 Impli it expressionand global propertiesof the CGF . . . 62

A.2.3 Proofof Theorem A.7 . . . 63

A.3 Holomorphi ontinuation of the generatingfun tions . . . 65

B Counting walks in a quadrant, a unied way 69 B.1 Introdu tion and main results . . . 69

B.2 Holomorphi ontinuation of the generatingfun tions . . . 75

B.2.1 Proofof Theorem B.8 . . . 76

B.2.2 Proofof Theorem B.4 . . . 77

B.3 Uniformization . . . 79

B.4 Conformal gluing fun tions . . . 82

B.4.1 Findingall suitable onformalgluing fun tions . . . 82

B.4.3 Case ofa nite group . . . 86

B.4.4 Con luding remarks . . . 91

III Mar hes tuées 93 C Killed randomwalks with non-zero drift 95 C.1 Introdu tion . . . 95

C.2 Analyti approa h . . . 99

C.2.1 Thefundamentalfun tional equation . . . 99

C.2.2 TheRiemann surfa e

{(x, y) ∈ (C ∪ {∞})

2

_{: K(x, y) = 0}}

. . . 99

C.2.3 Galois automorphisms and meromorphi ontinuation . . . 101

C.2.4 About the probability ofabsorption . . . 103

C.3 Expli itexpressionof the absorptionprobabilities . . . 106

C.3.1 Riemann boundary valueproblemwith shift . . . 106

C.3.2 Studyof the integral representations ofthe generating fun tions. . . 107

C.4 Asymptoti ofthe Green fun tions . . . 109

C.4.1 First ase:

γ ∈]0, π/2[

. . . 110

C.4.2 Se ond ase:

γ = 0, π/2

. . . 113

C.5 Fine propertiesof the onformalgluing fun tions . . . 120

C.6 Asymptoti ofthe absorption probabilities . . . 123

D Killed randomwalks related to SU

(3)

131 D.1 Introdu tion and main results . . . 131

D.2 Expli itexpressionof the Green fun tions . . . 135

D.3 Asymptoti ofthe Green fun tions . . . 140

D.4 Interlude . . . 144

E Killed randomwalks related to Sp

(4)

149 E.1 Introdu tion . . . 149

E.2 Analyti approa h . . . 154

E.2.1 A fun tionalequation . . . 154

E.2.2 Uniformization and meromorphi ontinuation . . . 155

E.3 Harmoni fun tions . . . 159

E.4 Asymptoti ofthe Green fun tions . . . 162

E.4.1 Statement of the results . . . 162

E.4.2 Proofs . . . 163

E.5 Absorption probabilities . . . 168

E.5.1 Asymptoti ofthe absorption probabilities,a rstmethod . . . 168

E.5.2 Integral representation ofthe generating fun tions . . . 168

E.5.3 Asymptoti ofthe absorption probabilities,a se ond method . . . 170

F Hitting time of the boundary 173 F.1 Distribution ofthe hittingtimesof both axes and ofthe origin . . . 173

F.2 Case ofa group oforder

4

forall

z

. . . 175

F.2.1 A hange of variable via the Chebyshevpolynomials . . . 176

F.2.2 Thegamblerruin . . . 177

F.2.4 Non-zerodrift . . . 180

F.2.5 Generalizationof Subse tion F.2.3 . . . 183

F.3 Case ofa group oforder

6

forall

z

. . . 185

F.3.1 Thevotermodel . . . 186

F.3.2 Exa t distributionof the hittingtimes ofboth axes . . . 188

F.3.3 Asymptoti tail distributionof the hittingtimes. . . 189

Les thèmes quenous aborderons dans le adre de ette thèse se on entreront autour desmar hesàpetitssauts onnéesdansun quartde plan.Nous étudieronsdeux aspe ts de es pro essus, en donnant, dans ha une des Parties II et III, un sens diérent à la notion de onnement.

Tout d'abord,dansla Partie II,nous onsidérerons les heminsdu quadrant

Z

2

+

∗

sedéplaçant selonlemême ensembledesauts

S

entoutpointintérieurauquadrant,

∗

suivant

S ∩ (Z × Z

+

)

(resp.

S ∩ (Z

+

× Z)

,

S ∩ (Z

+

× Z

+

)

)surlebordhorizontal(resp. surlebord verti al,en l'origine)du quart deplan

Z

2

+

,

∗

àpetitssauts,i.e.

S ⊂ {−1, 0, 1}

2

_{\ {0, 0}}

. Il ya manifestement

2

8

modèles, maisquelques-unssont triviaux, tandis que ertains s'obtiennent par symétrie à partir d'autres; M. Bousquet-Mélou et M. Mishna montrent dans [BMM09 ℄ qu'il existe en réalité

79

problèmes intrinsèquement diérents à étudier. Pour es

79

ensembles de sauts

S

, nousnousfo aliseronssurles questionssuivantes :

(1) expli iter la fon tion génératri e (de trois variables) du nombre de hemins partant de l'origineet seterminant en un ertainpoint de

Z

2

+

en untemps xé,

(2) analyser la façon dont ette fon tion génératri e dépend de

S

, et, en parti ulier, étudier sanature (rationnelle, algébrique, holonome,non holonome).

Figure 1 Exemple de mar hes onsidérées danslaPartie II

S

Ensuite, dans la Partie III, parti ulièrement motivés par les travaux [Bia91 , Bia92a , Bia92b ,Bia92 ℄ de P. Biane, [IR08,IRL09, IR09a, IR09b℄ de I.Ignatiouk-Robert etal. et [EK08 ,KS09 ℄deW.Königetal.,nousanalyseronslesmar hesaléatoires

(X(k), Y (k))

k∈Z

+

àvaleursdansle quartde plan

Z

2

+

∗

homogènes à l'intérieur du quadrant

Z

2

+

, i.e. les probabilités de transition

p

i,j

=

P[(X(k + 1), Y (k + 1)) = (X(k), Y (k)) + (i, j) | X(k) 6= 0, Y (k) 6= 0]

nedépendront pasde

(X(k), Y (k))

,

∗

faisant despetits sauts à l'intérieur du quadrant, i.e. les

p

i,j

i-dessusseront nulles dèsque

|i| > 1

ou

|j| > 1

,

∗

tuées aubord de

Z

2

+

, i.e. sur

(Z

∗

+

× {0}) ∪ {(0, 0)} ∪ ({0} × Z

∗

+

)

. Pour espro essus, nousnousintéresserons auxproblèmes suivants:

(3) expli iterlafon tiongénératri e(de deuxvariables) desprobabilitésd'absorption en un ertain point du bord en un temps xé, et, en parti ulier, elle (d'une variable) desprobabilités d'absorption en un ertainsite du bord,

(4) trouver laforme expli iteet l'asymptotique desprobabilités i-dessus,

(5) expli iterlafon tiongenératri e(detroisvariables)desprobabilitésquelepro essus se trouve en un ertain point de l'intérieur du quadrant en un temps xé, et, en parti ulier, lafon tion génératri e (de deuxvariables) desfon tions deGreen,

(6) al uler l'asymptotique pré ise des fon tions de Green le long de toutes les traje -toires,

(7) obtenir toutes lesfon tionsharmoniques positivesou nulles, ainsiquela ompa ti- ation deMartin,

(8) analyserletemps d'atteinte desaxes,et,enparti ulier, évaluerl'asymptotiquedesa queuede distribution.

Figure 2 Mar hesaléatoires analyséesdanslaPartie III

(p

i,j

)

−1≤i,j≤1

Lesthèmesdesdeuxbran hesde ettethèsesont ertesindépendants,maisleuranalyse s'avéreraposséderun point ommunessentiel :lesfon tionsgénératri es desquantitésqui nous intéresseront, omme le nombre de hemins dans la Partie II, puis les probabilités d'absorption et les fon tions de Green dans la Partie III, vérient une ertaine équation fon tionnellequi seranotre point dedépart.

C'est etaspe tanalytiquequenousallonsprésenterenpremierlieu,danslaSe tion 1 de ette introdu tion. Par la suite, nous motiverons et énon erons de façon détaillée nos ontributionsàl'analysedel'énumérationdes heminset àl'étudedesmar hestuées,dans les Se tions2 et 3respe tivement.

1 Appro he analytique 1.1 Prin ipe de l'appro he

L'appro he pionnièrepour résoudredesproblèmes liés auxmar hes dansun quadrant via l'utilisation d'une équation fon tionnelle et de l'analyse omplexe a été proposée par V. Malyshev dansles années1970, alors an d'étudier les probabilités stationnaires pour des mar hes aléatoires ergodiques, homogènes à l'intérieur du quadrant et réé hies sur lebord, voir[Mal72℄. Dans etarti le, V.Malyshev a obtenu leur fon tion génératri e en termesde sérieset deproduits innis,dénis surlere ouvrement universeld'une ertaine surfa e de Riemann naturellement asso iée à la mar he aléatoire. Pour des questions semblables,G.FayolleetR.Iasnogorodskiont,peudetempsaprès,présentédans[FI79℄une appro heplusintrinsèqueau plan omplexe, utilisantnotamment desproblèmes frontière. Plusré emment,le livre[FIM99℄destroisauteurs pré édemment mentionnés arésuméet proposéde nouvelles voies pour le al ul de esfon tionsgénératri es.

Malheureusement, es méthodes ne donnent pas dire tement d'information sur le omportement quantitatif des probabilités stationnaires. C'est pourquoi V. Malyshev a suggérédefaçonindépendante,dans[Mal73℄,uneappro hepour al ulerl'asymptotiquede esprobabilités.CettedernièreaéténotammentdéveloppéeparI.KurkovaetV.Malyshev dans [KM98 ℄ pour le al ul de l'asymptotique des fon tions de Green et de la frontière de Martin de pro essus transients et réé his sur le bord du quadrant, puis adaptée par

I.KurkovaetY.Suhovdans[KS03 ℄àl'étudede ertainesmar hesaléatoiresnonhomogènes àl'intérieur du quadrant.

Avant de dé rire pré isément les deux aspe ts de ette appro he, nous allons nous intéresser à son analogue élémentaire de dimension un, à travers l'exemple de la ruine du joueur. Notons don

(X(k))

k∈Z

+

la mar he aléatoire aux plus pro hes voisins sur

Z

+

, ave probabilités

p

1

de roître et

p

−1

= 1 − p

1

de dé roître, absorbée en

0

et partant d'un ertain état initial

i

0

. Aussi, posons

q

i

0

pour la probabilité de ruine et

Q

i

0

(x) =

P

i≥1

P

k≥1

P

i

0

[X(k) = i]x

i−1

pour la sériegénératri e des fon tionsde Green. Il esttrès fa ilede montrer que esdernières vérient l'équation

x



p

1

x + p

−1

x

−1

− 1



Q

i

0

(x) = q

i

0

− x

i

0

_.

(1) Grâ e à (1), trouver expli itement les fon tions de Green estéquivalent à obtenir

q

i

0

. Pour efaire,remarquonsqu'évaluer(1)enunpoint

x

ˆ

annulantlenoyau

x[p

1

x+p

−1

x

−1

_−1]

et appartenant au domaine de dénition de

Q

i

0

onduit à

q

i

0

= ˆ

x

i

0

 le seul

x

ˆ

possible étant i i

[1 − (1 − 4p

1

p

−1

)

1/2

_]/[2p

1

]

.

Pour obtenir alorsl'asymptotiquedesfon tionsde Green,ilsut de onstaterque(1) onduitaisémentà onnaîtrele omportementde

Q

i

0

auvoisinagedesonuniquesingularité à savoir

[1 + (1 − 4p

1

p

−1

)

1/2

_]/[2p

1

]

et permet don de on lure.

Dans le asdeladimension deux, l'équationfon tionnelleanalysée dans[FIM99℄peut être présentée defaçon générique omme

K(x, y)Q(x, y) = k(x, y)q(x) + e

_{k(x, y)e}

q(y) + k

0

(x, y)q

0

,

(2) où

Q(x, y) =

P

i,j≥1

Q

i,j

x

i−1

y

j−1

,

q(x) =

P

i≥1

Q

i,0

x

i−1

,

q(y) =

˜

P

j≥1

Q

0,j

y

j−1

et

q

0

=

Q

0,0

sontin onnues,tandisque

K(x, y) = xy

 P

i,j

p

i,j

x

i

y

j

−1



,

k(x, y) = x

 P

i,j

p

′

i,j

x

i

y

j

−

1



,

˜

k(x, y) = y

 P

i,j

p

′′

i,j

x

i

y

j

− 1



et

k

0

(x, y) =

P

i,j

p

0

i,j

x

i

y

j

− 1

sontdespolynmes onnus.

Figure 3 Mar hes aléatoiresétudiées dans[FIM99℄

p

i,j

p

′′

_i,j

p

0

_i,j

p

′

_i,j

Ci-dessus, les

p

i,j

(resp.

p

′

i,j

,

p

′′

i,j

,

p

0

i,j

) désignent don lesprobabilitésde transitiondes mar hesaléatoiresàl'intérieur(resp.surl'axehorizontal,surl'axeverti al,enl'origine)du quadrant,etles

Q

i,j

sontlesprobabilitésstationnairesdespro essussupposésergodiques dans [FIM99℄. Par ailleurs, les mar hes sont supposées ne faire, à l'intérieur du quart de plan,quedespetitssauts: elasigniequesi

|i| > 1

ou

|j| > 1

,alors

p

i,j

= 0

.Ce ientraîne enparti ulierque

K

estunpolynmeduse onddegréauplusen ha unedesvariables

x, y

. Enn, ilestimportantdenoterque

Q, q, ˜

q

étantdesfon tionsgénératri esdeprobabilités, ledomaine de validitéde (2)est a priori égal à

D

2

_{= {(x, y) ∈ C}

2

_{: |x| < 1, |y| < 1}}

. Si la série

Q

est her hée expli itement, alors, grâ e à (2), il sut de déterminer les fon tions

q, ˜

q

etla onstante

q

0

.À etégard,l'idéeissuedeladimension unet onsistant à

utiliserleszérosdunoyau

K

estlabonne.Eneet, etensembledeszérosdunoyau,quine ontenaitquedeuxpointsdansle asdeladimensionun, estmaintenant,selonlesvaleurs desparamètres

p

i,j

,unesurfa edeRiemanndegenre

0

ou

1

,autrementditunesphèreouun tore.Utilisantlari hessede etensembleainsiqueladépendan e

q, ˜

q

enuneseuledesdeux variables

x, y

,lesauteursde[FIM99℄montrent que

q, ˜

q

vérientdesproblèmesfrontière de type Riemann-Carleman, à partir desquels ils déduisent des expressions expli ites de es deuxséries,puis de

q

0

par normalisation.

En e qui on erne maintenant le omportement quantitatif des oe ients

Q

i,j

de

Q

, V.Malyshev avait notéquel'équation(2) permet de les représenter omme desintégrales doubles de Cau hy, ave au dénominateur de l'intégrand la fon tion

K(x, y)x

i

_y

j

. Les exposants

i, j

allant tendre vers l'inni, il était par onséquent naturel, dans le but de al uler l'asymptotiquede

Q

i,j

, d'adapter àdeuxparamètres

i, j

laméthodedu ol. C'est pré isément e qu'a proposé V.Malyshev dans[Mal73 ℄, utilisant d'abord lethéorème des résiduspour ramenerles

Q

i,j

à desintégrales simples,puisle théorèmede Cau hyan de bougerle ontourjusqu'aupoint du ol.

Dans lapremière situation dé rite i-dessus, les ourbessur lesquelles

q, ˜

q

vérient les problèmes frontière peuventtout àfait êtreextérieures à

D

, i.e. audomaine de dénition de

q, ˜

q

; dans la deuxième, le point du ol peut également ne pas appartenir à

D

. Pour es deux raisons, il onvient de ommen er par prolonger

q, ˜

q

au-delà de

D

, jusqu'à es ourbesetpoints. À etten,unepro édureoriginaledeprolongementestintroduitedans [FIM99℄: baséesurl'équation(2),elleutilise defaçon ru ialelefaitque

q, ˜

q

nedépendent que d'une des deux variables

x, y

, ainsi que la surfa e donnée par les zéros du noyau

{(x, y) ∈ C

2

:

P

_i,j

p

i,j

x

i

y

j

− 1 = 0}

et ses automorphismes asso iés dits deGalois (déjà onsidérés dans[Mal71 ℄)

ξ(x, y) =



x,

P

i

p

i,−1

x

i

P

i

p

i,+1

x

i

1

y



,

η(x, y) =

P

j

p

−1,j

y

j

P

j

p

+1,j

y

j

1

x

, y



,

(3)

et elle onduit à un prolongement des fon tions

q, ˜

q

à tout le plan omplexe. Une autre onséquen e de e prolongement est que l'identité (2) elle-même peut être étendue à un domaine ontenant stri tement

D

2

.

Nous reviendrons en détail sur es transformations

ξ, η

laissant invariante lafon tion

P

i,j

p

i,j

x

i

y

j

ainsiquesurleprolongementdesfon tions

q, ˜

q

,àlafoisdanslesSous-se tions 1.2-1.3et dansles Se tions2-3.

Lesétapesprin ipalesdel'appro heanalytiqueintroduitedans[FIM99℄étantrappelées, nous souhaitons maintenant mettre en éviden e deux diéren es notables entre les équa-tions fon tionnelles qui ysont onsidérées et elles quenous nousapprêtons à ren ontrer et étudier dans ette thèse.

D'une part, les pro essus auxquels nous allons nous intéresser i i seront tels que les fon tions onnues

k, ˜

k, k

0

nedépendront pasdesdeuxvariables

x, y

mais

k

0

sera onstant et

k

(resp.

˜

k

) dépendrauniquement de

x

(resp.

y

).Celaentraîneradessimpli ationstout àfait protables, notamment lors de larésolution expli ite desproblèmes frontière.

D'autre part, nousintroduirons i i une nouvelle variable dansl'équation fon tionnelle (2) puisqu'en plus de [FIM99℄, nous onsidérerons la variable du temps

z

. Cela nous permettra en eet d'élargir le spe tre de notre étude, et de répondre, par exemple, à des questionsliéesaunombre d'étapespourl'énumérationdesmar hesouautemps d'atteinte dubordpourlesmar hestuées.Cela sera,en revan he,unesour e onstante dedi ultés

te hniquessupplémentaires: ils'agiranotammentd'étendrelapro éduredeprolongement desfon tions

q, ˜

q

à toutes les valeursde

z

, ou en ore d'étudier ladépendan evis àvis de

z

dugroupe de Galois engendrépar les automorphismes(3).

Grâ e à (2) et en a ord ave les deux remarques faites i-dessus, il est possible de présenterainsiles équations fon tionnelles quenous onsidéreronsdans ette thèse :

K(x, y, z)Q(x, y, z) = k(x, z)q(x, z) + e

_{k(y, z)e}

q(y, z) + k

0

(z)q

0

(z) + κ(x, y, z),

(4)

Q, q, ˜

q, q

0

étant in onnues et

K, k, ˜

k, k

0

, κ

onnues  la présen e de

κ

i-dessus est ertes une diéren eformelle ave (2)maisne ompliquera enrien l'analyse.

En nous appuyant sur les notations prises au tout début de ette introdu tion, nous dénissons à présent en détail e que seront les fon tions in onnues et onnues dans (4), pour ha un desmodèles desSe tions 2et 3.

Dans laSe tion 2,si

S

désigne l'espa e dessauts admissibles,posant

q

Z

2

+

(i, j, k) =



{

traje toires semouvant selon

S,

onnéesdans

Z

2

+

,

partant de

(0, 0)

et seterminant en

(i, j)

au temps

k

exa tement

}



,

les sériesgénératri es

Q, q, ˜

q, q

0

seront égalesà

Q(x, y, z) =

X

i,j,k≥0

q

Z

2

+

(i, j, k)x

i

_y

j

_z

k

_,

q(x, z) = Q(x, 0, z)

,

q(y, z) = Q(0, y, z)

˜

et

q

0

(z) = Q(0, 0, z)

. Quant auxfon tions onnues, ellesvaudront

K(x, y, z) = xyz





X

(i,j)∈S

x

i

y

j

− 1/z



 ,

k(x, z) = K(x, 0, z)

,

˜

k(y, z) = K(0, y, z)

,

k

0

(z) = K(0, 0, z)

et

κ(x, y, z) = −xy

. Nous supposeronsque

S ⊂ {−1, 0, 1}

2

_{\ {0, 0}}

, voirla Figure1, e qui en parti ulier entraînera que

K

seraun polynme duse ond degréau plusen ha une desvariables

x, y

.

Dans laSe tion 3,notant

(i

0

, j

0

)

lapositioninitialedu pro essus

(X(k), Y (k))

k∈Z

+

,

Q(x, y, z) =

X

i,j≥1,k≥0

P

_(i

₀

_,j

₀

₎

[(X(k), Y (k)) = (i, j)]x

i−1

y

j−1

z

k

seralasériegénératri e desfon tionsdeGreen àl'intérieurduquadrant,tandisque

q, ˜

q, q

0

seront ellesdesprobabilitésd'absorption,et pluspré isément, posant,pour

i

ou/et

j

nul,

h

i

0

,j

0

i,j,k

= P

(i

0

,j

0

)

[(X, Y )

est tué aupoint

(i, j)

au temps

k

exa tement

],

les séries

q, ˜

q, q

0

vaudront

q(x, z) =

X

i≥1,k≥0

h

i

0

,j

0

i,0,k

x

i−1

z

k

,

e

q(y, z) =

X

j≥1,k≥0

h

i

0

,j

0

0,j,k

y

j−1

z

k

,

q

0

(z) =

X

k≥0

h

i

0

,j

0

0,0,k

z

k

.

Quant auxfon tions onnues, elles seront égalesà

K(x, y, z) = xyz





X

i,j

p

i,j

x

i

y

j

− 1/z



 , k(x, z) = ek(y, z) = k

0

(z) = 1, κ(x, y, z) = −x

i

0

y

j

0

,

les

p

i,j

i-dessus désignant les probabilités de transition à l'intérieur du quadrant. Elles seront supposées nulles si

|i| > 1

ou

|j| > 1

, voir la Figure 2; le noyau

K

sera don , i i aussi,un polynmedu se onddegré auplus en ha une desdeux variables

x, y

.

Nous allonsmaintenant, danslaSous-se tion1.2, montrer que lesfon tions in onnues

q, ˜

q

satisfaisant à l'équation fon tionnelle (4) vérient des problèmes frontière, nous en déduirons alors leurs expressions expli ites. Nous nous pen herons ensuite, dans la Sous-se tion 1.3, sur diérentes méthodes pour al uler l'asymptotique des oe ients de es séries génératri esdésormaisexpli ites.

1.2 Problèmes de Riemann-Carleman et ollage onforme

ToutaulongdelaSous-se tion1.2etdessuivantes,noussupposonsque

K

estun poly-nme du se ond degré exa tement en ha une des variables

x, y

 ette hypothèse sera naturellement vériée danslesPartiesIIet III.

Rédu tion de l'analyse à un problème frontière Si

X

0

(y, z)

et

X

1

(y, z)

désignent lesdeuxsolutions en

x

de

K(x, y, z) = 0

,alors pour

i ∈ {0, 1}

etsousréservequel'identité (4)soit vériée en

(X

i

(y, z), y)

, l'égalité

0 = k(X

i

(y, z), z)q(X

i

(y, z), z) + e

k(y, z)e

q(y, z) + k

0

(z)q

0

(z) + κ(X

i

(y, z), y, z)

(5)

alieu.Faireensuiteladiéren edesdeuxéquations(5) orrespondantà

i ∈ {0, 1}

onduit formellement à

k(X

0

(y, z), z)q(X

0

(y, z), z) − k(X

1

(y, z), z)q(X

1

(y, z), z) =

(6)

κ(X

0

(y, z), y, z) − κ(X

1

(y, z), y, z).

Avant de poursuivre, il onvient de se pen her plus en détail sur les fon tions algé-briques

X

0

, X

1

. Un al ul simple nousfaitremarquerqueleur expressionanalytique om-porte la ra ine arrée d'un polynme de degré trois ou quatre, à ra ines réelles et dis-tin tes; pour ette raison,

X

0

, X

1

sont méromorphessurun plan omplexe oupédu type

C

\ ([y

1

(z), y

2

(z)] ∪ [y

3

(z), y

4

(z)])

, les

y

i

(z)

étant les ra ines du polynme susmentionné.

X

0

, X

1

ne sont bien sûr pas dénies sur les segments

[y

1

(z), y

2

(z)]

et

[y

3

(z), y

4

(z)]

mais admettent, pour

y

tendant vers l'und'eux en restant dansun desdemi-plans inférieur ou supérieur, deslimites omplexes onjuguées l'unede l'autre.

Faisant tendre ainsi

y

vers

[y

1

(z), y

2

(z)]

ou

[y

3

(z), y

4

(z)]

et posant

t = X

0

(y, z)

, nous trouvonsquelafon tion

q

vérieformellement la ondition

k(t, z)q(t, z) − k(t, z)q(t, z) = κ(t, X

₀

−1

(t, z), z) − κ(t, X

₀

−1

(t, z), z)

(7)

pour

t ∈ X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

ou

t ∈ X([y

3

(z), y

4

(z)], z)

, ourbesmanifestementsymétriques parrapportàl'axeréel.(7)estappeléeune onditionauborddetypeRiemann-Carleman. Pourrésumer,sousréservequel'équation(4)soitvériéeen

(X

i

(y, z), y)

pour

i ∈ {0, 1}

et

y ∈ [y

1

(z), y

2

(z)]

ou/et

y ∈ [y

3

(z), y

4

(z)]

, nous obtenons une ou deux onditions au bord(7).

Il sera montrédanslesSe tions 2-3qu'undessegments i-dessus, disons

[y

1

(z), y

2

(z)]

, appartient au disqueunité

D

, tandis quel'autre,

[y

3

(z), y

4

(z)]

, yestextérieur.

Ave ette notation,le prolongement holomorphe desfon tions

q, ˜

q

quenous onstrui-ronsseratelquel'identité(4)pourraêtreétendueàundomaine ontenant

{(X

i

(y, z), y), i ∈

{0, 1}}

pour

y ∈ [y

1

(z), y

2

(z)]

, maispaspour

y ∈ [y

3

(z), y

4

(z)]

.

Ainsi nousobtiendrons le problème frontière de Riemann-Carleman suivant : trouver unefon tion

q

holomorpheà l'intérieurdudomainebornéparla ourbe

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

et vériantsur ettedernière la onditionau bord (7).

Par symétrie,il existebien sûrunanalogue de e problèmepourla fon tion

q

˜

.

Réussirleprolongement desfon tions

q, ˜

q

estdon doublement ru ial:ilpermetd'une partd'étendreleur domainede dénitionjusqu'aux ourbessurlesquellesellesvérient la onditionau bord (7),et d'autre partégalement de déterminer la lasse defon tionsdans laquelleil onvient de les her her.

L'extension de ette étape de l'appro he analytique à toutes les valeurs de

z

n'est pas une onséquen e dire te du livre [FIM99℄, et ette généralisation à laquelle nous parviendronsdansles Se tions2-3sera,à etégard, une des ontributions de ettethèse.

Résolution du problème frontière Nous nous on entrons maintenant sur la façon d'obtenir des expressions expli ites de

q, ˜

q

à partir des problèmes frontière de Riemann-Carleman dé rits et obtenus i-dessus.

Le raisonnement usuel, voir [Gak66℄, onsiste à ramener es problèmes frontière à d'autres, pour lesquels la résolution expli ite est parti ulièrement agréable, à savoir les problèmes de typeRiemann-Hilbert, i.e.ave une onditionau bordsur unsegment.

Pourréaliserlatransformationdel'unenl'autre,ils'agitdon detrouverunefon tion qui  olle lapartie supérieurede

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

àsapartie inférieure enun segment, et plus pré isément une  onformal gluing fun tion (CGF) pour l'ensemble délimité par

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

, au senssuivant, voir[Gak66 ℄ou [Lit00℄.

Dénition1. Soit

C

⊂ C ∪ {∞}

unensembleouvert,simplement onnexe,symétriquepar rapport à l'axe réel et diérent de

∅

,

C

et

C

∪ {∞}

.

w

est dite une CGF pour l'ensemble

C

si

w

est une appli ation méromorphe dans

C

, par ailleurs onforme de

C

vers le plan omplexe privé d'un segment,et si enoutre pour tout

t

sur le bord de

C

,

w(t) = w(t)

.

Figure 4 Collage onforme de l'ensemble

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

D

w

w(X([y

1

(z), y

2

(z)], z), z)

x

4

(z)

x

1

(z) x

2

(z)

x

3

(z)

La théorie générale de es fon tions prédit leur existen e  mais en revan he au une expression expli ite  pour tout ensemble ayant un bord susamment régulier, voir par exemple [Gak66℄.

Cela étant, grâ e à l'utilisation d'une CGF, le problème frontière ave ondition au bord (7) devient de type Riemann-Hilbert, et, par la même, immédiatement résoluble en termes d'intégrales de Cau hy, voir [Gak66℄.

Pour rendre l'expression de

q, ˜

q

ainsidéterminée omplètement expli ite,il reste don àtrouver expli itement une CGF.

C'estunrésultatauquelparviennentlesauteursde[FIM99℄dansle adredel'équation fon tionnelle (2), grâ e au raisonnement suivant : ils ommen ent par plonger la ourbe dont ils her hent une CGF dans l'ensemble

K

1

= {(x, y) ∈ C

2

_:

P

i,j

p

i,j

x

i

y

j

− 1 = 0}

; ils uniformisent ensuite la surfa e

K

1

, ave des fon tions rationnelles si son genre est

0

ou elliptiques de Weierstrass si le genre est

1

; ils montrent alors que sur ette nouvelle surfa e, la ourbe est transformée en un ensemble parti ulièrement simple (typiquement unsegment),pourlequelilestfa iledetrouverexpli itementuneCGF;ilsprojettentenn laCGFainsitrouvée pour revenir auplan omplexe eten obtiennent nalement une pour la ourbe initiale.

Le ollage onforme est un aspe t de l'appro he analytique que nous développerons toutparti ulièrement dans ette thèse,et e pour les deuxraisons i-après.

Premièrement, par e que trouver des CGF pour les ourbes ren ontrées dans les pro-blèmesdesSe tions2-3permet, on rètement,de ompléter l'expli itationdesexpressions de

q, ˜

q

obtenues grâ eauxproblèmes frontière.

Deuxièmement, par e quele ollage onforme est une notionintrinsèque : les CGF ne dépendent en eet que du noyau

K

et sont don les mêmes pour une lasse d'équations fon tionnelles (et don de pro essus) bienplus large que (4) par exemple, elleobtenue de(4)en onservantlemême noyau

K

maisenautorisant lesfon tions

k, ˜

k, k

0

àdépendre des trois variables

x, y, z

( e qui, du point de vue des pro essus, orrespond à permettre des omportements beau oupplusgénérauxsur lesfrontières).

Con ernant les résultats existants, nous avons déjà noté, plus haut, qu'un pro édé pour onstruire une CGF est présenté dans [FIM99℄; en revan he, au une propriété de ette fon tion lefait qu'ellesoit ee tivement une CGFmis à part n'yest démontrée. C'est pourquoinousprouverons i iles faits suivants.

Toutd'abord,nousétendronslaméthodede[FIM99℄ onsistantàtrouverexpli itement une CGF pour

z = 1

à des valeurs de

z

générales, e qui né essitera de onstruire une uniformisation de

K

z

= {(x, y) ∈ C

2

_{: K(x, y, z) = 0}}

, et non passeulement de

K

1

. Ensuite,nousmontreronsquela onstru tionde[FIM99℄estpotentiellement omplète, au senssuivant : leurméthode onduit à disposer d'une CGF arbitraire; pour les obtenir toutes, il onvient alors d'utiliser desrésultatsgénéraux surle ollage onforme ousur les opérateurs de Fredholm. I i, nous prouverons que leur onstru tion d'une CGF peut en faitsegénéraliser, et noustrouverons ainsi, de manièreélémentaire et dire tement, toutes les CGF.

Enn, nousétudieronset ara tériseronslespropriétés globalesde esCGF.Enfait,la formeexpli itedesCGFobtenueabruptementaprèsl'analysemetenjeuplusieursfon tions elliptiquesde Weierstrass,asso iéesàdespériodesdiérentes, etne faiten parti ulierpas lairement transparaître ladépendan e auxparamètres ( 'est-à-direà

S

danslaSe tion 2 etaux

p

i,j

danslaSe tion3),questionpourtanttoutàfaitnaturelle.Enutilisantlathéorie des transformations des fon tions elliptiques, voir par exemple [HC44 ℄, nous montrerons que les propriétés globales des CGF sont onsidérablement liées à la nitude du groupe engendrépar lesautomorphismesdeGalois(3),et pluspré isément,nousdémontreronsle résultatsuivant:pour

z

xé,silegrouped'automorphismesestni(resp.inni)alorstoute

CGF est algébrique (resp. non holonome)  rappelons qu'une fon tion est dite holonome sielle estsolutiond'uneéquationlinéaire à oe ientspolynomiaux, e quiestle as,par exemple, des fon tions algébriques, voir [FS09 ℄. Nous prouverons aussique le signe de la ovarian e peut s'avérerdéterminant quant à lanature de esfon tions.

Cesrésultatsserontpré isésdanslesSe tions2-3:nousexpli iterons,le asé héant,le degréd'algébri itédesCGF,nousmontreronségalement quesilegroupeengendré par(3) est ni pour tout

z

, alors laCGF est algébriqueen tant que fon tion bivariée, enn nous donneronsdenombreuxexemplesexpli ites,ainsiquelaméthodegénéraledesimpli ation desexpressions abruptes.

En on lusion, les Sous-se tions 1.1-1.2 onduisent à disposer de représentations inté-grales omplètementexpli itespourlesfon tions

q, ˜

q

,égalementpour

q

0

enévaluant(4)en tout point annulant lenoyau et appartenant au domaine de validité de (4), et nalement aussipour

Q

enutilisant de nouveau (4).

1.3 Cal ul des asymptotiques

Les résultats expli ites pré édents, très satisfaisants par ertains tés, sont pourtant loin de onduire dire tement à l'asymptotiquedes oe ients desséries

Q, q, ˜

q, q

0

.

Con ernant lapartie ombinatoire de ettethèse(Partie II),nousexpliqueronsdansla Se tion2qu'ilseranaturel desefo aliserdavantagesurl'obtentiond'expressionsexpli ites plutt quesurle al ul d'asymptotiques. Enrevan he, nousmontreronsdans laSe tion 3 qu'il sera tout à fait pertinent de s'intéresser à des omportements quantitatifs dans la situation probabiliste desmar hes tuées(Partie III).

Nous allons don i i présenter les méthodes asymptotiques et les développements que nous en avons fait sur les deux exemples suivants, issus de la future Se tion 3 : ave les notations du tout début de ette introdu tion, nous onsidérerons d'abord les fon tions de Green

G

i

0

,j

0

i,j

=

P

k≥0

P

(i

0

,j

0

)

[(X(k), Y (k)) = (i, j)]

, dont lasériegénératri e est égale à

Q(x, y, 1)

, puis les probabilités d'atteinte des bords

P

(i

0

,j

0

)

[(X, Y )

atteint l'axe horizontal (resp.verti al)autemps

k

exa tement

]

,dontlasériegénératri evaut

q(1, z)

(resp.

q(1, z)

˜

). Asymptotique des fon tions de Green Dans e paragraphe, lavariable

z

seraégale onstamment à

1

,et pour ette raison,nousl'omettrons danslesnotationspar exemple, nousé rirons

κ(x, y)

àlapla e de

κ(x, y, 1)

.

Il s'agit don i i d'obtenir l'asymptotique, lorsque

i + j → ∞

selon

j/i → tan(γ)

,

γ ∈ [0, π/2]

,des oe ients

G

i

0

,j

0

i,j

de

Q

vériant (4).Pour ela,suivant [Mal73 ℄et[KM98 ℄, nous utilisons d'abord les formules de Cau hy dans (4), e qui nous permet d'é rire es oe ients omme desintégrales doubles,puis nousappliquons le théorème desrésidus à l'inni : nousobtenonsalors que

−2πıG

i

0

,j

0

i,j

est égalà

Z

{|x|=1−ǫ}

k(x)q(x)

[∂

y

K(x, Y

1

(x))]x

i

Y

1

(x)

j

d

x +

Z

{|y|=1−ǫ}

ek(y)eq(y) + k

0

q

0

+ κ(X

1

(y), y)

[∂

x

K(X

1

(y), y)]X

1

(y)

i

y

j

d

y,

(8)

où

ǫ > 0

estpetit.Rappelons(voirlaSous-se tion1.2)que

X

0

, X

1

sontlesra inesen

x

de

K(x, y)

; demême,

Y

0

, Y

1

i-dessusdésignent lesra ines en

y

du noyau.Ellessont dénies de manière non ambiguë grâ e à la remarque suivante : une appli ation du prin ipe du maximum onduit ànoterquené essairement

|X

0

| ≤ |X

1

|

ou

|X

1

| ≤ |X

0

|

,etquedemême

Les exposants

i, j

étant destinés à tendre vers l'inni, il est par onséquent naturel, and'obtenirl'asymptotiquede(8),desouhaiteradapterlaméthodedu olinitialement prévue pour un seul paramètre. Cette idée s'avèrera être fru tueuse, mais sa réalisation toutà faitdiérente selonque ledriftest nul, ou non.

Supposonsdon d'abord queledriftestnon nul. Dans e as,lepointdu ols'avèrera dépendrede

γ

.

Pour

γ ∈]0, π/2[

, nous généraliserons dire tement au as des mar hes aux huit plus pro hes voisins les travaux [Mal73 ℄ et [KM98 ℄ réalisés dans le adre des mar hes simples  'est-à-dire ayant dessauts auxquatreplus pro hes voisinsseulement.

Lorsque

γ = 0

et

γ = π/2

, lepointdu ol oïn ideraave unesingularitéalgébriquede

X

ou

Y

et l'analyse,nettement plusdéli ate, n'apasétéfaitedansles travauxantérieurs; pour la mener à bien, nous aurons re ours à une méthode plus sophistiquée, utilisant notamment les heminsde plusgrandedes ente.

Faisons maintenant l'hypothèse que le drift est nul. Dans e as, le point du ol sera égalà

1

pourtout

γ

,etlasituationparaîtapriori favorable.Enréalité, epoint

1

seratrès problématique:d'un té,par equeledénominateurde ha undesintégrandsde(8)aura unpleen

1

( esera,enfait,une onséquen edelanullitédudrift),d'unautre té, arles deuxnumérateurs aurontégalement unesingularitéen

1

, detypelogarithmique( elanous serarévéléparlesexpressionsexpli itesde

q, ˜

q

quenousobtiendronsdesSous-se tions 1.1-1.2). Pour avoirl'espoirde on lure, il onviendradon de her her à onsidérer ensemble les deuxmembresde (8)et d'étudier alors l'asympotique.

Pourréaliser etteidée,nousutiliseronsuneuniformisationdelasurfa e

K

1

, 'est-à-dire quenoustrouveronsdeuxfon tions

x(s)

et

y(s)

enl'o urren edesfra tionsrationnelles telles que

K

1

= {(x(s), y(s)) : s ∈ C ∪ {∞}}

. Partant de(8), nousobtiendrons alors que

G

i

0

,j

0

i,j

=

1

2πı

Z

Γ

k(x(s))q(x(s)) + e

_k(y(s))e

q(y(s)) + k

0

q

0

+ κ(x(s), y(s))

[∂

y

K(x(s), y(s))]x(s)

i

y(s)

j

∂

s

x(s)

d

s,

(9)

où

Γ

est un ertain ontour  lefait d'avoir e même ontour

Γ

pour les deux termes de (8)serahautementnontrivialet requerra,en plusdel'utilisationduthéorème deCau hy, une onnaissan e nedes propriétés analytiques desintégrands de (8).

Ils'agiraalorsd'étudierpré isémentle omportementdel'intégrandde(9)auvoisinage du ontour

Γ

ettoutparti ulièrementprèsdupointdu ol,i.e.prèsdupoint orrespondant à

(x, y) = (1, 1)

. Cetravail serévéleradenaturetrès te hnique,etnousapparaîtrahorsde portéedansle asgénéral. Il yaura ependant une lasse depro essus pour laquellenous pourronsanalyser ette quantité,àsavoirlesmar hestelles queleprolongement onduira à une forme fermée et expli ite de

k(x)q(x) + ˜

k(y)˜

q(y) + k

0

q

0

+ κ(x, y)

pour

(x, y) ∈ K

1

, ou de manière équivalente du numérateur de (9). Dans la Se tion 3, nous dé rirons en détail la lasse de mar hes ouverte par l'hypothèse i-dessus et nous montrerons qu'elle est agréablement importante, à la fois par le nombre et par le ara tère des pro essus qu'ellerenferme(nous prouverons notamment quepourtout entier

p ≥ 2

, elle ontient au moinsun pro essus admettant ungroupe engendré par (3)d'ordre exa tement

2p

).

Étendre l'analyse asymptotique de (9) à toutes les mar hes aléatoires aux huit plus pro hes voisins à drift nul est un enjeu très stimulant (qui onduirait par exemple à répondre au problème ouvert qu'est la des ription de la ompa ti ation de Martin de es pro essus) et est un point que nous souhaitons vivement développer dans les années futures.

Asymptotique de la queue de distribution du temps d'atteinte d'un des axes Nous nous tournons maintenant vers la dépendan e des séries

Q, q, ˜

q, q

0

en la variable

z

, quenousréintroduisonsdon i i.Nousallonsnous on entrer surl'exemplede

q(1, z)

, qui sera,danslaPartie III, lasériegénératri e desprobabilités d'atteindre lebord horizontal en un ertaintemps pour les mar hestuées, voirletout début delaSous-se tion 1.3.

En premier lieu, rappelons que les Sous-se tions 1.1-1.2 onduisent à disposer d'une expression expli ite de

q(1, z)

. Une façon naturelle et usuelle d'aborder alors le al ul de l'asymptotique des oe ients de ette fon tion d'une variable est la re her he et l'étude de ses singularités, dans l'esprit de [Jun31℄, [Pól74 ℄ ou [FO90 ℄  et i i il sura en fait de sefo alisersur lepoint

1

.

Le omportement de

q(1, z)

au voisinage du point

1

nous apparaîtra d'une profonde omplexité,lavariable

z

apparaissant eneet dansla ourbe d'intégration ouen oredans lespériodesdesdiérentesfon tionselliptiquesde Weierstrassqui omposent lesCGF à titrede omparaison, ladépendan e de

q(x, z)

en

x

estnettement plussimple : 'est elle d'uneintégrale deCau hy évaluée, ertes,en une CGF.

Dans ette thèse,nousnousfo aliseronsdon surl'analysede

q(1, z)

danslesquelques as parti uliers pour lesquels il nous sera possible de surmonter es di ultés, à savoir ertaines mar hes disposantd'un groupe engendré par (3)ni pourtout

z

.

Cette notion de groupe ne dépendant pasde

z

, qui peut à première vue paraître une né essité al ulatoire, s'avère en réalité être tout à fait pertinente; elle a notamment été onsidérée (en substan e, voir Proposition 13 page 36) dans les travaux de ombinatoire [BMM09℄.

À titre d'exemple, l'hypothèse i-dessus sera vériée par les 19 mar hes qui, dans la lassi ationde[BMM09℄,disposentd'ungroupenietd'une ovarian enégativeounulle; omme as parti uliers, nous pouvons iter les mar hes aléatoires dans les hambres de Weyl desduauxde SU

(2) ×

SU

(2)

, SU

(3)

et Sp

(4)

, voirlaFigure 12 page 39,ainsiquele pro essus pouvant s'interpréter omme le passage de quatre à deuxblo sdans le élèbre modèle duvotant, voirlaFigure 14page 45.

Nous avons à présent terminé la des ription des diérentes fa ettes de l'appro he analytique utilisée et développée dans ette thèse, et nous souhaitons maintenant, dans les Se tions2 et 3,présenter nosrésultats ombinatoires et probabilistes.

2 Énumération des hemins

Lepremierthèmeabordédansle adrede ettethèseseral'énumérationdesmar hesse déplaçantsurunréseauplan,quiestunsujetàlafois lassiqueet élèbreen ombinatoire.

Pour un ensemblebornéde sauts

S ⊂ Z

2

donné,il estquestion de ompter lenombre de hemins

q

U

(i, j, k)

semouvant selon

S

,partant d'unpointxéet arrivantenun ertain point

(i, j)

enuntempsdonné

k ≥ 0

,toutenétantéventuellement onnésdansunerégion

U

_{⊂ Z}

2

. Il s'agitalors,d'unepart, derésoudre emodèle, 'est-à-dire d'expli iterla série génératri e

P

(i,j)∈U ,k≥0

q

U

(i, j, k)x

i

y

j

z

k

quilui est asso iée,et d'autre part,de dé rirela nature(rationnelle, algébrique, holonome,non holonome) de ette fon tion.

Ainsi, si au une restri tion sur les hemins n'est imposée (i.e.

U

= Z

2

), il est fa ile d'expli iter lasériegénératri e i-dessusqui s'avère êtreune fra tionrationnelle.

Autre exemple,si les traje toires sont supposées rester dansun demi-plan

U

, alors la sériepeut également être expli itéeet se révèle algébrique,voirpar exemple [BMP03 ℄.

Il estensuitenaturelde onsidérer lesmar hes onnées dansune interse tiondedeux demi-plans, omme le quart de plan

U

= Z

2

+

. La situation semble d'emblée plusri he et plusdiverse: ertainesmar hessont tellesqueleursériegénératri e estalgébrique, 'estle asde lamar he asso iéeà

S = {(−1, 0), (1, 1), (0, −1)}

etpartantde

(0, 0)

, voir[FH84 ℄et [Ges86℄,d'autres admettent unesériegénératri e quin'est pasmême holonome, omme le montre l'exemple de lamar he atta hée à

S = {(−1, 2), (2, −1)}

et partant de

(1, 1)

, voir [BMP03 ℄. Cettepluralité faitqu'ilparaît très intéressant dese on entrer sur esmar hes restant dansunquart de plan.

C'est ainsi que M. Bousquet-Mélou et M. Mishna ont ré emment entrepris, dans [BMM09℄,l'étudesystématiquedesmar hes onnéesdans

Z

2

+

,partantdel'origineetayant despetitssauts.Rappelons-nous(voirletoutdébutdel'introdu tion) que elasignieque

S

est in lusdansl'ensemble àhuit éléments

{−1, 0, 1}

2

_{\ {(0, 0)}}

, etsouvenons-nousaussi quesurlebordhorizontal

Z

∗

+

× {0}

(resp.surlebord verti al

{0} × Z

∗

+

,enl'origine

(0, 0)

), lespasdelamar he ont alorslieu selon

S ∩ (Z × Z

+

)

(resp.

S ∩ (Z

+

× Z)

,

S ∩ (Z

+

× Z

+

)

).

Figure5 Exemple de mar he à petits sauts onnée dans

Z

2

+

S

Il y a au total

2

8

tels modèles, mais, omme déjà relevé, quelques-uns sont triviaux et ertains s'obtiennent par symétrie à partir d'autres : il existe en fait 79 problèmes intrinsèquement diérents àétudier, voir[BMM09℄.

Unpointdedépart ommunpourl'analysede es

79

mar hesestlesuivant:désignant, omme danslaSous-se tion1.1,lenombre de hemins onnés dans

Z

2

+

, partant de

(0, 0)

et seterminant en

(i, j)

en temps

k

par

q

Z

2

+

(i, j, k)

, leursérie génératri e

Q(x, y, z) =

X

i,j,k≥0

q

Z

2

+

(i, j, k)x

i

_y

j

_z

k

(10) vérie l'identité

xyz





X

(i,j)∈S

x

i

y

j

− 1/z



 Q(x, y, z) = c(x, z)Q(x, 0, z) + ec(y, z)Q(0, y, z) − zδQ(0, 0, z) − xy,

(11) oùnousnotons

c(x, z) = zx

P

(i,−1)∈S

x

i

,

c(y, z) = zy

˜

P

(−1,j)∈S

y

j

et

δ = 1

si

(−1, −1) ∈ S

,

δ = 0

sinon.L'équation fon tionnelle(11),quiestdémontrée dans[BMM09℄,estbien elle présentéedanslaSous-se tion1.1:ee tivement,si

K(x, y, z) = xyz

 P

(i,j)∈S

x

i

y

j

− 1/z



, alors

c(x, z) = K(x, 0, z)

,

˜

c(y, z) = K(0, y, z)

et

δ = K(0, 0, z)

. Par ailleurs, si

n

désigne le ardinal de

S

, alors l'identité (11)est valide au moinssur

{|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| < 1/n}

, puisque, biensûr,

q

Z

2

+

(i, j, k) ≤ n

k

.

Pour résoudre tous les modèles, 'est-à-dire dans le but d'expli iter

Q(x, y, z)

pour ha un des79 problèmes,ilsut don de résoudrel'équationfon tionnelle (11).

M. Bousquet-Mélouet M.Mishnaontalorsremarqué qu'uneidée- lépourl'analyse de (11) estl'utilisation dugroupe engendré par (3). Il onvient tout de suite de noterque le sens donné à e groupe sera i i légèrement diérent que elui utilisé pré édemment : en eet,danslesSe tions1et3,demêmequedans[Mal71 ℄et[FIM99℄,ilest onsidéré omme un groupe d'automorphismes de l'ensemble

K

1

des zéros du noyau, tandis qu'i i, il sera déni omme un groupe de transformations birationnelles de

C(x, y)

2

 en parti ulier, la propriétédenitudedevientplus ontraignante. Cesdiérentesappréhensionsdelanotion du groupeseront d'ailleurs ommentées autour de laProposition 13 page 36.

Cela étant, e groupe (au sens des transformationsbirationnelles, don )est étudié en détail dans [BMM09℄ pour ha une des 79 mar hes : il est ni dans 23 as (et alors de ardinal4,6 ou 8)et estinnidans les56 autres.

En equi on erneles23mar hesayantungroupeni,lesréponsesauxdeuxquestions qui nousintéressent, àsavoirl'obtention d'une expressionexpli ite de la sériegénératri e (10)et lades ription desanature, ont ététrouvéestrès ré emment.

En eet,dansl'important arti le[BMM09℄,22 de es23modèles sont résolus:lasérie (10)est expli itée et s'avère êtreholonome, même algébriquedans3 as.

La 23ème modèle, qui orrespond aux sauts

S = {(−1, −1), (−1, 0), (1, 1), (1, 0)}

, est aujourd'hui ommunément appelée mar he de Gessel, en raison de la onje ture que I. Gessel énonça en 2001, à propos de la validité supposée de la formule

q(0, 0, 2k) =

16

k

[(5/6)

k

(1/2)

k

]/[(2)

k

(5/3)

k

]

,où

(a)

k

= a(a + 1) · · · (a + k − 1)

.La onje turedeGessel demeurant sans preuve, l'interêt manifesté par la ommunauté ombinatori ienne à son égard  et plus globalement à l'attention de la mar he de Gessel  n'a essé de grandir depuis 2001,jusqu'àdevenirparti ulièrement aigutoutau longdesannées 2008-2010.

Ainsi, en2009, M. Kauers,C. Kouts han et D.Zeilbergerorent enn,dans[KKZ09 ℄, unepreuve(parordinateur)de ettefameuse onje ture.Unekyriaded'autresappro hesde la onje turedeGesselet plusgénéralement deremarquesautourdelamar hehomonyme entoure erésultat:voir,dans etteperspe tive,[PW08 ℄,[Ayy09 ℄,[Pin09℄.Enn,A.Bostan et M. Kauersdonnent dans[BK09 ℄une preuve assistéepar ordinateur dufait quelasérie (10)asso iéeàlamar hedeGesselestalgébrique.Deplus,ilsenexpli itentdespolynmes minimaux, utilisant pour ela un système de al ul formel puissant de l'INRIA (Institut Nationalde Re her he en Informatiqueet Automatique).

En automne 2009, I. Kurkova et moi remarquons qu'en dépit de e vif intérêt, e modèle n'est toujours pasrésolu, 'est-à-dire que lasérie (10) n'est pas en ore expli itée. C'estpour etteraisonquenousdéposonssurarXiv,endé embre2009,lepreprint[KR09a℄ donnant une expression expli itede lasérie (10)pour lamar he de Gessel, utilisant pour ela les méthodes analytiques (en parti ulier, sans aide d'ordinateur) dé rites dans la Se tion1.Peu detempsaprès,nousapprenonsquedeson té,M.vanHoeijaégalement, durant l'automne 2009, her hé et obtenu une expression par radi aux de la série (10) (utilisant à ette nles polynmesminimaux donnésdans[BK09 ℄ave aide d'ordinateur, voirl'appendi ede[BK09 ℄),mais,à etteépoque,iln'apasen orerendupubli erésultat. Ainsi, ave [BMM09℄ et [KR09a ℄, les 23 modèles asso iés à un groupe ni deviennent résolus sans aide informatique. Par ailleurs, dans le travail en préparation [BCK

+

10℄, A. Bostan et al. obtiennent des représentations intégrales de (10) pour es mêmes 23 mar hes,par une méthode partiellement algorithmique, baséesur letélés opage réatifet surlarésolutiondeséquationsdiérentiellesduse ondordreentermesdefon tions hyper-géométriques.

D'un autre té, seulement 2 des 56 modèles ayant un groupe inni ont été résolus : pour les mar hes asso iées à

S = {(−1, 1), (1, 1), (1, −1)}

et

S = {(−1, 1), (0, 1), (1, −1)}

dessinéesàgau he surlaFigure6 i-dessous,M. Mishnaa,dans[MR09℄,expli itélasérie (10)et a montré qu'elleétait,dansles deux as, nonholonome.

C'est dans e ontextetrès stimulant ques'ins rivent les ontributions de ettethèse à l'énumération des hemins.

Notre premier arti le, résolvant la mar he de Gessel [KR09a ℄ et ité plus haut, est à notre onnaissan eunedespremièresexportationsàunautredomainequelesprobabilités del'appro heanalytiquede[FIM99℄.Ilposeainsilesbasesdel'utilisationde esméthodes dansle ontexted'énumérationdesmar hesàpetitssauts onnéesdansunquartdeplan. La di ulté des détails te hniques s'est, quant à elle, essentiellement fo alisée sur le al ul de la CGF, que nous avons expli itée et dont nous avons montré qu'elle était algébriqueen tant quefon tion bivariée.

Àlafoispour ontextualiseretpourélargir erésultat,ilétaitalorsnatureldesouhaiter généraliser etteanalyseàtoutesles79mar hes.C'est equenousavonsfaitdans[Ras10a℄, en introduisant une appro heuniée pour larésolution expli itede tousles79 problèmes. La portée de e dernier travail [Ras10a℄est double : d'une part, il onduit à disposer, pour la première fois, d'une expression expli ite de la série (10) pour 54 des 56 mar hes asso iées à un groupe inni, et d'autre part, en fournissant une expression expli ite du mêmetypepourles79mar hes,ilpermetdefaireressortir lairement lafaçondontlasérie (10)dépenddesparamètresnousseronsdavantagepré isà eproposdansleThéorème5. Nous allons maintenant dé rire pré isément nos ontributions. Dans e qui suit, nous adoptonslesnotationssuivantes:

xyz

 P

(i,j)∈S

x

i

y

j

−1/z



= ˜

a(y, z)x

2

_{+˜b(y, z)x+˜}

_{c(y, z) =}

a(x, z)y

2

+ b(x, z)y + c(x, z)

, où

˜

c(y, z), c(x, z)

sont les polynmes dénis au-dessous de (11),

˜

a(y, z) = zy

P

(+1,j)∈S

y

j

,

˜b(y, z) = −1 + zy P

(0,j)∈S

y

j

,

a(x, z) = zx

P

(i,+1)∈S

x

i

et

b(x, z) = −1 + zx

P

_(i,0)∈S

x

i

. Posons également

d(y, z) = ˜b(y, z)

˜

2

_{− 4˜}

_{a(y, z)˜}

_{c(y, z)}

ainsi que

d(x, z) = b(x, z)

2

_{− 4a(x, z)c(x, z)}

. En parti ulier, les ra ines du noyau onsidérées dans la Se tion 1 prennent les expressions

X

0

(y, z) = [−˜b(y, z) + ˜

d(y, z)

1/2

_]/[2˜

_{a(y, z)]}

,

X

1

(y, z) = [−˜b(y, z) − ˜

d(y, z)

1/2

]/[2˜

a(y, z)]

,

Y

0

(x, z) = [−b(x, z) + d(x, z)

1/2

_{]/[2a(x, z)]}

et

Y

1

(x, z) = [−b(x, z) − d(x, z)

1/2

]/[2a(x, z)]

.

Pourles

5

pro essusdelaFigure6 i-dessous,ils'avèrequel'appro hedelaSe tion1ne fon tionnepas, arles ourbesasso iéesauxproblèmesfrontière(7)deviennentdégénérées endespoints. Ces

5

mar hesdisposentde lapropriété ommunequ'au unedestransitions

(0, −1), (−1, −1), (−1, 0)

n'appartient à

S

, elles sontdites singulières.

Figure 6 Les 5mar hessingulières dansla lassi ation de [BMM09℄

Deux de es pro essussont eux qu'a étudiésM. Mishna dans[MR09℄; nous générali-seronssonappro he aux

5

mar hessingulièreset nousobtiendronslerésultat i-aprèsoù

Théorème 2. Pourles

5

mar hes singulières de la Figure 6,

Q(x, 0, z) =

1

zx

2

X

k≥0

Y

0

◦ (X

0

◦ Y

0

)

◦k

(x, z)



(X

0

◦ Y

0

)

◦k

(x, z) − (X

0

◦ Y

0

)

◦(k+1)

(x, z)



.

Q(0, y, z)

est obtenu de l'égalité i-dessus en remplaçant

X

0

(resp.

Y

0

) par

Y

0

(resp.

X

0

).De plus,

Q(0, 0, z) = 0

et

Q(x, y, z)

est alors expli itée grâ e à (11).

Ces résultatsétant donnés, nous souhaitons maintenant nous intéresser à lasituation plusri he desmar hes nonsingulières. Ellessont telles quepour tout

z ∈]0, 1/n[

,

˜

d

(resp.

d

)atroisouquatrera ines,quenousappelons

y

k

(z)

(resp.

x

k

(z)

).Fixons-lesennotantque

|y

1

(z)| < y

2

(z) < 1 < y

3

(z) < |y

4

(z)|

(resp.

|x

1

(z)| < x

2

(z) < 1 < x

3

(z) < |x

4

(z)|

). Aussi, posons

G

Y ([x

1

(z), x

2

(z)], z)

(resp.

G

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

) pour la omposante onnexe de

C

\ Y ([x

1

(z), x

2

(z)], z)

(resp.

C

\ X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

) ontenant

y

1

(z)

(resp.

x

1

(z)

). Théorème 3. Supposons que la mar he soit nonsingulière.

La fon tion

c(x, z)Q(x, 0, z) − c(0, z)Q(0, 0, z)

admet, pour

x ∈ G X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

et

z ∈]0, 1/n[

, l'expression suivante :

c(x, z)Q(x, 0, z) − c(0, z)Q(0, 0, z) =

xY

0

(x, z) +

1

π

Z

x

2

(z)

x

1

(z)

t



− d(t, z)



1/2

2a(t, z)



∂

t

w(t, z)

w(t, z) − w(x, z)

−

∂

t

w(t, z)

w(t, z) − w(0, z)



d

t,

w

étantune CGF(voir la Dénition1) pour l'ensemble

G

X([y

1

(z), y

2

(z)], z)

.

La fon tion

˜

c(y, z)Q(0, y, z) − ˜

c(0, z)Q(0, 0, z)

admet,pour

y ∈ G Y ([x

1

(z), x

2

(z)], z)

et

z ∈]0, 1/n[

, l'expression suivante :

ec(y, z)Q(0, y, z) − ec(0, z)Q(0, 0, z) =

X

0

(y, z)y +

1

π

Z

y

2

(z)

y

1

(z)

t



− e

d(t, z)



1/2

2ea(t, z)



∂

t

w(t, z)

e

e

w(t, z) − e

w(y, z)

−

∂

t

w(t, z)

e

e

w(t, z) − e

w(0, z)



d

t,

˜

w

étantune CGFpour

G

Y ([x

1

(z), x

2

(z)], z)

.

Laformulationde

Q(0, 0, z)

dépenddelavaleurde

c(0, z) = ˜

c(0, z) ∈ {0, z}

ommesuit. Supposons tout d'abord que

c(0, z) = ˜

c(0, z) = z

, ou de manière équivalente que

δ = 1

dans(11).Grâ eà (11),nousobtenonsque pourtout

x, y, z

vériant

P

(i,j)∈S

x

i

y

j

− 1/z =

0

,

|x| ≤ 1

,

|y| ≤ 1

et

z ∈]0, 1/n[

:

zQ(0, 0, z) = xy−



c(x, z)Q(x, 0, z)−c(0, z)Q(0, 0, z)



−



ec(y, z)Q(0, y, z)−ec(0, z)Q(0, 0, z)



.

Supposons maintenant que

c(0, z) = ˜

c(0, z) = 0

, ou de manière équivalente que

δ = 0

dans (11). Alorsla fon tion

Q(0, 0, z)

est égale à la limite, lorsque

x

tend vers

0

, de

1

c(x, z)



xY

0

(x, z) +

1

π

Z

x

2

(z)

x

1

(z)

t



− d(t, z)



1/2

2a(t, z)



∂

t

w(t, z)

w(t, z) − w(x, z)

−

∂

t

w(t, z)

w(t, z) − w(0, z)



d

t



.

La fon tion

Q(x, y, z)

a alors l'expression expli ite obtenue en inje tantdans (11) les representationsintégrales de

Q(x, 0, z)

,

Q(0, y, z)

et

Q(0, 0, z)

trouvées juste i-dessus.