Analysis of parabolic/Hamilton-Jacobi systems modelizing the dynamics of dislocation densities inabounded domain

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modelizing the dynamics of dislocation densities

inabounded domain

Hassan Ibrahim

To cite this version:

Hassan Ibrahim. Analysis of parabolic/Hamilton-Jacobi systems modelizing the dynamics of

disloca-tion densities inabounded domain. Mathematics [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 2008. English.

�pastel-00004186�

présentée pour l'obtention du titre de

DOCTEUR DE L'ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

Spé ialité : Mathématiques et Informatique

par

Hassan IBRAHIM

Sujet :

Analyse de systèmes parabolique/Hamilton-Ja obi modélisant la dynamique de densités

de dislo ations en domaine borné.

Soutenue le 30juin 2008 devant le jury omposé de :

M. Guy BARLES Examinateur M. Jérme DRONIOU Rapporteur M. Messoud EFENDIEV Examinateur

M. Mustapha JAZAR Co-Dire teur de thèse M. Régis MONNEAU Dire teurde thèse M. Nabil NASSIF Examinateur M. Benoît PERTHAME Rapporteur

À mes parents

J

inane et

A

li, à ma s÷ur

L

amya, à mon frère

H

ussein.

Firstof all,I am deeplygrateful to myadvisorRégis Monneau forintrodu ingme to the worldofresear hwith ontinuousguidan e anden ouragement.Besidesbeingarealpleasure, working with you hasbeen theopportunityto grasp from variouss ienti elds. Thankyou for the warm wel ome sin e my arrivalto theENPC in September 2005. Thankyou for the support, patien e and onden e you have given. Your rigorous mathemati s as well as the originalityofyourworkwillalwaysbeanexampleforme.

I amverygratefultomy o-advisorMustaphaJazarforhis onstantattentionthroughout myPh.D.andmyDEA.Igreatlyappre iatehispersonalqualitiesaswellashis areful orienta-tion.Thedis ussionswehadtogetherduringmypresen eintheLebaneseUniversityinBeirut andinTripoliwerealwaysfruitful.IalsothankhimfortheopportunitytomeetRégis,andfor hisen ouragementto hoosethewayofs ienti resear h.

I would liketo expressmy gratitudetoJérmeDroniouwhohaskindlya eptedtowrite areportonmyPh.D.His very onstru tiveremarkshaveimprovedseveralpartsof thePh.D. manus ript.

BenoîtPerthamehasalsokindlya eptedthetaskofwritingareportonmyPh.D.Ireally thankhimforhisinterestinmywork.

It is an honor for me that Guy Barles, Messoud Efendiev, Nabil Nassif and Juan Luis Vázquezhavea eptedtotakepartofmyPh.D.jury.Iwouldliketoexpressmyspe ialthanks toallofthem.

I wish to express my sin ere re ognition to the Dean of the fa ulty of s ien es at the Lebanese University Ali Mniemneh, and to Raafat Talhouk for their advises and enthusiasm espe iallyduring myDEA.

I thankall themembersof the CERMICS laboratory at the ENPC. This laboratory has beenanex eptionalpla eto arryoutmyPh.D.IalsothankSylvieBerte,KhadijaEloualiand MartineOuhannafortheirtremendousande ientworkofse retary.

ManythankstothePDEandmaterialsgroupoftheCERMICS:ArielaBriani,Elisabetta Carlini, Ahmad El Hajj, Mohammed El Rhabi, Ni olas For adel, Amin Ghorbel and Cyril Imbert.Theyhavemademefeelat homewhenI rstarrivedto Fran e. Parti ularly,I would liketothankAhmadElHajjandCyrilImbertforseverals ienti dis ussionswehadtogether. I would like to thank all the membersfo the two ACI dynamique des dislo ations and mouvement d'interfa esave termes non-lo aux.Parti ularly, Nathael Alibaud,Guy Barles, Pierre Cardaliaguet and Olivier Ley for their s ienti ontributions that appeared through manytalksintheeldofmystudies.

I alsothankRaphael Dan hin,RobertEymard, DanielOstrovandJulienVovellefortheir answersonmyquestionsduring thepreparationofmyPh.D.

IwanttothanktheMA3NnetworkandCIMPAfortheirnan ialsupportduringmystay in Lebanon.AlsoI wantthank theÉ oleNationaledes Pontset Chaussées for thenan ial supportduring mystayin Fran e.

mar,ZaynabSalloum,MohammadEl Smailyand AliTarhinifortheirinvaluablefriendship.I should notforget HoudaFaourthat I havemet duringmyse ond year ofmyPh.D.while she was preparingher DEA. I have really enjoyed our mathemati aldis ussions at theLebanese UniversityinBeirut andTripoli.Herkindness,friendshipand supportarehighlyappre iated. Abigthanksto my olleague/friendBassam,hisan éeFatima,toRamzi,Mahmoudand myun leJamalfortheir onstantsupportwhenIhaveneededitthemost.Theni emoments wehadsharedtogetherarereallyunforgettable.

I thank my parents, my sister and my brother. This Ph.D. thesis would not have been possiblewithoutyourunlimitedsupportandlove.Finally,Iwouldliketoexpressmygratitude toAmal whohasmadethedi ulttimeofworkingonmyPh.D.easierandevenenjoyable.

provenant de l'étude de la dynamique de densités de dislo ations dans les ris-tauxde petitetaille. Cettedynamique est modéliséepar un système non linéaire ouplé parabolique/Hamilton-Ja obi.Les dislo ations sont des lignes de défauts qui se dépla ent dans les ristaux lorsque eux- i sont soumis à des ontraintes extérieures. Defaçonindependente, toutàlan de lathèse,nousprésentons une méthode numérique pour le transportde fronts.

Dans le ÷ur de la thèse,trois types d'équations sont onsidérées : équations de Hamilton-Ja obi non linéaires,loisde onservation s alaires,et équations pa-raboliques singulières.

Noustraitons un système parabolique/Hamilton-Ja obisingulieroùla singu-larité apparaît par la présen e de l'inverse du gradient. Notre système prend en onsidération l'eet à ourte distan e entre dislo ations, ainsi que la formation des ou hes limites. Nous étudions l'existen e, l'uni ité etla régularité des solu-tionsdu système.Cetteétuderepose engrandepartiesur lathéoriedes solutions de vis osité; des solutions entropique et des solutions lassiques. Deux as prin- ipaux sont onsidérés :le as oùles ontraintes extérieures sont nulles, et le as oùelles sont onstantes (non né essairement nulles).

Abstra t : This thesis is on erned with the theoreti al study of a mathe-mati al model arising from the study of the dynami sof dislo ationdensities in rystals of smallsize. This dynami s is modelizedby paraboli /Hamilton-Ja obi nonlinear oupled system. Dislo ationsare linear defe ts whi h move in rystals whenthosearesubje tedtoexteriorstresses.Independently,attheendofthe the-sis,wepresent,inashort hapter,anumeri almethodforthetransportoffronts.

In this thesis, three types of equations are onsidered : non-linear rst or-der Hamilton-Ja obiequations,s alar onservations laws, and singularparaboli equations.

We treat a singularparaboli /Hamilton-Ja obisystem where the singularity appears from the presen e of the inverse of the gradient. Our system takes into onsideration the short range dislo ation-dislo ation intera tions, as well as the formation of boundary layers. We study the existen e, uniqueness and the regu-larity of the solutions of this system. This study relies essentially on the theory of vis osity solutions; the theory of entropy and lassi al solutions. Two main ases are onsidered : the ase of zero exterior stresses, and the ase of onstant exterior stresses (not ne essarilyzero).

Arti les a eptés

-Existen eanduniquenessforanonlinearparaboli /Hamilton-Ja obi oupled sys-tem des ribing the dynami s of dislo ation densities, à paraître dans Ann. Inst. H. Poin aré Anal.Non Linéaire,(2007). ( f. hapitre3)

Arti les preprints

- (ave M. Jazar etR. Monneau) Dynami s of dislo ation densities in a bounded hannel.Part I: smoothsolutions toasingular paraboli system,preprintdéposé sur HAL. ( f. hapitre 4)

- (ave M. Jazar etR. Monneau) Dynami s of dislo ation densities in a bounded hannel.PartII:existen eofweaksolutionstoasingularHamilton-Ja obi/paraboli strongly oupled system,preprintdéposé sur HAL. ( f. hapitre5)

Rapport de re her he

- (Equipe EDP et materiaux-CERMICS & CEA) Résultats préliminaires sur quelques algorithmes pour les equations de transport. ( f. hapitre6)

1 Introdu tion générale 1

1 Motivation physique . . . 2

1.1 Dislo ations :une brève introdu tion . . . 2

1.2 Le modèlede Groma,Czikor et Zaiser . . . 3

2 Système non-linéaireparabolique/Hamilton-Ja obi. . . 9

2.1 Situationdu problème . . . 9

2.2 Résultatsde vis osité sur l'intervalleborné

I = (0, 1)

. . . 10

2.3 Résultatentropique sur tout l'espa e

R

. . . 13

3 Système paraboliquesingulierfortement ouplé . . . 13

3.1 Situationdu problème . . . 13

3.2 Un résultatd'existen e et d'uni ité . . . 16

4 Systèmenon linéaireparabolique/Hamilton-Ja obifortement ou-plé . . . 19

4.1 Situationdu problème . . . 19

4.2 Existen e des solutionsde vis osité . . . 20

4.3 Simulations . . . 22

5 Test numériquespréliminaires . . . 23

2 General introdu tion 27 1 Physi almotivation . . . 28

1.1 Dislo ations :brief introdu tion . . . 28

1.2 The modelof Groma, Czikorand Zaiser . . . 29

2 Nonlinearparaboli /Hamilton-Ja obisystem . . . 35

2.1 Settingof the problem . . . 35

2.2 Vis osity results onthe bounded interval

I = (0, 1)

. . . . 36

2.3 An entropy resulton the whole spa e

R

. . . 39

3 Strongly oupled singularparaboli system . . . 39

3.1 Settingof the problem . . . 39

3.2 Existen e and uniqueness result . . . 42

4 Strongly oupled nonlinear paraboli /Hamilton-Ja obisystem . . 45

4.2 Existen e of vis osity solutions . . . 45

4.3 Simulations . . . 47

5 Preliminarynumeri altests . . . 48

3 Existen eetuni itépourunsystème ouplé parabolique/Hamilton-Ja obi non-linéaire dé rivant la dynamique des densités des dis-lo ations 51 1 Introdu tion . . . 52

1.1 Physi al motivation . . . 52

1.2 Mainresults . . . 54

1.3 Organizationof the paper . . . 57

2 Notationsand Preliminaries . . . 57

2.1 Vis osity solution: denition and properties . . . 59

2.2 Entropy solution: denition and properties . . . 65

2.3 Entropy-Vis osity relation . . . 67

3 The approximate problem . . . 70

4 Proof of Theorem 1.6 . . . 76 4.1 Gradient estimates. . . 76 4.2 Lo alboundedness in

W

1,∞

. . . 79 4.3 Proof of theorem 1.6 . . . 79

5 Problemwith boundary onditions . . . 80

5.1 Brief physi almotivation . . . 80

5.2 Statementof the main results on abounded interval. . . . 82

5.3 Preliminaryresults . . . 83

5.4 Proofs of Theorems 5.1, 5.2 . . . 88

6 Appendix : Proof of Theorem 2.16 . . . 91

4 Dynami s of dislo ationdensities in a bounded hannel. Part I : smooth solutions to a singular paraboli system 103 1 Introdu tion . . . 104

1.1 Settingof the problem . . . 104

1.2 Statementof the mainresult . . . 106

1.3 Brief review of the literature . . . 106

1.4 Strategy of the proof . . . 108

1.5 Organizationof the paper . . . 108

2 Tools :theory of paraboli equations . . . 109

2.1

L

p

and

C

α

theory of paraboli equations . . . 109

2.2

BMO

theory for paraboli equation . . . 115

3 A omparisonprin iple . . . 117

4 Short time existen e, uniqueness, and regularity . . . 125 4.1 Short-time existen eand uniqueness of a trun ated system 125

4.2 Regularity of the solution . . . 132

5 Exponential bounds . . . 136

6 Anupper bound for the

W

2,1

2

norm of

ρxxx

. . . 143

7 Anupper bound for the

BMO

norm of

ρxxx

. . . 152

8

L

∞

bound for

ρxxx

and revisited results . . . 156

9 Long time existen eand uniqueness . . . 161

10 Appendix A : mis ellaneousparaboli estimates . . . 164

11 Appendix B :paraboli

BMO

theory . . . 166

5 Dynami sof dislo ationdensitiesin abounded hannel.Part II: existen eofweaksolutionstoasingularHamilton-Ja obi/paraboli strongly oupled system 177 1 Introdu tion . . . 178

1.1 Physi al motivation and setting ofthe problem . . . 178

1.2 Settingof the problem . . . 179

1.3 Statement of the main result . . . 181

1.4 Organizationof the paper . . . 182

2 Strategyof the proof . . . 182

3 Tools: mis ellaneousparaboli results, vis osity solution,and Or-li zspa es . . . 184

3.1 Mis ellaneous paraboli results . . . 184

3.2 Vis osity solution: denition and stabilityresult . . . 186

3.3 Orli z spa es: denition and properties . . . 187

4 The regularized problem . . . 188

5 Entropy inequality . . . 190

6 Aninteriorestimate . . . 195

7 Proof of the main theorem . . . 198

8 Appendix . . . 205

6 Résultats préliminaires sur quelques algorithmes pour les equa-tions de transport 209 1 Introdu tion :rappel au as d'une équation eikonale non onvexe 210 2 Unepremière appro he basée sur lesfronts . . . 213

2.1 Un algorithmebasé sur lesfronts

+

et

−

. . . 213

2.2 Quelques élémentssur ladis rétisation des droites . . . 215

2.3 Appli ations au al ul de la vitesse ee tive de la droite, préditepar l'algorithmebasé sur lesfronts

+

et

−

. . . 217

2.4 In onvénients de l'algorithme pré édent . . . 220

2.5 Ce que pouvaitêtre un bonalgorithme? . . . 221

3 Unalgorithme de splitting . . . 222

3.2 Un algorithmebasé sur lesplitting . . . 222 4 Simulationsnumériques pour l'algorithme de splitting . . . 224

4.1 Simulation 1 : Cas d'un er le ave une vitesse onstante

~a = (1, 2)

. . . 224 4.2 Simulation2 :Cas d'un arré quitourne,

~a = (

−y, x)

. . . 226 5 Con lusion . . . 227 Appendix : remarks on the model of Groma-Csikor-Zaiser 229

Introdu tion générale

Cette thèseporte sur l'étudethéoriqued'unmodèlemathématiqueprovenant del'étudede ladynamiquededensités dedislo ationsdansles ristaux.Cette dy-namiqueestmodéliséeparun systèmenonlinéaire ouplé parabolique/Hamilton-Ja obi, et l'on s'intéresse à l'existen e et l'uni ité des solutions du système. Les dislo ationssont des lignes de défauts qui se dépla ent dans les ristaux lorsque eux- i sont soumisà des ontraintes extérieures.

De façon independente, tout à la n de la thèse, est presentée dans un ourt hapitre,une méthode numériquepourletransport de fronts.Dans le ÷urde la thèse, trois typesd'équations sont onsidérées :

1. Equations de Hamilton-Ja obinon linéairesdu premier ordre.

2. Leslois de onservation s alaires.

3. Equations paraboliques singulières.

Pour toutes es équations, le but prin ipal de l'étude étant l'existen e, l'uni ité etlarégularité des solutions.Cette introdu tionapour butde donnerun aperçu des résultats obtenus. Dans la première se tion, on donne une brève des rip-tion physiquede ladynamiquede densités de dislo ationsdans les ristaux. Une motivation physique du modèle spé ial auquel on s'intéresse est donnée aussi. Dans les se tions 2, 3 et 4, on présente les résultats mathématiques on ernant notremodèledé rivantladynamiquededensités de dislo ations.Lase tion5est onsa réeàlaprésentationd'uneméthodenumériquepourletransportde fronts.

An demettre en relieflesnouvelles idéesetne pas seperdredans lesdétails te hniques, on a donné des énon és simpliés dans ette introdu tion générale.

Pour lesénon és pré is,on renvoie lele teur aux hapitressuivants.

1 Motivation physique

1.1 Dislo ations : une brève introdu tion

Lesdislo ationssontdes lignesde défaut,oubienirrégularité dansune stru -ture ristalline. S hématiquement, e sont des zones dans lesquelles les atomes sontmalpla ésdansleréseauatomique ristallinparfait.Lathéorieaété mathé-matiquementdéveloppéeparV.Volterra(

1

).Lesdislo ationssontdesphénomènes non stationnaires et leur mouvement est l'expli ation prin ipale de la déforma-tionplastiquedansles ristauxmétalliques(voirNabarro[76℄,etHirth,Lothe[51℄ pour une présentation physiqueré ente).

Fig. 1.1 Lesdislo ations dans l'a ierinoxydable.

Les dislo ations ont une longueur typique de l'ordre de

10

−6

_m

et une épais-seur de l'ordre

10

−9

_m

. Ils ont été introduits par Orowan [78℄, Polanyi [83℄ et Taylor [90℄ en 1934 omme l'une des prin ipales expli ations au niveau mi ro-s opique de la déformation plastique ma ros opique des ristaux. Ces on epts ont été onrmés en 1956 par la première observation dire te des dislo ations par Hirs h, Horne et Whelan [50℄, et par Bollmann [5℄, grâ e aux mi ros opes éle troniques. Sous l'eet du hamp de ontrainte, es dislo ations peuvent se dépla er dans un plan ristallographiquebien déni appelé plan de glissement. Unedislo ationest ara tériséepardeux ve teurs :leve teur

~

ξ

quiestparallèleà

1

lalignededislo ation,etleve teurdeBurgers

~b

dé rivantledépla ementasso ié. Enutilisant estermes

ξ

~

et

~b

,deuxtypesde dislo ationspeuventêtreprésentées :

1. Dislo ation oin : leve teur de Burgers

~b

est perpendi ulaire à

ξ

~

2. Dislo ation vis : leve teur de Burgers

~b

est parallèleà

~

ξ

.

En fait, es deux types de dislo ations sont seulement les formes extrêmes de l'éventuelle stru ture de dislo ationsquipeuvent arriver. Laplupartdes dislo a-tions sont des formes hybrides de es deux formes.

Dans ettethèse, onétudiela dynamiquede lignesde dislo ations oinsdans un matériau borné. La quantité de dislo ations dans un ristal est représentée par sa densité qui est dénie omme étant le nombre des lignes de dislo ations traversant une se tion unitaire.

Comprendre le omportement des dislo ations est la lé pour la ompréhen-sion d'une partieessentielle de lami rostru ture des ristaux solides.En eet, le omportement et les propriétés des dislo ationsae tent dire tement la for e et laduretédesmatériauxstru turaux.Cependant,dans ettethèse,onse on entre seulementsur l'analysemathématiqued'unmodèleparti ulier dé rivantla dyna-mique de densités de dislo ationdans un domaine de petite taille.

1.2 Le modèle de Groma, Czikor et Zaiser

Dans[46℄, Groma,CzikoretZaiserontproposéun modèle2-dimensionnel dé- rivant la dynamique de densités de dislo ations oins parallèlesdans un ristal 3-dimensionnel borné. Le terme densités de dislo ations surgit du fait que les dislo ations oins peuvent être lassiées omme étant positives ou négatives selon la dire tion de leurs ve teurs de Burgers. Ce modèle a été introduit pour dé rire l'a umulation possible des dislo ations sur la frontière du matériau. Il met en valeur l'évolution de es deux typesde densités en prenant en ompteles intera tions à ourte distan e entre dislo ations.

Rentrons plus en profondeur dans le modèle. Supposons l'existen e d'un er-tain nombre de dislo ations oinsdans un analde largeurnie dansladire tion

x

etayant une extensioninnie dans la dire tion

y

(voirla Figure1.2). Le anal est bornépar des murs qui sontimpénétrablespar les dislo ations(i.e., la défor-mationplastiquedanslesmursestzéro).Leslignesdedislo ationssontsupposées être perpendi ulaire auplan

x

-

y

,et semouvantdans la dire tion

x

, i.e.

1. Laligne de dislo ation

~

ξ

est perpendi ulaire à

x

et

y

.

2. Leve teur de Burgers

~b

est parallèleà l'axedes

x

.

PSfrag repla ements

x

y

mur ligne de dislo ation

+~b

−~b

~

ξ

Fig. 1.2 Lemodèle de Groma, CzikoretZaiser.

Toutl'assemblageestplongédansun ristalinnioùlesdislo ationspeuvent bou-ger sous l'a tion d'un ertain hamp de ontrainte exterieure onstante

τ

6= 0

, et/ou sous l'a tiondu hamp de ontrainte réé par les dislo ationselles même. Les for es internes réées par les dislo ationssont onséquen e dire te des inter-a tions à ourtes etlongues distan e entre elles dans lematériaumême.

On s'intéresse àun modèle simplié oùl'on suppose une onguration parti- ulière de lignes de dislo ation.

Un modèle unidimensionnel simplié.

On suppose queleproblèmeest invariantpar translationdans ladire tion

y

. En d'autres termes, on suppose que, si

(

S)

est une se tion perpendi ulaire auxlignes dedislo ations,alors l'arrangementdes pointsde dislo ationdans

(

S)

est invariant par translation dans la dire tion

y

. La distribution de points de dislo ationsdans

(

S)

est montréedans laFigure1.3. Suite auxhypothèses faites sur l'arrangementdes dislo ations(voirFigure1.3), onpeut déduireque l'étude de la dynamique des points de dislo ation sur la ligne

(

L)

donne l'information omplète de ladynamique des lignesde dislo ationdans le anal.En on lusion,

PSfrag repla ements

x

dislo ation positive dislo ationnégative

y

(

_S)

ligne

(

L)

+~b

−~b

Fig.1.3 Pointsde dislo ationdans une se tion.

onpeut é rire que:

dynamique dans

(

L) =⇒

dynamique dans

(

S) =⇒

dynamique dans un analborné

.

Groma, Csikor et Zaiser [46℄ ont formulé, à partir du mouvement des dislo a-tionsindividuelles, unedes ription ontinue en termesde densitésde dislo ation. Il a été expliqué par Groma et Balogh [44,45℄, pour un système de dislo ations parallèles, qu'une des ription ontinue peut être dérivée des équations de mou-vement des dislo ations individuelles. En utilisant une appro he diérente, une des ription ontinue d'unsystème de dislo ations ourbées en 3-Daété formulée (voirEl-Azab[30℄, etMonneau[74℄ etleursréféren es). Cependant,un in onvé-nientmajeurde es premières investigationsest que,an d'obtenir un ensemble fermé d'équations, les intera tions à ourte distan e entre dislo ations ont été négligées etlesintera tionsentre dislo ationsont été dé ritesseulementpar leur ontribution longue distan e. Cette des ription n'a pas permis de formuler ma-thématiquement e qui sepasse àla frontière du matériau.

Remark 1.1 Dans notre adre parti ulier, voir Figure 1.3, les dislo ations sont relativementpro helesunesdesautres.Ce iestdûàleurprésen edansunepetite zone borné par des murs. Dans e as, les intera tions à longue distan e entre dislo ations sont nulles et don le modèleprésenté dansGroma, Balogh[45℄ n'est plus approprié pour dé rire l'évolution de densités de dislo ations. Cependant, pourlemodèledé ritdansGroma,Balogh[45℄,onrenvoielele teuràElHajj[31℄, et El Hajj, For adel [32℄ pour une étude mathématique et numérique 1-D, et à Cannone, El Hajj, Monneau et Ribaud [10℄ pour un résultat d'existen e 2-D.

Dans [46℄, Groma, Csikor etZaiser ont réussi àmodéliserl'eet des intera tions à ourte distan e entre dislo ations par une ontrainte lo ale de type gradient. La formulationmathématique exa te va être présentée maintenant.

La formulationmathématique du modèle unidimensionnel.

Soient

θ

+

et

θ

−

les densités positives et négatives de dislo ations respe tive-ment.Ensuivantladernièredis ussion,lesdislo ationssontbornéespardesmurs séparésparunedistan eniedelongueur

ℓ

(prendre

ℓ = 1

).Typiquement,les dis-lo ationspositives/négativessont ellesquisedépla entverslemurdroit/gau he. Dans le as où le hamp de ontrainte onstant appliqué

τ

est diérent de zéro, notre système est un système de pile-up double où les dislo ations positives s'a umulent au mur droit, tandis que les dislo ationsnégative s'a umulent au murgau he(voirFigure1.4).Pouruneétudemathématiquedeplusieursmodèles PSfrag repla ements

0

₁

x

Fig.1.4 Un système de pile-up double.

de pile-ups de dislo ations, on renvoie le le teur au Voskoboinikov, Chapman, O kendon, Allwright[93℄,Carpio,Chapman, Velázquez[12℄, Wood,Head [95℄,et Hirth, Lothe [51℄.

Le système ouplé dé rivant l'évolution de densités de dislo ations

θ

+

et

θ

−

s'é rit (voir Groma,Csikor etZaiser [46℄) :















θ

_t

+

=



θ

+

x

− θ

−

x

θ

+

_{+ θ}

−

− τ



θ

+



x

sur

(0, 1)

× (0, T ),

θ

_t

−

=



−



θ

+

x

− θ

−

x

θ

+

_{+ θ}

−

− τ



θ

−



x

sur

(0, 1)

× (0, T ),

(1.1)

ave les onditions initiales:

θ

+

(x, 0) = θ

₀

+

(x)

et

θ

−

_{(x, 0) = θ}

−

0

(x).

I i

T > 0

est un réel positif xé et

τ

est le hamp de ontrainte extérieure sup-posé onstant. Le terme

θ

x

+

−θ

−

x

θ

+

_+θ

−

qui apparait dans (1.1) représente le hamp de ontrainte lo ale dé rivant les intera tions à ourte distan e entre dislo ations. Dans les modèles présentés dans la Remarque 1.1, e terme a été mis à zéro. Dans e as, le système (1.1) dé rit la translation des dislo ations en suivant la

vitesse

τ

, sans prendre en onsidération la formation des ou hes limites. Pour ette raison, des onditions au bord périodiques ontété onsidérées dans l'étude mathématique de es systèmes. En fait, l'utilisation des onditions au bord pé-riodiques est une façon de voir e qui se passe à l'intérieur du matériau loin de sa frontière.

L'obje tif essentiel de ette thèse est d'examiner l'existen e et l'uni ité des solutionsde (1.1) sous des onditionsaubordappropriées quivontêtre lariées i-après.Soit

I := (0, 1),

et

IT

:= I

× (0, T ).

On onsidère une formeintégrée de (1.1) et onpose

ρ

±

_x

= θ

±

,

ρ = ρ

+

_{− ρ}

−

et

κ = ρ

+

_{+ ρ}

−

_,

(1.2) pour obtenir (au moins formellement),pour des valeurs spé iales des onstantes d'intégration, lesystème suivant en terme de

ρ

et

κ

:

(

κtκx

= ρtρx

sur

IT

ρt

= ρxx

− τκx

sur

IT

,

(1.3)

ave les onditions initiales:

κ(x, 0) = κ

0

(x)

et

ρ(x, 0) = ρ

0

_(x).

On vadonner maintenantles deux onditions essentielles on ernant

ρ

et

κ

.

Conditions physiquement onsistantes.

Condition 1. Les deux termes

θ

+

et

θ

−

représentent deux densités positives. Puisque par (1.2),

θ

±

=

κx

± ρx

2

,

Lefaitque

θ

±

_{≥ 0}

esttraduitdanslelangagede

ρ

et

κ

par la onditionsuivante:

κx

≥ |ρx|.

(1.4)

Cette onditiondoit être satisfaite an de pouvoirdonnersens ausystème (1.1).

Condition 2. Ladeuxième ondition est

ρ(1, t) = ρ(0, t),

_{∀t ≥ 0.}

(1.5) Cette ondition estné essaire pour l'équilibredu modèlephysiquequi ommen e ave lemêmenombrede dislo ationspositivesetnégatives.Pourêtreplus pré is,

soit

n

+

et

n

−

lenombretotaldesdilo ationspositivesetnégativesrespe tivement en

t = 0

.Onsupposequ'iln'existeniannihilationni réationdedislo ationsdans lematériau. Il y a don onservation des

n

+

et

n

−

au oursdu temps.Cela peut être formulé mathématiquement par (voir (1.2) i-dessus) :

ρ(1, t)

− ρ(0, t) =

Z

1

0

ρx(x, t) dx,

=

Z

1

0

(θ

+

(x, t)

_{− θ}

−

(x, t)) dx,

= n

+

_{− n}

−

= 0.

Ainsi,on retrouve (1.5).

Les onditions au bord.

Pour formuler heuristiquement les onditions auxbords (en

x = 0

et

x = 1

), on suppose d'abord que

κx

6= 0

en

x = 0, 1

. On rappelle que puisque les murs sontimpénétrables par lesdislo ations,alors leuxde dislo ationsà lafrontière doit être zéro, e quiexige :

Φ

z

}|

{

(θ

+

x

− θ

x

−

)

− τ(θ

+

+ θ

−

) = 0,

en

x

∈ {0, 1}.

(1.6) En é rivant lesystème (1.3) en termede

ρ

,

κ

et

Φ

, onobtient

(

κ

t

= (ρ

x

/κ

x

)Φ,

ρt

= Φ.

(1.7)

A partir de (1.6) et (1.7), et si

κx

6= 0

en

x = 0

et

x = 1

, on peut formellement déduire que

ρ

et

κ

sont onstants le long des murs frontières. Cela suggère de mettre des onditions de Diri hlet au bord pour

ρ

et

κ

. E rivons maintenant le système ompletd'une façon pré ise.

Le système omplet.

De tout e quipré ède, le système ompletest exprimé par lesystème ouplé suivant :











κtκx

= ρtρx,

sur

IT

,

κ(x, 0) = κ

0

(x),

sur

I,

κ(0, t) = κ

0

(0)

et

κ(1, t) = κ

0

_(1),

∀t ∈ [0, T ],

(1.8)

et











ρt

= ρxx

_{− τκ}

x,

sur

IT

,

ρ(x, 0) = ρ

0

(x),

sur

I,

ρ(0, t) = ρ(1, t) = 0,

_{∀t ∈ [0, T ].}

(1.9)

Ces équations sont le ÷ur de notre analyse mathématiqueoù l'on étudie l'exis-ten e etl'uni ité des solutionsdans deux as diérents.

Les deux as.

Pour l'étude du système (1.8)-(1.9), on ommen e par le as où

τ = 0

. Dans e as, le système devient faiblement ouplé dans le sens que l'on peut résoudre d'abord l'équationen

ρ

,puis l'équationen

κ

.Ledeuxième as est un as général où

τ

6= 0

. Notre système devient don fortement ouplé etplus ompliqué. E ri-vons don les deux as :

Cas A. La ontrainteextérieure

τ

appliqué aumatériauest zéro.

Cas B.La ontrainteextérieure

τ

appliquéaumatériauest onstantediérente de zéro.

2 Systèmenon-linéaire parabolique/Hamilton-Ja obi

Cette se tion est un assemblage des résultats du Chapitre 3, où l'on étudie le système (1.8)-(1.9) dans le as

τ = 0

. Dans ette se tion, on présente nos théorèmes prin ipaux; onmontre lesdi ultés majeures, et ondis utedes idées lés qui nous ont permis de surmonter es di ultés.

2.1 Situation du problème

Onétudiel'existen eetl'uni itédessolutionsdusystème parabolique/Hamilton-Ja obi (1.8)et (1.9)dans leCas A. Cetteétude est faitedans le adredes solu-tions de vis osité (pour ladénition des solutionsde vis osité pourles équations de Hamilton-Ja obi, on renvoie le le teur aux Dénitions 2.3, 2.5 du Chapitre 3).Lanotion de solutionsde vis osité aété introduitepar CrandalletLions [22℄ pour résoudre les équations de Hamilton-Ja obi du premier ordre. La théorie a été ensuite étendue pour les équations du se ond ordre et a onnu un grand dé-veloppementaprès les travaux de Jensen [58℄ et de Ishii [57℄.

On réé rit le système (1.8)-(1.9) dans le as où

τ = 0

, on arrive au système de Diri hlet suivant:











κtκx

= ρtρx,

sur

IT

,

κ(x, 0) = κ

0

(x),

sur

I,

κ(0, t) = κ

0

₍₀₎

et

κ(1, t) = κ

0

_(1),

_{∀t ∈ [0, T ],}

(2.10) et











ρt

= ρxx,

sur

IT

,

ρ(x, 0) = ρ

0

(x),

sur

I,

ρ(0, t) = ρ(1, t) = 0,

_{∀t ∈ [0, T ].}

(2.11)

Rappelonsque

κx

et

ρx

doiventsatisfairedansun ertainsens la ondition(1.4), i.e.

κx

≥ |ρx|

sur

IT

.

Il est utile de noter que le système i-dessus (2.10)-(2.11) est maintenant un système faiblement ouplé. Plus pré isément, on peut résoudre l'équation de la haleur(2.11),etpuisinsérersasolution

ρ

dans (2.10),transformantleproblème en larésolution d'une seule équation de type Hamilton-Ja obi qui peut être for-mulée omme suivant:















κt

=

ρxρxx

κx

= F (x, t, κx)

sur

IT

,

κ(x, 0) = κ

0

(x)

∈ Lip(I),

κ(0, t) = κ

0

(0)

et

κ(1, t) = κ

0

_(1),

∀t ∈ [0, T ],

(2.12) ave

κ

0

x

≥ |ρ

0

x|

sur

I.

(2.13)

2.2 Résultats de vis osité sur l'intervalle borné

I = (0, 1)

La première di ulté apparait en résolvant (2.12) lorsqu'on divise par

κx

. Cela donnelieuàunesingularité auxpoints où

κx

= 0

,etquipeut arrivermême en

t = 0

(voir la ondition (2.13) i-dessus). On surmonte ette di ulté en prenant une approximation spé iale de (2.13), où l'on empê he

κ

0

x

de s'annuler. Le théorème suivantest ainsi prouvé.

Théorème 2.1 (Existen e et uni ité d'une solution de vis osité,

ε > 0

) Soient

T > 0

et

ε > 0

deux onstantes. Soient

κ

0

_{∈ Lip(I)}

, et

ρ

0

_{∈ C}

∞

0

(I)

vériant :

κ

0

_x

_{≥ G}

ε(ρ

0

_x

),

Gε(x) =

√

x

2

_{+ ε}

2

_.

(2.14)

Etant donnélasolution

ρ

de l'équationde la haleur (2.11),ilexiste unesolution de vis osité

κ

∈ Lip(IT

)

de (2.10), unique parmi elles vériant :

κx

≥ Gε(ρx)

p.p. dans

IT

.

(2.15) La di ulté prin ipale en prouvant e résultat est de démontrer la minoration (2.15) de

κ

x

. L'argument formel pour surmonter ette di ulté est d'observer d'abord que

κx

est une solutionde l'équationdérivée de (2.12) :

wt

= (F (x, t, w))x,

(2.16)

tandis que, par simple al uls, on peut montrer (voir Lemme3.4 de Chapitre 3) que

Gε(ρx)

satisfait :

(Gε(ρx))t

≤ (F (x, t, Gε(ρx)))x,

(2.17) et don

Gε(ρx)

est une sous-solution de (2.16).En utilisantun prin ipe de om-paraison, ave (2.14), on arrive fa ilement au résultat. Ces arguments formels peuvent être formulésrigoureusementen utilisantunerelationentre lessolutions devis osité deséquationsde Hamilton-Ja obietlessolutionsentropiquesdeslois de onservation s alaires.Cetterelation montre que, sous ertainshypothèses de régularités, si

κ

est une solution de vis osité de l'équation de Hamilton-Ja obi suivantesur tout l'espa e:







κt

=

ρxρxx

κx

= F (x, t, κx),

sur

R

× (0, T ),

κ(x, 0) = κ

0

(x),

sur

R

,

où

ρ

est lasolution de l'équationde la haleur:

(

ρt

= ρxx,

sur

R

× (0, T ),

ρ(x, 0) = ρ

0

(x),

sur

R

,

(2.18)

alors

w = κx

estunesolutionentropiquedelaloide onservations alairesuivant:

(

wt

= (F (x, t, w))x

sur

R

× (0, T ),

w(x, 0) = w

0

_{(x) = κ}

0

x

(x),

sur

R

.

(2.19)

De plus, larégularité de la fon tion

Gε(ρx)

permet d'avoir l'inégalité(2.17) p.p. dans

R

× (0, T )

, alors

Gε(ρx)

est une sous-solution entropique de (2.19). En uti-lisant l'inégalitéentre la donnée initiale(2.14), et le prin ipe de omparaison de Kruºkov (voirThéorème 2.16 du Chapitre 3),onobtientque :

Rappelons que les solutions entropiques on été d'abord introduites par Kruº-kov [63℄ omme étant la seule solution physiquement admissible parmi toutes lessolutionsfaibles(distributionnelles)auxloisde onservations alaires.La théo-rie des solutions entropiques a été ensuite largement développée. Des dénitions équivalentesauxsolutionsentropiquespour lesloisde onservations alairesave données initialessimplementessentiellementbornées

L

∞

sontdonnées viades so-lutionsentropiques pro essus (voirEymard, GallouëtetHerbin [35,36℄),oubien via la formulation inétique (voir Lions, Perthame, Tadmor [70℄, Perthame [81℄, etPerthame,Tadmor[82℄).Unenotiondesolutionentropiquefaibleviale ouple entropie-ux est donnée dans Otto [80℄. Pour la dénition des solutions entro-piques que l'on vautiliser dansnotre travail,on renvoiele le teuràla Dénition 2.12 du Chapitre 3.

Il est utilede noterquel'on doitfaireattention àdeux pointsimportantslors des preuves rigoureuses. Le premier point est que la relation i-dessus entre les solutions de vis osité et les solutions entropiques est valide sur

R

. Ce i exige, à un ertain moment, de faireun prolongementapproprié du problème àpartir de l'intervalleborné

I

dansl'espa eentier

R

;pour seservir de etterelation,etpuis retournerde nouveau à

I

.Ledeuxièmepointest quelePrin ipede Comparaison original de Kruºkov [63℄ a été prouvé sous ertaines onditions de régularité de lafon tion

F

que l'onn'a pas. Cela né essite de suivre lesidées de Kruºkov [63℄, etEymard, Gallouët,Herbin[35℄ etd'adapter leurs preuvesànotre as ave une régularité moindre (voir Théorème 2.16 et sa preuve dans l'Appendi e du Cha-pitre 3).

Uneautre voieenvisageablepour prouverlaminoration(2.15) dugradient

κx

auraitétéderesterdansle adredessolutionsdevis osité.Eneet,ilyaquelques résultatssur laminorationdu gradientdessolutionsde vis ositédeséquationsde Hamilton-Ja obi.Unrésultatintéressantà esujetpeutêtretrouvédansLey[67℄. Dans et arti le, l'auteur donne une borne inférieure pour le gradient spatial de la solutionde vis osité des équationsde Hamilton-Ja obidu premier ordre :

ut

+ F (x, t, ux) = 0,

sous ertaines onditionssur leHamiltonien

F (x, t, p)

in luantsa onvexitéen la variable

p

.Malheureusement, e n'est pas notre as (voir équation(2.12)) ave

F (x, t, p) =

ρx(x, t)ρxx(x, t)

p

,

et ela ne nous permet pas d'utiliser dire tement le adre solutions de vis osité pour établir la minorationsur

κ

x

.

Le résultat suivant est un résultat d'existen e de (2.10) sous la ondition originale(2.13) sur le gradient

κ

0

x

.

Théorème 2.2 (Existen e d'une solution de vis osité,

ε = 0

) Soient

T > 0

,

κ

0

_{∈ Lip(I)}

et

ρ

0

_{∈ C}

∞

0

(I)

.Si la ondition(2.13)estsatisfaite p.p. dans

I

, et si

ρ

est la solution de (2.11), alors il existe une solution de vis osité

κ

_{∈ Lip(I}

T

)

de (2.10) satisfaisant :

κx

≥ |ρx|,

p.p. dans

IT

.

Lapreuvede e théorèmevient dire tement du passageàlalimite

ε

→ 0

dans la familledes solutions données par le Théorème 2.1.

2.3 Résultat entropique sur tout l'espa e

R

Dans la preuve du Théorème 2.1, la fon tion

κx

est en fait une solution en-tropique de (2.19). Eneet, ela peut être onsidéré ommeun résultat en soit.

Théorème 2.3 (Existen e et uni ité d'une solution entropique,

ε > 0

) Soit

T > 0

. Prenons

w

0

_{∈ L}

∞

_(R)

et

ρ

0

_{∈ C}

∞

0

(R)

telsque,

w

0

_{≥ G}

_ε(ρ

0

x

)

p.p.dans

R

, pour une ertaine onstante

ε > 0

. Alors, étant donné

ρ

, l'unique solution de l'équation de la haleur (2.18), il existe une solution entropie

w

∈ L

∞

_(QT

₎

de (2.19), unique parmi les solutions entropiques satisfaisants :

w

≥ Gε(ρx)

p.p. dans

R

× (0, T ).

3 Système parabolique singulier fortement ouplé

Dans ette se tion on présente le résultat prin ipal du Chapitre 4, qui peut être onsidéré ommelepointde départpour larésolution dusystème(1.8)-(1.9) dans le Cas B (le as où

τ

6= 0

). On étudie l'existen e, l'uni ité et larégularité des solutions d'un système paraboliquesingulier fortement ouplé.

3.1 Situation du problème

Soit

T > 0

.On onsidère lesystème parabolique ouplésuivant :







κ

t

= εκ

xx

+

ρxρxx

κx

− τρx

sur

I

T

ρt

= (1 + ε)ρxx

− τκx

sur

IT

,

(3.20)

ave les onditions initiales:

(

κ(x, 0) = κ

0

(x)

sur

I

ρ(x, 0) = ρ

0

(x)

sur

I,

(3.21)

etles onditions aubord :

(

κ(0, t) = κ

0

(0)

et

κ(1, t) = κ

0

_(1),

_{∀t ∈ [0, T ],}

ρ(0, t) = ρ(1, t) = 0,

∀t ∈ [0, T ],

(3.22) où

ε > 0

,

τ

6= 0

sont des réels xés. Ce système est un système parabolique fortement ouplé ave une singularité qui provient de la division par

κ

x

dans la première équation de (3.20). Dans le but d'empê her une telle singularité, on impose l'inégalitéstri te suivantesur ladonnée initiale :

κ

0

_x

>

_|ρ

0

_x|

sur

I.

(3.23) On s'intéresse à l'existen e et l'uni ité des solutions régulières

(ρ, κ)

de (3.20)-(3.21)-(3.22),sous la ondition (3.23).

Le hoix du système (3.20). Lapremière question quel'on peut sedemander est à propos du hoix spé ial du système (3.20). Rappelons aule teur que notre butnalestderésoudre(1.8)-(1.9)dansle asgénéraloù

τ

6= 0

.Pour etteraison, on a pris (3.20) omme une approximation régularisée de (1.8)-(1.9). D'autres hoixdesystèmesappro héssontaussipossible.Parexemple,lesystèmesuivant:







κt

= εκxx

+

ρxρxx

κx

− τρ

x

sur

IT

ρ

t

= ρ

xx

− τκx

sur

I

T

,

(3.24)

peut être aussi onsideré omme une approximation de (1.8)-(1.9). Cependant, e quirisque d'arriver est la perte de l'inégalité

κx

>

_|ρ

x

|,

qui est ru ialedans notre étude.En eet, onn'est pas apablede prouver ette inégalité pour (3.24), et même pour beau oup d'autres systèmes appro hés que l'on a essayé. Au ontraire, le système (3.20) est parti ulièrement onstruit dans le but de vérier un prin ipe de omparaison (voir Proposition 3.1 du Cha-pitre 4)qui implique l'inégalité i-dessus.

Brefrappelde lalittérature.Onn'apastrouvédanslalittératuredestravaux portants sur des systèmes paraboliques singuliers pro he de (3.20). Cependant,

plusieurs systèmes paraboliques impliquant des termes singuliers ont été large-ment étudiés dans divers aspe ts. Des équations paraboliques dégénérées et sin-gulières ont été intensivement étudiées par DiBenedetto etal. (voirpar exemple DiBenedettoet al.[17,2427℄etlesréféren es itées).Lesauteurs onsidèrentles solutions d'équations paraboliques singulières ou dégénérées ave les oe ients mesurables dontle prototypeest une équation de la haleur ave

p

-Lapla ien:

ut

_{− div |∇u|}

p−2

_∇u

= 0,

p > 2

ou

1 < p < 2.

L'étude in lut la ontinuité lo ale de type Hölder des solutions faibles bornées, bornitude lo ale et globale des solutions faibles, estimations intrinsèques et es-timations globales de Harna k. D'autres équations paraboliques du type milieu poreux :

ut

_{− ∆u}

m

= 0,

0 < m < 1,

sontexaminéesdansQuirós,Vázquez[84℄,etDiBenedettoetal.[28,29℄.Ces équa-tionssontsingulièresauxpointsoù

u = 0

.DansDiBenedetto,Kwong,Vespri[28℄, les auteursétudient, pour des valeurs parti ulières de

m

, le omportement de la solutionauvoisinagedespointsdesingularité.Enparti ulier,ilsprouventqueles solutionspositivessontanalytiquesenespa eetaumoinsLips hitzentemps. Ce-pendant, dans DiBenedetto, Kwong [29℄, une estimation intrinsèque de Harna k pour les solutions faibles positives est établie pour un ertain interval optimal du paramètre

m

. Dans Quirós, Vázquez [84℄, les auteurs étudient le omporte-ment asymptotique des solutions faibles en domaine extérieur ave des valeurs aubord qui sont onstantes en temps. Uneautre lasse d'équations paraboliques singulières est la suivante:

ut

= uxx

+

b

x

ux,

(3.25)

b

étantune onstante.Unetelleéquationest liéeauxproblèmesàsymétrieaxiale ainsiqu'aux problèmesissusdelathéoriedelaprobabilité.Denombreuxtravaux sontfaitssur(3.25),y omprisdesthéorèmesd'existen e,d'uni itéetde représen-tationpour lasolution(ave onditions aubord de type Diri hlet ouNeumann). Enoutre,ladiérentiabilitéetlespropriétés de régularitésontétudiées (pour les référen es, voir Colton [20℄, Speranza [89℄, Alexiades [2℄, et Chan, Wong [16℄). Une forme plus générale de (3.25), y ompris des équations semi linéaires, est traitée dans Mooney [75℄, Chan,Kaper[14℄, Chan, Chen [15℄, etMaugeri [71℄.

Un type important d'équations qui peuvent être indire tement liées à notre système sont leséquations paraboliques semi-linéaires :

ut

= ∆u +

_|u|

p−1

u,

p > 1.

(3.26) Plusieurs auteurs ont étudiés les phénomènes d'explosion pour les solutions de l'équation i-dessus (voir par exemple Zaag [96℄, Merle, Zaag [72,73℄, Souplet et

al.[47,85,88℄). Cela in lutdes estimations uniformesautempsd'explosion, ainsi quelare her he on ernantletauxinitiald'explosion.L'équation(3.26)peutêtre liée d'une façon ou d'une autre à la première équation de (3.20), mais ave une singularitédelaforme

1/κ

.Ce ipeutêtreformellementvusil'onsupposed'abord que

u

≥ 0

,etpuisonappliquele hangementsuivantdes variables

u = 1/v

.Dans e as- i,l'équation (3.26)devient :

vt

= ∆v

₋

2

|∇v|

2

v

− v

2−p

_,

etalors si

p = 3

, on obtient:

vt

= ∆v

−

1

v

(1 + 2

|∇v|

2

_).

(3.27)

Puisque la solution

u

de (3.26) peut exploser en temps ni

t = T

, alors

v

peut s'annuler à

t = T

,etdon l'équation(3.27)peutavoirdes singularitéssemblables à eux de lapremièreéquation(3.20),mais ave un termeen

1/v

dans l'équation etnon pas un terme en

1/vx

.

3.2 Un résultat d'existen e et d'uni ité

Le Théorème prin ipal on ernant le système (3.20)-(3.21)-(3.22) est le sui-vant :

Théorème 3.1 (Existen e et uni ité des solutions régulières) Soit

ρ

0

,

κ

0

_{∈ C}

∞

_{( ¯}

_I)

satisfaisant la ondition (3.23) et

(

(1 + ε)ρ

0

_xx

= τ κ

0

_x

sur

∂I

(1 + ε)κ

0

_xx

= τ ρ

0

_x

sur

∂I.

(3.28)

Alors, il existeune unique solution globale

(ρ, κ)

du système (3.20)-(3.21)-(3.22) satisfaisant :

ρ, κ

_{∈ C}

3+α,

3+α

2

( ¯

I

× [0, ∞)) ∩ C

∞

(I

× (0, ∞)), ∀α ∈ (0, 1),

ave

κx

>

_|ρ

x

|

sur

I

¯

× [0, ∞).

(3.29) Les onditions au bord (3.28) que l'on a imposé sur la donnée initiale sont na-turelles i i.En eet, supposons

ρ

et

κ

sont des solutionssusamment régulières de (3.20)-(3.21)-(3.22).A partir de (3.22),on saitque

ρ

et

κ

sont onstantes sur

∂I

_{× [0, T ]}

, et alors

ρt

= κt

= 0

sur

∂I

× [0, T ]

. En utilisant ette information ave lesystème (3.20) satisfaite par

ρ

et

κ

, onobtient:







0 = εκxx

+

ρxρxx

κx

− τρx

sur

∂I

× [0, T ]

0 = (1 + ε)ρxx

_{− τκ}

x

sur

∂I

× [0, T ],

Ce qui implique immédiatement(3.28).

Larégularité

C

3+α,

3+α

₂

de lasolutionest larégularitémaximalequenous pou-vons obtenir jusqu'à la frontière. Ce i est dû au fait que nous augmentons la régularité, d'une manière itérative, en utilisant haque fois, la théorie de Hölder pour les équations paraboliques (voir Théorème 2.1 du Chapitre 4). Cependant, la théorie de Hölder pour les équations paraboliques exige un ertain ordre de ompatibilitéentrelesdonnéesinitiales,et,grossomodo:plusquenous augmen-tonsl'ordrede ompatibilité,plusnousaugmentons larégularité.Dansnotre as, les onditions au bord (3.22) et (3.28) augmentent l'ordre de ompatibilité jus-qu'à

1

,etpar onséquentnousobtenonslarégularité

C

3+α,

3+α

₂

jusqu'àlafrontière.

L'eetde la divisionpar

κ

x

.Lamanière lassiquedeprouverl'existen e d'une solution globaleen temps d'un problème parabolique, est de montrer l'existen e d'une solution lo ale en temps en appliquant un argument de point xe sur un espa e approprié, et de réitérerensuite après avoir obtenu quelques bonnes esti-mations a priori. Nous emploierons ette méthode pour trouver notre solution. Mentionnons qu'en temps ourt

T > 0

, nous pouvons fa ilement trouver une solutionrégulière de (3.20)-(3.21)-(3.22)qui satisfait :

κx

>

_|ρ

x

|,

sur

IT

,

equilinéariseenquelquesorte lapremièreéquation(3.20)satisfaitepar

κ

.Dans e as- i, les estimations bien onnues pour les équations paraboliques linéaires donnent quelques bonnes estimations a priori, mais pas une minoration appro-priée dans la norme

L

∞

de

κx

an d'éviter la division par

0

. Par onséquent, en réitérant, ilpeut seproduire que

κx

= 0

etdon que le pro édé s'arrête.

Dans lespro hains arguments,beau oup de onstantes qui peuvent dépendre du temps sont rempla ées par

0

ou

1

. Ce i est fait an d'éviter des onfusions te hniques, etde faireune présentation plus lairedes idées essentielles.

Première minoration de

κx

. On va essayer de surmonter le problème de la division de la

κ

x

en trouvant une borne inférieure via un prin ipe de om-paraison qui est prouvé pour (3.20)-(3.21)-(3.22). Ce prin ipe de omparaison

permet de prouver l'inégalitésuivantesur

IT

:= ¯

I

× [0, T ]

:

κx(x, t)

≥

p

γ

2

_{(t) + ρ}

2

x

(x, t),

(3.30)

où

γ

est une fon tion dé roissante satisfaisant l'équation diérentielle ordinaire simple suivante:

γ

′

_{≥ − 1 + kρ}

xxx

k

L

∞

_(I

_T

₎

γ

sur

(0, T ).

(3.31) Leterme

kρxxxkL

∞

(I

T

)

quiapparaitdans(3.31)vienten dérivantlesystème(3.20) par rapportà

x

. Nous pouvons fa ilement remarquer que la solution

γ

de (3.31) pourraits'annuler si

kρ

xxx

k

L

∞

(I

T

)

devient inniment grand.Par onséquent, l'in-égalité(3.30)n'est pasune bonneminorationde

κx

àmoinsque

kρxxxkL

∞

(I

T

)

soit bien ontrlée,et ela sera la pro haine étape.

Une inégalité parabolique de type Kozono-Taniu hi.Les estimations

C

α

pour les équations paraboliques donne un ontrle de

kρxxxkL

∞

(I

T

)

de laforme :

kρxxxkL

∞

_(I

_T

₎

≤

1

γ(T )

,

(3.32)

qui,utiliséedans(3.31),n'empê he pas

κx

des'annuler.Ilest utiledementionner que les estimations

L

p

habituelles pour les équations paraboliques sont valides pour

1 < p <

∞

, etpas pour

p =

∞

.

Unethéorieintermédiaire des équationsparaboliquesest lathéorie

BMO

( 2

) (Bounded Mean Os illation). Les estimations

BMO

donnent un ontrle de la norme

BMO

de

ρxxx

indépendantde

γ

:

kρxxxkBM O(I

T

)

≤ 1.

(3.33) Dansnotretravail,onprouveuneinégalitéparaboliquedetypeKozono-Taniu hi qui ontrlelanorme

L

∞

d'unefon tionparsanorme

BMO

etpar lelogarithme de sa norme dans un ertain espa e de Sobolev. Cette inégalité s'é rit formelle-ment:

kρ

xxx

kL

∞

_(I

T

)

≤ kρ

xxx

kBM O(I

T

)



1 + log

+

_kρ

xxx

kBM O(I

T

)

+ log

+

kρ

xxx

kW

2,1

2

(I

T

)



.

(3.34) Parailleurs, une estimation utile qui peut être obtenue à partir de la théorie

L

p

est une estimationde laforme :

kρxxxkW

2,1

2

(I

T

)

≤

1

γ

4

_{(T )}

.

(3.35)

2

En utilisant(3.33), (3.34) et(3.35), onobtientnalement:

kρxxxkL

∞

_(I

_T

₎

≤ 4 log



1

γ(T )



,

(3.36)

qui est meilleurde (3.32).

L'original de l'inégalité de Sobolev logarithmique (3.34) a été trouvé dans Brézis, Gallouët [8℄, et Brézis, Wainger [9℄ (voir également Engler [33℄), où les auteurs ont étudié, dans un adre elliptique et non pas parabolique, la relation entre

L

∞

,

W

k

r

et

W

s

p

, si

kukw

k

r

≤ 1

pour

kr = n

. Cette estimation a été appli-quée pour prouverl'existen e des solutions globalesde l'équationde S hrödinger non-linéaire(voirBrézis, Gallouët[8℄,etHayashi, vonWahl[48℄).L'inégalité ori-ginalede Kozono-Taniu hi[61, Theorem1℄estprouvée dans le as elliptique.Les idées de la preuve de la version parabolique de ette inégalité sont données en Appendi e B du Chapitre 4.

En utilisant l'inégalité(3.36) dans l'inéquation diérentielle ordinaire (3.31) sur

γ

,et en suivant tous lestermes a hés, onobtient

κx(., t)

_{≥ γ(t) ≥ e}

−e

ct

ave

c = e

t

_,

eton obtient alors, lesestimations a priori suivantes :

kρ(., t)kC

3

_{( ¯}

_I)

≤ e

e

et

et

kκ(., t)kC

3

( ¯

I)

≤ e

e

et

.

L'existen e globalede la solutiondé oule par itérationen temps.

4 Systèmenon linéaire parabolique/Hamilton-Ja obi fortement ouplé

Cettese tionprésentelerésultatprin ipalduChapitre 5oùl'onétudie l'exis-ten e d'une solution mixte vis osité-distribution du système (1.8)-(1.9) dans le Cas B. Ce résultat peut être onsidéré omme la limite du Théorème 3.1 lors-qu'on fait

ε = 0

.

4.1 Situation du problème

On s'intéresse à l'existen e des solutions du système (1.8)-(1.9) dans le as

τ

_{6= 0}

, etsous la ondition (1.4). On rappellelesystème ouplé:

(

κ

t

κ

x

= ρ

t

ρ

x

sur

I

× (0, T )

ρt

= ρxx

− τκx

sur

I

× (0, T ),

ave les onditions initialessur

I

:

κ(x, 0) = κ

0

(x),

ρ(x, 0) = ρ

0

(x),

(4.38)

etles onditions aubord

(

κ(0, t) = κ

0

(0)

et

κ(1, t) = κ

0

_(1),

_{∀t ∈ [0, T ],}

ρ(0, t) = ρ(1, t) = 0,

∀t ∈ [0, T ],

(4.39) Les onditionsinitiales sont maintenantsoumises àla ondition suivante:

κ

0

_x

_{≥ |ρ}

0

_x|

sur

I.

(4.40) Le système (4.37) peut être vu omme limite du système (3.20) où nous avons ajouté le terme

−ε∆

. Par onséquent, l'idée naturelle est de passer à la limite lorsque

ε

→ 0

.Cetteméthodes'appellevis ositéévanes ente quiestusuellean d'appro her lessolutions de vis osité pour une équation de Hamilton-Ja obi. La littérature sur ette méthode est très ri he et on peut iter par exemple le livre de Barles [3℄, Sinai [87℄, et Huang, Wang, et Teo[52℄.

4.2 Existen e des solutions de vis osité

Le théorème prin ipal on ernant le système (4.37), (4.38), (4.39) et (4.40) est le suivant:

Théorème 4.1 (Existen e globale d'une solution mixte) Soient

ρ

0

et

κ

0

deux fon tionssusamment régulières satisfaisants (4.40). Alors il existe

(ρ, κ)

∈ (C( ¯

I

× [0, ∞)))

2

_,

_ρ

_{∈ C}

1

_(I

_{× (0, ∞)),}

solution de (4.37), (4.38) et (4.39) satisfaisant :

κx

≥ |ρx|

dans

D

′

_(I

_{× (0, T )).}

(4.41)

Cependant, ette solution doit être interprétée au sens suivant :

1.

κ

est une solution de vis osité de

κtκx

= ρtρx

dans

IT

= I

× (0, T )

, 2.

ρ

est une solution distributionnellede

ρt

= ρxx

− τκ

x

dans

IT

, 3. Les onditionsinitiales et au bord sont satisfaites pon tuellement.

Remark 4.2 Par sou idenon onfusion,onappelle

(ρ

ε

_{, κ}

ε

₎

, lasolutionobtenue par le Théorème3.1.

La di ulté majeure est que l'on doit travaillerave l'équation

κtκx

= ρtρx.

(4.42)

L'idée est de passer à la limite lorsque

ε

→ 0

dans la famille des solutions ré-gulières

κ

ε

obtenues par le Théorème 3.1. Pour ette raison, nous avons besoin d'un adreoùl'équation(4.42),satisfaitepar

κ

,est stableparpassageàlalimite. La régularité

C

1

de

ρ

est prévisible puisqu'il satisfait une équation parabolique (la deuxième équation de (4.37)). Dans e as- i

ρ

t

et

ρ

x

sont ontinues et par onséquent le Hamiltonien de (4.42) est également ontinu. Puis, en supposant

κx

> 0

, on peut interpréter

κ

omme solution de vis osité de (4.42). Ce i nous rammène naturellementvers le adre des solutionsde vis osité oùlapropriété de stabilitéest satisfaite (voir Barles[3,Lemma 2.3℄).

La onvergen e de

κ

ε

vers unefon tion ontinue

κ

est faitepar l'intermédiaire du ontrle lo al, uniformément par rapport à

ε

, du module de ontinuité de

κ

ε

enespa eetentemps( 3

).Ce ilaissedéduirela onvergen euniformelo alede

κ

ε

.

Le ontrle uniforme du module de ontinuité en espa e est fait en utilisant une inégalité entropique quis'avère valide pour lesystème appro hé (3.20)(voir Proposition 5.1 du Chapitre 5). Cette inégalité entropique peut être fa ilement omprise. Par exemple, si l'on met

ε = 0

et

τ = 0

, nous pouvons formellement vérier quel'entropie des densités de dislo ation

θ

±

=

κ

x

± ρx

2

,

dénie par

S(t) =

Z

I

X

±

θ

±

(., t) log θ

±

(., t)

satisfait

dS(t)

dt

=

−

Z

I

(θ

+

x

− θ

−

x

)

2

θ

+

_{+ θ}

−

≤ 0,

etalorsonobtient

S(t)

≤ S(0)

e qui ontrlel'entropieuniformémenten temps. Le ontrle uniformedumodulede ontinuitéen tempsest faitpar l'intermé-diaire d'une borne sur

κ

ε

t

− εκ

ε

xx

uniformémenten

ε

.

Finalement,la ondition (4.41)dé oule dire tement en passant à lalimite en utilisant (3.29),i.e.

κ

ε

x

>

|ρ

ε

x|

. 3

4.3 Simulations

En utilisant les équations de l'élasti ité (voir l'Appendi e de la thèse), en-semble ave le système (1.3) en termes de

ρ

et

κ

, on peut al uler le dépla e-ment dans le matériau. On onsidère le as d'un ristal ave un ontrainte de isaillement

τ

appliquéesur lesmurs frontières (voirFigure 1.5). Dansla Figure

PSfrag repla ements

τ

τ

e

₁

e

₂

1

−1

Fig. 1.5Géométrie du matériau.

1.6, on montre su essivement l'état initial du ristal au temps

t = 0

sans au- une ontrainteappliquée, puis ladéformation (élastique)instantanée du ristal lorsqu'on applique la ontrainte de isaillement

τ > 0

au temps

t = 0

+

. La dé-formationdu ristal évolue en temps etnalement onverge numériquementvers une déformationparti ulière qui est montrée à ladernière gure après un temps vraimentlong.Ce typede omportementest appeléélasto-vis o-plasti itéen mé- anique ar le matériaumet du temps pour réagir à la ontrainteappliquée. De plus, sur ladernière gure,onremarque laprésen e de ou hes limites.Cet eet est dire tement relié àl'introdu tiondu ba k stress

τb

=

θ

+

x

−θ

x

−

θ

+

_+θ

−

dans lemodèle (1.1). a)

t = 0

−

b)

t = 0

+

)

t = +

∞

Fig. 1.6 Déformationd'un ristal pour le modèle (1.3).

5 Compléments numériques pour un problème in-dépendant de type transport

On s'intéresse au al ul numérique des solutions des équations aux dérivées partiellespartiellesde typetransport:

(

ut

= ~a

· ∇u

sur

R

2

_{× (0, T )}

u(x, 0) = u

0

(x)

_{∈ {+1, −1}}

sur

R

2

_,

(5.43)

où

~a(x, t) = (a1(x, t), a2(x, t))

est le hamp de ve teur vitesse. On onsidère une dis rétisation de l'espa e

R

2

:

xI

= (xi

1

, xi

2

) = (i1

∆x, i2∆x),

ave

I = (i1, i2)

∈ Z

2

,et

∆x

est le pas en espa e. Lafon tion

u

0

est donnée par :

u

0

(x

I

) =

(

+ 1

si

xI

∈ Ω

0,

Ω0

⊂ R

2

est un ouvert

,

− 1

sinon

.

I i

u

0

permet de représenter une ourbe

∂Ω0

dans

R

2

. Eneet, onpeut formelle-menté rire:

∂Ω0

= ∂

{xI; u0(xI) = +1

}

.Alorsl'évolutionentempsdelafon tion

u0

représente le transport de la ourbe

∂Ω0

suivant le hamp de ve teurs

~a

. Le but est d'é rireun algorithme pour al ulerlasolution de (5.43).

Dans le as spé ial où

~a = c(x, t)

∇u

|∇u|

, l'équation (5.43) est dite équation eikonale :

(

ut

= c(x, t)

|∇u|

sur

R

2

_{× (0, T )}

u(x, 0) = u

0

(x)

∈ {+1, −1}

sur

R

2

_,

quimodélisel'évolutionde frontsdansladire tionnormale.Dans e as,un algo-rithmebasé sur laméthode Fast Mar hing (voirSethian [86℄ etTsitsiklis [91℄), est présenté dans Carlini,Fal one,For adelet Monneau[11℄. Cet algorithme est une extensionde laméthode FastMar hing lassiquepuisque e nouveaus héma peut traiter une vitesse

c(x, t)

qui dépend du temps sans au une restri tion sur son signe.

On aessayéd'explorerlesidées deCarlini,Fal one,For adeletMonneau[11℄, et de lesadapter pour l'équation de transport (5.43). Dans ette dire tion, on a proposé plusieurs algorithmes qui semblent, après avoir ee tué des tests numé-riques, ne pas translater les fronts à labonne vitesse, même dans le as où

~a

est onstant.

Un algorithme du type splitting est alors introduit.L'idée du splitting est de séparer latranslation de

xi

1

suivant lavitesse

a1

, etla translationde

xi

2

suivant lavitesse

a

2

.L'avantagede et algorithmeestqu'iltranslateexa tementles oins et les lignes droites d'un front donné, si le ve teur vitesse

~a

est onstant (nous renvoyons à laSe tion 3du Chapitre 6pour ledétails de l'algorithme).

Test numérique: as d'un arré en rotation.Untestnumériqueestee tué ave un arré évoluant suivant un hamp de ve teur

~a

qui dépend seulement de la variable d'espa e. On prend le as d'un arré en rotation, i.e.

~a = (

−xi

2

, xi

1

)

. Les simulationssuivantes sont alors obtenues :

Fig. 1.7 Images 0, 38

Fig. 1.9 Image 373

Ce test numérique montre que notre algorithme proposé de type splitting peut réedon desinstabilités(voirFigure1.9).L'étapesuivanteseraitd'améliorer et algorithme an de pallier et in onvénient.

General introdu tion( 1

)

This thesis is on erned with the theoreti al study of a mathemati almodel arising from the study of the dynami s of dislo ation densities in rystals. This dynami s ismodelizedthrough a non-linear oupledsystem of aparaboli and a Hamilton-Ja obiequation,and weare interested inthe existen eand uniqueness of solutionsofthis system. Dislo ationsare lineardefe ts whi hmovein rystals when those are subje ted toexterior stresses.

Independently, at the end of the thesis, we present, in a short hapter, a nu-meri al method for the transport of fronts. In this thesis, three main types of equations are onsidered :

1. Non-linearrst order Hamilton-Ja obi equations.

2. S alar onservations laws.

3. Singularparaboli equations.

For all situations, the main goal of the study is the existen e, uniqueness and regularity ofthe solutionsof the aboveequations. Thisintrodu tionaims togive an overview of the results that we have obtained. In the rst se tion, we start by givinga brief physi al des ription of dislo ations and dislo ation densities in rystals. A physi al motivation of the spe ial model of our interest is given as well. In se tions 2, 3 and 4, we present the mathemati al results on erning our model des ribing the dynami s of dislo ation densities. Se tion 5 is devoted to present a numeri almethodfor fronts transport.

In order toshed lightonthe importantideas andto ensurethat they are not 1