1
Laure Guérin
Mémoire de master 2
Directeur de mémoire :
Yves Matheron
2014 - 2015
Jury :
Pierre Arnoux
Teresa Assude
Yves Matheron
Master recherche en didactique
des mathématiques
Université
d’Aix Marseille
Processus de contrôle dans la
classe de mathématiques au
collège. Etude des conditions et
2
Remerciements
Je remercie mon directeur de mémoire, Yves Matheron qui m’a guidée et suivie pour la réalisation de ce mémoire.
Merci aux professeurs et aux élèves que j’ai interrogés et dont j’ai récupéré les entretiens et questionnaires. Sans eux, ce mémoire n’aurait pas pu aboutir.
Bien évidemment, merci à tous les professeurs et élèves que j’ai rencontrés lors du master. Ils m’ont permis d’approfondir la didactique des mathématiques et m’ont donné envie de continuer.
3
Sommaire
Remerciements ... 2
Sommaire ... 3
Introduction ... 6
1. Analyse et rôle des processus de contrôle. Eléments théoriques... 7
1.1 Vérifier ou contrôler ? ... 7
1.2 Analyse de l’organisation mathématique dans les processus de contrôle ... 10
1.2.1 Méthodologie et cadre théorique ... 10
1.2.2 Analyse d’exemples ... 12
1.2.3 Conclusions ... 19
1.3 Rôle des processus de contrôles ; coûts et gains ... 21
1.4. L’échelle de niveaux de codétermination didactique ... 26
1.5 Rapport public et rapport privé ... 28
2. Dimension privée : Recherches et résultats ... 30
2.1 Dialectique des médias et des milieux ... 30
2.2 Entretiens de trois élèves sur leurs rapports privés aux processus de contrôle ... 33
2.2.1 Adam ... 34
2.2.2 Flavie et Dorine... 36
2.2.3 Conclusions ... 38
2.1.4 Travaux sur l’étude à la maison : un système didactique auxiliaire ... 39
2.3. Les techniques de contrôle utilisées dans le cadre de la maison ... 40
2.3.1 Hypothèses de recherche ... 40
2.3.2 Questionnaire élève : enquête sur les processus de contrôle privés à la maison ... 40
Analyse a priori ... 40
Description du questionnaire-élève ... 44
Questionnaire professeur ... 45
Echantillon ... 46
4
Conclusions sur la répartition globale des techniques de contrôle ... 52
2.5 Résultats sur la répartition des techniques de contrôle selon le niveau et la persévérance. . 53
2.6. Conclusions ... 56
3. Dimension publique : Recherches et résultats ... 58
3.1 Les processus de contrôle dans l’organisation didactique ... 58
3.2 Ressources pour faire la classe ... 61
3.2.1 Les programmes, les documents officiels, les manuels ... 61
3.2.2 Détour dans le temps et dans l’espace ... 63
3.2.3 Les techniques de contrôle associées aux équations en quatrième ... 68
3.2.4 Les techniques de contrôle liées aux équations dans les documents officiels et les manuels ... 71
3.2.5 Conclusion ... 74
3.3 Conditions sur la topogénèse ... 75
3.3.1 Enquête auprès des professeurs ... 75
3.3.2 Conclusions ... 79
3.4 Conditions sur la mésogenèse ... 82
3.4.1 Description des séances ... 83
3.4.2 Conclusion générale des séances au regard des processus de contrôle ... 93
3.4.3 Entretien avec le professeur... 94
3.4.4 Conclusion générale du dispositif... 96
3.5 Conditions sur la chronogenèse ... 97
3.5.1 Description de la séquence ... 97
3.5.2 Temps didactique ... 101
3.5.3 Capital-temps ... 105
3.5.4 Bilan sur les techniques de contrôle ... 105
Conclusion ... 109
Références bibliographiques ... 111
6
Introduction
La finalité de tout enseignement est de permettre aux apprenants de construire des savoirs et des savoir-faire qui puissent être remobilisés en dehors du système didactique. Ainsi dans les programmes français du collège figure la notion d’« autonomie ». On peut d’ailleurs constater les nombreuses occurrences de ce terme dans le bulletin officiel d’août 2008. On peut lire par exemple :
- page 4, « les modes de gestion de classe […] permettent un accès progressif à l’autonomie. » - page 9, « L’enseignement tend à développer la prise de conscience de cette autonomie des
élèves. »
- page 11, les enseignants doivent pratiquer « des situations plus ouvertes dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises. »
A travers ce travail de mémoire, nous cherchons à éclairer l’un des aspects lié à cette problématique plus vaste de l’autonomie des élèves, en nous intéressant plus particulièrement à un moment – clef dans le déroulement de la classe de mathématiques. Après avoir cherché plus ou moins longuement un exercice, les élèves lèvent en général le doigt pour signifier qu’ils ont fini. Certaines classes sollicitent ardemment et continuellement le professeur. On les qualifiera alors d’élèves immatures. Dans ce cas, les solutions apportées se tournent souvent vers des aides méthodologiques, d’ordre général, et non reliées à la discipline mathématique.
Cette affirmation est confirmée par une étude comparative entre la France et le Brésil de Maïa, Vandebrouck et Bona sur les représentations sociales du concept d’autonomie chez des enseignants. Leur conclusion relative aux professeurs français est la suivante :
« Du point de vue des éloignements entre les groupes les termes initiative,
indépendance, individuel, seul, personnel, se débrouiller, esprit critique, maturité, émis par les enseignants français font référence à une dimension
plus individuelle de ces représentations, où le sujet est le seul protagoniste de la gestion de son travail et sa prise de décision. »
Ainsi les causes de ce manque d’autonomie sont cherchées dans les dimensions personnelles de l’élève et sont vécues comme une fatalité : il y a des élèves autonomes et d’autres non.
Notre point de vue est tout autre. Il s’insère dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique. Il s’agit d’interpréter la sollicitation permanente du professeur comme un signe du manque d’usage par les élèves de techniques de contrôle. En effet, l’élève qui a fini son travail et qui cherche à savoir si son résultat et sa démarche sont justes, peut alors se positionner de deux manières différentes :
- il peut appeler le professeur pour qu’il valide ou invalide son travail - il peut développer des techniques d’autocontrôle.
Dans le dernier cas, l’élève qui cherche la vérité mathématique, met en place des stratégies pour vérifier sans l’aide du professeur ses solutions (stratégie qui peut tout aussi bien être la comparaison de ses réponses avec un camarade). Il développe alors une autonomie face au savoir, en vérifiant et en contrôlant ses résultats.
7 S’il est lieu commun de dire que les « élèves ne vérifient pas », des mémoires1
de D.E.A. infirment cette hypothèse. Les élèves s’engagent dans des processus de vérification mais ne les laissent pas voir aux professeurs.
Notre problématique est donc d’interroger les conditions et les contraintes qui pèsent sur le système éducatif actuel français au collège, soumis aux programmes de 2008, qui freinent, voire empêchent le développement de techniques de contrôle dans les classes de mathématiques. Nous distinguerons au regard de la remarque précédente, la dimension privée de la dimension publique.
La première partie permet de situer notre propos dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique. Quelle définition donner aux mots « vérification », « contrôle » ? Quelle différence entre les deux ? La deuxième partie, quant à elle, est consacrée à l’étude des processus de contrôle développés de manière privée, notamment dans le cadre du travail à la maison. Des entretiens et des questionnaires nous permettent d’enquêter sur les usages du contrôle de la validité par les élèves en autonomie didactique à la maison. Enfin, la notion centrale de la troisième partie concerne l’intégration des techniques de contrôle dans sa dimension publique c'est-à-dire reconnues officiellement comme faisant partie du travail mathématique. Peut – on trouver des traces d’engagement dans les processus de contrôle dans les classes, dans les programmes, dans les manuels ? Le thème des équations en classe de quatrième nous intéressera plus particulièrement, puisqu’il nous semble être un terrain fertile à la mise en place de ces techniques. Pour ce faire, nous procédons à l’analyse de divers documents et diverses séances de classe dans lesquelles nous mettons en évidence les conditions topogénétiques, mésogénétiques et chronogénétiques favorables ou défavorables au développement de l’autocontrôle par les élèves.
1. Analyse et rôle des processus de contrôle. Eléments
théoriques
1.1 Vérifier ou contrôler ?
On comprend aisément l’intérêt de contrôler la réaction d’un avion aux turbulences de l’écoulement de l’air ou de vérifier la résistance d’un pont aux vibrations provoquées par une file de camions ou le vent d’une tempête. Dans ces situations, on imagine que le contrôle et la vérification visent à éviter des catastrophes ou à améliorer des performances. Dans notre société, le contrôle et la vérification sont partout.
Les mots « contrôle » et « vérification » ont-ils le même sens ? Cherchons les définitions de ces deux termes dans le trésor de la Langue Française informatisé, le TLFi.
Vérification
A. [Corresp. à vérifier A 1]
1. Fait de vérifier; opération par laquelle on vérifie. Synon. contrôle. Vérification automatique,
rapide, sérieuse; vérification périodique, régulière; sans aucune vérification; une vérification s'impose; soumettre à une vérification. La conversation familière d'un ami, qu'il nous est loisible d'interrompre à volonté pour provoquer explications ou vérifications nécessaires
(MARROU, Connaiss. hist., 1954, p. 91).
1
Mémoires de Khantine-Langlois 1988, Coppe 1988, Jany 1988 en didactique des discipline scientifiques tenus à Lyon et à Grenoble
8 Le mot « contrôle » est donné comme synonyme. Intéressons-nous à son étymologie.
Contrôle :
Prononc. et Orth. : [ ]. Ds Ac. 1694 s.v. rôle avec la graphie controlle; ds Ac.
1718-1932 sous la forme moderne. Étymol. et Hist. [Contrôle, contrôler indirectement attestés par le dér. contrôleur* 1292] A. 1. 1367 contrerooulle « registre tenu en double pour la vérification d'un autre » (Recettes et dépenses du roi de Navarre, 63, Izarn ds R. Hist. litt. Fr., t. 8, p. 493), forme attestée jusqu'en 1732 (Trév. : contre-role); 1422 controlle (DOUET D'ARCQ, Pièces du règne de Charles VI, i, 446 ds BARB. Misc. 14, no 5); 1611 controle (COTGR.);
Si historiquement, les deux mots ont la même signification, à partir de 1845, le terme « contrôle » évolue. Il laisse place à une dimension supplémentaire de surveillance et de domination sur les finances, la vaisselle ou encore les ouvrages d’or et d’argent.
1845 « ensemble des contrôleurs d'une administration » (BESCH. : Contrôle central du trésor public); 2. 1580 fig. « surveillance » (MONTAIGNE, Essais, éd. A. Thibaudet, livre 2, chap. 12, p. 585); 3. 1740 contrôle de la vaisselle (Ac.); 1771 (Trév. : Contrôle des ouvrages d'or et d'argent, marque ou poinçon que les Orfèvres et autres sont obligés de faire appliquer sur tous les ouvrages d'or et d'argent avant que de les mettre en vente);
Au XXe siècle cette domination prend de l’ampleur et concerne des notions plus abstraites telles que la natalité ou les personnes (contrôle de soi).
4. 1929 contrôle de la natalité (HAVELOCK ELLIS, Études de psychologie sociale ds
MACK. t. 1, p. 262). C. 1919 perdre le contrôle de soi (ESTAUNIÉ, Ascension M. Baslèvre, p. 125). Composé de contre* et de rôle* terme de dr. d'où la forme mod. par superposition syllabique (BL.-W.5; v. aussi FEW t. 10, p. 517, note 21); cf. lat. médiév. contrarotulus 1242 ds LATHAM. B et C déverbaux de contrôler « examiner, vérifier » et de se contrôler « se dominer ». B 4 calque de l'angl. birth control (1914 Marg. Sanger in The Woman Rehel, Apr. ds NED Suppl.; v. aussi MACK. t. 1, p. 262).
Le contrôle semble donc avoir une portée plus générale que la vérification. Il « englobe » la vérification. Qu’en est-il des situations mathématiques ? Prenons pour commencer quelques exemples. On peut dans un premier temps, penser à la preuve par neuf qui est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou un calcul posé à la main. Imaginons que l’on pose le calcul 17 × 35 et que l’on trouve 585. En additionnant les chiffres du résultat il vient : 5 + 8+ 5 = 18 et en itérant 1 + 8 = 9. En multipliant la somme des chiffres des deux facteurs, on a : ( 1 + 7 ) × ( 3 + 5 ) = 8 × 8 = 64 De plus, en calculant la somme des chiffres et en itérant, on obtient :
6 + 4 = 10 ; 1 + 0 = 10 et 1 + 0 = 1
Si ce résultat est différent de 9, ce qui est le cas ici, alors on peut affirmer que notre calcul est faux.
1De la même manière, au collège les élèves peuvent vérifier à l’aide des critères de divisibilité si un nombre entier, qui peut être le résultat d’un calcul, est un multiple de 2, 3, 4, 5 ou 9. Si on considère l’exercice2
de quatrième suivant :
9 Un congrès de scientifiques est divisé en deux commissions: dans la première, il y a 20 personnes dont 15 % de femmes et dans la deuxième, il y 60 personnes dont 25 % e femmes. Quel est le pourcentage de femmes de ce congrès ?
Lorsque la solution est trouvée, on peut réaliser deux vérifications :
La première consiste à observer si le résultat est situé entre 15 % et 25 % La deuxième consiste à examiner si ce résultat est plus proche de 25 que de 15.
En effet, le pourcentage obtenu est la moyenne pondérée de 25 % et 15 % affectés des coefficients respectifs 60 et 20. Comme 60>20, le résultat est plus éloigné de 15 que de 25.
Dans tous ces exemples, on peut conclure à l’invalidation d’une solution sous certaines conditions : la somme est différente de 1, le résultat est entre 15 et 25. Cependant dans le cas contraire, on ne peut pas affirmer que le résultat est juste. Imaginons que l’on trouve 496 au calcul 17 × 35. On a alors 4 + 9 + 6 = 19 ; 1 + 9 = 10 et 1 + 0 = 1. Ceci ne nous permet pas d’affirmer que l’on a le bon résultat. Effectivement puisque la véritable solution est 595 ! La vérification permet uniquement d’invalider des solutions.
En 2013 - 2014, j’ai mis en place le parcours3 d’étude et de recherche développé par Marseille pour enseigner les relatifs en classe de cinquième. Le choix didactique de ces séquences pour construire ces nouveaux nombres s’appuie sur les programmes de calcul.
Pour simplifier l’écriture du programme de calcul, « à un nombre, on ajoute 45 et on soustrait 46 », on aurait pu écrire :
… + 45 – 46 = … – 1. On a préféré écrire : + 45 – 46 = - 1
Dans la deuxième séquence, étape 1, d’autres calculs sont proposés aux élèves.
+ 34 – 37 = - 3
+ 34 – 38 = - 4 ; + 12 – 15 = - 3 ; + 5241 – 5246 = - 5 + 21 – 31 = -10 ; + 22 – 29 = - 7
Dans mes deux classes de cinquième, je suis alors témoin du fait suivant :
Alors que nous sommes passés aux écritures avec des programmes de calcul pour une grande majorité de la classe, certains élèves en difficulté reviennent aux nombres pour assurer leurs réponses. Par exemple pour calculer + 22 – 29, au brouillon, ils repassent par l’addition préalable d’un nombre, par exemple : 100 + 22 – 29 = 122 – 29 = 93. On obtient donc bien une soustraction de 7.
Si leur résultat pensé au départ est faux, cela leur permet de se corriger. Au lieu de m’appeler pour vérifier, ils ont trouvé un moyen de contrôler leurs réponses, en autonomie. Dans cet exemple, le moyen de contrôle donne la solution –7. Il permet de valider ou d’invalider et de corriger si besoin.
10 Le contrôle permet d’aller plus loin que la vérification dans le sens où il donne, en plus, le résultat. Le contrôle comporte donc une dimension supplémentaire par rapport à la vérification : celle de valider la réponse.
On peut associer à cette distinction la différence entre le vrai et le vraisemblable faite par Claire Margolinas en 1993.
« Le vraisemblable est étroitement lié à des critères de bon droit qui dépendent de l’idée qu’on se fait du réel. » (Claire Margolinas, 1993). La vérification amène au vraisemblable alors que le contrôle rend compte du vrai.
Le contrôle engage une plus grande réflexion vers le vrai. Dans la suite, on parlera plutôt de processus de contrôle pour désigner l’ensemble des étapes à réaliser lorsqu’on procède au contrôle.
Dans le TLFi, on trouve :
PROCESSUS,subst.masc.
A. 1. Suite continue de faits, de phénomènes présentant une certaine unité ou une
certaine régularité dans leur déroulement. Processus social, de croissance
économique. L'histoire est (...) un processus, qu'il faut expliquer, comme un tout vivant
(RENAN, Hist. peuple Isr., t.4, 1892, p.347
En effet, plusieurs étapes sont nécessaires au bon déroulement du processus de contrôle.
Etape 1 : Accomplir la tâche de manière conventionnelle
Etape 2 : Déterminer une seconde technique qui permet d’accomplir totalement ou
partiellement la tâche, qu’on appellera technique de contrôle
Etape 3 : Réaliser la technique de contrôle
Etape 4 : Comparer les résultats obtenus et mesurer les écarts
Etape 5 : Valider la solution ou corriger l’accomplissement de la technique
conventionnelle. Retour au 1 si besoin.
1.2 Analyse de l’organisation mathématique dans les processus de
contrôle
1.2.1 Méthodologie et cadre théorique
Les processus de contrôle présentés dans les paragraphes suivants ont été recueillis dans mes classes de cinquième et de quatrième durant l’année 2014 - 2015. Ils ne concernent pas un domaine en particulier, et peuvent faire partie de nombres et calculs, géométrie, organisation et gestion de
données ou encore grandeurs et mesures. Ils ont été recueillis lors de phases de recherche individuelle
d’exercices ou d’activités en classe sur les cahiers que j’ai photocopiés. Ils sont parfois isolés ou non dans la classe.
Pour outiller ces données on utilise la Théorie Anthropologique du Didactique.
Dans ce cadre, la notion de praxéologie permet de fournir une description des connaissances, savoirs et savoirs- faire impliqués. Etudier une question dans le cadre de l’école, c’est recréer une réponse déjà produite dans une institution, autrement dit élaborer une organisation praxéologique. On peut définir cette notion grâce au modèle praxéologique, c'est-à-dire au modèle du quadruplet [T, , , ]. A la
11 racine, on trouve les tâches que l’on regroupe en types de tâches T, comme saluer un voisin, développer une expression littérale, diviser un entier par un autre. La notion de type de tâches suppose un objet relativement précis. Par exemple « Calculer la valeur d’une expression contenant la lettre x quand on donne à x une valeur déterminée » est un type de tâches alors que « Calculer » ne l’est pas. Il s’agit d’un genre de tâches.
A chacune de ses tâches, on peut associer une ou plusieurs façons de l’accomplir, que l’on nomme technique . La composante praxis [T, ], type de tâches et technique, de la praxéologie, correspond au bloc pratico-technique, communément appelé savoir-faire. Notons qu’une technique peut être
supérieure à une autre. Ainsi évaluer les techniques revient à se poser la question de la pertinence des
techniques ainsi que celle de leurs portées, les unes par rapport aux autres pour un type de tâches fixé. Dans une institution donnée il n’existe en général qu’une seule technique reconnue, la technique institutionnelle. Le deuxième bloc [, ] est la composante logos appelé bloc technologico-théorique,
qui est ordinairement identifié au savoir. Le symbole désigne la technologie, c'est-à-dire un discours rationnel tenu sur la technique. Elle a pour but premier de justifier , de la rendre intelligible et compréhensible. Elle permet aussi de produire des techniques. A son tour la technologie contient des assertions plus ou moins explicites qu’il convient de justifier par la théorie . Ainsi l’approche
anthropologique modélise le savoir en termes d’objets et d’interrelations entre objets (Bosch et
Chevallard, 1999). Cependant un objet n’existe qu’à l’intérieur d’une institution et parce que des sujets de cette institution entretiennent des rapports personnels à ces objets. On peut donc se poser la question de la nature de ces objets. Si la notion d’organisation praxéologique permet un certain découpage du savoir et du savoir-faire mathématique, la notion d’ostensifs permet de rendre compte de la nature des composants dans l’organisation du savoir mathématique (Ibid.). Les objets ostensifs sont manipulables et ont une réalité perceptible : par exemple un son, un geste, une écriture, un symbole. Pour Yves Chevallard, « on appelle ostensifs les objets qui ont pour nous une forme matérielle, sensible, au demeurant quelconque. »
Les objets non ostensifs, quant à eux, ne peuvent à l’inverse ni être vus, ni entendus, ni touchés. Ils concernent les idées, les notions, les concepts. « L’observation de l’activité humaine amène à répondre en établissant une distinction fondamentale entre ces deux types d’objets » (Ibid) qui sont pris dans une dialectique ostensifs/non ostensifs. En effet, les objets non ostensifs ne peuvent vivre qu’à travers la manipulation d’ostensifs et réciproquement, les ostensifs vivent pour rendre compte des non ostensifs. Ainsi « toute activité suppose une co-activation » de ces types d’objets (Ibid.).
Yves Chevallard et Marianna Bosch classent cette pluralité d’ostensifs en plusieurs registres :
« Le registre de l’oralité, le registre de la trace (graphismes et écritures), le registre de la gestualité et celui de la matérialité quelconque » qui regroupe tous les autres ostensifs.
Ainsi un objet matériel comme un compas, une équerre est un ostensif. De même les mots font partie du registre discursif, qui peut être oral ou écrit. Les schémas et les dessins appartiennent au registre graphique et les écritures symboliques sont des ostensifs scripturaux. Lorsqu’une technique est réalisée, plusieurs registres peuvent venir s’articuler. Cette mise en relation nécessite une construction qui est loin d’être naturelle. Certaines tâches institutionnelles sont routinières. En effet ces tâches ayant été construites et entrainées auparavant, elles ont été routinisées. D’autres tâches au contraire nécessitent d’être construites. Elles sont problématiques, soit parce qu’elles sont nouvelles pour l’élève, soit parce que la technique employée précédemment ne fonctionne plus. Il faut donc créer une nouvelle technique qui répond à la tâche. Dans les exemples qui suivent, les tâches proposées aux élèves dans le cours de leur progression ne sont pas encore routinières.
12
1.2.2 Analyse d’exemples
Les données recueillies sont classées selon les registres d‘ostensifs impliqués dans le processus de contrôle. Même si plusieurs registres d’ostensifs sont activés, on peut trouver des registres dominants. L’objectif est d’examiner plus en détails quelques exemples dans lesquels on met en lumière l’organisation mathématique.
Pour chaque processus de contrôle, on identifie le type de tâches T auquel il se rapporte et la technique reconnue dans la classe pour réaliser T, que nous nommerons technique institutionnelle τinst. Si l’élève
met en œuvre un moyen de vérification, on observe à quel moment ce dernier intervient dans le déroulement de la tâche et quel rôle il occupe. Lorsque l’élève met en place un processus de contrôle pour accomplir T, celui-ci développe une technique « parallèle » à l’accomplissement de ce même type de tâches que l’on notera τcont , technique de contrôle. Il est intéressant d’évaluer la technique τcont.
Est-elle facile à utiliser ? Sa portée est-elle satisfaisante ? A-t-elle un avenir et pourra-t-elle évoluer de manière convenable ?
De plus, on isole dans chaque cas, les technologies qui justifient chacune des techniques τinst et τcont
ainsi que les registres d’ostensifs impliqués.
Exemple 1 : Registre graphique et matériel
Enoncé : Construire un carré OLIP tel que OI = 7,4 cm. Voici la réponse de Mathilde, élève de cinquième. Elle construit au préalable une figure à main levée,
13 De plus, elle contrôle, au fur et à mesure de sa construction, sa figure en vraie grandeur. Elle vérifie que les côtés sont de même longueur avec les graduations de son équerre.
Analyse :
On met en évidence dans cet énoncé le type de tâche T0 « construire un carré à partir de la longueur de sa diagonale. »
Plusieurs techniques sont envisageables mobilisant des propriétés différentes.
La première qui vient certainement à l’esprit est 0,inst : « Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, se coupant en leur milieu et de même longueur alors c’est un carré et réciproquement.»
La technique institutionnellement reconnue τ0,inst consisterait à construire deux segments
perpendiculaires de longueur 7,4 cm se coupant en leur milieu puis de relier les quatre extrémités des deux segments tracés. Mathilde recourt à une tout autre technique. Elle mobilise l’élément technologique qui stipule que les diagonales sont les bissectrices des angles droits du carré. L’angle POI qu’elle construit à l’aide de son rapporteur mesure 45°. Elle commence par construire un angle droit de sommet O avec l’équerre puis sa bissectrice avec le rapporteur, en traçant un angle de 45°. Avec le compas elle reporte sur la demi-droite d’origine O (bissectrice) la longueur de 7,4 cm. Elle appelle I le point ainsi trouvé. Avec l’équerre elle construit les deux perpendiculaires aux côtés de l’angle droit construit au départ, passant par I. Entre chaque perpendiculaire elle vérifie les longueurs des côtés et code. Elle observe si PI = OP et si OL = IL. Le tracé de la figure à main levée constitue un véritable processus de contrôle qui permet d’anticiper le travail de construction géométrique. Il permet de savoir où et comment commencer. Ce processus de contrôle possède une grande portée et utilise le registre graphique. Il est l’élément clef de l’anticipation. L’utilisation des graduations de son équerre participe aussi à la vérification de la figure effectivement réalisée. De manière plus générale, les instruments géométriques et certains éléments matériels incarnent certaines propriétés géométriques : - la règle pour l’alignement
14 - le compas pour l’égalité de longueurs
- le calque pour les symétries : orthogonales en pliant, centrales en effectuant un demi-tour (plus généralement les isométries).
A partir d’une figure en vraie grandeur, l’élève peut toujours se servir des instruments de géométrie ou du calque pour vérifier une propriété géométrique. On passe alors d’un registre en langage écrit (texte de démonstration) à un registre matériel plus facilement manipulable pour les élèves puisqu’il correspond à leur répertoire praxéologique venu de l’école primaire.
Exemple 2 : Registre graphique et gestuel
Enoncé : Compléter
a) b) c) d) e)
Erin, élève de cinquième, réalise sans problème les questions a) b) et c) mais se trouve bloquée par la question d). Elle écrit tout d’abord un nombre qu’elle gribouille puis elle dessine le schéma ci-dessous sur son cahier de brouillon. Elle compte alors « les billes » en montrant du doigt. Elle finit par écrire la multiplication par cinq du numérateur et du dénominateur.
Ce schéma lui sert de support pour contrôler.
Analyse
Le type de tâches considéré ici est T1 : « Déterminer le numérateur ou le dénominateur d’une fraction égale à une fraction donnée. »
Pour le cas d), la technique institutionnelle τ1,inst est donnée par :
Trouver le nombre k par lequel on multiplie ou on divise le dénominateur de la fraction donnée pour obtenir le dénominateur de la deuxième fraction (celle dont le numérateur est inconnu).
Multiplier ou diviser (selon le cas) le numérateur de la fraction donnée. Le résultat est le numérateur cherché.
La technologie 1,instrepose sur la propriété d’égalités de deux fractions.
a et b sont des nombres positifs avec b différent de 0. Pour tout k non nul :
La technique institutionnelle fait appel au registre du formalisme écrit, aux ostensifs scripturaux. La technique de contrôle τ1,cont est la suivante :
Représenter le dénominateur de la fraction donnée par un ensemble de billes.
Colorier à l’intérieur de cet ensemble le nombre de billes correspondant au numérateur de la fraction donnée. ... 42 8 7 4 ... 24 6 100 ... 4 3 ... 2 21 14 40 ... 8 5 k b k a b a k b k a b a
15 Recopier à l’identique cet ensemble jusqu’à atteindre le dénominateur de la deuxième fraction. Compter avec son doigt le nombre de billes coloriées.
Le résultat donne le numérateur cherché.
La technologie 1,cont consiste à représenter la fraction comme « fraction partage » qui correspond aux
représentations développées en classe de sixième.
Erin utilise à la fois le registre graphique et le registre gestuel, elle montre les objets à compter (deixis gestuelle).
Cette technique présente une portée limitée. En effet si les dénominateurs sont relativement « grands » - imaginons l’énoncé -il est long et fastidieux de représenter chaque bille. Cette technique est chronophage et a peu de chance d’aboutir.
De plus, elle ne permettra pas d’évoluer vers des écritures fractionnaires. Si les numérateurs et les dénominateurs ne sont plus des entiers, on en peut plus « compter ».
Si cette technique est de peu de portée, sa force réside dans le fait d’utiliser des registres d’ostensifs « plus parlants » (des schémas, des gestes) et de reposer sur des ingrédients technologiques plus stables, car certainement travaillés à l’école primaire et en sixième.
On peut penser que le blocage d’Erin vient d’abord du doute qu’elle éprouve quant à l’appartenance de 40 dans les multiples de 8. On peut supposer que le problème n’aurait pas été le même avec pour données 5 et 40. En effet pour les autres questions, Erin utilise la technique attendue dans la classe.
Exemple 3 : Registre graphique
Enoncé : Trois frères veulent acheter un jeu vidéo ensemble. Le premier possède du prix de ce jeu, le deuxième en possède et le troisième .
Ont-ils assez d’argent pour acheter ensemble ce jeu vidéo ? Réponse de Julie, élève de cinquième.
Fin de la page. Suite du brouillon.
9920 8 7 5 3 15 4 3 1
16
Analyse
Deux types de tâches sont mobilisés dans ce problème.
T2 : Additionner trois fractions dont l’un des dénominateurs est multiple des deux autres. T3 : Comparer une fraction à l’unité.
La technique institutionnelle τ2,inst pour réaliser T2 est la mise au même dénominateur en utilisant le
dénominateur multiple des deux autres, puis l’addition des numérateurs trouvés, en gardant le dénominateur commun. Il s’agit de la technique mise en œuvre par Julie dans la deuxième partie du brouillon. Pour T3, il est classique d’utiliser τ3,inst qui consiste à comparer numérateur et dénominateur.
Ces deux procédés reposent sur des ostensifs écrits symboliques. Les fractions sont représentées par leur notation avec une « barre » .
Les éléments technologiques sur lesquels se fondent τ2,inst et τ3,inst sont les propriétés d’addition et de
comparaison des fractions positives.
2,inst: Si a, b et c sont des nombres entiers positifs avec c différent de 0, alors
3,inst: a, b sont deux nombres entiers positifs avec b différent de 0
Si a> b alors > 1.
La technique de contrôle quant à elle est liée au registre graphique. τ2,cont se décompose en plusieurs étapes :
Construire un rectangle de dimensions 5 (colonnes) et 3 (lignes) puisque les fractions qui interviennent dans l’énoncé sont des cinquièmes, des tiers et des quinzièmes.
Colorier d’une couleur différente (3 colonnes sur 5) ; (4 parties sur 15) puis (une ligne sur 3)
Le contrôle τ3,cont par le graphique consiste à vérifier si « tout » est colorié. Dans ce cas, si certaines
parties sont coloriées plusieurs fois, la fraction résultat est strictement supérieure à 1.
La représentation de la fraction sous forme d’un « rectangle partage » forme l’élément technologique de ce contrôle, qui est certainement plus visuel et plus stable que la mise au même dénominateur. Julie se sert du registre graphique comme support au raisonnement mais surtout pour anticiper la réponse, puisque le dessin se trouve avant le calcul.
Deux anticipations sont possibles à partir du schéma :
-La mise au même dénominateur et .On compte le nombre de « cases » sur le dessin -La présence des parties coloriées deux fois nous indique qu’ils ont assez d’argent.
Notons que cette technique est limitée à des dénominateurs « petits » et à des fractions c'est-à-dire à des écritures fractionnaires dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
Cette technique est de portée limitée, elle a peu de chance de vivre dans des problèmes plus complexes. c b a c b c a b a b a 5 3 15 4 3 1 15 5 3 1 15 9 5 3
17
Exemple 4 : Registre gestuel « pensé »
Enoncé : la lettre F
Donner le plus possible de formules permettant de calculer le nombre de carreaux bleus pour n'importe quel côté de carré construit sur le même modèle.
Voici la réponse de Solveig, élève de quatrième.
Elle contrôle ses formules en utilisant les deux exemples de l’énoncé et en comptant mentalement le nombre de carreaux bleus sur le schéma.
18
Analyse
Dans cet énoncé, on envisage le type de tâches T4 « produire des formules algébriques à partir d’une situation ». Un deuxième type de tâches sous-jacent consiste à montrer que deux expressions littérales sont égales. La technique officielle τ4,inst pour réaliser cet exercice est la suivante :
Appeler par une lettre le côté du carré, par exemple c.
Décomposer la figure en sous-figures et associer les expressions littérales correspondantes. « Rassembler » les expressions littérales trouvées précédemment pour donner la réponse. En utilisant l’injonction « Rassembler les expressions littérales » on peut légitimement se demander rassembler comment ? En additionnant, en multipliant, avec ou sans des parenthèses ? Si ce terme est flou, il ne peut être précisé qu’à l’intérieur d’une situation spécifique et pour une formule bien précise. En effet cette technique ne peut pas être décrite sous la forme d’un algorithme, ce qui rend difficile la réalisation de ce type de tâches. La technologie est fondée sur les formules algébriques et le calcul littéral. Dans l’écrit de Solveig, deux moyens de vérification sont présents. Le premier consiste à vérifier la vraisemblance de la formule trouvée en comptant sur le schéma le nombre de carreaux bleus. Il n’y a pas d’incohérence. Le deuxième consiste à évaluer si les formules trouvées renvoient le même résultat et sont donc susceptibles d’être égales. C’est la comparaison avec le nombre de carreaux effectivement comptés sur le schéma qui permet de vérifier la vraisemblance de la formule. Les carreaux ne sont pas comptés avec les doigts mais « dans sa tête ». L’observation des mouvements des yeux le confirme. Cela correspond au registre gestuel « pensé ». On peut quand même considérer qu’il s’agit d’une technique de contrôle qui va au-delà de la vérification. Elle fonctionne en tant qu’anticipation de la formule. Les exemples choisis sont effectivement des exemples génériques, qui fournissent en les remplaçant par la lettre c la formule générale. La technique de contrôle τ4,cont
consiste à considérer une ou plusieurs valeurs particulières, et à opter pour une stratégie de comptage. L’écriture des détails des calculs permet d’écrire la formule en remplaçant la valeur particulière choisie par la lettre intervenant dans l’expression algébrique. En optant pour une autre stratégie de comptage, on obtient une autre formule. La technologie 4,contrepose sur le calcul numérique et les opérations arithmétiques. Si on remplace la tâche de départ par la détermination du nombre de
19 carreaux dans un cas particulier, la tâche qui en découle devient plus facile pour un élève de quatrième, car ancrée dans le calcul numérique. Cette technique de contrôle n’est cependant pas toujours pertinente. En effet selon la situation si l’élève choisit un cas particulier, il est possible que celui-ci ne lui permette pas d’aboutir au résultat général. Dans cet exemple, on passe d’écritures formelles algébriques à des écritures de calculs numériques. C’est la stabilité du travail sur les problèmes numériques qui rend efficace cette technique de contrôle.
Exemple 5 : Registre oral
Enoncé : ABC est un triangle rectangle en C tel que :
[AC] mesure 3 unités de longueurs et [CB] 5 unités de longueurs. Combien mesure [AB] ? Voici la réponse d’Axelle, élève de quatrième.
Analyse
Il s’agit ici de calculer la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux côtés de l’angle droit (T5). La technique institutionnelle τ5,inst consiste à
Repérer et identifier le triangle rectangle en jeu (facile ici puisqu’il y en a qu’un !) Ecrire l’égalité de Pythagore dans ce triangle rectangle
Calculer les carrés des deux cotés de l’angle droit et les ajouter Prendre la racine carrée du résultat.
Cette technique prend appui sur le théorème de Pythagore (5,inst).
Axelle utilise la même technique, même si elle n’identifie pas explicitement le triangle rectangle dans lequel elle travaille.
On a τ5,inst = τ5,cont. Par contre, ce sont les registres qui diffèrent.
Le contrôle sur cette technique s’effectue à la fois par les tracés d’une figure (registre graphique) et par le recours à un discours, qui est écrit dans l’exemple, mais que l’on peut facilement envisager comme « oral ». La figure permet d’amener au calcul des carrés et le texte semble faire le point en examinant pas à pas les étapes de calculs. De manière générale le discours oral qui rend compte d’une technique participe au processus de contrôle et à la construction de la technique. C’est une manière de « dire le faire.» Par contre, le contrôle graphique qui permet d’aider l’élève à déterminer les étapes de calculs pour le théorème de Pythagore n’est pas pertinent lorsqu’il est nécessaire d’appliquer le théorème de Pythagore dans une sous-figure ou une sur-figure. Cependant si l’élève dégage le triangle considéré sur son brouillon, il peut de nouveau reconstruire les carrés qui l’aideront à mettre en place son raisonnement.
1.2.3 Conclusions
20 Registre d’ostensifs de la technique institutionnelle Registre d’ostensifs de la technique de contrôle Technologie de la technique de contrôle Portée de la technique de contrôle Exemple 1 graphique matériel graphique matériel propriétés des quadrilatères grande Exemple 2 écritures symboliques fractions
graphique gestuel représentation des fractions par un schéma partage limite aux numérateurs et dénominateurs entiers et « petits » Exemple 3 écritures symboliques fractions graphique représentation des fractions par un schéma partage limite aux numérateurs et dénominateurs entiers et « petits » Exemple 4 écritures symboliques écritures algébriques écrit calculs numériques exemple générique limité dans certains cas particuliers Exemple 5 écritures symboliques AB² = AC²+CB² graphique oral –discours en langue naturelle théorème de Pythagore
limité aux figures simples pour le graphique-grande pour le discours
Les techniques de contrôle peuvent avoir une portée plus ou moins grande selon les cas. La figure à main levée donne lieu à un processus de contrôle puissant. Il est intégré dans le raisonnement et fait partie de la démarche d’analyse synthèse dans la construction d’une figure géométrique. Le discours oral constitue aussi une technique de contrôle importante sur le savoir. Il permet par la reformulation d’examiner étape par étape les actions à faire pour accomplir la technique. D’autres techniques, qui utilisent des représentations graphiques, comme pour les fractions ou le théorème de Pythagore, sont limitées à des domaines de validité restreints. Ils permettent de faciliter la transition entre des types de tâches aux domaines réduits et le même type de tâches sur des ensembles plus larges.
Les ingrédients technologiques entre techniques institutionnelles et techniques de contrôle sont identiques ou non.
Le point commun à ces processus de contrôle réside dans la difficulté des élèves à appréhender les éléments technologiques. Il s’agit de tâches non encore routinisées et que le professeur cherche à entrainer. Dans cette perspective, l’élève cherche une seconde technique
21 qui lui permet de surmonter ses difficultés et qui repose sur des organisations mathématiques plus stables pour l’élève (Calcul numérique contre calcul littéral, dessins et partages contre calculs de fractions…).
La technique de contrôle utilise souvent des ostensifs différents de ceux utilisés dans les techniques institutionnelles. C’est cette pluralité et cette richesse qui permet à l’élève de d’exercer davantage de contrôle.
Elle utilise les ostensifs pour lever certaines difficultés. Une palette plus large est manipulée dans le but d’ancrer des techniques institutionnelles. Les ostensifs ainsi convoqués produisent un sens, contribuant à rendre plus intelligible la technique et les éléments technologiques. Ils aident le bloc technologico-théorique à fonctionner. Ils possèdent une double valence : « une valence sémiotique et une valence instrumentale » (Bosch et Chevallard, 1999).
Précisons ces notions :
« Dire qu’un ostensif a une valence instrumentale signifie qu’il permet d’agir et de travailler. Dire qu’un ostensif a une valence sémiotique signifie qu’il permet de voir, d’apprécier de manière sensible le travail fait, le travail en train de se faire et – cela aussi bien pour le sujet que pour l’observateur.» (Bosch et Chevallard, 1999)
1.3 Rôle des processus de contrôles ; coûts et gains
Dans cette partie nous analysons les coûts et les gains que peuvent représenter l’utilisation dans la classe de processus de contrôle, à la fois pour le professeur et pour l’élève. En effet, s’il y a peu de gain à employer des processus de contrôle dans la classe par rapport au coût et à l’investissement que cela génère, ceux-ci sont voués à l’échec et ne pourront pas vivre dans le système didactique. Les processus de contrôle permettent d’aider à la réalisation de techniques. Ils sont les « petites roues » qui permettent de mieux appréhender les techniques institutionnelles.
Début de la tâche t Réaliser t Résultat R Fin de la tâche t Début de la tâche t Réaliser t : premier résultat R
Déterminer la technique de contrôle Réaliser la technique de contrôle Résultat R’
Mesurer les écarts entre R et R’
Si R= R’, sinon retour au début
Fin de la tâche t
22 Dans ce schéma on peut rapidement observer que l’utilisation des processus de contrôle a un certain coût :
- Un coût lié à la complexification de la technique. - Un coût temporel
On observe que le nombre d’étapes dans l’accomplissement de la tâche est alourdi. Le professeur qui choisirait de les mettre en place dans sa classe ou l’élève qui les emploie doit donc accepter ces différentes contraintes. On peut alors se demander quels sont les apports des processus de contrôle. « Génétiquement, ce sont les besoins de la pratique, c'est-à-dire les besoins de techniques qui sont l’origine des praxéologies. »(Bosch et Chevallard,1999)
On peut donc considérer que consolider la réalisation de la technique grâce aux processus de contrôle est un point important pour les plus faibles. Cela peut leur permettre de rester dans une dynamique de travail. Certaines tâches institutionnelles sont routinières et d’autres problématiques. La construction de la réponse à ces tâches demande du temps.
« Une évolution- et souvent même un progrès- apparaît lorsque devant la situation où un type de tâches se révèle problématique, on décide non de refouler la problématicité de la tâche – situation anthropologiquement la plus fréquente- mais d’étudier le problème dans le but de construire la technique manquante. » (Ibid.)
Ainsi les processus de contrôle qui sont des aides à la réalisation des tâches non encore routinières ont leur toute leur place dans le moment du travail de l’organisation mathématique.
Elles permettent d’organiser la transition entre l’ancien et le nouveau. L’utilisation d’ostensifs différents contribue à aménager la reprise de l’étude d’une notion.
De plus pour pouvoir vivre dans une institution la technique doit être compréhensible, lisible et
justifiée pour l’élève qui la produit.
Ainsi les processus de contrôle apportent une valeur ajoutée puisqu’ils permettent non seulement de mieux s’emparer des techniques institutionnelles mais aussi des technologies qui les pilotent. Dans les exemples précédents on a relevé l’importance de la figure à main levée qui permet d’anticiper le travail de construction géométrique.
De même, la réalisation de schémas pour les fractions permet d’anticiper la mise au même dénominateur.
Prenons un autre exemple pour comprendre les mécanismes qui se jouent. Considérons la tâche suivante issue d’un manuel4
de troisième.
Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées A (3 ;7) et B(– 9 ; 5). Déterminer l’équation de la droite (AB).
Deux techniques sont proposées dans les manuels utilisant soit un système de deux équations à deux inconnues soit la proportionnalité des accroissements d’une fonction affine. Nous les appellerons respectivement : τsyst et τacc
La technique τsyst
3 est différent de –9 donc l’équation de la droite est de la forme y = ax + b où a et b sont des nombres réels. On a le système suivant d’inconnues a et b que l’on résout :
7 = 3a+b 5 = –9a+b
4 Transmath 3e ,Nathan, Edition 2012
23 21 = 9a+3b 5= –9a+b 7 = 3a+b 26 = 4b 7 = 3a+b b= 6,5 7 = 3a+6,5 b= 6,5 a= b= 6,5
L’équation de la droite (AB) est y = a + 6,5
La technique τacc
3 est différent de –9 donc la droite (AB) est la représentation graphique d’une fonction affine
f telle que f(x)= ax + b où a et b sont des nombres réels.
On utilise la proportionnalité des accroissements d’une fonction affine.
a=
a = = =
De plus, 7 = 3× + b d’où b = 6,5
L’équation de la droite (AB) est donc y = a +6,5
La première solution réside essentiellement en la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues, et prend donc appui sur le registre des écritures symboliques algébriques.
La deuxième solution, bien que plus courte n’en est pas moins facile. Elle est pilotée par la propriété de proportionnalité des accroissements d’une fonction affine.
Supposons que les systèmes de deux équations à deux inconnues soient mal maitrisés par les élèves ainsi que le théorème de proportionnalité des accroissements d’une fonction affine. On cherche donc à mettre en œuvre des techniques de contrôle, autrement dit, une autre technique qui réalise le même type de tâches et mobilisant des registres d’ostensifs différents.
Voici deux autres techniques qui utilisent le registre graphique et gestuel (on compte le nombre de d’unités sur la représentation graphique), que nous appellerons τgraph et τlogiciel
6 1 6 1 2 1 2 1) ( ) ( x x x f x f ) 9 ( 3 5 7 12 2 6 1 6 1 6 1
24
La technique graphique τgraph
On place les points A et B dans un repère et on trace la droite (AB).
A partir de cet instant, on obtient immédiatement deux informations supplémentaires :
- Le signe du coefficient directeur (positif) : la droite représente une fonction croissante
- Le signe de l’ordonnée à l’origine (positif) : l’axe des ordonnées coupe la droite en un point situé « au-dessus » de l’origine.
Pour avoir l’équation de la droite, on lit graphiquement.
pour a par le comptage muni d’un signe sur le graphique de la différence des ordonnées sur la différence des abscisses.
pour b par l’ordonnée de l’intersection de la droite (AB) avec l’axe des ordonnées.
y = x +6,5 d’où y = x +6,5
La technologie convoquée ici est la même que pour la technique τ acc.
La technique τ logiciel, ici réalisée avec Géogébra.
On place A et B dans le repère et on trace la droite (AB) grâce au logiciel de géométrie dynamique. Elle est notée a dans le logiciel.
12 2
6 1
25 On peut dans un premier temps remarquer que le logiciel donne, dans la fenêtre « algèbre » située à gauche, l’équation de la droite sous la forme ax+ by = c
Ici –x+6y = 39
L’élève pourrait à partir de cette formule en déduire l’équation sous la forme voulue. x + y =
y = x + 6,5
Cependant une telle technique de contrôle nécessiterait des manipulations d’expressions algébriques. Ce sont justement ces écritures qui constituent les éléments à contrôler, qui sont donc non stables et non routiniers pour l’élève.
Grâce à la commande s = pente[a] tapée dans la fenêtre de saisie, le logiciel donne le coefficient directeur de la droite.
Notons qu’ici, le coefficient directeur est une fraction non décimale. Le logiciel renvoie une valeur approchée de a (environ 0,17).
Pour pallier à ce manque de précision, on peut comme dans la technique précédente, trouver a par comptage sur le graphique.
En utilisant la fonction intersection de deux objets puis en cliquant sur l’axe des ordonnées et la droite
(AB), le logiciel inscrit dans la fenêtre « algèbre » les coordonnées du point d’intersection
« b = (0 ; 6,5) ».
La technologie repose sur les capacités du logiciel Géogébra.
Peut-on envisager les deux techniques graphiques τgraph et τ logiciel comme des techniques possibles de
contrôle des deux autres techniques τsyst et τ acc ?
Les deux techniques τsyst et τ acc sont composées de deux étapes :
- le calcul du coefficient directeur a - le calcul de l’ordonnée à l’origine b.
Imaginons que la technique institutionnelle soit la technique τsyst . Avant même de commencer à
résoudre le système on peut tracer (AB) sur le logiciel ou sur papier et recueillir les informations sur le signe de a et b. Grâce au système, on trouve tout d’abord b (on pourrait par une autre technique de résolution trouver tout d’abord a car cela ne change pas la méthode).
On peut donc immédiatement examiner la cohérence du signe de b.
A ce stade, on peut aller plus loin et vérifier la valeur de b grâce au graphique (papier ou logiciel). Si le résultat est correct, on continue la résolution du système. Sinon, on reprend les premières étapes en étant guidé par la solution.
Après correction éventuelle on reprend la résolution du système et on trouve la valeur de a dont on vérifie tout de suite le signe. S’il y a incohérence, on reprend les calculs. Sinon, on lit graphiquement la valeur du nombre b ou on le fait afficher par le logiciel. Cela nous permet de nouveau de créer une étape de contrôle.
On peut procéder de la même façon pour la technique utilisant les accroissements. Cette technique est encore plus en lien avec le graphique puisqu’elle mobilise la même technologie : l’une dans un registre calculatoire et l’autre dans un registre graphique.
On peut donc conclure que ces deux techniques peuvent être envisagées comme allant au-delà des techniques de contrôle. Elles autorisent des allers et retours entre la technique institutionnelle et la technique de contrôle qui permettent de réajuster les éventuelles erreurs d’une technique de classe non encore stable.
Ce sont grâce à ces multiples allers retours et réajustements ainsi qu’au résultat vers lequel cette technique de contrôle oriente, grâce au signe, que l’on pourra la qualifier de technique d’anticipation.
Elle permet le réajustement avant la fin de l’accomplissement du type de tâches. On peut résumer la technique d’anticipation par le schéma suivant :
6 1 6 39 6 1
26 Début du type de tâches T
Réaliser T :
Etape 1 : résultat R1
Etape 2 : résultat R2
Résultat R
technique de contrôle : résultat R’1 Cohérence R1 et R’1
technique de contrôle : résultat R’2 Cohérence R2 et R’2 Fin du type de tâches T
Quant au choix entre les deux techniques τgraph et τ logiciel, on pourra simplement invoquer le fait
suivant :
La technique τ logiciel nécessitant évidemment un équipement en ordinateurs et logiciels, la technique
d’anticipation pourra être choisie par l’enseignant selon le matériel à disposition.
1.4. L’échelle de niveaux de codétermination didactique
Revenons à notre problématique.
Quelles sont les conditions qui favorisent, permettent ou au contraire gênent, empêchent l’existence des processus de contrôle ?
Pour répondre à cette question, on s’appuie sur la structuration en différents niveaux de codétermination didactique défini par Yves Chevallard en 2002.
« Les contraintes [qui] structurent les différents niveaux de détermination. Plus complètement, chaque niveau impose, à un moment donné de la vie du système éducatif, un ensemble de contraintes et de points d’appui : l’écologie qui en résulte est déterminée à la fois par ce que les contraintes interdisent ou poussent en avant et par l’exploitation que feront les acteurs des points d’appui que les différents niveaux leur offrent. »
Elle permet de mettre au jour les conditions et les contraintes pesant sur les différents systèmes didactiques. Commençons par la hiérarchie des niveaux un à cinq, représentée par le schéma ci-dessous :
Allers et retours
27
Extrait de Organiser l’étude 3, Yves Chevallard
Le niveau 1 correspond à la discipline, pour nous, les mathématiques.
Le programme de mathématiques de collège (BO 2008) est scindé en plusieurs domaines (niveau 2) : Organisation et gestion de données, Nombres et calculs, Géométrie ainsi que Grandeurs et mesures. Le domaine Nombres et calculs est lui-même découpé en plusieurs secteurs (niveau 3), par exemple le secteur calcul littéral, qui à son tour se divise en plusieurs thèmes (niveau 4) comme les équations du premier degré à une inconnue.
Résoudre une équation du type ax+b = c où a, b et c sont des nombres entiers relatifs en serait un sujet (niveau 5).
A chaque type de tâches T, on trouve un triplet formé d’une technique τ, d’une technologie θ de la technique et d’une théorie Θ. Le quadruplet [T, τ, θ, Θ] constitue une praxéologie ponctuelle, c'est-à-dire relative à un unique type de tâches.
En une institution donnée, une théorie Θ répond généralement de plusieurs technologies θj.
Chaque θj justifie et rend intelligible plusieurs techniques τij correspondant à autant de types de tâches
Tij. Une organisation mathématique est locale si elle regroupe plusieurs types de tâches.
En découle une organisation mathématique régionale qui peut se « regarder comme le fruit de l’amalgamation d’organisation locales admettant la même théorie » (Yves Chevallard, 2002).
Le dernier niveau est donné par une organisation mathématique globale constituée de l’assemblage de toutes ces organisations régionales et identifiable au domaine d’études.
Ce schéma doit être complété par les niveaux suivants, qui se réfèrent chacun à une réalité : la
28 Ainsi l’existence ou non des processus de contrôle dans la classe doit être regardée comme marquée par cet ensemble de conditions et de contraintes. L’exploitation par les professeurs et les élèves de ce système constituera autant de leviers ou de freins à l’émergence de tels processus dans le système didactique.
1.5 Rapport public et rapport privé
Le rapport personnel d’un individu x à un objet o de savoir, qui peut être le nombre 7, le concept mathématique de droite, le calcul littéral, « est le système de toutes les interactions que x peut avoir avec l’objet o - que x le manipule, l’utilise, en parle, en rêve. » (Yves Chevallard, 2002).
La personne est formée par l’individu muni de tous ses rapports personnels, qui eux évoluent au fil du temps. Ces derniers changent parce qu’ils sont la conséquence de divers assujettissements à différentes
institutions (la famille, l’école, etc).
« Une institution est un dispositif social total qui permet – et impose – à ses sujets, c'est-à-dire aux personnes qui viennent occuper les différentes positions dans l’institution la mise en jeu de manière de faire et de penser propre. »(Yves Chevallard, 2002)
Par exemple, un établissement scolaire est une institution dans laquelle on trouve différentes positions, celle de professeur, d’élève, de chef d’établissement, de CPE. Le rapport institutionnel à o en position p est le rapport à l’objet o que devrait avoir tout individu en position p dans cette institution. x est un bon sujet si ses rapports personnels sont ceux attendus par l’institution, c'est-à-dire confondus avec les rapports institutionnels. Mais d’une certaine manière, x change au gré de ses multiples
assujettissements et donc ne peut jamais être en totale conformité avec le rapport institutionnel. Ainsi,
on peut observer que le rapport personnel d’un individu à un objet de savoir dans une institution I en position p est toujours nuancé car créé par de diverses expériences mais pas complètement original car encadré et restreint par l’institution dont il fait partie. L’élève se trouve ainsi soumis par le biais de l’institution scolaire française aux attendus indiqués par le professeur, appelé rapport public aux objets de savoir. Il existe toujours en lien avec ce rapport public, un rapport privé de l’individu, qu’il gère comme il l’entend.
29 « Le rapport au savoir est (nécessairement) clivé : il y a un rapport public, i.e. visible et manifeste et un rapport privé, qui n’est pas en lui- même, un enjeu didactique (même si ses effets peuvent interférer dans la relation « didactique » officielle). » (Yves Chevallard, 1988)
Quand le professeur interroge l’élève, il le questionne en général sur son rapport public au savoir c’est à dire sur le savoir jugé conforme à ce qu’en attend l’institution et qui correspond pour l’élève au savoir défini par l’enseignant à un moment donné dans la classe. Cette distinction est générale car ne dépend pas de la discipline mathématique mais s’étend à toutes les autres. Ainsi lorsque le professeur d’histoire demande à un élève de parler de la guerre 14-18.
« Il s’agit du rapport officiel – de la guerre 14-18 par exemple ; ou bien mettre en question l’élève sur ses représentations de la guerre de 14-18 , i.e tenter d’atteindre et d’évaluer son rapport privé à cet existant culturel, « la guerre de 14-18 ». (Yves Chevallard, 1988)
Dans la suite de nos recherches nous distinguons la dimension privée, dimension dans laquelle les processus de contrôle naissent et meurent dans une sphère non officielle réservée à l’élève et la dimension publique, celle où les processus sont reconnus par l’enseignant et dévoilés publiquement à la classe.
30
2.
Dimension privée : Recherches et résultats
2.1 Dialectique des médias et des milieux
Dans ce paragraphe nous commençons par introduire le concept de milieu tel qu’il fut introduit par Guy Brousseau dans le cadre de la théorie des situations puis repris en 1990. Nous poursuivons par élargir cette notion au sens donné par Yves Chevallard lorsqu’il parle de la dialectique des médias et
des milieux.
L’un des paradoxes de l’enseignement réside dans sa finalité qui est de permettre aux élèves à l’issue de leur scolarité de se servir des connaissances qu’ils ont acquises à l’école dans des situations non didactiques. Dans ces situations, le sujet cherche à produire des actions, des formulations ou des preuves pour agir sur un milieu qui comprend des éléments matériels et humains. Le professeur aménage pour cela dans la classe des situations dans laquelle l’élève se retrouve en interaction avec un
milieu qui peut être mathématique, matériel, ou encore social. Il contient des éléments avec lesquels et
sur lesquels les élèves agissent pour produire de nouvelles connaissances. « Le milieu est le système antagoniste dénué d’intentions et capable de rétroactions (Guy Brousseau, 1990).» L’aspect
antagoniste est un point essentiel. En effet dans certaines pratiques d’enseignement, les professeurs
convoquent plutôt un milieu allié5. Pour enseigner des savoirs nouveaux, l’enseignant peut prendre à
sa charge l’organisation répétée d’exercices mettant en jeu le même savoir : contrat de conditionnement. Il peut aussi choisir un contrat d’ostension. Il montre un objet de savoir que l’élève doit reconnaître. Par exemple, pour enseigner la notion de concourance des médiatrices dans un triangle non aplati, l’enseignant peut proposer une activité où l’élève doit tracer les trois médiatrices d’un triangle choisi de manière à ce que celles-ci se coupent visuellement et sans en douter, en seul point. Les élèves sont amenés à observer puis à « déduire » sans démonstration que les trois médiatrices sont concourantes. Il s’agit là d’une activité relevant d’une pratique ostensive convoquant un milieu allié. A l’inverse, Guy Brousseau6 (1983) convoque un milieu antagoniste en utilisant un triangle très aplati pour faire se poser des questions aux élèves.
« Le professeur demande « sérieusement » à ses élèves débutants de tracer les trois médiatrices d’un triangle ABC très aplati et prétend donner des noms appropriés A’B’C’ aux sommets du petit « co-triangle » qu’ils doivent ainsi obtenir. Devant la trop petite taille de ce triangle le professeur prétend avoir choisi un triangle ABC particulier et incommode. Il demande aux élèves de trouver un triangle dont le co-triangle est le plus grand possible. Les élèves s’acharnent. Ils doivent finalement émettre l’hypothèse que ces trois points pourraient n’en représenter qu’un seul et en apporter la preuve contre « l’évidence ». Pour cela il faut s’accorder sur la médiatrice comme lieu. Le professeur explique alors la différence entre « voir » et « démontrer ». »
Berthelot et Salin (1992) distinguent deux types d’ostension7 : l’ostension assumée et l’ostension déguisée.
5
Terme utilisé par Fregona Dilma
6
Situation n°7, les propriétés didactiques de la géométrie élémentaire
